Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ofaddmndmap Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ofaddmndmap 47503
Description: The function operation applied to the addition for functions (with the same domain) into a monoid is a function (with the same domain) into the monoid. (Contributed by AV, 6-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ofaddmndmap.r 𝑅 = (Base‘𝑀)
ofaddmndmap.p + = (+g𝑀)
Assertion
Ref Expression
ofaddmndmap ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑉𝑌 ∧ (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝐵 ∈ (𝑅m 𝑉))) → (𝐴f + 𝐵) ∈ (𝑅m 𝑉))

Proof of Theorem ofaddmndmap
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 1188 . . . 4 (((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑉𝑌 ∧ (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝐵 ∈ (𝑅m 𝑉))) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑅)) → 𝑀 ∈ Mnd)
2 simprl 769 . . . 4 (((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑉𝑌 ∧ (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝐵 ∈ (𝑅m 𝑉))) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑅)) → 𝑥𝑅)
3 simprr 771 . . . 4 (((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑉𝑌 ∧ (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝐵 ∈ (𝑅m 𝑉))) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑅)) → 𝑦𝑅)
4 ofaddmndmap.r . . . . 5 𝑅 = (Base‘𝑀)
5 ofaddmndmap.p . . . . 5 + = (+g𝑀)
64, 5mndcl 18711 . . . 4 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑥𝑅𝑦𝑅) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑅)
71, 2, 3, 6syl3anc 1368 . . 3 (((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑉𝑌 ∧ (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝐵 ∈ (𝑅m 𝑉))) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑅)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑅)
8 elmapi 8876 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) → 𝐴:𝑉𝑅)
98adantr 479 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝐵 ∈ (𝑅m 𝑉)) → 𝐴:𝑉𝑅)
1093ad2ant3 1132 . . 3 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑉𝑌 ∧ (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝐵 ∈ (𝑅m 𝑉))) → 𝐴:𝑉𝑅)
11 elmapi 8876 . . . . 5 (𝐵 ∈ (𝑅m 𝑉) → 𝐵:𝑉𝑅)
1211adantl 480 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝐵 ∈ (𝑅m 𝑉)) → 𝐵:𝑉𝑅)
13123ad2ant3 1132 . . 3 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑉𝑌 ∧ (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝐵 ∈ (𝑅m 𝑉))) → 𝐵:𝑉𝑅)
14 simp2 1134 . . 3 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑉𝑌 ∧ (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝐵 ∈ (𝑅m 𝑉))) → 𝑉𝑌)
15 inidm 4221 . . 3 (𝑉𝑉) = 𝑉
167, 10, 13, 14, 14, 15off 7710 . 2 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑉𝑌 ∧ (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝐵 ∈ (𝑅m 𝑉))) → (𝐴f + 𝐵):𝑉𝑅)
174fvexi 6916 . . 3 𝑅 ∈ V
18 elmapg 8866 . . 3 ((𝑅 ∈ V ∧ 𝑉𝑌) → ((𝐴f + 𝐵) ∈ (𝑅m 𝑉) ↔ (𝐴f + 𝐵):𝑉𝑅))
1917, 14, 18sylancr 585 . 2 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑉𝑌 ∧ (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝐵 ∈ (𝑅m 𝑉))) → ((𝐴f + 𝐵) ∈ (𝑅m 𝑉) ↔ (𝐴f + 𝐵):𝑉𝑅))
2016, 19mpbird 256 1 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑉𝑌 ∧ (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝐵 ∈ (𝑅m 𝑉))) → (𝐴f + 𝐵) ∈ (𝑅m 𝑉))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  Vcvv 3473  wf 6549  cfv 6553  (class class class)co 7426  f cof 7690  m cmap 8853  Basecbs 17189  +gcplusg 17242  Mndcmnd 18703
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7692  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-map 8855  df-mgm 18609  df-sgrp 18688  df-mnd 18704
This theorem is referenced by:  lincsumcl  47595
  Copyright terms: Public domain W3C validator