MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfi1fseqlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfi1fseqlem2 25620
Description: Lemma for mbfi1fseq 25625. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfi1fseq.1 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ MblFn)
mbfi1fseq.2 (๐œ‘ โ†’ ๐น:โ„โŸถ(0[,)+โˆž))
mbfi1fseq.3 ๐ฝ = (๐‘š โˆˆ โ„•, ๐‘ฆ โˆˆ โ„ โ†ฆ ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) ยท (2โ†‘๐‘š))) / (2โ†‘๐‘š)))
mbfi1fseq.4 ๐บ = (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ (-๐‘š[,]๐‘š), if((๐‘š๐ฝ๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘š, (๐‘š๐ฝ๐‘ฅ), ๐‘š), 0)))
Assertion
Ref Expression
mbfi1fseqlem2 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (๐บโ€˜๐ด) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ (-๐ด[,]๐ด), if((๐ด๐ฝ๐‘ฅ) โ‰ค ๐ด, (๐ด๐ฝ๐‘ฅ), ๐ด), 0)))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘š,๐‘ฆ,๐น   ๐‘ฅ,๐บ   ๐‘š,๐ฝ   ๐œ‘,๐‘š,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐ด,๐‘š,๐‘ฅ,๐‘ฆ
Allowed substitution hints:   ๐บ(๐‘ฆ,๐‘š)   ๐ฝ(๐‘ฅ,๐‘ฆ)

Proof of Theorem mbfi1fseqlem2
StepHypRef Expression
1 negeq 11468 . . . . . 6 (๐‘š = ๐ด โ†’ -๐‘š = -๐ด)
2 id 22 . . . . . 6 (๐‘š = ๐ด โ†’ ๐‘š = ๐ด)
31, 2oveq12d 7432 . . . . 5 (๐‘š = ๐ด โ†’ (-๐‘š[,]๐‘š) = (-๐ด[,]๐ด))
43eleq2d 2814 . . . 4 (๐‘š = ๐ด โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (-๐‘š[,]๐‘š) โ†” ๐‘ฅ โˆˆ (-๐ด[,]๐ด)))
5 oveq1 7421 . . . . . 6 (๐‘š = ๐ด โ†’ (๐‘š๐ฝ๐‘ฅ) = (๐ด๐ฝ๐‘ฅ))
65, 2breq12d 5155 . . . . 5 (๐‘š = ๐ด โ†’ ((๐‘š๐ฝ๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘š โ†” (๐ด๐ฝ๐‘ฅ) โ‰ค ๐ด))
76, 5, 2ifbieq12d 4552 . . . 4 (๐‘š = ๐ด โ†’ if((๐‘š๐ฝ๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘š, (๐‘š๐ฝ๐‘ฅ), ๐‘š) = if((๐ด๐ฝ๐‘ฅ) โ‰ค ๐ด, (๐ด๐ฝ๐‘ฅ), ๐ด))
84, 7ifbieq1d 4548 . . 3 (๐‘š = ๐ด โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ (-๐‘š[,]๐‘š), if((๐‘š๐ฝ๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘š, (๐‘š๐ฝ๐‘ฅ), ๐‘š), 0) = if(๐‘ฅ โˆˆ (-๐ด[,]๐ด), if((๐ด๐ฝ๐‘ฅ) โ‰ค ๐ด, (๐ด๐ฝ๐‘ฅ), ๐ด), 0))
98mpteq2dv 5244 . 2 (๐‘š = ๐ด โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ (-๐‘š[,]๐‘š), if((๐‘š๐ฝ๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘š, (๐‘š๐ฝ๐‘ฅ), ๐‘š), 0)) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ (-๐ด[,]๐ด), if((๐ด๐ฝ๐‘ฅ) โ‰ค ๐ด, (๐ด๐ฝ๐‘ฅ), ๐ด), 0)))
10 mbfi1fseq.4 . 2 ๐บ = (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ (-๐‘š[,]๐‘š), if((๐‘š๐ฝ๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘š, (๐‘š๐ฝ๐‘ฅ), ๐‘š), 0)))
11 reex 11215 . . 3 โ„ โˆˆ V
1211mptex 7229 . 2 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ (-๐ด[,]๐ด), if((๐ด๐ฝ๐‘ฅ) โ‰ค ๐ด, (๐ด๐ฝ๐‘ฅ), ๐ด), 0)) โˆˆ V
139, 10, 12fvmpt 6999 1 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (๐บโ€˜๐ด) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ (-๐ด[,]๐ด), if((๐ด๐ฝ๐‘ฅ) โ‰ค ๐ด, (๐ด๐ฝ๐‘ฅ), ๐ด), 0)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099  ifcif 4524   class class class wbr 5142   โ†ฆ cmpt 5225  โŸถwf 6538  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7414   โˆˆ cmpo 7416  โ„cr 11123  0cc0 11124   ยท cmul 11129  +โˆžcpnf 11261   โ‰ค cle 11265  -cneg 11461   / cdiv 11887  โ„•cn 12228  2c2 12283  [,)cico 13344  [,]cicc 13345  โŒŠcfl 13773  โ†‘cexp 14044  MblFncmbf 25517
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pr 5423  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7417  df-neg 11463
This theorem is referenced by:  mbfi1fseqlem3  25621  mbfi1fseqlem4  25622  mbfi1fseqlem5  25623  mbfi1fseqlem6  25624
  Copyright terms: Public domain W3C validator