![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > mbfi1fseqlem2 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Lemma for mbfi1fseq 25109. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.) |
Ref | Expression |
---|---|
mbfi1fseq.1 | โข (๐ โ ๐น โ MblFn) |
mbfi1fseq.2 | โข (๐ โ ๐น:โโถ(0[,)+โ)) |
mbfi1fseq.3 | โข ๐ฝ = (๐ โ โ, ๐ฆ โ โ โฆ ((โโ((๐นโ๐ฆ) ยท (2โ๐))) / (2โ๐))) |
mbfi1fseq.4 | โข ๐บ = (๐ โ โ โฆ (๐ฅ โ โ โฆ if(๐ฅ โ (-๐[,]๐), if((๐๐ฝ๐ฅ) โค ๐, (๐๐ฝ๐ฅ), ๐), 0))) |
Ref | Expression |
---|---|
mbfi1fseqlem2 | โข (๐ด โ โ โ (๐บโ๐ด) = (๐ฅ โ โ โฆ if(๐ฅ โ (-๐ด[,]๐ด), if((๐ด๐ฝ๐ฅ) โค ๐ด, (๐ด๐ฝ๐ฅ), ๐ด), 0))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | negeq 11401 | . . . . . 6 โข (๐ = ๐ด โ -๐ = -๐ด) | |
2 | id 22 | . . . . . 6 โข (๐ = ๐ด โ ๐ = ๐ด) | |
3 | 1, 2 | oveq12d 7379 | . . . . 5 โข (๐ = ๐ด โ (-๐[,]๐) = (-๐ด[,]๐ด)) |
4 | 3 | eleq2d 2820 | . . . 4 โข (๐ = ๐ด โ (๐ฅ โ (-๐[,]๐) โ ๐ฅ โ (-๐ด[,]๐ด))) |
5 | oveq1 7368 | . . . . . 6 โข (๐ = ๐ด โ (๐๐ฝ๐ฅ) = (๐ด๐ฝ๐ฅ)) | |
6 | 5, 2 | breq12d 5122 | . . . . 5 โข (๐ = ๐ด โ ((๐๐ฝ๐ฅ) โค ๐ โ (๐ด๐ฝ๐ฅ) โค ๐ด)) |
7 | 6, 5, 2 | ifbieq12d 4518 | . . . 4 โข (๐ = ๐ด โ if((๐๐ฝ๐ฅ) โค ๐, (๐๐ฝ๐ฅ), ๐) = if((๐ด๐ฝ๐ฅ) โค ๐ด, (๐ด๐ฝ๐ฅ), ๐ด)) |
8 | 4, 7 | ifbieq1d 4514 | . . 3 โข (๐ = ๐ด โ if(๐ฅ โ (-๐[,]๐), if((๐๐ฝ๐ฅ) โค ๐, (๐๐ฝ๐ฅ), ๐), 0) = if(๐ฅ โ (-๐ด[,]๐ด), if((๐ด๐ฝ๐ฅ) โค ๐ด, (๐ด๐ฝ๐ฅ), ๐ด), 0)) |
9 | 8 | mpteq2dv 5211 | . 2 โข (๐ = ๐ด โ (๐ฅ โ โ โฆ if(๐ฅ โ (-๐[,]๐), if((๐๐ฝ๐ฅ) โค ๐, (๐๐ฝ๐ฅ), ๐), 0)) = (๐ฅ โ โ โฆ if(๐ฅ โ (-๐ด[,]๐ด), if((๐ด๐ฝ๐ฅ) โค ๐ด, (๐ด๐ฝ๐ฅ), ๐ด), 0))) |
10 | mbfi1fseq.4 | . 2 โข ๐บ = (๐ โ โ โฆ (๐ฅ โ โ โฆ if(๐ฅ โ (-๐[,]๐), if((๐๐ฝ๐ฅ) โค ๐, (๐๐ฝ๐ฅ), ๐), 0))) | |
11 | reex 11150 | . . 3 โข โ โ V | |
12 | 11 | mptex 7177 | . 2 โข (๐ฅ โ โ โฆ if(๐ฅ โ (-๐ด[,]๐ด), if((๐ด๐ฝ๐ฅ) โค ๐ด, (๐ด๐ฝ๐ฅ), ๐ด), 0)) โ V |
13 | 9, 10, 12 | fvmpt 6952 | 1 โข (๐ด โ โ โ (๐บโ๐ด) = (๐ฅ โ โ โฆ if(๐ฅ โ (-๐ด[,]๐ด), if((๐ด๐ฝ๐ฅ) โค ๐ด, (๐ด๐ฝ๐ฅ), ๐ด), 0))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 = wceq 1542 โ wcel 2107 ifcif 4490 class class class wbr 5109 โฆ cmpt 5192 โถwf 6496 โcfv 6500 (class class class)co 7361 โ cmpo 7363 โcr 11058 0cc0 11059 ยท cmul 11064 +โcpnf 11194 โค cle 11198 -cneg 11394 / cdiv 11820 โcn 12161 2c2 12216 [,)cico 13275 [,]cicc 13276 โcfl 13704 โcexp 13976 MblFncmbf 25001 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2704 ax-rep 5246 ax-sep 5260 ax-nul 5267 ax-pr 5388 ax-cnex 11115 ax-resscn 11116 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2535 df-eu 2564 df-clab 2711 df-cleq 2725 df-clel 2811 df-nfc 2886 df-ne 2941 df-ral 3062 df-rex 3071 df-reu 3353 df-rab 3407 df-v 3449 df-sbc 3744 df-csb 3860 df-dif 3917 df-un 3919 df-in 3921 df-ss 3931 df-nul 4287 df-if 4491 df-sn 4591 df-pr 4593 df-op 4597 df-uni 4870 df-iun 4960 df-br 5110 df-opab 5172 df-mpt 5193 df-id 5535 df-xp 5643 df-rel 5644 df-cnv 5645 df-co 5646 df-dm 5647 df-rn 5648 df-res 5649 df-ima 5650 df-iota 6452 df-fun 6502 df-fn 6503 df-f 6504 df-f1 6505 df-fo 6506 df-f1o 6507 df-fv 6508 df-ov 7364 df-neg 11396 |
This theorem is referenced by: mbfi1fseqlem3 25105 mbfi1fseqlem4 25106 mbfi1fseqlem5 25107 mbfi1fseqlem6 25108 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |