Theorem 1arympt1 45402

Description: A unary (endo)function in maps-to notation. (Contributed by AV, 16-May-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
1arympt1.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↦ (𝐴‘(𝑥‘0)))

Assertion

Ref	Expression
1arympt1	⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝑋⟶𝑋) → 𝐹 ∈ (1-aryF 𝑋))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem 1arympt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2759	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ↑m {0}) = (𝑋 ↑m {0})
2		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋 ↑m {0}) → 𝑥 ∈ (𝑋 ↑m {0}))
3		c0ex 10658	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
4	3	snid 4551	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ {0}
5	4	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋 ↑m {0}) → 0 ∈ {0})
6	1, 2, 5	mapfvd 8454	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋 ↑m {0}) → (𝑥‘0) ∈ 𝑋)
7		ffvelrn 6833	. . . . 5 ⊢ ((𝐴:𝑋⟶𝑋 ∧ (𝑥‘0) ∈ 𝑋) → (𝐴‘(𝑥‘0)) ∈ 𝑋)
8	6, 7	sylan2 596	. . . 4 ⊢ ((𝐴:𝑋⟶𝑋 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ↑m {0})) → (𝐴‘(𝑥‘0)) ∈ 𝑋)
9		1arympt1.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↦ (𝐴‘(𝑥‘0)))
10	8, 9	fmptd 6862	. . 3 ⊢ (𝐴:𝑋⟶𝑋 → 𝐹:(𝑋 ↑m {0})⟶𝑋)
11		1aryfvalel 45400	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝐹 ∈ (1-aryF 𝑋) ↔ 𝐹:(𝑋 ↑m {0})⟶𝑋))
12	10, 11	syl5ibr 249	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝐴:𝑋⟶𝑋 → 𝐹 ∈ (1-aryF 𝑋)))
13	12	imp 411	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝑋⟶𝑋) → 𝐹 ∈ (1-aryF 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1539   ∈ wcel 2112  {csn 4515   ↦ cmpt 5105  ⟶wf 6324  ‘cfv 6328  (class class class)co 7143   ↑_m cmap 8409  0cc0 10560  1c1 10561  -aryF cnaryf 45390

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-sep 5162  ax-nul 5169  ax-pow 5227  ax-pr 5291  ax-un 7452  ax-cnex 10616  ax-resscn 10617  ax-1cn 10618  ax-icn 10619  ax-addcl 10620  ax-addrcl 10621  ax-mulcl 10622  ax-mulrcl 10623  ax-mulcom 10624  ax-addass 10625  ax-mulass 10626  ax-distr 10627  ax-i2m1 10628  ax-1ne0 10629  ax-1rid 10630  ax-rnegex 10631  ax-rrecex 10632  ax-cnre 10633  ax-pre-lttri 10634  ax-pre-lttrn 10635  ax-pre-ltadd 10636  ax-pre-mulgt0 10637

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2899  df-ne 2950  df-nel 3054  df-ral 3073  df-rex 3074  df-reu 3075  df-rab 3077  df-v 3409  df-sbc 3694  df-csb 3802  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3871  df-pss 3873  df-nul 4222  df-if 4414  df-pw 4489  df-sn 4516  df-pr 4518  df-tp 4520  df-op 4522  df-uni 4792  df-iun 4878  df-br 5026  df-opab 5088  df-mpt 5106  df-tr 5132  df-id 5423  df-eprel 5428  df-po 5436  df-so 5437  df-fr 5476  df-we 5478  df-xp 5523  df-rel 5524  df-cnv 5525  df-co 5526  df-dm 5527  df-rn 5528  df-res 5529  df-ima 5530  df-pred 6119  df-ord 6165  df-on 6166  df-lim 6167  df-suc 6168  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7101  df-ov 7146  df-oprab 7147  df-mpo 7148  df-om 7573  df-1st 7686  df-2nd 7687  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-er 8292  df-map 8411  df-en 8521  df-dom 8522  df-sdom 8523  df-pnf 10700  df-mnf 10701  df-xr 10702  df-ltxr 10703  df-le 10704  df-sub 10895  df-neg 10896  df-nn 11660  df-n0 11920  df-z 12006  df-uz 12268  df-fz 12925  df-fzo 13068  df-naryf 45391

This theorem is referenced by:  1arymaptfo  45407