Theorem lincvalsng 48907

Description: The linear combination over a singleton. (Contributed by AV, 25-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
lincvalsn.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
lincvalsn.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
lincvalsn.r	⊢ 𝑅 = (Base‘𝑆)
lincvalsn.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
lincvalsng	⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅) → ({⟨𝑉, 𝑌⟩} ( linC ‘𝑀){𝑉}) = (𝑌 · 𝑉))

Proof of Theorem lincvalsng

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1137	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅) → 𝑀 ∈ LMod)
2		simp2 1138	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅) → 𝑉 ∈ 𝐵)
3		lincvalsn.r	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 = (Base‘𝑆)
4		lincvalsn.s	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
5	4	fveq2i 6838	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘(Scalar‘𝑀))
6	3, 5	eqtri 2760	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 = (Base‘(Scalar‘𝑀))
7	6	eleq2i 2829	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑅 ↔ 𝑌 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)))
8	7	biimpi 216	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑅 → 𝑌 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)))
9	8	3ad2ant3 1136	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅) → 𝑌 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)))
10		fvexd 6850	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅) → (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∈ V)
11		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ {⟨𝑉, 𝑌⟩} = {⟨𝑉, 𝑌⟩}
12	11	mapsnop 48835	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∧ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∈ V) → {⟨𝑉, 𝑌⟩} ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m {𝑉}))
13	2, 9, 10, 12	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅) → {⟨𝑉, 𝑌⟩} ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m {𝑉}))
14		snelpwi 5392	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ∈ (Base‘𝑀) → {𝑉} ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
15		lincvalsn.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
16	14, 15	eleq2s 2855	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ 𝐵 → {𝑉} ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
17	16	3ad2ant2 1135	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅) → {𝑉} ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
18		lincval 48900	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ {⟨𝑉, 𝑌⟩} ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m {𝑉}) ∧ {𝑉} ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → ({⟨𝑉, 𝑌⟩} ( linC ‘𝑀){𝑉}) = (𝑀 Σg (𝑣 ∈ {𝑉} ↦ (({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣))))
19	1, 13, 17, 18	syl3anc 1374	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅) → ({⟨𝑉, 𝑌⟩} ( linC ‘𝑀){𝑉}) = (𝑀 Σg (𝑣 ∈ {𝑉} ↦ (({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣))))
20		lmodgrp 20856	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → 𝑀 ∈ Grp)
21	20	grpmndd 18916	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → 𝑀 ∈ Mnd)
22	21	3ad2ant1 1134	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅) → 𝑀 ∈ Mnd)
23		fvsng 7129	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅) → ({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑉) = 𝑌)
24	23	3adant1 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅) → ({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑉) = 𝑌)
25	24	oveq1d 7376	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅) → (({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑉)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑉) = (𝑌( ·𝑠 ‘𝑀)𝑉))
26		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑀) = ( ·𝑠 ‘𝑀)
27	15, 4, 26, 3	lmodvscl 20867	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑅 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → (𝑌( ·𝑠 ‘𝑀)𝑉) ∈ 𝐵)
28	27	3com23 1127	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅) → (𝑌( ·𝑠 ‘𝑀)𝑉) ∈ 𝐵)
29	25, 28	eqeltrd 2837	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅) → (({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑉)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑉) ∈ 𝐵)
30		fveq2 6835	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = 𝑉 → ({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑣) = ({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑉))
31		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = 𝑉 → 𝑣 = 𝑉)
32	30, 31	oveq12d 7379	. . . 4 ⊢ (𝑣 = 𝑉 → (({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣) = (({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑉)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑉))
33	15, 32	gsumsn 19923	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑉 ∈ 𝐵 ∧ (({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑉)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑉) ∈ 𝐵) → (𝑀 Σg (𝑣 ∈ {𝑉} ↦ (({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣))) = (({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑉)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑉))
34	22, 2, 29, 33	syl3anc 1374	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅) → (𝑀 Σg (𝑣 ∈ {𝑉} ↦ (({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣))) = (({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑉)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑉))
35		lincvalsn.t	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑀)
36	35	eqcomi 2746	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑀) = ·
37	36	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅) → ( ·𝑠 ‘𝑀) = · )
38		eqidd 2738	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅) → 𝑉 = 𝑉)
39	37, 24, 38	oveq123d 7382	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅) → (({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑉)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑉) = (𝑌 · 𝑉))
40	19, 34, 39	3eqtrd 2776	1 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅) → ({⟨𝑉, 𝑌⟩} ( linC ‘𝑀){𝑉}) = (𝑌 · 𝑉))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430  𝒫 cpw 4542  {csn 4568  ⟨cop 4574   ↦ cmpt 5167  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361   ↑_m cmap 8767  Basecbs 17173  Scalarcsca 17217   ·_𝑠 cvsca 17218   Σ_g cgsu 17397  Mndcmnd 18696  LModclmod 20849   linC clinc 48895

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-supp 8105  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-oi 9419  df-card 9857  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-nn 12169  df-n0 12432  df-z 12519  df-uz 12783  df-fz 13456  df-fzo 13603  df-seq 13958  df-hash 14287  df-0g 17398  df-gsum 17399  df-mgm 18602  df-sgrp 18681  df-mnd 18697  df-grp 18906  df-mulg 19038  df-cntz 19286  df-lmod 20851  df-linc 48897

This theorem is referenced by:  lincvalsn  48908  snlindsntorlem  48961  ldepsnlinclem1  48996  ldepsnlinclem2  48997