MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfi1fseqlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfi1fseqlem2 25104
Description: Lemma for mbfi1fseq 25109. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfi1fseq.1 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ MblFn)
mbfi1fseq.2 (๐œ‘ โ†’ ๐น:โ„โŸถ(0[,)+โˆž))
mbfi1fseq.3 ๐ฝ = (๐‘š โˆˆ โ„•, ๐‘ฆ โˆˆ โ„ โ†ฆ ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) ยท (2โ†‘๐‘š))) / (2โ†‘๐‘š)))
mbfi1fseq.4 ๐บ = (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ (-๐‘š[,]๐‘š), if((๐‘š๐ฝ๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘š, (๐‘š๐ฝ๐‘ฅ), ๐‘š), 0)))
Assertion
Ref Expression
mbfi1fseqlem2 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (๐บโ€˜๐ด) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ (-๐ด[,]๐ด), if((๐ด๐ฝ๐‘ฅ) โ‰ค ๐ด, (๐ด๐ฝ๐‘ฅ), ๐ด), 0)))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘š,๐‘ฆ,๐น   ๐‘ฅ,๐บ   ๐‘š,๐ฝ   ๐œ‘,๐‘š,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐ด,๐‘š,๐‘ฅ,๐‘ฆ
Allowed substitution hints:   ๐บ(๐‘ฆ,๐‘š)   ๐ฝ(๐‘ฅ,๐‘ฆ)

Proof of Theorem mbfi1fseqlem2
StepHypRef Expression
1 negeq 11401 . . . . . 6 (๐‘š = ๐ด โ†’ -๐‘š = -๐ด)
2 id 22 . . . . . 6 (๐‘š = ๐ด โ†’ ๐‘š = ๐ด)
31, 2oveq12d 7379 . . . . 5 (๐‘š = ๐ด โ†’ (-๐‘š[,]๐‘š) = (-๐ด[,]๐ด))
43eleq2d 2820 . . . 4 (๐‘š = ๐ด โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (-๐‘š[,]๐‘š) โ†” ๐‘ฅ โˆˆ (-๐ด[,]๐ด)))
5 oveq1 7368 . . . . . 6 (๐‘š = ๐ด โ†’ (๐‘š๐ฝ๐‘ฅ) = (๐ด๐ฝ๐‘ฅ))
65, 2breq12d 5122 . . . . 5 (๐‘š = ๐ด โ†’ ((๐‘š๐ฝ๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘š โ†” (๐ด๐ฝ๐‘ฅ) โ‰ค ๐ด))
76, 5, 2ifbieq12d 4518 . . . 4 (๐‘š = ๐ด โ†’ if((๐‘š๐ฝ๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘š, (๐‘š๐ฝ๐‘ฅ), ๐‘š) = if((๐ด๐ฝ๐‘ฅ) โ‰ค ๐ด, (๐ด๐ฝ๐‘ฅ), ๐ด))
84, 7ifbieq1d 4514 . . 3 (๐‘š = ๐ด โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ (-๐‘š[,]๐‘š), if((๐‘š๐ฝ๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘š, (๐‘š๐ฝ๐‘ฅ), ๐‘š), 0) = if(๐‘ฅ โˆˆ (-๐ด[,]๐ด), if((๐ด๐ฝ๐‘ฅ) โ‰ค ๐ด, (๐ด๐ฝ๐‘ฅ), ๐ด), 0))
98mpteq2dv 5211 . 2 (๐‘š = ๐ด โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ (-๐‘š[,]๐‘š), if((๐‘š๐ฝ๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘š, (๐‘š๐ฝ๐‘ฅ), ๐‘š), 0)) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ (-๐ด[,]๐ด), if((๐ด๐ฝ๐‘ฅ) โ‰ค ๐ด, (๐ด๐ฝ๐‘ฅ), ๐ด), 0)))
10 mbfi1fseq.4 . 2 ๐บ = (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ (-๐‘š[,]๐‘š), if((๐‘š๐ฝ๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘š, (๐‘š๐ฝ๐‘ฅ), ๐‘š), 0)))
11 reex 11150 . . 3 โ„ โˆˆ V
1211mptex 7177 . 2 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ (-๐ด[,]๐ด), if((๐ด๐ฝ๐‘ฅ) โ‰ค ๐ด, (๐ด๐ฝ๐‘ฅ), ๐ด), 0)) โˆˆ V
139, 10, 12fvmpt 6952 1 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (๐บโ€˜๐ด) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ (-๐ด[,]๐ด), if((๐ด๐ฝ๐‘ฅ) โ‰ค ๐ด, (๐ด๐ฝ๐‘ฅ), ๐ด), 0)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  ifcif 4490   class class class wbr 5109   โ†ฆ cmpt 5192  โŸถwf 6496  โ€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   โˆˆ cmpo 7363  โ„cr 11058  0cc0 11059   ยท cmul 11064  +โˆžcpnf 11194   โ‰ค cle 11198  -cneg 11394   / cdiv 11820  โ„•cn 12161  2c2 12216  [,)cico 13275  [,]cicc 13276  โŒŠcfl 13704  โ†‘cexp 13976  MblFncmbf 25001
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pr 5388  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7364  df-neg 11396
This theorem is referenced by:  mbfi1fseqlem3  25105  mbfi1fseqlem4  25106  mbfi1fseqlem5  25107  mbfi1fseqlem6  25108
  Copyright terms: Public domain W3C validator