Theorem lincvalsng 48604

Description: The linear combination over a singleton. (Contributed by AV, 25-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
lincvalsn.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
lincvalsn.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
lincvalsn.r	⊢ 𝑅 = (Base‘𝑆)
lincvalsn.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
lincvalsng	⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅) → ({⟨𝑉, 𝑌⟩} ( linC ‘𝑀){𝑉}) = (𝑌 · 𝑉))

Proof of Theorem lincvalsng

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1136	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅) → 𝑀 ∈ LMod)
2		simp2 1137	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅) → 𝑉 ∈ 𝐵)
3		lincvalsn.r	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 = (Base‘𝑆)
4		lincvalsn.s	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
5	4	fveq2i 6835	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘(Scalar‘𝑀))
6	3, 5	eqtri 2757	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 = (Base‘(Scalar‘𝑀))
7	6	eleq2i 2826	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑅 ↔ 𝑌 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)))
8	7	biimpi 216	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑅 → 𝑌 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)))
9	8	3ad2ant3 1135	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅) → 𝑌 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)))
10		fvexd 6847	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅) → (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∈ V)
11		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ {⟨𝑉, 𝑌⟩} = {⟨𝑉, 𝑌⟩}
12	11	mapsnop 48532	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∧ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∈ V) → {⟨𝑉, 𝑌⟩} ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m {𝑉}))
13	2, 9, 10, 12	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅) → {⟨𝑉, 𝑌⟩} ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m {𝑉}))
14		snelpwi 5390	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ∈ (Base‘𝑀) → {𝑉} ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
15		lincvalsn.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
16	14, 15	eleq2s 2852	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ 𝐵 → {𝑉} ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
17	16	3ad2ant2 1134	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅) → {𝑉} ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
18		lincval 48597	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ {⟨𝑉, 𝑌⟩} ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m {𝑉}) ∧ {𝑉} ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → ({⟨𝑉, 𝑌⟩} ( linC ‘𝑀){𝑉}) = (𝑀 Σg (𝑣 ∈ {𝑉} ↦ (({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣))))
19	1, 13, 17, 18	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅) → ({⟨𝑉, 𝑌⟩} ( linC ‘𝑀){𝑉}) = (𝑀 Σg (𝑣 ∈ {𝑉} ↦ (({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣))))
20		lmodgrp 20816	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → 𝑀 ∈ Grp)
21	20	grpmndd 18874	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → 𝑀 ∈ Mnd)
22	21	3ad2ant1 1133	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅) → 𝑀 ∈ Mnd)
23		fvsng 7124	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅) → ({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑉) = 𝑌)
24	23	3adant1 1130	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅) → ({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑉) = 𝑌)
25	24	oveq1d 7371	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅) → (({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑉)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑉) = (𝑌( ·𝑠 ‘𝑀)𝑉))
26		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑀) = ( ·𝑠 ‘𝑀)
27	15, 4, 26, 3	lmodvscl 20827	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑅 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → (𝑌( ·𝑠 ‘𝑀)𝑉) ∈ 𝐵)
28	27	3com23 1126	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅) → (𝑌( ·𝑠 ‘𝑀)𝑉) ∈ 𝐵)
29	25, 28	eqeltrd 2834	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅) → (({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑉)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑉) ∈ 𝐵)
30		fveq2 6832	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = 𝑉 → ({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑣) = ({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑉))
31		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = 𝑉 → 𝑣 = 𝑉)
32	30, 31	oveq12d 7374	. . . 4 ⊢ (𝑣 = 𝑉 → (({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣) = (({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑉)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑉))
33	15, 32	gsumsn 19881	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑉 ∈ 𝐵 ∧ (({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑉)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑉) ∈ 𝐵) → (𝑀 Σg (𝑣 ∈ {𝑉} ↦ (({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣))) = (({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑉)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑉))
34	22, 2, 29, 33	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅) → (𝑀 Σg (𝑣 ∈ {𝑉} ↦ (({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣))) = (({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑉)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑉))
35		lincvalsn.t	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑀)
36	35	eqcomi 2743	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑀) = ·
37	36	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅) → ( ·𝑠 ‘𝑀) = · )
38		eqidd 2735	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅) → 𝑉 = 𝑉)
39	37, 24, 38	oveq123d 7377	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅) → (({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑉)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑉) = (𝑌 · 𝑉))
40	19, 34, 39	3eqtrd 2773	1 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅) → ({⟨𝑉, 𝑌⟩} ( linC ‘𝑀){𝑉}) = (𝑌 · 𝑉))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3438  𝒫 cpw 4552  {csn 4578  ⟨cop 4584   ↦ cmpt 5177  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356   ↑_m cmap 8761  Basecbs 17134  Scalarcsca 17178   ·_𝑠 cvsca 17179   Σ_g cgsu 17358  Mndcmnd 18657  LModclmod 20809   linC clinc 48592

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-map 8763  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-oi 9413  df-card 9849  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-n0 12400  df-z 12487  df-uz 12750  df-fz 13422  df-fzo 13569  df-seq 13923  df-hash 14252  df-0g 17359  df-gsum 17360  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-grp 18864  df-mulg 18996  df-cntz 19244  df-lmod 20811  df-linc 48594

This theorem is referenced by:  lincvalsn  48605  snlindsntorlem  48658  ldepsnlinclem1  48693  ldepsnlinclem2  48694