MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfi1fseq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfi1fseq 24927
Description: A characterization of measurability in terms of simple functions (this is an if and only if for nonnegative functions, although we don't prove it). Any nonnegative measurable function is the limit of an increasing sequence of nonnegative simple functions. This proof is an example of a poor de Bruijn factor - the formalized proof is much longer than an average hand proof, which usually just describes the function ๐บ and "leaves the details as an exercise to the reader". (Contributed by Mario Carneiro, 16-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfi1fseq.1 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ MblFn)
mbfi1fseq.2 (๐œ‘ โ†’ ๐น:โ„โŸถ(0[,)+โˆž))
Assertion
Ref Expression
mbfi1fseq (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘”(๐‘”:โ„•โŸถdom โˆซ1 โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• (0๐‘ โˆ˜r โ‰ค (๐‘”โ€˜๐‘›) โˆง (๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ˜r โ‰ค (๐‘”โ€˜(๐‘› + 1))) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„ (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘›)โ€˜๐‘ฅ)) โ‡ (๐นโ€˜๐‘ฅ)))
Distinct variable groups:   ๐‘”,๐‘›,๐‘ฅ,๐น   ๐œ‘,๐‘›,๐‘ฅ
Allowed substitution hint:   ๐œ‘(๐‘”)

Proof of Theorem mbfi1fseq
Dummy variables ๐‘— ๐‘˜ ๐‘š ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfi1fseq.1 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ MblFn)
2 mbfi1fseq.2 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐น:โ„โŸถ(0[,)+โˆž))
3 oveq2 7311 . . . . . 6 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ (2โ†‘๐‘—) = (2โ†‘๐‘˜))
43oveq2d 7319 . . . . 5 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ง) ยท (2โ†‘๐‘—)) = ((๐นโ€˜๐‘ง) ยท (2โ†‘๐‘˜)))
54fveq2d 6804 . . . 4 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ (โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) ยท (2โ†‘๐‘—))) = (โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) ยท (2โ†‘๐‘˜))))
65, 3oveq12d 7321 . . 3 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) ยท (2โ†‘๐‘—))) / (2โ†‘๐‘—)) = ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) ยท (2โ†‘๐‘˜))) / (2โ†‘๐‘˜)))
7 fveq2 6800 . . . . 5 (๐‘ง = ๐‘ฆ โ†’ (๐นโ€˜๐‘ง) = (๐นโ€˜๐‘ฆ))
87fvoveq1d 7325 . . . 4 (๐‘ง = ๐‘ฆ โ†’ (โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) ยท (2โ†‘๐‘˜))) = (โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) ยท (2โ†‘๐‘˜))))
98oveq1d 7318 . . 3 (๐‘ง = ๐‘ฆ โ†’ ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) ยท (2โ†‘๐‘˜))) / (2โ†‘๐‘˜)) = ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) ยท (2โ†‘๐‘˜))) / (2โ†‘๐‘˜)))
106, 9cbvmpov 7398 . 2 (๐‘— โˆˆ โ„•, ๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) ยท (2โ†‘๐‘—))) / (2โ†‘๐‘—))) = (๐‘˜ โˆˆ โ„•, ๐‘ฆ โˆˆ โ„ โ†ฆ ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) ยท (2โ†‘๐‘˜))) / (2โ†‘๐‘˜)))
11 eleq1w 2819 . . . . . 6 (๐‘ฆ = ๐‘ฅ โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ (-๐‘š[,]๐‘š) โ†” ๐‘ฅ โˆˆ (-๐‘š[,]๐‘š)))
12 oveq2 7311 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ = ๐‘ฅ โ†’ (๐‘š(๐‘— โˆˆ โ„•, ๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) ยท (2โ†‘๐‘—))) / (2โ†‘๐‘—)))๐‘ฆ) = (๐‘š(๐‘— โˆˆ โ„•, ๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) ยท (2โ†‘๐‘—))) / (2โ†‘๐‘—)))๐‘ฅ))
1312breq1d 5091 . . . . . . 7 (๐‘ฆ = ๐‘ฅ โ†’ ((๐‘š(๐‘— โˆˆ โ„•, ๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) ยท (2โ†‘๐‘—))) / (2โ†‘๐‘—)))๐‘ฆ) โ‰ค ๐‘š โ†” (๐‘š(๐‘— โˆˆ โ„•, ๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) ยท (2โ†‘๐‘—))) / (2โ†‘๐‘—)))๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘š))
1413, 12ifbieq1d 4489 . . . . . 6 (๐‘ฆ = ๐‘ฅ โ†’ if((๐‘š(๐‘— โˆˆ โ„•, ๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) ยท (2โ†‘๐‘—))) / (2โ†‘๐‘—)))๐‘ฆ) โ‰ค ๐‘š, (๐‘š(๐‘— โˆˆ โ„•, ๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) ยท (2โ†‘๐‘—))) / (2โ†‘๐‘—)))๐‘ฆ), ๐‘š) = if((๐‘š(๐‘— โˆˆ โ„•, ๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) ยท (2โ†‘๐‘—))) / (2โ†‘๐‘—)))๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘š, (๐‘š(๐‘— โˆˆ โ„•, ๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) ยท (2โ†‘๐‘—))) / (2โ†‘๐‘—)))๐‘ฅ), ๐‘š))
1511, 14ifbieq1d 4489 . . . . 5 (๐‘ฆ = ๐‘ฅ โ†’ if(๐‘ฆ โˆˆ (-๐‘š[,]๐‘š), if((๐‘š(๐‘— โˆˆ โ„•, ๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) ยท (2โ†‘๐‘—))) / (2โ†‘๐‘—)))๐‘ฆ) โ‰ค ๐‘š, (๐‘š(๐‘— โˆˆ โ„•, ๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) ยท (2โ†‘๐‘—))) / (2โ†‘๐‘—)))๐‘ฆ), ๐‘š), 0) = if(๐‘ฅ โˆˆ (-๐‘š[,]๐‘š), if((๐‘š(๐‘— โˆˆ โ„•, ๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) ยท (2โ†‘๐‘—))) / (2โ†‘๐‘—)))๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘š, (๐‘š(๐‘— โˆˆ โ„•, ๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) ยท (2โ†‘๐‘—))) / (2โ†‘๐‘—)))๐‘ฅ), ๐‘š), 0))
1615cbvmptv 5194 . . . 4 (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฆ โˆˆ (-๐‘š[,]๐‘š), if((๐‘š(๐‘— โˆˆ โ„•, ๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) ยท (2โ†‘๐‘—))) / (2โ†‘๐‘—)))๐‘ฆ) โ‰ค ๐‘š, (๐‘š(๐‘— โˆˆ โ„•, ๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) ยท (2โ†‘๐‘—))) / (2โ†‘๐‘—)))๐‘ฆ), ๐‘š), 0)) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ (-๐‘š[,]๐‘š), if((๐‘š(๐‘— โˆˆ โ„•, ๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) ยท (2โ†‘๐‘—))) / (2โ†‘๐‘—)))๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘š, (๐‘š(๐‘— โˆˆ โ„•, ๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) ยท (2โ†‘๐‘—))) / (2โ†‘๐‘—)))๐‘ฅ), ๐‘š), 0))
17 negeq 11255 . . . . . . . 8 (๐‘š = ๐‘˜ โ†’ -๐‘š = -๐‘˜)
18 id 22 . . . . . . . 8 (๐‘š = ๐‘˜ โ†’ ๐‘š = ๐‘˜)
1917, 18oveq12d 7321 . . . . . . 7 (๐‘š = ๐‘˜ โ†’ (-๐‘š[,]๐‘š) = (-๐‘˜[,]๐‘˜))
2019eleq2d 2822 . . . . . 6 (๐‘š = ๐‘˜ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (-๐‘š[,]๐‘š) โ†” ๐‘ฅ โˆˆ (-๐‘˜[,]๐‘˜)))
21 oveq1 7310 . . . . . . . 8 (๐‘š = ๐‘˜ โ†’ (๐‘š(๐‘— โˆˆ โ„•, ๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) ยท (2โ†‘๐‘—))) / (2โ†‘๐‘—)))๐‘ฅ) = (๐‘˜(๐‘— โˆˆ โ„•, ๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) ยท (2โ†‘๐‘—))) / (2โ†‘๐‘—)))๐‘ฅ))
2221, 18breq12d 5094 . . . . . . 7 (๐‘š = ๐‘˜ โ†’ ((๐‘š(๐‘— โˆˆ โ„•, ๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) ยท (2โ†‘๐‘—))) / (2โ†‘๐‘—)))๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘š โ†” (๐‘˜(๐‘— โˆˆ โ„•, ๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) ยท (2โ†‘๐‘—))) / (2โ†‘๐‘—)))๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘˜))
2322, 21, 18ifbieq12d 4493 . . . . . 6 (๐‘š = ๐‘˜ โ†’ if((๐‘š(๐‘— โˆˆ โ„•, ๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) ยท (2โ†‘๐‘—))) / (2โ†‘๐‘—)))๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘š, (๐‘š(๐‘— โˆˆ โ„•, ๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) ยท (2โ†‘๐‘—))) / (2โ†‘๐‘—)))๐‘ฅ), ๐‘š) = if((๐‘˜(๐‘— โˆˆ โ„•, ๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) ยท (2โ†‘๐‘—))) / (2โ†‘๐‘—)))๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘˜, (๐‘˜(๐‘— โˆˆ โ„•, ๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) ยท (2โ†‘๐‘—))) / (2โ†‘๐‘—)))๐‘ฅ), ๐‘˜))
2420, 23ifbieq1d 4489 . . . . 5 (๐‘š = ๐‘˜ โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ (-๐‘š[,]๐‘š), if((๐‘š(๐‘— โˆˆ โ„•, ๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) ยท (2โ†‘๐‘—))) / (2โ†‘๐‘—)))๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘š, (๐‘š(๐‘— โˆˆ โ„•, ๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) ยท (2โ†‘๐‘—))) / (2โ†‘๐‘—)))๐‘ฅ), ๐‘š), 0) = if(๐‘ฅ โˆˆ (-๐‘˜[,]๐‘˜), if((๐‘˜(๐‘— โˆˆ โ„•, ๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) ยท (2โ†‘๐‘—))) / (2โ†‘๐‘—)))๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘˜, (๐‘˜(๐‘— โˆˆ โ„•, ๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) ยท (2โ†‘๐‘—))) / (2โ†‘๐‘—)))๐‘ฅ), ๐‘˜), 0))
2524mpteq2dv 5183 . . . 4 (๐‘š = ๐‘˜ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ (-๐‘š[,]๐‘š), if((๐‘š(๐‘— โˆˆ โ„•, ๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) ยท (2โ†‘๐‘—))) / (2โ†‘๐‘—)))๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘š, (๐‘š(๐‘— โˆˆ โ„•, ๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) ยท (2โ†‘๐‘—))) / (2โ†‘๐‘—)))๐‘ฅ), ๐‘š), 0)) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ (-๐‘˜[,]๐‘˜), if((๐‘˜(๐‘— โˆˆ โ„•, ๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) ยท (2โ†‘๐‘—))) / (2โ†‘๐‘—)))๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘˜, (๐‘˜(๐‘— โˆˆ โ„•, ๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) ยท (2โ†‘๐‘—))) / (2โ†‘๐‘—)))๐‘ฅ), ๐‘˜), 0)))
2616, 25eqtrid 2788 . . 3 (๐‘š = ๐‘˜ โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฆ โˆˆ (-๐‘š[,]๐‘š), if((๐‘š(๐‘— โˆˆ โ„•, ๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) ยท (2โ†‘๐‘—))) / (2โ†‘๐‘—)))๐‘ฆ) โ‰ค ๐‘š, (๐‘š(๐‘— โˆˆ โ„•, ๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) ยท (2โ†‘๐‘—))) / (2โ†‘๐‘—)))๐‘ฆ), ๐‘š), 0)) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ (-๐‘˜[,]๐‘˜), if((๐‘˜(๐‘— โˆˆ โ„•, ๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) ยท (2โ†‘๐‘—))) / (2โ†‘๐‘—)))๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘˜, (๐‘˜(๐‘— โˆˆ โ„•, ๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) ยท (2โ†‘๐‘—))) / (2โ†‘๐‘—)))๐‘ฅ), ๐‘˜), 0)))
2726cbvmptv 5194 . 2 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฆ โˆˆ (-๐‘š[,]๐‘š), if((๐‘š(๐‘— โˆˆ โ„•, ๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) ยท (2โ†‘๐‘—))) / (2โ†‘๐‘—)))๐‘ฆ) โ‰ค ๐‘š, (๐‘š(๐‘— โˆˆ โ„•, ๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) ยท (2โ†‘๐‘—))) / (2โ†‘๐‘—)))๐‘ฆ), ๐‘š), 0))) = (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ (-๐‘˜[,]๐‘˜), if((๐‘˜(๐‘— โˆˆ โ„•, ๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) ยท (2โ†‘๐‘—))) / (2โ†‘๐‘—)))๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘˜, (๐‘˜(๐‘— โˆˆ โ„•, ๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) ยท (2โ†‘๐‘—))) / (2โ†‘๐‘—)))๐‘ฅ), ๐‘˜), 0)))
281, 2, 10, 27mbfi1fseqlem6 24926 1 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘”(๐‘”:โ„•โŸถdom โˆซ1 โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• (0๐‘ โˆ˜r โ‰ค (๐‘”โ€˜๐‘›) โˆง (๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ˜r โ‰ค (๐‘”โ€˜(๐‘› + 1))) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„ (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘›)โ€˜๐‘ฅ)) โ‡ (๐นโ€˜๐‘ฅ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆง w3a 1087  โˆƒwex 1779   โˆˆ wcel 2104  โˆ€wral 3062  ifcif 4465   class class class wbr 5081   โ†ฆ cmpt 5164  dom cdm 5596  โŸถwf 6450  โ€˜cfv 6454  (class class class)co 7303   โˆˆ cmpo 7305   โˆ˜r cofr 7560  โ„cr 10912  0cc0 10913  1c1 10914   + caddc 10916   ยท cmul 10918  +โˆžcpnf 11048   โ‰ค cle 11052  -cneg 11248   / cdiv 11674  โ„•cn 12015  2c2 12070  [,)cico 13123  [,]cicc 13124  โŒŠcfl 13552  โ†‘cexp 13824   โ‡ cli 15234  MblFncmbf 24819  โˆซ1citg1 24820  0๐‘c0p 24874
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-rep 5218  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7616  ax-inf2 9439  ax-cnex 10969  ax-resscn 10970  ax-1cn 10971  ax-icn 10972  ax-addcl 10973  ax-addrcl 10974  ax-mulcl 10975  ax-mulrcl 10976  ax-mulcom 10977  ax-addass 10978  ax-mulass 10979  ax-distr 10980  ax-i2m1 10981  ax-1ne0 10982  ax-1rid 10983  ax-rnegex 10984  ax-rrecex 10985  ax-cnre 10986  ax-pre-lttri 10987  ax-pre-lttrn 10988  ax-pre-ltadd 10989  ax-pre-mulgt0 10990  ax-pre-sup 10991
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3285  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-int 4887  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5496  df-eprel 5502  df-po 5510  df-so 5511  df-fr 5551  df-se 5552  df-we 5553  df-xp 5602  df-rel 5603  df-cnv 5604  df-co 5605  df-dm 5606  df-rn 5607  df-res 5608  df-ima 5609  df-pred 6213  df-ord 6280  df-on 6281  df-lim 6282  df-suc 6283  df-iota 6406  df-fun 6456  df-fn 6457  df-f 6458  df-f1 6459  df-fo 6460  df-f1o 6461  df-fv 6462  df-isom 6463  df-riota 7260  df-ov 7306  df-oprab 7307  df-mpo 7308  df-of 7561  df-ofr 7562  df-om 7741  df-1st 7859  df-2nd 7860  df-frecs 8124  df-wrecs 8155  df-recs 8229  df-rdg 8268  df-1o 8324  df-2o 8325  df-er 8525  df-map 8644  df-pm 8645  df-en 8761  df-dom 8762  df-sdom 8763  df-fin 8764  df-fi 9210  df-sup 9241  df-inf 9242  df-oi 9309  df-dju 9699  df-card 9737  df-pnf 11053  df-mnf 11054  df-xr 11055  df-ltxr 11056  df-le 11057  df-sub 11249  df-neg 11250  df-div 11675  df-nn 12016  df-2 12078  df-3 12079  df-n0 12276  df-z 12362  df-uz 12625  df-q 12731  df-rp 12773  df-xneg 12890  df-xadd 12891  df-xmul 12892  df-ioo 13125  df-ico 13127  df-icc 13128  df-fz 13282  df-fzo 13425  df-fl 13554  df-seq 13764  df-exp 13825  df-hash 14087  df-cj 14851  df-re 14852  df-im 14853  df-sqrt 14987  df-abs 14988  df-clim 15238  df-rlim 15239  df-sum 15439  df-rest 17174  df-topgen 17195  df-psmet 20630  df-xmet 20631  df-met 20632  df-bl 20633  df-mopn 20634  df-top 22084  df-topon 22101  df-bases 22137  df-cmp 22579  df-ovol 24669  df-vol 24670  df-mbf 24824  df-itg1 24825  df-0p 24875
This theorem is referenced by:  mbfi1flimlem  24928  itg2add  24965
  Copyright terms: Public domain W3C validator