Theorem lincvalsng 48892

Description: The linear combination over a singleton. (Contributed by AV, 25-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
lincvalsn.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
lincvalsn.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
lincvalsn.r	⊢ 𝑅 = (Base‘𝑆)
lincvalsn.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
lincvalsng	⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅) → ({⟨𝑉, 𝑌⟩} ( linC ‘𝑀){𝑉}) = (𝑌 · 𝑉))

Proof of Theorem lincvalsng

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1137	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅) → 𝑀 ∈ LMod)
2		simp2 1138	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅) → 𝑉 ∈ 𝐵)
3		lincvalsn.r	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 = (Base‘𝑆)
4		lincvalsn.s	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
5	4	fveq2i 6843	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘(Scalar‘𝑀))
6	3, 5	eqtri 2759	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 = (Base‘(Scalar‘𝑀))
7	6	eleq2i 2828	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑅 ↔ 𝑌 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)))
8	7	biimpi 216	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑅 → 𝑌 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)))
9	8	3ad2ant3 1136	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅) → 𝑌 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)))
10		fvexd 6855	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅) → (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∈ V)
11		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ {⟨𝑉, 𝑌⟩} = {⟨𝑉, 𝑌⟩}
12	11	mapsnop 48820	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∧ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∈ V) → {⟨𝑉, 𝑌⟩} ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m {𝑉}))
13	2, 9, 10, 12	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅) → {⟨𝑉, 𝑌⟩} ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m {𝑉}))
14		snelpwi 5396	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ∈ (Base‘𝑀) → {𝑉} ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
15		lincvalsn.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
16	14, 15	eleq2s 2854	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ 𝐵 → {𝑉} ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
17	16	3ad2ant2 1135	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅) → {𝑉} ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
18		lincval 48885	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ {⟨𝑉, 𝑌⟩} ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m {𝑉}) ∧ {𝑉} ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → ({⟨𝑉, 𝑌⟩} ( linC ‘𝑀){𝑉}) = (𝑀 Σg (𝑣 ∈ {𝑉} ↦ (({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣))))
19	1, 13, 17, 18	syl3anc 1374	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅) → ({⟨𝑉, 𝑌⟩} ( linC ‘𝑀){𝑉}) = (𝑀 Σg (𝑣 ∈ {𝑉} ↦ (({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣))))
20		lmodgrp 20862	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → 𝑀 ∈ Grp)
21	20	grpmndd 18922	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → 𝑀 ∈ Mnd)
22	21	3ad2ant1 1134	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅) → 𝑀 ∈ Mnd)
23		fvsng 7135	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅) → ({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑉) = 𝑌)
24	23	3adant1 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅) → ({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑉) = 𝑌)
25	24	oveq1d 7382	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅) → (({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑉)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑉) = (𝑌( ·𝑠 ‘𝑀)𝑉))
26		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑀) = ( ·𝑠 ‘𝑀)
27	15, 4, 26, 3	lmodvscl 20873	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑅 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → (𝑌( ·𝑠 ‘𝑀)𝑉) ∈ 𝐵)
28	27	3com23 1127	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅) → (𝑌( ·𝑠 ‘𝑀)𝑉) ∈ 𝐵)
29	25, 28	eqeltrd 2836	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅) → (({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑉)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑉) ∈ 𝐵)
30		fveq2 6840	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = 𝑉 → ({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑣) = ({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑉))
31		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = 𝑉 → 𝑣 = 𝑉)
32	30, 31	oveq12d 7385	. . . 4 ⊢ (𝑣 = 𝑉 → (({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣) = (({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑉)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑉))
33	15, 32	gsumsn 19929	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑉 ∈ 𝐵 ∧ (({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑉)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑉) ∈ 𝐵) → (𝑀 Σg (𝑣 ∈ {𝑉} ↦ (({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣))) = (({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑉)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑉))
34	22, 2, 29, 33	syl3anc 1374	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅) → (𝑀 Σg (𝑣 ∈ {𝑉} ↦ (({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣))) = (({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑉)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑉))
35		lincvalsn.t	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑀)
36	35	eqcomi 2745	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑀) = ·
37	36	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅) → ( ·𝑠 ‘𝑀) = · )
38		eqidd 2737	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅) → 𝑉 = 𝑉)
39	37, 24, 38	oveq123d 7388	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅) → (({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑉)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑉) = (𝑌 · 𝑉))
40	19, 34, 39	3eqtrd 2775	1 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅) → ({⟨𝑉, 𝑌⟩} ( linC ‘𝑀){𝑉}) = (𝑌 · 𝑉))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3429  𝒫 cpw 4541  {csn 4567  ⟨cop 4573   ↦ cmpt 5166  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367   ↑_m cmap 8773  Basecbs 17179  Scalarcsca 17223   ·_𝑠 cvsca 17224   Σ_g cgsu 17403  Mndcmnd 18702  LModclmod 20855   linC clinc 48880

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-supp 8111  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-oi 9425  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-seq 13964  df-hash 14293  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-grp 18912  df-mulg 19044  df-cntz 19292  df-lmod 20857  df-linc 48882

This theorem is referenced by:  lincvalsn  48893  snlindsntorlem  48946  ldepsnlinclem1  48981  ldepsnlinclem2  48982