Theorem lcosn0 49668

Description: Properties of a linear combination over a singleton mapping to 0. (Contributed by AV, 12-Apr-2019.) (Revised by AV, 28-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
lincval1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
lincval1.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
lincval1.r	⊢ 𝑅 = (Base‘𝑆)
lincval1.f	⊢ 𝐹 = {⟨𝑉, (0g‘𝑆)⟩}

Assertion

Ref	Expression
lcosn0	⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → (𝐹 ∈ (𝑅 ↑m {𝑉}) ∧ 𝐹 finSupp (0g‘𝑆) ∧ (𝐹( linC ‘𝑀){𝑉}) = (0g‘𝑀)))

Proof of Theorem lcosn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → 𝑉 ∈ 𝐵)
2		lincval1.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
3		lincval1.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (Base‘𝑆)
4		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
5	2, 3, 4	lmod0cl 21172	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → (0g‘𝑆) ∈ 𝑅)
6	5	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → (0g‘𝑆) ∈ 𝑅)
7	3	fvexi 6904	. . . 4 ⊢ 𝑅 ∈ V
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ V)
9		lincval1.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = {⟨𝑉, (0g‘𝑆)⟩}
10	9	mapsnop 49592	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝐵 ∧ (0g‘𝑆) ∈ 𝑅 ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝐹 ∈ (𝑅 ↑m {𝑉}))
11	1, 6, 8, 10	syl3anc 1398	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → 𝐹 ∈ (𝑅 ↑m {𝑉}))
12		elmapi 8877	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 ↑m {𝑉}) → 𝐹:{𝑉}⟶𝑅)
13	11, 12	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → 𝐹:{𝑉}⟶𝑅)
14		snfi 9079	. . . 4 ⊢ {𝑉} ∈ Fin
15	14	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → {𝑉} ∈ Fin)
16		fvex 6903	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑆) ∈ V
17	16	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → (0g‘𝑆) ∈ V)
18	13, 15, 17	fdmfifsupp 9374	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → 𝐹 finSupp (0g‘𝑆))
19		lincval1.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
20	19, 2, 3, 9	lincval1 49667	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → (𝐹( linC ‘𝑀){𝑉}) = (0g‘𝑀))
21	11, 18, 20	3jca 1146	1 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → (𝐹 ∈ (𝑅 ↑m {𝑉}) ∧ 𝐹 finSupp (0g‘𝑆) ∧ (𝐹( linC ‘𝑀){𝑉}) = (0g‘𝑀)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450  {csn 4584  ⟨cop 4834   class class class wbr 5102  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424   ↑_m cmap 8855  Fincfn 8981   finSupp cfsupp 9361  Basecbs 17396  Scalarcsca 17440  0_gc0g 17619  LModclmod 21144   linC clinc 49652

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-supp 8185  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8387  df-rdg 8426  df-1o 8484  df-er 8725  df-map 8857  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-fin 8985  df-fsupp 9362  df-oi 9511  df-card 10027  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-nn 12343  df-n0 12614  df-z 12701  df-uz 12973  df-fz 13647  df-fzo 13796  df-seq 14152  df-hash 14482  df-0g 17621  df-gsum 17622  df-mgm 18825  df-sgrp 18917  df-mnd 18933  df-grp 19156  df-mulg 19287  df-cntz 19540  df-ring 20470  df-lmod 21146  df-linc 49654

This theorem is used by: (None)