Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcosn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcosn0 46591
Description: Properties of a linear combination over a singleton mapping to 0. (Contributed by AV, 12-Apr-2019.) (Revised by AV, 28-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lincval1.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
lincval1.s 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘€)
lincval1.r 𝑅 = (Baseβ€˜π‘†)
lincval1.f 𝐹 = {βŸ¨π‘‰, (0gβ€˜π‘†)⟩}
Assertion
Ref Expression
lcosn0 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐡) β†’ (𝐹 ∈ (𝑅 ↑m {𝑉}) ∧ 𝐹 finSupp (0gβ€˜π‘†) ∧ (𝐹( linC β€˜π‘€){𝑉}) = (0gβ€˜π‘€)))

Proof of Theorem lcosn0
StepHypRef Expression
1 simpr 486 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐡) β†’ 𝑉 ∈ 𝐡)
2 lincval1.s . . . . 5 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘€)
3 lincval1.r . . . . 5 𝑅 = (Baseβ€˜π‘†)
4 eqid 2733 . . . . 5 (0gβ€˜π‘†) = (0gβ€˜π‘†)
52, 3, 4lmod0cl 20392 . . . 4 (𝑀 ∈ LMod β†’ (0gβ€˜π‘†) ∈ 𝑅)
65adantr 482 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐡) β†’ (0gβ€˜π‘†) ∈ 𝑅)
73fvexi 6860 . . . 4 𝑅 ∈ V
87a1i 11 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐡) β†’ 𝑅 ∈ V)
9 lincval1.f . . . 4 𝐹 = {βŸ¨π‘‰, (0gβ€˜π‘†)⟩}
109mapsnop 46510 . . 3 ((𝑉 ∈ 𝐡 ∧ (0gβ€˜π‘†) ∈ 𝑅 ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ 𝐹 ∈ (𝑅 ↑m {𝑉}))
111, 6, 8, 10syl3anc 1372 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐡) β†’ 𝐹 ∈ (𝑅 ↑m {𝑉}))
12 elmapi 8793 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑅 ↑m {𝑉}) β†’ 𝐹:{𝑉}βŸΆπ‘…)
1311, 12syl 17 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐡) β†’ 𝐹:{𝑉}βŸΆπ‘…)
14 snfi 8994 . . . 4 {𝑉} ∈ Fin
1514a1i 11 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐡) β†’ {𝑉} ∈ Fin)
16 fvex 6859 . . . 4 (0gβ€˜π‘†) ∈ V
1716a1i 11 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐡) β†’ (0gβ€˜π‘†) ∈ V)
1813, 15, 17fdmfifsupp 9323 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐡) β†’ 𝐹 finSupp (0gβ€˜π‘†))
19 lincval1.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
2019, 2, 3, 9lincval1 46590 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐡) β†’ (𝐹( linC β€˜π‘€){𝑉}) = (0gβ€˜π‘€))
2111, 18, 203jca 1129 1 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐡) β†’ (𝐹 ∈ (𝑅 ↑m {𝑉}) ∧ 𝐹 finSupp (0gβ€˜π‘†) ∧ (𝐹( linC β€˜π‘€){𝑉}) = (0gβ€˜π‘€)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3447  {csn 4590  βŸ¨cop 4596   class class class wbr 5109  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   ↑m cmap 8771  Fincfn 8889   finSupp cfsupp 9311  Basecbs 17091  Scalarcsca 17144  0gc0g 17329  LModclmod 20365   linC clinc 46575
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-supp 8097  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fsupp 9312  df-oi 9454  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-seq 13916  df-hash 14240  df-0g 17331  df-gsum 17332  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-grp 18759  df-mulg 18881  df-cntz 19105  df-ring 19974  df-lmod 20367  df-linc 46577
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator