Theorem lincvalsng 49859

Description: The linear combination over a singleton. (Contributed by AV, 25-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
lincvalsn.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
lincvalsn.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
lincvalsn.r	⊢ 𝑅 = (Base‘𝑆)
lincvalsn.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
lincvalsng	⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅) → ({⟨𝑉, 𝑌⟩} ( linC ‘𝑀){𝑉}) = (𝑌 · 𝑉))

Proof of Theorem lincvalsng

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1154	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅) → 𝑀 ∈ LMod)
2		simp2 1155	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅) → 𝑉 ∈ 𝐵)
3		lincvalsn.r	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 = (Base‘𝑆)
4		lincvalsn.s	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
5	4	fveq2i 6919	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘(Scalar‘𝑀))
6	3, 5	eqtri 2786	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 = (Base‘(Scalar‘𝑀))
7	6	eleq2i 2856	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑅 ↔ 𝑌 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)))
8	7	biimpi 219	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑅 → 𝑌 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)))
9	8	3ad2ant3 1153	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅) → 𝑌 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)))
10		fvexd 6931	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅) → (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∈ V)
11		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ {⟨𝑉, 𝑌⟩} = {⟨𝑉, 𝑌⟩}
12	11	mapsnop 49787	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∧ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∈ V) → {⟨𝑉, 𝑌⟩} ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m {𝑉}))
13	2, 9, 10, 12	syl3anc 1399	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅) → {⟨𝑉, 𝑌⟩} ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m {𝑉}))
14		snelpwi 5419	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ∈ (Base‘𝑀) → {𝑉} ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
15		lincvalsn.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
16	14, 15	eleq2s 2882	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ 𝐵 → {𝑉} ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
17	16	3ad2ant2 1152	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅) → {𝑉} ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
18		lincval 49852	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ {⟨𝑉, 𝑌⟩} ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m {𝑉}) ∧ {𝑉} ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → ({⟨𝑉, 𝑌⟩} ( linC ‘𝑀){𝑉}) = (𝑀 Σg (𝑣 ∈ {𝑉} ↦ (({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣))))
19	1, 13, 17, 18	syl3anc 1399	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅) → ({⟨𝑉, 𝑌⟩} ( linC ‘𝑀){𝑉}) = (𝑀 Σg (𝑣 ∈ {𝑉} ↦ (({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣))))
20		lmodgrp 21193	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → 𝑀 ∈ Grp)
21	20	grpmndd 19207	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → 𝑀 ∈ Mnd)
22	21	3ad2ant1 1151	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅) → 𝑀 ∈ Mnd)
23		fvsng 7216	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅) → ({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑉) = 𝑌)
24	23	3adant1 1148	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅) → ({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑉) = 𝑌)
25	24	oveq1d 7466	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅) → (({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑉)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑉) = (𝑌( ·𝑠 ‘𝑀)𝑉))
26		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑀) = ( ·𝑠 ‘𝑀)
27	15, 4, 26, 3	lmodvscl 21204	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑅 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → (𝑌( ·𝑠 ‘𝑀)𝑉) ∈ 𝐵)
28	27	3com23 1144	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅) → (𝑌( ·𝑠 ‘𝑀)𝑉) ∈ 𝐵)
29	25, 28	eqeltrd 2864	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅) → (({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑉)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑉) ∈ 𝐵)
30		fveq2 6916	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = 𝑉 → ({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑣) = ({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑉))
31		id 23	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = 𝑉 → 𝑣 = 𝑉)
32	30, 31	oveq12d 7469	. . . 4 ⊢ (𝑣 = 𝑉 → (({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣) = (({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑉)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑉))
33	15, 32	gsumsn 20219	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑉 ∈ 𝐵 ∧ (({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑉)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑉) ∈ 𝐵) → (𝑀 Σg (𝑣 ∈ {𝑉} ↦ (({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣))) = (({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑉)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑉))
34	22, 2, 29, 33	syl3anc 1399	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅) → (𝑀 Σg (𝑣 ∈ {𝑉} ↦ (({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣))) = (({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑉)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑉))
35		lincvalsn.t	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑀)
36	35	eqcomi 2772	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑀) = ·
37	36	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅) → ( ·𝑠 ‘𝑀) = · )
38		eqidd 2764	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅) → 𝑉 = 𝑉)
39	37, 24, 38	oveq123d 7472	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅) → (({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑉)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑉) = (𝑌 · 𝑉))
40	19, 34, 39	3eqtrd 2802	1 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅) → ({⟨𝑉, 𝑌⟩} ( linC ‘𝑀){𝑉}) = (𝑌 · 𝑉))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454  𝒫 cpw 4560  {csn 4588  ⟨cop 4840   ↦ cmpt 5192  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451   ↑_m cmap 8885  Basecbs 17431  Scalarcsca 17475   ·_𝑠 cvsca 17476   Σ_g cgsu 17661  Mndcmnd 18973  LModclmod 21186   linC clinc 49847

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-isom 6575  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-supp 8215  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-er 8755  df-map 8887  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-oi 9541  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-fz 13680  df-fzo 13829  df-seq 14185  df-hash 14516  df-0g 17662  df-gsum 17663  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-grp 19197  df-mulg 19328  df-cntz 19582  df-lmod 21188  df-linc 49849

This theorem is used by:  lincvalsn  49860  snlindsntorlem  49913  ldepsnlinclem1  49948  ldepsnlinclem2  49949