Theorem lcosn0 43782

Description: Properties of a linear combination over a singleton mapping to 0. (Contributed by AV, 12-Apr-2019.) (Revised by AV, 28-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
lincval1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
lincval1.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
lincval1.r	⊢ 𝑅 = (Base‘𝑆)
lincval1.f	⊢ 𝐹 = {⟨𝑉, (0g‘𝑆)⟩}

Assertion

Ref	Expression
lcosn0	⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → (𝐹 ∈ (𝑅 ↑𝑚 {𝑉}) ∧ 𝐹 finSupp (0g‘𝑆) ∧ (𝐹( linC ‘𝑀){𝑉}) = (0g‘𝑀)))

Proof of Theorem lcosn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 477	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → 𝑉 ∈ 𝐵)
2		lincval1.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
3		lincval1.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (Base‘𝑆)
4		eqid 2772	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
5	2, 3, 4	lmod0cl 19372	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → (0g‘𝑆) ∈ 𝑅)
6	5	adantr 473	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → (0g‘𝑆) ∈ 𝑅)
7	3	fvexi 6507	. . . 4 ⊢ 𝑅 ∈ V
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ V)
9		lincval1.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = {⟨𝑉, (0g‘𝑆)⟩}
10	9	mapsnop 43697	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝐵 ∧ (0g‘𝑆) ∈ 𝑅 ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝐹 ∈ (𝑅 ↑𝑚 {𝑉}))
11	1, 6, 8, 10	syl3anc 1351	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → 𝐹 ∈ (𝑅 ↑𝑚 {𝑉}))
12		elmapi 8220	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 ↑𝑚 {𝑉}) → 𝐹:{𝑉}⟶𝑅)
13	11, 12	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → 𝐹:{𝑉}⟶𝑅)
14		snfi 8383	. . . 4 ⊢ {𝑉} ∈ Fin
15	14	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → {𝑉} ∈ Fin)
16		fvex 6506	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑆) ∈ V
17	16	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → (0g‘𝑆) ∈ V)
18	13, 15, 17	fdmfifsupp 8630	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → 𝐹 finSupp (0g‘𝑆))
19		lincval1.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
20	19, 2, 3, 9	lincval1 43781	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → (𝐹( linC ‘𝑀){𝑉}) = (0g‘𝑀))
21	11, 18, 20	3jca 1108	1 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → (𝐹 ∈ (𝑅 ↑𝑚 {𝑉}) ∧ 𝐹 finSupp (0g‘𝑆) ∧ (𝐹( linC ‘𝑀){𝑉}) = (0g‘𝑀)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 387   ∧ w3a 1068   = wceq 1507   ∈ wcel 2048  Vcvv 3409  {csn 4435  ⟨cop 4441   class class class wbr 4923  ⟶wf 6178  ‘cfv 6182  (class class class)co 6970   ↑_𝑚 cmap 8198  Fincfn 8298   finSupp cfsupp 8620  Basecbs 16329  Scalarcsca 16414  0_gc0g 16559  LModclmod 19346   linC clinc 43766

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2745  ax-rep 5043  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-cnex 10383  ax-resscn 10384  ax-1cn 10385  ax-icn 10386  ax-addcl 10387  ax-addrcl 10388  ax-mulcl 10389  ax-mulrcl 10390  ax-mulcom 10391  ax-addass 10392  ax-mulass 10393  ax-distr 10394  ax-i2m1 10395  ax-1ne0 10396  ax-1rid 10397  ax-rnegex 10398  ax-rrecex 10399  ax-cnre 10400  ax-pre-lttri 10401  ax-pre-lttrn 10402  ax-pre-ltadd 10403  ax-pre-mulgt0 10404

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2754  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3678  df-csb 3783  df-dif 3828  df-un 3830  df-in 3832  df-ss 3839  df-pss 3841  df-nul 4174  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-int 4744  df-iun 4788  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5305  df-eprel 5310  df-po 5319  df-so 5320  df-fr 5359  df-se 5360  df-we 5361  df-xp 5406  df-rel 5407  df-cnv 5408  df-co 5409  df-dm 5410  df-rn 5411  df-res 5412  df-ima 5413  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-isom 6191  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-om 7391  df-1st 7494  df-2nd 7495  df-supp 7627  df-wrecs 7743  df-recs 7805  df-rdg 7843  df-1o 7897  df-oadd 7901  df-er 8081  df-map 8200  df-en 8299  df-dom 8300  df-sdom 8301  df-fin 8302  df-fsupp 8621  df-oi 8761  df-card 9154  df-pnf 10468  df-mnf 10469  df-xr 10470  df-ltxr 10471  df-le 10472  df-sub 10664  df-neg 10665  df-nn 11432  df-n0 11701  df-z 11787  df-uz 12052  df-fz 12702  df-fzo 12843  df-seq 13178  df-hash 13499  df-0g 16561  df-gsum 16562  df-mgm 17700  df-sgrp 17742  df-mnd 17753  df-grp 17884  df-mulg 18002  df-cntz 18208  df-ring 19012  df-lmod 19348  df-linc 43768

This theorem is referenced by: (None)