Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ofaddmndmap Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ofaddmndmap 46509
Description: The function operation applied to the addition for functions (with the same domain) into a monoid is a function (with the same domain) into the monoid. (Contributed by AV, 6-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ofaddmndmap.r 𝑅 = (Base‘𝑀)
ofaddmndmap.p + = (+g𝑀)
Assertion
Ref Expression
ofaddmndmap ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑉𝑌 ∧ (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝐵 ∈ (𝑅m 𝑉))) → (𝐴f + 𝐵) ∈ (𝑅m 𝑉))

Proof of Theorem ofaddmndmap
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 1192 . . . 4 (((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑉𝑌 ∧ (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝐵 ∈ (𝑅m 𝑉))) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑅)) → 𝑀 ∈ Mnd)
2 simprl 770 . . . 4 (((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑉𝑌 ∧ (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝐵 ∈ (𝑅m 𝑉))) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑅)) → 𝑥𝑅)
3 simprr 772 . . . 4 (((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑉𝑌 ∧ (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝐵 ∈ (𝑅m 𝑉))) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑅)) → 𝑦𝑅)
4 ofaddmndmap.r . . . . 5 𝑅 = (Base‘𝑀)
5 ofaddmndmap.p . . . . 5 + = (+g𝑀)
64, 5mndcl 18572 . . . 4 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑥𝑅𝑦𝑅) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑅)
71, 2, 3, 6syl3anc 1372 . . 3 (((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑉𝑌 ∧ (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝐵 ∈ (𝑅m 𝑉))) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑅)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑅)
8 elmapi 8793 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) → 𝐴:𝑉𝑅)
98adantr 482 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝐵 ∈ (𝑅m 𝑉)) → 𝐴:𝑉𝑅)
1093ad2ant3 1136 . . 3 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑉𝑌 ∧ (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝐵 ∈ (𝑅m 𝑉))) → 𝐴:𝑉𝑅)
11 elmapi 8793 . . . . 5 (𝐵 ∈ (𝑅m 𝑉) → 𝐵:𝑉𝑅)
1211adantl 483 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝐵 ∈ (𝑅m 𝑉)) → 𝐵:𝑉𝑅)
13123ad2ant3 1136 . . 3 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑉𝑌 ∧ (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝐵 ∈ (𝑅m 𝑉))) → 𝐵:𝑉𝑅)
14 simp2 1138 . . 3 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑉𝑌 ∧ (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝐵 ∈ (𝑅m 𝑉))) → 𝑉𝑌)
15 inidm 4182 . . 3 (𝑉𝑉) = 𝑉
167, 10, 13, 14, 14, 15off 7639 . 2 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑉𝑌 ∧ (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝐵 ∈ (𝑅m 𝑉))) → (𝐴f + 𝐵):𝑉𝑅)
174fvexi 6860 . . 3 𝑅 ∈ V
18 elmapg 8784 . . 3 ((𝑅 ∈ V ∧ 𝑉𝑌) → ((𝐴f + 𝐵) ∈ (𝑅m 𝑉) ↔ (𝐴f + 𝐵):𝑉𝑅))
1917, 14, 18sylancr 588 . 2 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑉𝑌 ∧ (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝐵 ∈ (𝑅m 𝑉))) → ((𝐴f + 𝐵) ∈ (𝑅m 𝑉) ↔ (𝐴f + 𝐵):𝑉𝑅))
2016, 19mpbird 257 1 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑉𝑌 ∧ (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝐵 ∈ (𝑅m 𝑉))) → (𝐴f + 𝐵) ∈ (𝑅m 𝑉))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  Vcvv 3447  wf 6496  cfv 6500  (class class class)co 7361  f cof 7619  m cmap 8771  Basecbs 17091  +gcplusg 17141  Mndcmnd 18564
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-map 8773  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565
This theorem is referenced by:  lincsumcl  46602
  Copyright terms: Public domain W3C validator