Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ofaddmndmap Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ofaddmndmap 47295
Description: The function operation applied to the addition for functions (with the same domain) into a monoid is a function (with the same domain) into the monoid. (Contributed by AV, 6-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ofaddmndmap.r 𝑅 = (Base‘𝑀)
ofaddmndmap.p + = (+g𝑀)
Assertion
Ref Expression
ofaddmndmap ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑉𝑌 ∧ (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝐵 ∈ (𝑅m 𝑉))) → (𝐴f + 𝐵) ∈ (𝑅m 𝑉))

Proof of Theorem ofaddmndmap
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 1188 . . . 4 (((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑉𝑌 ∧ (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝐵 ∈ (𝑅m 𝑉))) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑅)) → 𝑀 ∈ Mnd)
2 simprl 768 . . . 4 (((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑉𝑌 ∧ (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝐵 ∈ (𝑅m 𝑉))) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑅)) → 𝑥𝑅)
3 simprr 770 . . . 4 (((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑉𝑌 ∧ (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝐵 ∈ (𝑅m 𝑉))) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑅)) → 𝑦𝑅)
4 ofaddmndmap.r . . . . 5 𝑅 = (Base‘𝑀)
5 ofaddmndmap.p . . . . 5 + = (+g𝑀)
64, 5mndcl 18675 . . . 4 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑥𝑅𝑦𝑅) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑅)
71, 2, 3, 6syl3anc 1368 . . 3 (((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑉𝑌 ∧ (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝐵 ∈ (𝑅m 𝑉))) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑅)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑅)
8 elmapi 8845 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) → 𝐴:𝑉𝑅)
98adantr 480 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝐵 ∈ (𝑅m 𝑉)) → 𝐴:𝑉𝑅)
1093ad2ant3 1132 . . 3 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑉𝑌 ∧ (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝐵 ∈ (𝑅m 𝑉))) → 𝐴:𝑉𝑅)
11 elmapi 8845 . . . . 5 (𝐵 ∈ (𝑅m 𝑉) → 𝐵:𝑉𝑅)
1211adantl 481 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝐵 ∈ (𝑅m 𝑉)) → 𝐵:𝑉𝑅)
13123ad2ant3 1132 . . 3 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑉𝑌 ∧ (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝐵 ∈ (𝑅m 𝑉))) → 𝐵:𝑉𝑅)
14 simp2 1134 . . 3 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑉𝑌 ∧ (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝐵 ∈ (𝑅m 𝑉))) → 𝑉𝑌)
15 inidm 4213 . . 3 (𝑉𝑉) = 𝑉
167, 10, 13, 14, 14, 15off 7685 . 2 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑉𝑌 ∧ (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝐵 ∈ (𝑅m 𝑉))) → (𝐴f + 𝐵):𝑉𝑅)
174fvexi 6899 . . 3 𝑅 ∈ V
18 elmapg 8835 . . 3 ((𝑅 ∈ V ∧ 𝑉𝑌) → ((𝐴f + 𝐵) ∈ (𝑅m 𝑉) ↔ (𝐴f + 𝐵):𝑉𝑅))
1917, 14, 18sylancr 586 . 2 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑉𝑌 ∧ (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝐵 ∈ (𝑅m 𝑉))) → ((𝐴f + 𝐵) ∈ (𝑅m 𝑉) ↔ (𝐴f + 𝐵):𝑉𝑅))
2016, 19mpbird 257 1 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑉𝑌 ∧ (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝐵 ∈ (𝑅m 𝑉))) → (𝐴f + 𝐵) ∈ (𝑅m 𝑉))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  Vcvv 3468  wf 6533  cfv 6537  (class class class)co 7405  f cof 7665  m cmap 8822  Basecbs 17153  +gcplusg 17206  Mndcmnd 18667
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-map 8824  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668
This theorem is referenced by:  lincsumcl  47387
  Copyright terms: Public domain W3C validator