Theorem lincvalsng 48378

Description: The linear combination over a singleton. (Contributed by AV, 25-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
lincvalsn.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
lincvalsn.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
lincvalsn.r	⊢ 𝑅 = (Base‘𝑆)
lincvalsn.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
lincvalsng	⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅) → ({⟨𝑉, 𝑌⟩} ( linC ‘𝑀){𝑉}) = (𝑌 · 𝑉))

Proof of Theorem lincvalsng

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1136	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅) → 𝑀 ∈ LMod)
2		simp2 1137	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅) → 𝑉 ∈ 𝐵)
3		lincvalsn.r	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 = (Base‘𝑆)
4		lincvalsn.s	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
5	4	fveq2i 6843	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘(Scalar‘𝑀))
6	3, 5	eqtri 2752	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 = (Base‘(Scalar‘𝑀))
7	6	eleq2i 2820	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑅 ↔ 𝑌 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)))
8	7	biimpi 216	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑅 → 𝑌 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)))
9	8	3ad2ant3 1135	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅) → 𝑌 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)))
10		fvexd 6855	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅) → (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∈ V)
11		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ {⟨𝑉, 𝑌⟩} = {⟨𝑉, 𝑌⟩}
12	11	mapsnop 48305	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∧ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∈ V) → {⟨𝑉, 𝑌⟩} ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m {𝑉}))
13	2, 9, 10, 12	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅) → {⟨𝑉, 𝑌⟩} ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m {𝑉}))
14		snelpwi 5398	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ∈ (Base‘𝑀) → {𝑉} ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
15		lincvalsn.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
16	14, 15	eleq2s 2846	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ 𝐵 → {𝑉} ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
17	16	3ad2ant2 1134	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅) → {𝑉} ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
18		lincval 48371	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ {⟨𝑉, 𝑌⟩} ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m {𝑉}) ∧ {𝑉} ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → ({⟨𝑉, 𝑌⟩} ( linC ‘𝑀){𝑉}) = (𝑀 Σg (𝑣 ∈ {𝑉} ↦ (({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣))))
19	1, 13, 17, 18	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅) → ({⟨𝑉, 𝑌⟩} ( linC ‘𝑀){𝑉}) = (𝑀 Σg (𝑣 ∈ {𝑉} ↦ (({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣))))
20		lmodgrp 20749	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → 𝑀 ∈ Grp)
21	20	grpmndd 18854	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → 𝑀 ∈ Mnd)
22	21	3ad2ant1 1133	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅) → 𝑀 ∈ Mnd)
23		fvsng 7136	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅) → ({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑉) = 𝑌)
24	23	3adant1 1130	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅) → ({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑉) = 𝑌)
25	24	oveq1d 7384	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅) → (({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑉)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑉) = (𝑌( ·𝑠 ‘𝑀)𝑉))
26		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑀) = ( ·𝑠 ‘𝑀)
27	15, 4, 26, 3	lmodvscl 20760	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑅 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → (𝑌( ·𝑠 ‘𝑀)𝑉) ∈ 𝐵)
28	27	3com23 1126	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅) → (𝑌( ·𝑠 ‘𝑀)𝑉) ∈ 𝐵)
29	25, 28	eqeltrd 2828	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅) → (({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑉)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑉) ∈ 𝐵)
30		fveq2 6840	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = 𝑉 → ({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑣) = ({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑉))
31		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = 𝑉 → 𝑣 = 𝑉)
32	30, 31	oveq12d 7387	. . . 4 ⊢ (𝑣 = 𝑉 → (({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣) = (({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑉)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑉))
33	15, 32	gsumsn 19860	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑉 ∈ 𝐵 ∧ (({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑉)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑉) ∈ 𝐵) → (𝑀 Σg (𝑣 ∈ {𝑉} ↦ (({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣))) = (({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑉)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑉))
34	22, 2, 29, 33	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅) → (𝑀 Σg (𝑣 ∈ {𝑉} ↦ (({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣))) = (({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑉)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑉))
35		lincvalsn.t	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑀)
36	35	eqcomi 2738	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑀) = ·
37	36	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅) → ( ·𝑠 ‘𝑀) = · )
38		eqidd 2730	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅) → 𝑉 = 𝑉)
39	37, 24, 38	oveq123d 7390	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅) → (({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑉)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑉) = (𝑌 · 𝑉))
40	19, 34, 39	3eqtrd 2768	1 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅) → ({⟨𝑉, 𝑌⟩} ( linC ‘𝑀){𝑉}) = (𝑌 · 𝑉))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3444  𝒫 cpw 4559  {csn 4585  ⟨cop 4591   ↦ cmpt 5183  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369   ↑_m cmap 8776  Basecbs 17155  Scalarcsca 17199   ·_𝑠 cvsca 17200   Σ_g cgsu 17379  Mndcmnd 18637  LModclmod 20742   linC clinc 48366

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-supp 8117  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8648  df-map 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-oi 9439  df-card 9868  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-seq 13943  df-hash 14272  df-0g 17380  df-gsum 17381  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-grp 18844  df-mulg 18976  df-cntz 19225  df-lmod 20744  df-linc 48368

This theorem is referenced by:  lincvalsn  48379  snlindsntorlem  48432  ldepsnlinclem1  48467  ldepsnlinclem2  48468