Theorem 1arympt1 48670

Description: A unary (endo)function in maps-to notation. (Contributed by AV, 16-May-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
1arympt1.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↦ (𝐴‘(𝑥‘0)))

Assertion

Ref	Expression
1arympt1	⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝑋⟶𝑋) → 𝐹 ∈ (1-aryF 𝑋))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem 1arympt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ↑m {0}) = (𝑋 ↑m {0})
2		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋 ↑m {0}) → 𝑥 ∈ (𝑋 ↑m {0}))
3		c0ex 11101	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
4	3	snid 4610	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ {0}
5	4	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋 ↑m {0}) → 0 ∈ {0})
6	1, 2, 5	mapfvd 8798	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋 ↑m {0}) → (𝑥‘0) ∈ 𝑋)
7		ffvelcdm 7009	. . . . 5 ⊢ ((𝐴:𝑋⟶𝑋 ∧ (𝑥‘0) ∈ 𝑋) → (𝐴‘(𝑥‘0)) ∈ 𝑋)
8	6, 7	sylan2 593	. . . 4 ⊢ ((𝐴:𝑋⟶𝑋 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ↑m {0})) → (𝐴‘(𝑥‘0)) ∈ 𝑋)
9		1arympt1.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↦ (𝐴‘(𝑥‘0)))
10	8, 9	fmptd 7042	. . 3 ⊢ (𝐴:𝑋⟶𝑋 → 𝐹:(𝑋 ↑m {0})⟶𝑋)
11		1aryfvalel 48668	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝐹 ∈ (1-aryF 𝑋) ↔ 𝐹:(𝑋 ↑m {0})⟶𝑋))
12	10, 11	imbitrrid 246	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝐴:𝑋⟶𝑋 → 𝐹 ∈ (1-aryF 𝑋)))
13	12	imp 406	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝑋⟶𝑋) → 𝐹 ∈ (1-aryF 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  {csn 4571   ↦ cmpt 5167  ⟶wf 6472  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341   ↑_m cmap 8745  0cc0 11001  1c1 11002  -aryF cnaryf 48658

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-er 8617  df-map 8747  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-nn 12121  df-n0 12377  df-z 12464  df-uz 12728  df-fz 13403  df-fzo 13550  df-naryf 48659

This theorem is referenced by:  1arymaptfo  48675