Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcosn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcosn0 47350
Description: Properties of a linear combination over a singleton mapping to 0. (Contributed by AV, 12-Apr-2019.) (Revised by AV, 28-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lincval1.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
lincval1.s 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘€)
lincval1.r 𝑅 = (Baseβ€˜π‘†)
lincval1.f 𝐹 = {βŸ¨π‘‰, (0gβ€˜π‘†)⟩}
Assertion
Ref Expression
lcosn0 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐡) β†’ (𝐹 ∈ (𝑅 ↑m {𝑉}) ∧ 𝐹 finSupp (0gβ€˜π‘†) ∧ (𝐹( linC β€˜π‘€){𝑉}) = (0gβ€˜π‘€)))

Proof of Theorem lcosn0
StepHypRef Expression
1 simpr 484 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐡) β†’ 𝑉 ∈ 𝐡)
2 lincval1.s . . . . 5 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘€)
3 lincval1.r . . . . 5 𝑅 = (Baseβ€˜π‘†)
4 eqid 2724 . . . . 5 (0gβ€˜π‘†) = (0gβ€˜π‘†)
52, 3, 4lmod0cl 20730 . . . 4 (𝑀 ∈ LMod β†’ (0gβ€˜π‘†) ∈ 𝑅)
65adantr 480 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐡) β†’ (0gβ€˜π‘†) ∈ 𝑅)
73fvexi 6896 . . . 4 𝑅 ∈ V
87a1i 11 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐡) β†’ 𝑅 ∈ V)
9 lincval1.f . . . 4 𝐹 = {βŸ¨π‘‰, (0gβ€˜π‘†)⟩}
109mapsnop 47270 . . 3 ((𝑉 ∈ 𝐡 ∧ (0gβ€˜π‘†) ∈ 𝑅 ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ 𝐹 ∈ (𝑅 ↑m {𝑉}))
111, 6, 8, 10syl3anc 1368 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐡) β†’ 𝐹 ∈ (𝑅 ↑m {𝑉}))
12 elmapi 8840 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑅 ↑m {𝑉}) β†’ 𝐹:{𝑉}βŸΆπ‘…)
1311, 12syl 17 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐡) β†’ 𝐹:{𝑉}βŸΆπ‘…)
14 snfi 9041 . . . 4 {𝑉} ∈ Fin
1514a1i 11 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐡) β†’ {𝑉} ∈ Fin)
16 fvex 6895 . . . 4 (0gβ€˜π‘†) ∈ V
1716a1i 11 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐡) β†’ (0gβ€˜π‘†) ∈ V)
1813, 15, 17fdmfifsupp 9370 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐡) β†’ 𝐹 finSupp (0gβ€˜π‘†))
19 lincval1.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
2019, 2, 3, 9lincval1 47349 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐡) β†’ (𝐹( linC β€˜π‘€){𝑉}) = (0gβ€˜π‘€))
2111, 18, 203jca 1125 1 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐡) β†’ (𝐹 ∈ (𝑅 ↑m {𝑉}) ∧ 𝐹 finSupp (0gβ€˜π‘†) ∧ (𝐹( linC β€˜π‘€){𝑉}) = (0gβ€˜π‘€)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3466  {csn 4621  βŸ¨cop 4627   class class class wbr 5139  βŸΆwf 6530  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402   ↑m cmap 8817  Fincfn 8936   finSupp cfsupp 9358  Basecbs 17149  Scalarcsca 17205  0gc0g 17390  LModclmod 20702   linC clinc 47334
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-se 5623  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-supp 8142  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-oi 9502  df-card 9931  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-fz 13486  df-fzo 13629  df-seq 13968  df-hash 14292  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-grp 18862  df-mulg 18992  df-cntz 19229  df-ring 20136  df-lmod 20704  df-linc 47336
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator