Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lincvalsng Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lincvalsng 47833
Description: The linear combination over a singleton. (Contributed by AV, 25-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lincvalsn.b 𝐵 = (Base‘𝑀)
lincvalsn.s 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
lincvalsn.r 𝑅 = (Base‘𝑆)
lincvalsn.t · = ( ·𝑠𝑀)
Assertion
Ref Expression
lincvalsng ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝐵𝑌𝑅) → ({⟨𝑉, 𝑌⟩} ( linC ‘𝑀){𝑉}) = (𝑌 · 𝑉))

Proof of Theorem lincvalsng
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1133 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝐵𝑌𝑅) → 𝑀 ∈ LMod)
2 simp2 1134 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝐵𝑌𝑅) → 𝑉𝐵)
3 lincvalsn.r . . . . . . . 8 𝑅 = (Base‘𝑆)
4 lincvalsn.s . . . . . . . . 9 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
54fveq2i 6894 . . . . . . . 8 (Base‘𝑆) = (Base‘(Scalar‘𝑀))
63, 5eqtri 2754 . . . . . . 7 𝑅 = (Base‘(Scalar‘𝑀))
76eleq2i 2818 . . . . . 6 (𝑌𝑅𝑌 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)))
87biimpi 215 . . . . 5 (𝑌𝑅𝑌 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)))
983ad2ant3 1132 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝐵𝑌𝑅) → 𝑌 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)))
10 fvexd 6906 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝐵𝑌𝑅) → (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∈ V)
11 eqid 2726 . . . . 5 {⟨𝑉, 𝑌⟩} = {⟨𝑉, 𝑌⟩}
1211mapsnop 47757 . . . 4 ((𝑉𝐵𝑌 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∧ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∈ V) → {⟨𝑉, 𝑌⟩} ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m {𝑉}))
132, 9, 10, 12syl3anc 1368 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝐵𝑌𝑅) → {⟨𝑉, 𝑌⟩} ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m {𝑉}))
14 snelpwi 5440 . . . . 5 (𝑉 ∈ (Base‘𝑀) → {𝑉} ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
15 lincvalsn.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑀)
1614, 15eleq2s 2844 . . . 4 (𝑉𝐵 → {𝑉} ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
17163ad2ant2 1131 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝐵𝑌𝑅) → {𝑉} ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
18 lincval 47826 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ {⟨𝑉, 𝑌⟩} ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m {𝑉}) ∧ {𝑉} ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → ({⟨𝑉, 𝑌⟩} ( linC ‘𝑀){𝑉}) = (𝑀 Σg (𝑣 ∈ {𝑉} ↦ (({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣))))
191, 13, 17, 18syl3anc 1368 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝐵𝑌𝑅) → ({⟨𝑉, 𝑌⟩} ( linC ‘𝑀){𝑉}) = (𝑀 Σg (𝑣 ∈ {𝑉} ↦ (({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣))))
20 lmodgrp 20837 . . . . 5 (𝑀 ∈ LMod → 𝑀 ∈ Grp)
2120grpmndd 18934 . . . 4 (𝑀 ∈ LMod → 𝑀 ∈ Mnd)
22213ad2ant1 1130 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝐵𝑌𝑅) → 𝑀 ∈ Mnd)
23 fvsng 7184 . . . . . 6 ((𝑉𝐵𝑌𝑅) → ({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑉) = 𝑌)
24233adant1 1127 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝐵𝑌𝑅) → ({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑉) = 𝑌)
2524oveq1d 7429 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝐵𝑌𝑅) → (({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑉)( ·𝑠𝑀)𝑉) = (𝑌( ·𝑠𝑀)𝑉))
26 eqid 2726 . . . . . 6 ( ·𝑠𝑀) = ( ·𝑠𝑀)
2715, 4, 26, 3lmodvscl 20848 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑅𝑉𝐵) → (𝑌( ·𝑠𝑀)𝑉) ∈ 𝐵)
28273com23 1123 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝐵𝑌𝑅) → (𝑌( ·𝑠𝑀)𝑉) ∈ 𝐵)
2925, 28eqeltrd 2826 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝐵𝑌𝑅) → (({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑉)( ·𝑠𝑀)𝑉) ∈ 𝐵)
30 fveq2 6891 . . . . 5 (𝑣 = 𝑉 → ({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑣) = ({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑉))
31 id 22 . . . . 5 (𝑣 = 𝑉𝑣 = 𝑉)
3230, 31oveq12d 7432 . . . 4 (𝑣 = 𝑉 → (({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣) = (({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑉)( ·𝑠𝑀)𝑉))
3315, 32gsumsn 19946 . . 3 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑉𝐵 ∧ (({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑉)( ·𝑠𝑀)𝑉) ∈ 𝐵) → (𝑀 Σg (𝑣 ∈ {𝑉} ↦ (({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣))) = (({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑉)( ·𝑠𝑀)𝑉))
3422, 2, 29, 33syl3anc 1368 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝐵𝑌𝑅) → (𝑀 Σg (𝑣 ∈ {𝑉} ↦ (({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣))) = (({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑉)( ·𝑠𝑀)𝑉))
35 lincvalsn.t . . . . 5 · = ( ·𝑠𝑀)
3635eqcomi 2735 . . . 4 ( ·𝑠𝑀) = ·
3736a1i 11 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝐵𝑌𝑅) → ( ·𝑠𝑀) = · )
38 eqidd 2727 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝐵𝑌𝑅) → 𝑉 = 𝑉)
3937, 24, 38oveq123d 7435 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝐵𝑌𝑅) → (({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑉)( ·𝑠𝑀)𝑉) = (𝑌 · 𝑉))
4019, 34, 393eqtrd 2770 1 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝐵𝑌𝑅) → ({⟨𝑉, 𝑌⟩} ( linC ‘𝑀){𝑉}) = (𝑌 · 𝑉))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1084   = wceq 1534  wcel 2099  Vcvv 3463  𝒫 cpw 4598  {csn 4624  cop 4630  cmpt 5227  cfv 6544  (class class class)co 7414  m cmap 8845  Basecbs 17206  Scalarcsca 17262   ·𝑠 cvsca 17263   Σg cgsu 17448  Mndcmnd 18720  LModclmod 20830   linC clinc 47821
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7736  ax-cnex 11203  ax-resscn 11204  ax-1cn 11205  ax-icn 11206  ax-addcl 11207  ax-addrcl 11208  ax-mulcl 11209  ax-mulrcl 11210  ax-mulcom 11211  ax-addass 11212  ax-mulass 11213  ax-distr 11214  ax-i2m1 11215  ax-1ne0 11216  ax-1rid 11217  ax-rnegex 11218  ax-rrecex 11219  ax-cnre 11220  ax-pre-lttri 11221  ax-pre-lttrn 11222  ax-pre-ltadd 11223  ax-pre-mulgt0 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3421  df-v 3465  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4324  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4907  df-int 4948  df-iun 4996  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-se 5629  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6303  df-ord 6369  df-on 6370  df-lim 6371  df-suc 6372  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8165  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-er 8724  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-oi 9544  df-card 9973  df-pnf 11289  df-mnf 11290  df-xr 11291  df-ltxr 11292  df-le 11293  df-sub 11485  df-neg 11486  df-nn 12257  df-n0 12517  df-z 12603  df-uz 12867  df-fz 13531  df-fzo 13674  df-seq 14014  df-hash 14341  df-0g 17449  df-gsum 17450  df-mgm 18626  df-sgrp 18705  df-mnd 18721  df-grp 18924  df-mulg 19056  df-cntz 19305  df-lmod 20832  df-linc 47823
This theorem is referenced by:  lincvalsn  47834  snlindsntorlem  47887  ldepsnlinclem1  47922  ldepsnlinclem2  47923
  Copyright terms: Public domain W3C validator