Theorem lcosn0 48911

Description: Properties of a linear combination over a singleton mapping to 0. (Contributed by AV, 12-Apr-2019.) (Revised by AV, 28-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
lincval1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
lincval1.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
lincval1.r	⊢ 𝑅 = (Base‘𝑆)
lincval1.f	⊢ 𝐹 = {⟨𝑉, (0g‘𝑆)⟩}

Assertion

Ref	Expression
lcosn0	⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → (𝐹 ∈ (𝑅 ↑m {𝑉}) ∧ 𝐹 finSupp (0g‘𝑆) ∧ (𝐹( linC ‘𝑀){𝑉}) = (0g‘𝑀)))

Proof of Theorem lcosn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → 𝑉 ∈ 𝐵)
2		lincval1.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
3		lincval1.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (Base‘𝑆)
4		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
5	2, 3, 4	lmod0cl 20877	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → (0g‘𝑆) ∈ 𝑅)
6	5	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → (0g‘𝑆) ∈ 𝑅)
7	3	fvexi 6849	. . . 4 ⊢ 𝑅 ∈ V
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ V)
9		lincval1.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = {⟨𝑉, (0g‘𝑆)⟩}
10	9	mapsnop 48835	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝐵 ∧ (0g‘𝑆) ∈ 𝑅 ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝐹 ∈ (𝑅 ↑m {𝑉}))
11	1, 6, 8, 10	syl3anc 1374	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → 𝐹 ∈ (𝑅 ↑m {𝑉}))
12		elmapi 8790	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 ↑m {𝑉}) → 𝐹:{𝑉}⟶𝑅)
13	11, 12	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → 𝐹:{𝑉}⟶𝑅)
14		snfi 8984	. . . 4 ⊢ {𝑉} ∈ Fin
15	14	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → {𝑉} ∈ Fin)
16		fvex 6848	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑆) ∈ V
17	16	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → (0g‘𝑆) ∈ V)
18	13, 15, 17	fdmfifsupp 9282	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → 𝐹 finSupp (0g‘𝑆))
19		lincval1.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
20	19, 2, 3, 9	lincval1 48910	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → (𝐹( linC ‘𝑀){𝑉}) = (0g‘𝑀))
21	11, 18, 20	3jca 1129	1 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → (𝐹 ∈ (𝑅 ↑m {𝑉}) ∧ 𝐹 finSupp (0g‘𝑆) ∧ (𝐹( linC ‘𝑀){𝑉}) = (0g‘𝑀)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430  {csn 4568  ⟨cop 4574   class class class wbr 5086  ⟶wf 6489  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361   ↑_m cmap 8767  Fincfn 8887   finSupp cfsupp 9268  Basecbs 17173  Scalarcsca 17217  0_gc0g 17396  LModclmod 20849   linC clinc 48895

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-supp 8105  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-oi 9419  df-card 9857  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-nn 12169  df-n0 12432  df-z 12519  df-uz 12783  df-fz 13456  df-fzo 13603  df-seq 13958  df-hash 14287  df-0g 17398  df-gsum 17399  df-mgm 18602  df-sgrp 18681  df-mnd 18697  df-grp 18906  df-mulg 19038  df-cntz 19286  df-ring 20210  df-lmod 20851  df-linc 48897

This theorem is referenced by: (None)