MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfi1fseqlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfi1fseqlem2 25659
Description: Lemma for mbfi1fseq 25664. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfi1fseq.1 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ MblFn)
mbfi1fseq.2 (๐œ‘ โ†’ ๐น:โ„โŸถ(0[,)+โˆž))
mbfi1fseq.3 ๐ฝ = (๐‘š โˆˆ โ„•, ๐‘ฆ โˆˆ โ„ โ†ฆ ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) ยท (2โ†‘๐‘š))) / (2โ†‘๐‘š)))
mbfi1fseq.4 ๐บ = (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ (-๐‘š[,]๐‘š), if((๐‘š๐ฝ๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘š, (๐‘š๐ฝ๐‘ฅ), ๐‘š), 0)))
Assertion
Ref Expression
mbfi1fseqlem2 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (๐บโ€˜๐ด) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ (-๐ด[,]๐ด), if((๐ด๐ฝ๐‘ฅ) โ‰ค ๐ด, (๐ด๐ฝ๐‘ฅ), ๐ด), 0)))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘š,๐‘ฆ,๐น   ๐‘ฅ,๐บ   ๐‘š,๐ฝ   ๐œ‘,๐‘š,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐ด,๐‘š,๐‘ฅ,๐‘ฆ
Allowed substitution hints:   ๐บ(๐‘ฆ,๐‘š)   ๐ฝ(๐‘ฅ,๐‘ฆ)

Proof of Theorem mbfi1fseqlem2
StepHypRef Expression
1 negeq 11477 . . . . . 6 (๐‘š = ๐ด โ†’ -๐‘š = -๐ด)
2 id 22 . . . . . 6 (๐‘š = ๐ด โ†’ ๐‘š = ๐ด)
31, 2oveq12d 7431 . . . . 5 (๐‘š = ๐ด โ†’ (-๐‘š[,]๐‘š) = (-๐ด[,]๐ด))
43eleq2d 2811 . . . 4 (๐‘š = ๐ด โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (-๐‘š[,]๐‘š) โ†” ๐‘ฅ โˆˆ (-๐ด[,]๐ด)))
5 oveq1 7420 . . . . . 6 (๐‘š = ๐ด โ†’ (๐‘š๐ฝ๐‘ฅ) = (๐ด๐ฝ๐‘ฅ))
65, 2breq12d 5157 . . . . 5 (๐‘š = ๐ด โ†’ ((๐‘š๐ฝ๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘š โ†” (๐ด๐ฝ๐‘ฅ) โ‰ค ๐ด))
76, 5, 2ifbieq12d 4553 . . . 4 (๐‘š = ๐ด โ†’ if((๐‘š๐ฝ๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘š, (๐‘š๐ฝ๐‘ฅ), ๐‘š) = if((๐ด๐ฝ๐‘ฅ) โ‰ค ๐ด, (๐ด๐ฝ๐‘ฅ), ๐ด))
84, 7ifbieq1d 4549 . . 3 (๐‘š = ๐ด โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ (-๐‘š[,]๐‘š), if((๐‘š๐ฝ๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘š, (๐‘š๐ฝ๐‘ฅ), ๐‘š), 0) = if(๐‘ฅ โˆˆ (-๐ด[,]๐ด), if((๐ด๐ฝ๐‘ฅ) โ‰ค ๐ด, (๐ด๐ฝ๐‘ฅ), ๐ด), 0))
98mpteq2dv 5246 . 2 (๐‘š = ๐ด โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ (-๐‘š[,]๐‘š), if((๐‘š๐ฝ๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘š, (๐‘š๐ฝ๐‘ฅ), ๐‘š), 0)) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ (-๐ด[,]๐ด), if((๐ด๐ฝ๐‘ฅ) โ‰ค ๐ด, (๐ด๐ฝ๐‘ฅ), ๐ด), 0)))
10 mbfi1fseq.4 . 2 ๐บ = (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ (-๐‘š[,]๐‘š), if((๐‘š๐ฝ๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘š, (๐‘š๐ฝ๐‘ฅ), ๐‘š), 0)))
11 reex 11224 . . 3 โ„ โˆˆ V
1211mptex 7229 . 2 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ (-๐ด[,]๐ด), if((๐ด๐ฝ๐‘ฅ) โ‰ค ๐ด, (๐ด๐ฝ๐‘ฅ), ๐ด), 0)) โˆˆ V
139, 10, 12fvmpt 6998 1 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (๐บโ€˜๐ด) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ (-๐ด[,]๐ด), if((๐ด๐ฝ๐‘ฅ) โ‰ค ๐ด, (๐ด๐ฝ๐‘ฅ), ๐ด), 0)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  ifcif 4525   class class class wbr 5144   โ†ฆ cmpt 5227  โŸถwf 6539  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7413   โˆˆ cmpo 7415  โ„cr 11132  0cc0 11133   ยท cmul 11138  +โˆžcpnf 11270   โ‰ค cle 11274  -cneg 11470   / cdiv 11896  โ„•cn 12237  2c2 12292  [,)cico 13353  [,]cicc 13354  โŒŠcfl 13782  โ†‘cexp 14053  MblFncmbf 25556
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pr 5424  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4320  df-if 4526  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-id 5571  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7416  df-neg 11472
This theorem is referenced by:  mbfi1fseqlem3  25660  mbfi1fseqlem4  25661  mbfi1fseqlem5  25662  mbfi1fseqlem6  25663
  Copyright terms: Public domain W3C validator