MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfi1fseq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfi1fseq 25246
Description: A characterization of measurability in terms of simple functions (this is an if and only if for nonnegative functions, although we don't prove it). Any nonnegative measurable function is the limit of an increasing sequence of nonnegative simple functions. This proof is an example of a poor de Bruijn factor - the formalized proof is much longer than an average hand proof, which usually just describes the function ๐บ and "leaves the details as an exercise to the reader". (Contributed by Mario Carneiro, 16-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfi1fseq.1 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ MblFn)
mbfi1fseq.2 (๐œ‘ โ†’ ๐น:โ„โŸถ(0[,)+โˆž))
Assertion
Ref Expression
mbfi1fseq (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘”(๐‘”:โ„•โŸถdom โˆซ1 โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• (0๐‘ โˆ˜r โ‰ค (๐‘”โ€˜๐‘›) โˆง (๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ˜r โ‰ค (๐‘”โ€˜(๐‘› + 1))) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„ (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘›)โ€˜๐‘ฅ)) โ‡ (๐นโ€˜๐‘ฅ)))
Distinct variable groups:   ๐‘”,๐‘›,๐‘ฅ,๐น   ๐œ‘,๐‘›,๐‘ฅ
Allowed substitution hint:   ๐œ‘(๐‘”)

Proof of Theorem mbfi1fseq
Dummy variables ๐‘— ๐‘˜ ๐‘š ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfi1fseq.1 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ MblFn)
2 mbfi1fseq.2 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐น:โ„โŸถ(0[,)+โˆž))
3 oveq2 7419 . . . . . 6 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ (2โ†‘๐‘—) = (2โ†‘๐‘˜))
43oveq2d 7427 . . . . 5 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ง) ยท (2โ†‘๐‘—)) = ((๐นโ€˜๐‘ง) ยท (2โ†‘๐‘˜)))
54fveq2d 6895 . . . 4 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ (โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) ยท (2โ†‘๐‘—))) = (โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) ยท (2โ†‘๐‘˜))))
65, 3oveq12d 7429 . . 3 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) ยท (2โ†‘๐‘—))) / (2โ†‘๐‘—)) = ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) ยท (2โ†‘๐‘˜))) / (2โ†‘๐‘˜)))
7 fveq2 6891 . . . . 5 (๐‘ง = ๐‘ฆ โ†’ (๐นโ€˜๐‘ง) = (๐นโ€˜๐‘ฆ))
87fvoveq1d 7433 . . . 4 (๐‘ง = ๐‘ฆ โ†’ (โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) ยท (2โ†‘๐‘˜))) = (โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) ยท (2โ†‘๐‘˜))))
98oveq1d 7426 . . 3 (๐‘ง = ๐‘ฆ โ†’ ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) ยท (2โ†‘๐‘˜))) / (2โ†‘๐‘˜)) = ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) ยท (2โ†‘๐‘˜))) / (2โ†‘๐‘˜)))
106, 9cbvmpov 7506 . 2 (๐‘— โˆˆ โ„•, ๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) ยท (2โ†‘๐‘—))) / (2โ†‘๐‘—))) = (๐‘˜ โˆˆ โ„•, ๐‘ฆ โˆˆ โ„ โ†ฆ ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) ยท (2โ†‘๐‘˜))) / (2โ†‘๐‘˜)))
11 eleq1w 2816 . . . . . 6 (๐‘ฆ = ๐‘ฅ โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ (-๐‘š[,]๐‘š) โ†” ๐‘ฅ โˆˆ (-๐‘š[,]๐‘š)))
12 oveq2 7419 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ = ๐‘ฅ โ†’ (๐‘š(๐‘— โˆˆ โ„•, ๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) ยท (2โ†‘๐‘—))) / (2โ†‘๐‘—)))๐‘ฆ) = (๐‘š(๐‘— โˆˆ โ„•, ๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) ยท (2โ†‘๐‘—))) / (2โ†‘๐‘—)))๐‘ฅ))
1312breq1d 5158 . . . . . . 7 (๐‘ฆ = ๐‘ฅ โ†’ ((๐‘š(๐‘— โˆˆ โ„•, ๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) ยท (2โ†‘๐‘—))) / (2โ†‘๐‘—)))๐‘ฆ) โ‰ค ๐‘š โ†” (๐‘š(๐‘— โˆˆ โ„•, ๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) ยท (2โ†‘๐‘—))) / (2โ†‘๐‘—)))๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘š))
1413, 12ifbieq1d 4552 . . . . . 6 (๐‘ฆ = ๐‘ฅ โ†’ if((๐‘š(๐‘— โˆˆ โ„•, ๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) ยท (2โ†‘๐‘—))) / (2โ†‘๐‘—)))๐‘ฆ) โ‰ค ๐‘š, (๐‘š(๐‘— โˆˆ โ„•, ๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) ยท (2โ†‘๐‘—))) / (2โ†‘๐‘—)))๐‘ฆ), ๐‘š) = if((๐‘š(๐‘— โˆˆ โ„•, ๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) ยท (2โ†‘๐‘—))) / (2โ†‘๐‘—)))๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘š, (๐‘š(๐‘— โˆˆ โ„•, ๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) ยท (2โ†‘๐‘—))) / (2โ†‘๐‘—)))๐‘ฅ), ๐‘š))
1511, 14ifbieq1d 4552 . . . . 5 (๐‘ฆ = ๐‘ฅ โ†’ if(๐‘ฆ โˆˆ (-๐‘š[,]๐‘š), if((๐‘š(๐‘— โˆˆ โ„•, ๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) ยท (2โ†‘๐‘—))) / (2โ†‘๐‘—)))๐‘ฆ) โ‰ค ๐‘š, (๐‘š(๐‘— โˆˆ โ„•, ๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) ยท (2โ†‘๐‘—))) / (2โ†‘๐‘—)))๐‘ฆ), ๐‘š), 0) = if(๐‘ฅ โˆˆ (-๐‘š[,]๐‘š), if((๐‘š(๐‘— โˆˆ โ„•, ๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) ยท (2โ†‘๐‘—))) / (2โ†‘๐‘—)))๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘š, (๐‘š(๐‘— โˆˆ โ„•, ๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) ยท (2โ†‘๐‘—))) / (2โ†‘๐‘—)))๐‘ฅ), ๐‘š), 0))
1615cbvmptv 5261 . . . 4 (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฆ โˆˆ (-๐‘š[,]๐‘š), if((๐‘š(๐‘— โˆˆ โ„•, ๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) ยท (2โ†‘๐‘—))) / (2โ†‘๐‘—)))๐‘ฆ) โ‰ค ๐‘š, (๐‘š(๐‘— โˆˆ โ„•, ๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) ยท (2โ†‘๐‘—))) / (2โ†‘๐‘—)))๐‘ฆ), ๐‘š), 0)) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ (-๐‘š[,]๐‘š), if((๐‘š(๐‘— โˆˆ โ„•, ๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) ยท (2โ†‘๐‘—))) / (2โ†‘๐‘—)))๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘š, (๐‘š(๐‘— โˆˆ โ„•, ๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) ยท (2โ†‘๐‘—))) / (2โ†‘๐‘—)))๐‘ฅ), ๐‘š), 0))
17 negeq 11454 . . . . . . . 8 (๐‘š = ๐‘˜ โ†’ -๐‘š = -๐‘˜)
18 id 22 . . . . . . . 8 (๐‘š = ๐‘˜ โ†’ ๐‘š = ๐‘˜)
1917, 18oveq12d 7429 . . . . . . 7 (๐‘š = ๐‘˜ โ†’ (-๐‘š[,]๐‘š) = (-๐‘˜[,]๐‘˜))
2019eleq2d 2819 . . . . . 6 (๐‘š = ๐‘˜ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (-๐‘š[,]๐‘š) โ†” ๐‘ฅ โˆˆ (-๐‘˜[,]๐‘˜)))
21 oveq1 7418 . . . . . . . 8 (๐‘š = ๐‘˜ โ†’ (๐‘š(๐‘— โˆˆ โ„•, ๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) ยท (2โ†‘๐‘—))) / (2โ†‘๐‘—)))๐‘ฅ) = (๐‘˜(๐‘— โˆˆ โ„•, ๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) ยท (2โ†‘๐‘—))) / (2โ†‘๐‘—)))๐‘ฅ))
2221, 18breq12d 5161 . . . . . . 7 (๐‘š = ๐‘˜ โ†’ ((๐‘š(๐‘— โˆˆ โ„•, ๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) ยท (2โ†‘๐‘—))) / (2โ†‘๐‘—)))๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘š โ†” (๐‘˜(๐‘— โˆˆ โ„•, ๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) ยท (2โ†‘๐‘—))) / (2โ†‘๐‘—)))๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘˜))
2322, 21, 18ifbieq12d 4556 . . . . . 6 (๐‘š = ๐‘˜ โ†’ if((๐‘š(๐‘— โˆˆ โ„•, ๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) ยท (2โ†‘๐‘—))) / (2โ†‘๐‘—)))๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘š, (๐‘š(๐‘— โˆˆ โ„•, ๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) ยท (2โ†‘๐‘—))) / (2โ†‘๐‘—)))๐‘ฅ), ๐‘š) = if((๐‘˜(๐‘— โˆˆ โ„•, ๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) ยท (2โ†‘๐‘—))) / (2โ†‘๐‘—)))๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘˜, (๐‘˜(๐‘— โˆˆ โ„•, ๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) ยท (2โ†‘๐‘—))) / (2โ†‘๐‘—)))๐‘ฅ), ๐‘˜))
2420, 23ifbieq1d 4552 . . . . 5 (๐‘š = ๐‘˜ โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ (-๐‘š[,]๐‘š), if((๐‘š(๐‘— โˆˆ โ„•, ๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) ยท (2โ†‘๐‘—))) / (2โ†‘๐‘—)))๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘š, (๐‘š(๐‘— โˆˆ โ„•, ๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) ยท (2โ†‘๐‘—))) / (2โ†‘๐‘—)))๐‘ฅ), ๐‘š), 0) = if(๐‘ฅ โˆˆ (-๐‘˜[,]๐‘˜), if((๐‘˜(๐‘— โˆˆ โ„•, ๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) ยท (2โ†‘๐‘—))) / (2โ†‘๐‘—)))๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘˜, (๐‘˜(๐‘— โˆˆ โ„•, ๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) ยท (2โ†‘๐‘—))) / (2โ†‘๐‘—)))๐‘ฅ), ๐‘˜), 0))
2524mpteq2dv 5250 . . . 4 (๐‘š = ๐‘˜ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ (-๐‘š[,]๐‘š), if((๐‘š(๐‘— โˆˆ โ„•, ๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) ยท (2โ†‘๐‘—))) / (2โ†‘๐‘—)))๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘š, (๐‘š(๐‘— โˆˆ โ„•, ๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) ยท (2โ†‘๐‘—))) / (2โ†‘๐‘—)))๐‘ฅ), ๐‘š), 0)) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ (-๐‘˜[,]๐‘˜), if((๐‘˜(๐‘— โˆˆ โ„•, ๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) ยท (2โ†‘๐‘—))) / (2โ†‘๐‘—)))๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘˜, (๐‘˜(๐‘— โˆˆ โ„•, ๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) ยท (2โ†‘๐‘—))) / (2โ†‘๐‘—)))๐‘ฅ), ๐‘˜), 0)))
2616, 25eqtrid 2784 . . 3 (๐‘š = ๐‘˜ โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฆ โˆˆ (-๐‘š[,]๐‘š), if((๐‘š(๐‘— โˆˆ โ„•, ๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) ยท (2โ†‘๐‘—))) / (2โ†‘๐‘—)))๐‘ฆ) โ‰ค ๐‘š, (๐‘š(๐‘— โˆˆ โ„•, ๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) ยท (2โ†‘๐‘—))) / (2โ†‘๐‘—)))๐‘ฆ), ๐‘š), 0)) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ (-๐‘˜[,]๐‘˜), if((๐‘˜(๐‘— โˆˆ โ„•, ๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) ยท (2โ†‘๐‘—))) / (2โ†‘๐‘—)))๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘˜, (๐‘˜(๐‘— โˆˆ โ„•, ๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) ยท (2โ†‘๐‘—))) / (2โ†‘๐‘—)))๐‘ฅ), ๐‘˜), 0)))
2726cbvmptv 5261 . 2 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฆ โˆˆ (-๐‘š[,]๐‘š), if((๐‘š(๐‘— โˆˆ โ„•, ๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) ยท (2โ†‘๐‘—))) / (2โ†‘๐‘—)))๐‘ฆ) โ‰ค ๐‘š, (๐‘š(๐‘— โˆˆ โ„•, ๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) ยท (2โ†‘๐‘—))) / (2โ†‘๐‘—)))๐‘ฆ), ๐‘š), 0))) = (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ (-๐‘˜[,]๐‘˜), if((๐‘˜(๐‘— โˆˆ โ„•, ๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) ยท (2โ†‘๐‘—))) / (2โ†‘๐‘—)))๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘˜, (๐‘˜(๐‘— โˆˆ โ„•, ๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) ยท (2โ†‘๐‘—))) / (2โ†‘๐‘—)))๐‘ฅ), ๐‘˜), 0)))
281, 2, 10, 27mbfi1fseqlem6 25245 1 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘”(๐‘”:โ„•โŸถdom โˆซ1 โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• (0๐‘ โˆ˜r โ‰ค (๐‘”โ€˜๐‘›) โˆง (๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ˜r โ‰ค (๐‘”โ€˜(๐‘› + 1))) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„ (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘›)โ€˜๐‘ฅ)) โ‡ (๐นโ€˜๐‘ฅ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   โˆง w3a 1087  โˆƒwex 1781   โˆˆ wcel 2106  โˆ€wral 3061  ifcif 4528   class class class wbr 5148   โ†ฆ cmpt 5231  dom cdm 5676  โŸถwf 6539  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7411   โˆˆ cmpo 7413   โˆ˜r cofr 7671  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117  +โˆžcpnf 11247   โ‰ค cle 11251  -cneg 11447   / cdiv 11873  โ„•cn 12214  2c2 12269  [,)cico 13328  [,]cicc 13329  โŒŠcfl 13757  โ†‘cexp 14029   โ‡ cli 15430  MblFncmbf 25138  โˆซ1citg1 25139  0๐‘c0p 25193
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-ofr 7673  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977  df-xneg 13094  df-xadd 13095  df-xmul 13096  df-ioo 13330  df-ico 13332  df-icc 13333  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-fl 13759  df-seq 13969  df-exp 14030  df-hash 14293  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-clim 15434  df-rlim 15435  df-sum 15635  df-rest 17370  df-topgen 17391  df-psmet 20942  df-xmet 20943  df-met 20944  df-bl 20945  df-mopn 20946  df-top 22403  df-topon 22420  df-bases 22456  df-cmp 22898  df-ovol 24988  df-vol 24989  df-mbf 25143  df-itg1 25144  df-0p 25194
This theorem is referenced by:  mbfi1flimlem  25247  itg2add  25284
  Copyright terms: Public domain W3C validator