Theorem lcosn0 48425

Description: Properties of a linear combination over a singleton mapping to 0. (Contributed by AV, 12-Apr-2019.) (Revised by AV, 28-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
lincval1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
lincval1.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
lincval1.r	⊢ 𝑅 = (Base‘𝑆)
lincval1.f	⊢ 𝐹 = {⟨𝑉, (0g‘𝑆)⟩}

Assertion

Ref	Expression
lcosn0	⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → (𝐹 ∈ (𝑅 ↑m {𝑉}) ∧ 𝐹 finSupp (0g‘𝑆) ∧ (𝐹( linC ‘𝑀){𝑉}) = (0g‘𝑀)))

Proof of Theorem lcosn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → 𝑉 ∈ 𝐵)
2		lincval1.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
3		lincval1.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (Base‘𝑆)
4		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
5	2, 3, 4	lmod0cl 20810	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → (0g‘𝑆) ∈ 𝑅)
6	5	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → (0g‘𝑆) ∈ 𝑅)
7	3	fvexi 6840	. . . 4 ⊢ 𝑅 ∈ V
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ V)
9		lincval1.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = {⟨𝑉, (0g‘𝑆)⟩}
10	9	mapsnop 48348	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝐵 ∧ (0g‘𝑆) ∈ 𝑅 ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝐹 ∈ (𝑅 ↑m {𝑉}))
11	1, 6, 8, 10	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → 𝐹 ∈ (𝑅 ↑m {𝑉}))
12		elmapi 8783	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 ↑m {𝑉}) → 𝐹:{𝑉}⟶𝑅)
13	11, 12	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → 𝐹:{𝑉}⟶𝑅)
14		snfi 8975	. . . 4 ⊢ {𝑉} ∈ Fin
15	14	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → {𝑉} ∈ Fin)
16		fvex 6839	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑆) ∈ V
17	16	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → (0g‘𝑆) ∈ V)
18	13, 15, 17	fdmfifsupp 9284	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → 𝐹 finSupp (0g‘𝑆))
19		lincval1.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
20	19, 2, 3, 9	lincval1 48424	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → (𝐹( linC ‘𝑀){𝑉}) = (0g‘𝑀))
21	11, 18, 20	3jca 1128	1 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → (𝐹 ∈ (𝑅 ↑m {𝑉}) ∧ 𝐹 finSupp (0g‘𝑆) ∧ (𝐹( linC ‘𝑀){𝑉}) = (0g‘𝑀)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3438  {csn 4579  ⟨cop 4585   class class class wbr 5095  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353   ↑_m cmap 8760  Fincfn 8879   finSupp cfsupp 9270  Basecbs 17139  Scalarcsca 17183  0_gc0g 17362  LModclmod 20782   linC clinc 48409

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8632  df-map 8762  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fsupp 9271  df-oi 9421  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12148  df-n0 12404  df-z 12491  df-uz 12755  df-fz 13430  df-fzo 13577  df-seq 13928  df-hash 14257  df-0g 17364  df-gsum 17365  df-mgm 18533  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-grp 18834  df-mulg 18966  df-cntz 19215  df-ring 20139  df-lmod 20784  df-linc 48411

This theorem is referenced by: (None)