Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcosn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcosn0 47488
Description: Properties of a linear combination over a singleton mapping to 0. (Contributed by AV, 12-Apr-2019.) (Revised by AV, 28-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lincval1.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
lincval1.s 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘€)
lincval1.r 𝑅 = (Baseβ€˜π‘†)
lincval1.f 𝐹 = {βŸ¨π‘‰, (0gβ€˜π‘†)⟩}
Assertion
Ref Expression
lcosn0 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐡) β†’ (𝐹 ∈ (𝑅 ↑m {𝑉}) ∧ 𝐹 finSupp (0gβ€˜π‘†) ∧ (𝐹( linC β€˜π‘€){𝑉}) = (0gβ€˜π‘€)))

Proof of Theorem lcosn0
StepHypRef Expression
1 simpr 484 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐡) β†’ 𝑉 ∈ 𝐡)
2 lincval1.s . . . . 5 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘€)
3 lincval1.r . . . . 5 𝑅 = (Baseβ€˜π‘†)
4 eqid 2728 . . . . 5 (0gβ€˜π‘†) = (0gβ€˜π‘†)
52, 3, 4lmod0cl 20771 . . . 4 (𝑀 ∈ LMod β†’ (0gβ€˜π‘†) ∈ 𝑅)
65adantr 480 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐡) β†’ (0gβ€˜π‘†) ∈ 𝑅)
73fvexi 6911 . . . 4 𝑅 ∈ V
87a1i 11 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐡) β†’ 𝑅 ∈ V)
9 lincval1.f . . . 4 𝐹 = {βŸ¨π‘‰, (0gβ€˜π‘†)⟩}
109mapsnop 47408 . . 3 ((𝑉 ∈ 𝐡 ∧ (0gβ€˜π‘†) ∈ 𝑅 ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ 𝐹 ∈ (𝑅 ↑m {𝑉}))
111, 6, 8, 10syl3anc 1369 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐡) β†’ 𝐹 ∈ (𝑅 ↑m {𝑉}))
12 elmapi 8868 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑅 ↑m {𝑉}) β†’ 𝐹:{𝑉}βŸΆπ‘…)
1311, 12syl 17 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐡) β†’ 𝐹:{𝑉}βŸΆπ‘…)
14 snfi 9069 . . . 4 {𝑉} ∈ Fin
1514a1i 11 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐡) β†’ {𝑉} ∈ Fin)
16 fvex 6910 . . . 4 (0gβ€˜π‘†) ∈ V
1716a1i 11 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐡) β†’ (0gβ€˜π‘†) ∈ V)
1813, 15, 17fdmfifsupp 9399 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐡) β†’ 𝐹 finSupp (0gβ€˜π‘†))
19 lincval1.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
2019, 2, 3, 9lincval1 47487 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐡) β†’ (𝐹( linC β€˜π‘€){𝑉}) = (0gβ€˜π‘€))
2111, 18, 203jca 1126 1 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐡) β†’ (𝐹 ∈ (𝑅 ↑m {𝑉}) ∧ 𝐹 finSupp (0gβ€˜π‘†) ∧ (𝐹( linC β€˜π‘€){𝑉}) = (0gβ€˜π‘€)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  Vcvv 3471  {csn 4629  βŸ¨cop 4635   class class class wbr 5148  βŸΆwf 6544  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420   ↑m cmap 8845  Fincfn 8964   finSupp cfsupp 9386  Basecbs 17180  Scalarcsca 17236  0gc0g 17421  LModclmod 20743   linC clinc 47472
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9387  df-oi 9534  df-card 9963  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-fz 13518  df-fzo 13661  df-seq 14000  df-hash 14323  df-0g 17423  df-gsum 17424  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-grp 18893  df-mulg 19024  df-cntz 19268  df-ring 20175  df-lmod 20745  df-linc 47474
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator