Theorem lcosn0 49257

Description: Properties of a linear combination over a singleton mapping to 0. (Contributed by AV, 12-Apr-2019.) (Revised by AV, 28-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
lincval1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
lincval1.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
lincval1.r	⊢ 𝑅 = (Base‘𝑆)
lincval1.f	⊢ 𝐹 = {⟨𝑉, (0g‘𝑆)⟩}

Assertion

Ref	Expression
lcosn0	⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → (𝐹 ∈ (𝑅 ↑m {𝑉}) ∧ 𝐹 finSupp (0g‘𝑆) ∧ (𝐹( linC ‘𝑀){𝑉}) = (0g‘𝑀)))

Proof of Theorem lcosn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → 𝑉 ∈ 𝐵)
2		lincval1.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
3		lincval1.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (Base‘𝑆)
4		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
5	2, 3, 4	lmod0cl 21059	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → (0g‘𝑆) ∈ 𝑅)
6	5	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → (0g‘𝑆) ∈ 𝑅)
7	3	fvexi 6899	. . . 4 ⊢ 𝑅 ∈ V
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ V)
9		lincval1.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = {⟨𝑉, (0g‘𝑆)⟩}
10	9	mapsnop 49181	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝐵 ∧ (0g‘𝑆) ∈ 𝑅 ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝐹 ∈ (𝑅 ↑m {𝑉}))
11	1, 6, 8, 10	syl3anc 1398	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → 𝐹 ∈ (𝑅 ↑m {𝑉}))
12		elmapi 8852	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 ↑m {𝑉}) → 𝐹:{𝑉}⟶𝑅)
13	11, 12	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → 𝐹:{𝑉}⟶𝑅)
14		snfi 9047	. . . 4 ⊢ {𝑉} ∈ Fin
15	14	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → {𝑉} ∈ Fin)
16		fvex 6898	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑆) ∈ V
17	16	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → (0g‘𝑆) ∈ V)
18	13, 15, 17	fdmfifsupp 9342	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → 𝐹 finSupp (0g‘𝑆))
19		lincval1.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
20	19, 2, 3, 9	lincval1 49256	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → (𝐹( linC ‘𝑀){𝑉}) = (0g‘𝑀))
21	11, 18, 20	3jca 1146	1 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → (𝐹 ∈ (𝑅 ↑m {𝑉}) ∧ 𝐹 finSupp (0g‘𝑆) ∧ (𝐹( linC ‘𝑀){𝑉}) = (0g‘𝑀)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  Vcvv 3457  {csn 4591  ⟨cop 4597   class class class wbr 5111  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419   ↑_m cmap 8830  Fincfn 8949   finSupp cfsupp 9328  Basecbs 17291  Scalarcsca 17335  0_gc0g 17514  LModclmod 21031   linC clinc 49241

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-supp 8163  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-map 8832  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-fsupp 9329  df-oi 9479  df-card 9941  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-nn 12249  df-n0 12520  df-z 12607  df-uz 12879  df-fz 13552  df-fzo 13700  df-seq 14056  df-hash 14385  df-0g 17516  df-gsum 17517  df-mgm 18720  df-sgrp 18809  df-mnd 18825  df-grp 19047  df-mulg 19178  df-cntz 19431  df-ring 20361  df-lmod 21033  df-linc 49243

This theorem is used by: (None)