Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lincvalsng Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lincvalsng 44472
Description: The linear combination over a singleton. (Contributed by AV, 25-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lincvalsn.b 𝐵 = (Base‘𝑀)
lincvalsn.s 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
lincvalsn.r 𝑅 = (Base‘𝑆)
lincvalsn.t · = ( ·𝑠𝑀)
Assertion
Ref Expression
lincvalsng ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝐵𝑌𝑅) → ({⟨𝑉, 𝑌⟩} ( linC ‘𝑀){𝑉}) = (𝑌 · 𝑉))

Proof of Theorem lincvalsng
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1132 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝐵𝑌𝑅) → 𝑀 ∈ LMod)
2 simp2 1133 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝐵𝑌𝑅) → 𝑉𝐵)
3 lincvalsn.r . . . . . . . 8 𝑅 = (Base‘𝑆)
4 lincvalsn.s . . . . . . . . 9 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
54fveq2i 6672 . . . . . . . 8 (Base‘𝑆) = (Base‘(Scalar‘𝑀))
63, 5eqtri 2844 . . . . . . 7 𝑅 = (Base‘(Scalar‘𝑀))
76eleq2i 2904 . . . . . 6 (𝑌𝑅𝑌 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)))
87biimpi 218 . . . . 5 (𝑌𝑅𝑌 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)))
983ad2ant3 1131 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝐵𝑌𝑅) → 𝑌 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)))
10 fvexd 6684 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝐵𝑌𝑅) → (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∈ V)
11 eqid 2821 . . . . 5 {⟨𝑉, 𝑌⟩} = {⟨𝑉, 𝑌⟩}
1211mapsnop 44394 . . . 4 ((𝑉𝐵𝑌 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∧ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∈ V) → {⟨𝑉, 𝑌⟩} ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m {𝑉}))
132, 9, 10, 12syl3anc 1367 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝐵𝑌𝑅) → {⟨𝑉, 𝑌⟩} ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m {𝑉}))
14 snelpwi 5336 . . . . 5 (𝑉 ∈ (Base‘𝑀) → {𝑉} ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
15 lincvalsn.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑀)
1614, 15eleq2s 2931 . . . 4 (𝑉𝐵 → {𝑉} ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
17163ad2ant2 1130 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝐵𝑌𝑅) → {𝑉} ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
18 lincval 44465 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ {⟨𝑉, 𝑌⟩} ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m {𝑉}) ∧ {𝑉} ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → ({⟨𝑉, 𝑌⟩} ( linC ‘𝑀){𝑉}) = (𝑀 Σg (𝑣 ∈ {𝑉} ↦ (({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣))))
191, 13, 17, 18syl3anc 1367 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝐵𝑌𝑅) → ({⟨𝑉, 𝑌⟩} ( linC ‘𝑀){𝑉}) = (𝑀 Σg (𝑣 ∈ {𝑉} ↦ (({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣))))
20 lmodgrp 19640 . . . . 5 (𝑀 ∈ LMod → 𝑀 ∈ Grp)
21 grpmnd 18109 . . . . 5 (𝑀 ∈ Grp → 𝑀 ∈ Mnd)
2220, 21syl 17 . . . 4 (𝑀 ∈ LMod → 𝑀 ∈ Mnd)
23223ad2ant1 1129 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝐵𝑌𝑅) → 𝑀 ∈ Mnd)
24 fvsng 6941 . . . . . 6 ((𝑉𝐵𝑌𝑅) → ({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑉) = 𝑌)
25243adant1 1126 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝐵𝑌𝑅) → ({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑉) = 𝑌)
2625oveq1d 7170 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝐵𝑌𝑅) → (({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑉)( ·𝑠𝑀)𝑉) = (𝑌( ·𝑠𝑀)𝑉))
27 eqid 2821 . . . . . 6 ( ·𝑠𝑀) = ( ·𝑠𝑀)
2815, 4, 27, 3lmodvscl 19650 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑅𝑉𝐵) → (𝑌( ·𝑠𝑀)𝑉) ∈ 𝐵)
29283com23 1122 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝐵𝑌𝑅) → (𝑌( ·𝑠𝑀)𝑉) ∈ 𝐵)
3026, 29eqeltrd 2913 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝐵𝑌𝑅) → (({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑉)( ·𝑠𝑀)𝑉) ∈ 𝐵)
31 fveq2 6669 . . . . 5 (𝑣 = 𝑉 → ({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑣) = ({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑉))
32 id 22 . . . . 5 (𝑣 = 𝑉𝑣 = 𝑉)
3331, 32oveq12d 7173 . . . 4 (𝑣 = 𝑉 → (({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣) = (({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑉)( ·𝑠𝑀)𝑉))
3415, 33gsumsn 19073 . . 3 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑉𝐵 ∧ (({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑉)( ·𝑠𝑀)𝑉) ∈ 𝐵) → (𝑀 Σg (𝑣 ∈ {𝑉} ↦ (({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣))) = (({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑉)( ·𝑠𝑀)𝑉))
3523, 2, 30, 34syl3anc 1367 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝐵𝑌𝑅) → (𝑀 Σg (𝑣 ∈ {𝑉} ↦ (({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣))) = (({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑉)( ·𝑠𝑀)𝑉))
36 lincvalsn.t . . . . 5 · = ( ·𝑠𝑀)
3736eqcomi 2830 . . . 4 ( ·𝑠𝑀) = ·
3837a1i 11 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝐵𝑌𝑅) → ( ·𝑠𝑀) = · )
39 eqidd 2822 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝐵𝑌𝑅) → 𝑉 = 𝑉)
4038, 25, 39oveq123d 7176 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝐵𝑌𝑅) → (({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑉)( ·𝑠𝑀)𝑉) = (𝑌 · 𝑉))
4119, 35, 403eqtrd 2860 1 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝐵𝑌𝑅) → ({⟨𝑉, 𝑌⟩} ( linC ‘𝑀){𝑉}) = (𝑌 · 𝑉))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1083   = wceq 1533  wcel 2110  Vcvv 3494  𝒫 cpw 4538  {csn 4566  cop 4572  cmpt 5145  cfv 6354  (class class class)co 7155  m cmap 8405  Basecbs 16482  Scalarcsca 16567   ·𝑠 cvsca 16568   Σg cgsu 16713  Mndcmnd 17910  Grpcgrp 18102  LModclmod 19633   linC clinc 44460
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-int 4876  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-isom 6363  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-supp 7830  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-1o 8101  df-oadd 8105  df-er 8288  df-map 8407  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-fin 8512  df-oi 8973  df-card 9367  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-nn 11638  df-n0 11897  df-z 11981  df-uz 12243  df-fz 12892  df-fzo 13033  df-seq 13369  df-hash 13690  df-0g 16714  df-gsum 16715  df-mgm 17851  df-sgrp 17900  df-mnd 17911  df-grp 18105  df-mulg 18224  df-cntz 18446  df-lmod 19635  df-linc 44462
This theorem is referenced by:  lincvalsn  44473  snlindsntorlem  44526  ldepsnlinclem1  44561  ldepsnlinclem2  44562
  Copyright terms: Public domain W3C validator