![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > mbfi1fseqlem2 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Lemma for mbfi1fseq 25625. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.) |
Ref | Expression |
---|---|
mbfi1fseq.1 | โข (๐ โ ๐น โ MblFn) |
mbfi1fseq.2 | โข (๐ โ ๐น:โโถ(0[,)+โ)) |
mbfi1fseq.3 | โข ๐ฝ = (๐ โ โ, ๐ฆ โ โ โฆ ((โโ((๐นโ๐ฆ) ยท (2โ๐))) / (2โ๐))) |
mbfi1fseq.4 | โข ๐บ = (๐ โ โ โฆ (๐ฅ โ โ โฆ if(๐ฅ โ (-๐[,]๐), if((๐๐ฝ๐ฅ) โค ๐, (๐๐ฝ๐ฅ), ๐), 0))) |
Ref | Expression |
---|---|
mbfi1fseqlem2 | โข (๐ด โ โ โ (๐บโ๐ด) = (๐ฅ โ โ โฆ if(๐ฅ โ (-๐ด[,]๐ด), if((๐ด๐ฝ๐ฅ) โค ๐ด, (๐ด๐ฝ๐ฅ), ๐ด), 0))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | negeq 11468 | . . . . . 6 โข (๐ = ๐ด โ -๐ = -๐ด) | |
2 | id 22 | . . . . . 6 โข (๐ = ๐ด โ ๐ = ๐ด) | |
3 | 1, 2 | oveq12d 7432 | . . . . 5 โข (๐ = ๐ด โ (-๐[,]๐) = (-๐ด[,]๐ด)) |
4 | 3 | eleq2d 2814 | . . . 4 โข (๐ = ๐ด โ (๐ฅ โ (-๐[,]๐) โ ๐ฅ โ (-๐ด[,]๐ด))) |
5 | oveq1 7421 | . . . . . 6 โข (๐ = ๐ด โ (๐๐ฝ๐ฅ) = (๐ด๐ฝ๐ฅ)) | |
6 | 5, 2 | breq12d 5155 | . . . . 5 โข (๐ = ๐ด โ ((๐๐ฝ๐ฅ) โค ๐ โ (๐ด๐ฝ๐ฅ) โค ๐ด)) |
7 | 6, 5, 2 | ifbieq12d 4552 | . . . 4 โข (๐ = ๐ด โ if((๐๐ฝ๐ฅ) โค ๐, (๐๐ฝ๐ฅ), ๐) = if((๐ด๐ฝ๐ฅ) โค ๐ด, (๐ด๐ฝ๐ฅ), ๐ด)) |
8 | 4, 7 | ifbieq1d 4548 | . . 3 โข (๐ = ๐ด โ if(๐ฅ โ (-๐[,]๐), if((๐๐ฝ๐ฅ) โค ๐, (๐๐ฝ๐ฅ), ๐), 0) = if(๐ฅ โ (-๐ด[,]๐ด), if((๐ด๐ฝ๐ฅ) โค ๐ด, (๐ด๐ฝ๐ฅ), ๐ด), 0)) |
9 | 8 | mpteq2dv 5244 | . 2 โข (๐ = ๐ด โ (๐ฅ โ โ โฆ if(๐ฅ โ (-๐[,]๐), if((๐๐ฝ๐ฅ) โค ๐, (๐๐ฝ๐ฅ), ๐), 0)) = (๐ฅ โ โ โฆ if(๐ฅ โ (-๐ด[,]๐ด), if((๐ด๐ฝ๐ฅ) โค ๐ด, (๐ด๐ฝ๐ฅ), ๐ด), 0))) |
10 | mbfi1fseq.4 | . 2 โข ๐บ = (๐ โ โ โฆ (๐ฅ โ โ โฆ if(๐ฅ โ (-๐[,]๐), if((๐๐ฝ๐ฅ) โค ๐, (๐๐ฝ๐ฅ), ๐), 0))) | |
11 | reex 11215 | . . 3 โข โ โ V | |
12 | 11 | mptex 7229 | . 2 โข (๐ฅ โ โ โฆ if(๐ฅ โ (-๐ด[,]๐ด), if((๐ด๐ฝ๐ฅ) โค ๐ด, (๐ด๐ฝ๐ฅ), ๐ด), 0)) โ V |
13 | 9, 10, 12 | fvmpt 6999 | 1 โข (๐ด โ โ โ (๐บโ๐ด) = (๐ฅ โ โ โฆ if(๐ฅ โ (-๐ด[,]๐ด), if((๐ด๐ฝ๐ฅ) โค ๐ด, (๐ด๐ฝ๐ฅ), ๐ด), 0))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 = wceq 1534 โ wcel 2099 ifcif 4524 class class class wbr 5142 โฆ cmpt 5225 โถwf 6538 โcfv 6542 (class class class)co 7414 โ cmpo 7416 โcr 11123 0cc0 11124 ยท cmul 11129 +โcpnf 11261 โค cle 11265 -cneg 11461 / cdiv 11887 โcn 12228 2c2 12283 [,)cico 13344 [,]cicc 13345 โcfl 13773 โcexp 14044 MblFncmbf 25517 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1790 ax-4 1804 ax-5 1906 ax-6 1964 ax-7 2004 ax-8 2101 ax-9 2109 ax-10 2130 ax-11 2147 ax-12 2164 ax-ext 2698 ax-rep 5279 ax-sep 5293 ax-nul 5300 ax-pr 5423 ax-cnex 11180 ax-resscn 11181 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 847 df-3an 1087 df-tru 1537 df-fal 1547 df-ex 1775 df-nf 1779 df-sb 2061 df-mo 2529 df-eu 2558 df-clab 2705 df-cleq 2719 df-clel 2805 df-nfc 2880 df-ne 2936 df-ral 3057 df-rex 3066 df-reu 3372 df-rab 3428 df-v 3471 df-sbc 3775 df-csb 3890 df-dif 3947 df-un 3949 df-in 3951 df-ss 3961 df-nul 4319 df-if 4525 df-sn 4625 df-pr 4627 df-op 4631 df-uni 4904 df-iun 4993 df-br 5143 df-opab 5205 df-mpt 5226 df-id 5570 df-xp 5678 df-rel 5679 df-cnv 5680 df-co 5681 df-dm 5682 df-rn 5683 df-res 5684 df-ima 5685 df-iota 6494 df-fun 6544 df-fn 6545 df-f 6546 df-f1 6547 df-fo 6548 df-f1o 6549 df-fv 6550 df-ov 7417 df-neg 11463 |
This theorem is referenced by: mbfi1fseqlem3 25621 mbfi1fseqlem4 25622 mbfi1fseqlem5 25623 mbfi1fseqlem6 25624 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |