![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > mbfi1fseqlem2 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Lemma for mbfi1fseq 25664. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.) |
Ref | Expression |
---|---|
mbfi1fseq.1 | โข (๐ โ ๐น โ MblFn) |
mbfi1fseq.2 | โข (๐ โ ๐น:โโถ(0[,)+โ)) |
mbfi1fseq.3 | โข ๐ฝ = (๐ โ โ, ๐ฆ โ โ โฆ ((โโ((๐นโ๐ฆ) ยท (2โ๐))) / (2โ๐))) |
mbfi1fseq.4 | โข ๐บ = (๐ โ โ โฆ (๐ฅ โ โ โฆ if(๐ฅ โ (-๐[,]๐), if((๐๐ฝ๐ฅ) โค ๐, (๐๐ฝ๐ฅ), ๐), 0))) |
Ref | Expression |
---|---|
mbfi1fseqlem2 | โข (๐ด โ โ โ (๐บโ๐ด) = (๐ฅ โ โ โฆ if(๐ฅ โ (-๐ด[,]๐ด), if((๐ด๐ฝ๐ฅ) โค ๐ด, (๐ด๐ฝ๐ฅ), ๐ด), 0))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | negeq 11477 | . . . . . 6 โข (๐ = ๐ด โ -๐ = -๐ด) | |
2 | id 22 | . . . . . 6 โข (๐ = ๐ด โ ๐ = ๐ด) | |
3 | 1, 2 | oveq12d 7431 | . . . . 5 โข (๐ = ๐ด โ (-๐[,]๐) = (-๐ด[,]๐ด)) |
4 | 3 | eleq2d 2811 | . . . 4 โข (๐ = ๐ด โ (๐ฅ โ (-๐[,]๐) โ ๐ฅ โ (-๐ด[,]๐ด))) |
5 | oveq1 7420 | . . . . . 6 โข (๐ = ๐ด โ (๐๐ฝ๐ฅ) = (๐ด๐ฝ๐ฅ)) | |
6 | 5, 2 | breq12d 5157 | . . . . 5 โข (๐ = ๐ด โ ((๐๐ฝ๐ฅ) โค ๐ โ (๐ด๐ฝ๐ฅ) โค ๐ด)) |
7 | 6, 5, 2 | ifbieq12d 4553 | . . . 4 โข (๐ = ๐ด โ if((๐๐ฝ๐ฅ) โค ๐, (๐๐ฝ๐ฅ), ๐) = if((๐ด๐ฝ๐ฅ) โค ๐ด, (๐ด๐ฝ๐ฅ), ๐ด)) |
8 | 4, 7 | ifbieq1d 4549 | . . 3 โข (๐ = ๐ด โ if(๐ฅ โ (-๐[,]๐), if((๐๐ฝ๐ฅ) โค ๐, (๐๐ฝ๐ฅ), ๐), 0) = if(๐ฅ โ (-๐ด[,]๐ด), if((๐ด๐ฝ๐ฅ) โค ๐ด, (๐ด๐ฝ๐ฅ), ๐ด), 0)) |
9 | 8 | mpteq2dv 5246 | . 2 โข (๐ = ๐ด โ (๐ฅ โ โ โฆ if(๐ฅ โ (-๐[,]๐), if((๐๐ฝ๐ฅ) โค ๐, (๐๐ฝ๐ฅ), ๐), 0)) = (๐ฅ โ โ โฆ if(๐ฅ โ (-๐ด[,]๐ด), if((๐ด๐ฝ๐ฅ) โค ๐ด, (๐ด๐ฝ๐ฅ), ๐ด), 0))) |
10 | mbfi1fseq.4 | . 2 โข ๐บ = (๐ โ โ โฆ (๐ฅ โ โ โฆ if(๐ฅ โ (-๐[,]๐), if((๐๐ฝ๐ฅ) โค ๐, (๐๐ฝ๐ฅ), ๐), 0))) | |
11 | reex 11224 | . . 3 โข โ โ V | |
12 | 11 | mptex 7229 | . 2 โข (๐ฅ โ โ โฆ if(๐ฅ โ (-๐ด[,]๐ด), if((๐ด๐ฝ๐ฅ) โค ๐ด, (๐ด๐ฝ๐ฅ), ๐ด), 0)) โ V |
13 | 9, 10, 12 | fvmpt 6998 | 1 โข (๐ด โ โ โ (๐บโ๐ด) = (๐ฅ โ โ โฆ if(๐ฅ โ (-๐ด[,]๐ด), if((๐ด๐ฝ๐ฅ) โค ๐ด, (๐ด๐ฝ๐ฅ), ๐ด), 0))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 = wceq 1533 โ wcel 2098 ifcif 4525 class class class wbr 5144 โฆ cmpt 5227 โถwf 6539 โcfv 6543 (class class class)co 7413 โ cmpo 7415 โcr 11132 0cc0 11133 ยท cmul 11138 +โcpnf 11270 โค cle 11274 -cneg 11470 / cdiv 11896 โcn 12237 2c2 12292 [,)cico 13353 [,]cicc 13354 โcfl 13782 โcexp 14053 MblFncmbf 25556 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2166 ax-ext 2696 ax-rep 5281 ax-sep 5295 ax-nul 5302 ax-pr 5424 ax-cnex 11189 ax-resscn 11190 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 846 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2703 df-cleq 2717 df-clel 2802 df-nfc 2877 df-ne 2931 df-ral 3052 df-rex 3061 df-reu 3365 df-rab 3420 df-v 3465 df-sbc 3771 df-csb 3887 df-dif 3944 df-un 3946 df-in 3948 df-ss 3958 df-nul 4320 df-if 4526 df-sn 4626 df-pr 4628 df-op 4632 df-uni 4905 df-iun 4994 df-br 5145 df-opab 5207 df-mpt 5228 df-id 5571 df-xp 5679 df-rel 5680 df-cnv 5681 df-co 5682 df-dm 5683 df-rn 5684 df-res 5685 df-ima 5686 df-iota 6495 df-fun 6545 df-fn 6546 df-f 6547 df-f1 6548 df-fo 6549 df-f1o 6550 df-fv 6551 df-ov 7416 df-neg 11472 |
This theorem is referenced by: mbfi1fseqlem3 25660 mbfi1fseqlem4 25661 mbfi1fseqlem5 25662 mbfi1fseqlem6 25663 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |