MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfi1fseqlem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfi1fseqlem6 25624
Description: Lemma for mbfi1fseq 25625. Verify that ๐บ converges pointwise to ๐น, and wrap up the existential quantifier. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfi1fseq.1 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ MblFn)
mbfi1fseq.2 (๐œ‘ โ†’ ๐น:โ„โŸถ(0[,)+โˆž))
mbfi1fseq.3 ๐ฝ = (๐‘š โˆˆ โ„•, ๐‘ฆ โˆˆ โ„ โ†ฆ ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) ยท (2โ†‘๐‘š))) / (2โ†‘๐‘š)))
mbfi1fseq.4 ๐บ = (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ (-๐‘š[,]๐‘š), if((๐‘š๐ฝ๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘š, (๐‘š๐ฝ๐‘ฅ), ๐‘š), 0)))
Assertion
Ref Expression
mbfi1fseqlem6 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘”(๐‘”:โ„•โŸถdom โˆซ1 โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• (0๐‘ โˆ˜r โ‰ค (๐‘”โ€˜๐‘›) โˆง (๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ˜r โ‰ค (๐‘”โ€˜(๐‘› + 1))) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„ (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘›)โ€˜๐‘ฅ)) โ‡ (๐นโ€˜๐‘ฅ)))
Distinct variable groups:   ๐‘”,๐‘š,๐‘›,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐น   ๐‘”,๐บ,๐‘›,๐‘ฅ   ๐‘š,๐ฝ   ๐œ‘,๐‘š,๐‘›,๐‘ฅ,๐‘ฆ
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘”)   ๐บ(๐‘ฆ,๐‘š)   ๐ฝ(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘”,๐‘›)

Proof of Theorem mbfi1fseqlem6
Dummy variables ๐‘— ๐‘˜ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfi1fseq.1 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ MblFn)
2 mbfi1fseq.2 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐น:โ„โŸถ(0[,)+โˆž))
3 mbfi1fseq.3 . . 3 ๐ฝ = (๐‘š โˆˆ โ„•, ๐‘ฆ โˆˆ โ„ โ†ฆ ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) ยท (2โ†‘๐‘š))) / (2โ†‘๐‘š)))
4 mbfi1fseq.4 . . 3 ๐บ = (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ (-๐‘š[,]๐‘š), if((๐‘š๐ฝ๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘š, (๐‘š๐ฝ๐‘ฅ), ๐‘š), 0)))
51, 2, 3, 4mbfi1fseqlem4 25622 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐บ:โ„•โŸถdom โˆซ1)
61, 2, 3, 4mbfi1fseqlem5 25623 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (0๐‘ โˆ˜r โ‰ค (๐บโ€˜๐‘›) โˆง (๐บโ€˜๐‘›) โˆ˜r โ‰ค (๐บโ€˜(๐‘› + 1))))
76ralrimiva 3141 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• (0๐‘ โˆ˜r โ‰ค (๐บโ€˜๐‘›) โˆง (๐บโ€˜๐‘›) โˆ˜r โ‰ค (๐บโ€˜(๐‘› + 1))))
8 simpr 484 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„)
98recnd 11258 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
109abscld 15401 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ (absโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
112ffvelcdmda 7088 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ (0[,)+โˆž))
12 elrege0 13449 . . . . . . . 8 ((๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ (0[,)+โˆž) โ†” ((๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (๐นโ€˜๐‘ฅ)))
1311, 12sylib 217 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (๐นโ€˜๐‘ฅ)))
1413simpld 494 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
1510, 14readdcld 11259 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ ((absโ€˜๐‘ฅ) + (๐นโ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)
16 arch 12485 . . . . 5 (((absโ€˜๐‘ฅ) + (๐นโ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„ โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• ((absโ€˜๐‘ฅ) + (๐นโ€˜๐‘ฅ)) < ๐‘˜)
1715, 16syl 17 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• ((absโ€˜๐‘ฅ) + (๐นโ€˜๐‘ฅ)) < ๐‘˜)
18 eqid 2727 . . . . 5 (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘˜) = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘˜)
19 nnz 12595 . . . . . 6 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
2019ad2antrl 727 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ((absโ€˜๐‘ฅ) + (๐นโ€˜๐‘ฅ)) < ๐‘˜)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
21 nnuz 12881 . . . . . . . 8 โ„• = (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
22 1zzd 12609 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
23 halfcn 12443 . . . . . . . . . 10 (1 / 2) โˆˆ โ„‚
2423a1i 11 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ (1 / 2) โˆˆ โ„‚)
25 halfre 12442 . . . . . . . . . . . 12 (1 / 2) โˆˆ โ„
26 halfge0 12445 . . . . . . . . . . . 12 0 โ‰ค (1 / 2)
27 absid 15261 . . . . . . . . . . . 12 (((1 / 2) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (1 / 2)) โ†’ (absโ€˜(1 / 2)) = (1 / 2))
2825, 26, 27mp2an 691 . . . . . . . . . . 11 (absโ€˜(1 / 2)) = (1 / 2)
29 halflt1 12446 . . . . . . . . . . 11 (1 / 2) < 1
3028, 29eqbrtri 5163 . . . . . . . . . 10 (absโ€˜(1 / 2)) < 1
3130a1i 11 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ (absโ€˜(1 / 2)) < 1)
3224, 31expcnv 15828 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1 / 2)โ†‘๐‘›)) โ‡ 0)
3314recnd 11258 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
34 nnex 12234 . . . . . . . . . 10 โ„• โˆˆ V
3534mptex 7229 . . . . . . . . 9 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ ((1 / 2)โ†‘๐‘›))) โˆˆ V
3635a1i 11 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ ((1 / 2)โ†‘๐‘›))) โˆˆ V)
37 nnnn0 12495 . . . . . . . . . . 11 (๐‘— โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„•0)
3837adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„•0)
39 oveq2 7422 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› = ๐‘— โ†’ ((1 / 2)โ†‘๐‘›) = ((1 / 2)โ†‘๐‘—))
40 eqid 2727 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1 / 2)โ†‘๐‘›)) = (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1 / 2)โ†‘๐‘›))
41 ovex 7447 . . . . . . . . . . 11 ((1 / 2)โ†‘๐‘—) โˆˆ V
4239, 40, 41fvmpt 6999 . . . . . . . . . 10 (๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1 / 2)โ†‘๐‘›))โ€˜๐‘—) = ((1 / 2)โ†‘๐‘—))
4338, 42syl 17 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1 / 2)โ†‘๐‘›))โ€˜๐‘—) = ((1 / 2)โ†‘๐‘—))
44 expcl 14062 . . . . . . . . . 10 (((1 / 2) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ ((1 / 2)โ†‘๐‘—) โˆˆ โ„‚)
4523, 38, 44sylancr 586 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ ((1 / 2)โ†‘๐‘—) โˆˆ โ„‚)
4643, 45eqeltrd 2828 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1 / 2)โ†‘๐‘›))โ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚)
4739oveq2d 7430 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› = ๐‘— โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ ((1 / 2)โ†‘๐‘›)) = ((๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ ((1 / 2)โ†‘๐‘—)))
48 eqid 2727 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ ((1 / 2)โ†‘๐‘›))) = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ ((1 / 2)โ†‘๐‘›)))
49 ovex 7447 . . . . . . . . . . 11 ((๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ ((1 / 2)โ†‘๐‘—)) โˆˆ V
5047, 48, 49fvmpt 6999 . . . . . . . . . 10 (๐‘— โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ ((1 / 2)โ†‘๐‘›)))โ€˜๐‘—) = ((๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ ((1 / 2)โ†‘๐‘—)))
5150adantl 481 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ ((1 / 2)โ†‘๐‘›)))โ€˜๐‘—) = ((๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ ((1 / 2)โ†‘๐‘—)))
5243oveq2d 7430 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1 / 2)โ†‘๐‘›))โ€˜๐‘—)) = ((๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ ((1 / 2)โ†‘๐‘—)))
5351, 52eqtr4d 2770 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ ((1 / 2)โ†‘๐‘›)))โ€˜๐‘—) = ((๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1 / 2)โ†‘๐‘›))โ€˜๐‘—)))
5421, 22, 32, 33, 36, 46, 53climsubc2 15601 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ ((1 / 2)โ†‘๐‘›))) โ‡ ((๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 0))
5533subid1d 11576 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 0) = (๐นโ€˜๐‘ฅ))
5654, 55breqtrd 5168 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ ((1 / 2)โ†‘๐‘›))) โ‡ (๐นโ€˜๐‘ฅ))
5756adantr 480 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ((absโ€˜๐‘ฅ) + (๐นโ€˜๐‘ฅ)) < ๐‘˜)) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ ((1 / 2)โ†‘๐‘›))) โ‡ (๐นโ€˜๐‘ฅ))
5834mptex 7229 . . . . . 6 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐บโ€˜๐‘›)โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ V
5958a1i 11 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ((absโ€˜๐‘ฅ) + (๐นโ€˜๐‘ฅ)) < ๐‘˜)) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐บโ€˜๐‘›)โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ V)
60 simprl 770 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ((absโ€˜๐‘ฅ) + (๐นโ€˜๐‘ฅ)) < ๐‘˜)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
61 eluznn 12918 . . . . . . . 8 ((๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘˜)) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„•)
6260, 61sylan 579 . . . . . . 7 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ((absโ€˜๐‘ฅ) + (๐นโ€˜๐‘ฅ)) < ๐‘˜)) โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘˜)) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„•)
6362, 50syl 17 . . . . . 6 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ((absโ€˜๐‘ฅ) + (๐นโ€˜๐‘ฅ)) < ๐‘˜)) โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘˜)) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ ((1 / 2)โ†‘๐‘›)))โ€˜๐‘—) = ((๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ ((1 / 2)โ†‘๐‘—)))
6414ad2antrr 725 . . . . . . 7 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ((absโ€˜๐‘ฅ) + (๐นโ€˜๐‘ฅ)) < ๐‘˜)) โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘˜)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
6562, 37syl 17 . . . . . . . 8 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ((absโ€˜๐‘ฅ) + (๐นโ€˜๐‘ฅ)) < ๐‘˜)) โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘˜)) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„•0)
66 reexpcl 14061 . . . . . . . 8 (((1 / 2) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ ((1 / 2)โ†‘๐‘—) โˆˆ โ„)
6725, 65, 66sylancr 586 . . . . . . 7 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ((absโ€˜๐‘ฅ) + (๐นโ€˜๐‘ฅ)) < ๐‘˜)) โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘˜)) โ†’ ((1 / 2)โ†‘๐‘—) โˆˆ โ„)
6864, 67resubcld 11658 . . . . . 6 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ((absโ€˜๐‘ฅ) + (๐นโ€˜๐‘ฅ)) < ๐‘˜)) โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘˜)) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ ((1 / 2)โ†‘๐‘—)) โˆˆ โ„)
6963, 68eqeltrd 2828 . . . . 5 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ((absโ€˜๐‘ฅ) + (๐นโ€˜๐‘ฅ)) < ๐‘˜)) โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘˜)) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ ((1 / 2)โ†‘๐‘›)))โ€˜๐‘—) โˆˆ โ„)
70 fveq2 6891 . . . . . . . . 9 (๐‘› = ๐‘— โ†’ (๐บโ€˜๐‘›) = (๐บโ€˜๐‘—))
7170fveq1d 6893 . . . . . . . 8 (๐‘› = ๐‘— โ†’ ((๐บโ€˜๐‘›)โ€˜๐‘ฅ) = ((๐บโ€˜๐‘—)โ€˜๐‘ฅ))
72 eqid 2727 . . . . . . . 8 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐บโ€˜๐‘›)โ€˜๐‘ฅ)) = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐บโ€˜๐‘›)โ€˜๐‘ฅ))
73 fvex 6904 . . . . . . . 8 ((๐บโ€˜๐‘—)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ V
7471, 72, 73fvmpt 6999 . . . . . . 7 (๐‘— โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐บโ€˜๐‘›)โ€˜๐‘ฅ))โ€˜๐‘—) = ((๐บโ€˜๐‘—)โ€˜๐‘ฅ))
7562, 74syl 17 . . . . . 6 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ((absโ€˜๐‘ฅ) + (๐นโ€˜๐‘ฅ)) < ๐‘˜)) โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘˜)) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐บโ€˜๐‘›)โ€˜๐‘ฅ))โ€˜๐‘—) = ((๐บโ€˜๐‘—)โ€˜๐‘ฅ))
765ad3antrrr 729 . . . . . . . . 9 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ((absโ€˜๐‘ฅ) + (๐นโ€˜๐‘ฅ)) < ๐‘˜)) โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘˜)) โ†’ ๐บ:โ„•โŸถdom โˆซ1)
7776, 62ffvelcdmd 7089 . . . . . . . 8 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ((absโ€˜๐‘ฅ) + (๐นโ€˜๐‘ฅ)) < ๐‘˜)) โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘˜)) โ†’ (๐บโ€˜๐‘—) โˆˆ dom โˆซ1)
78 i1ff 25579 . . . . . . . 8 ((๐บโ€˜๐‘—) โˆˆ dom โˆซ1 โ†’ (๐บโ€˜๐‘—):โ„โŸถโ„)
7977, 78syl 17 . . . . . . 7 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ((absโ€˜๐‘ฅ) + (๐นโ€˜๐‘ฅ)) < ๐‘˜)) โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘˜)) โ†’ (๐บโ€˜๐‘—):โ„โŸถโ„)
808ad2antrr 725 . . . . . . 7 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ((absโ€˜๐‘ฅ) + (๐นโ€˜๐‘ฅ)) < ๐‘˜)) โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘˜)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„)
8179, 80ffvelcdmd 7089 . . . . . 6 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ((absโ€˜๐‘ฅ) + (๐นโ€˜๐‘ฅ)) < ๐‘˜)) โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘˜)) โ†’ ((๐บโ€˜๐‘—)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
8275, 81eqeltrd 2828 . . . . 5 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ((absโ€˜๐‘ฅ) + (๐นโ€˜๐‘ฅ)) < ๐‘˜)) โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘˜)) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐บโ€˜๐‘›)โ€˜๐‘ฅ))โ€˜๐‘—) โˆˆ โ„)
8333ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ((absโ€˜๐‘ฅ) + (๐นโ€˜๐‘ฅ)) < ๐‘˜)) โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘˜)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
84 2nn 12301 . . . . . . . . . . . . . 14 2 โˆˆ โ„•
85 nnexpcl 14057 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘๐‘—) โˆˆ โ„•)
8684, 65, 85sylancr 586 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ((absโ€˜๐‘ฅ) + (๐นโ€˜๐‘ฅ)) < ๐‘˜)) โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘˜)) โ†’ (2โ†‘๐‘—) โˆˆ โ„•)
8786nnred 12243 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ((absโ€˜๐‘ฅ) + (๐นโ€˜๐‘ฅ)) < ๐‘˜)) โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘˜)) โ†’ (2โ†‘๐‘—) โˆˆ โ„)
8887recnd 11258 . . . . . . . . . . 11 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ((absโ€˜๐‘ฅ) + (๐นโ€˜๐‘ฅ)) < ๐‘˜)) โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘˜)) โ†’ (2โ†‘๐‘—) โˆˆ โ„‚)
8986nnne0d 12278 . . . . . . . . . . 11 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ((absโ€˜๐‘ฅ) + (๐นโ€˜๐‘ฅ)) < ๐‘˜)) โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘˜)) โ†’ (2โ†‘๐‘—) โ‰  0)
9083, 88, 89divcan4d 12012 . . . . . . . . . 10 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ((absโ€˜๐‘ฅ) + (๐นโ€˜๐‘ฅ)) < ๐‘˜)) โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘˜)) โ†’ (((๐นโ€˜๐‘ฅ) ยท (2โ†‘๐‘—)) / (2โ†‘๐‘—)) = (๐นโ€˜๐‘ฅ))
9190eqcomd 2733 . . . . . . . . 9 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ((absโ€˜๐‘ฅ) + (๐นโ€˜๐‘ฅ)) < ๐‘˜)) โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘˜)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฅ) = (((๐นโ€˜๐‘ฅ) ยท (2โ†‘๐‘—)) / (2โ†‘๐‘—)))
92 2cnd 12306 . . . . . . . . . 10 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ((absโ€˜๐‘ฅ) + (๐นโ€˜๐‘ฅ)) < ๐‘˜)) โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘˜)) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
93 2ne0 12332 . . . . . . . . . . 11 2 โ‰  0
9493a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ((absโ€˜๐‘ฅ) + (๐นโ€˜๐‘ฅ)) < ๐‘˜)) โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘˜)) โ†’ 2 โ‰  0)
95 eluzelz 12848 . . . . . . . . . . 11 (๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘˜) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„ค)
9695adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ((absโ€˜๐‘ฅ) + (๐นโ€˜๐‘ฅ)) < ๐‘˜)) โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘˜)) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„ค)
9792, 94, 96exprecd 14136 . . . . . . . . 9 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ((absโ€˜๐‘ฅ) + (๐นโ€˜๐‘ฅ)) < ๐‘˜)) โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘˜)) โ†’ ((1 / 2)โ†‘๐‘—) = (1 / (2โ†‘๐‘—)))
9891, 97oveq12d 7432 . . . . . . . 8 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ((absโ€˜๐‘ฅ) + (๐นโ€˜๐‘ฅ)) < ๐‘˜)) โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘˜)) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ ((1 / 2)โ†‘๐‘—)) = ((((๐นโ€˜๐‘ฅ) ยท (2โ†‘๐‘—)) / (2โ†‘๐‘—)) โˆ’ (1 / (2โ†‘๐‘—))))
9964, 87remulcld 11260 . . . . . . . . . 10 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ((absโ€˜๐‘ฅ) + (๐นโ€˜๐‘ฅ)) < ๐‘˜)) โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘˜)) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฅ) ยท (2โ†‘๐‘—)) โˆˆ โ„)
10099recnd 11258 . . . . . . . . 9 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ((absโ€˜๐‘ฅ) + (๐นโ€˜๐‘ฅ)) < ๐‘˜)) โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘˜)) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฅ) ยท (2โ†‘๐‘—)) โˆˆ โ„‚)
101 1cnd 11225 . . . . . . . . 9 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ((absโ€˜๐‘ฅ) + (๐นโ€˜๐‘ฅ)) < ๐‘˜)) โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘˜)) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
102100, 101, 88, 89divsubdird 12045 . . . . . . . 8 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ((absโ€˜๐‘ฅ) + (๐นโ€˜๐‘ฅ)) < ๐‘˜)) โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘˜)) โ†’ ((((๐นโ€˜๐‘ฅ) ยท (2โ†‘๐‘—)) โˆ’ 1) / (2โ†‘๐‘—)) = ((((๐นโ€˜๐‘ฅ) ยท (2โ†‘๐‘—)) / (2โ†‘๐‘—)) โˆ’ (1 / (2โ†‘๐‘—))))
10398, 102eqtr4d 2770 . . . . . . 7 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ((absโ€˜๐‘ฅ) + (๐นโ€˜๐‘ฅ)) < ๐‘˜)) โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘˜)) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ ((1 / 2)โ†‘๐‘—)) = ((((๐นโ€˜๐‘ฅ) ยท (2โ†‘๐‘—)) โˆ’ 1) / (2โ†‘๐‘—)))
104 fllep1 13784 . . . . . . . . . 10 (((๐นโ€˜๐‘ฅ) ยท (2โ†‘๐‘—)) โˆˆ โ„ โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฅ) ยท (2โ†‘๐‘—)) โ‰ค ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) ยท (2โ†‘๐‘—))) + 1))
10599, 104syl 17 . . . . . . . . 9 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ((absโ€˜๐‘ฅ) + (๐นโ€˜๐‘ฅ)) < ๐‘˜)) โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘˜)) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฅ) ยท (2โ†‘๐‘—)) โ‰ค ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) ยท (2โ†‘๐‘—))) + 1))
106 1red 11231 . . . . . . . . . 10 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ((absโ€˜๐‘ฅ) + (๐นโ€˜๐‘ฅ)) < ๐‘˜)) โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘˜)) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
107 reflcl 13779 . . . . . . . . . . 11 (((๐นโ€˜๐‘ฅ) ยท (2โ†‘๐‘—)) โˆˆ โ„ โ†’ (โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) ยท (2โ†‘๐‘—))) โˆˆ โ„)
10899, 107syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ((absโ€˜๐‘ฅ) + (๐นโ€˜๐‘ฅ)) < ๐‘˜)) โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘˜)) โ†’ (โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) ยท (2โ†‘๐‘—))) โˆˆ โ„)
10999, 106, 108lesubaddd 11827 . . . . . . . . 9 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ((absโ€˜๐‘ฅ) + (๐นโ€˜๐‘ฅ)) < ๐‘˜)) โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘˜)) โ†’ ((((๐นโ€˜๐‘ฅ) ยท (2โ†‘๐‘—)) โˆ’ 1) โ‰ค (โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) ยท (2โ†‘๐‘—))) โ†” ((๐นโ€˜๐‘ฅ) ยท (2โ†‘๐‘—)) โ‰ค ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) ยท (2โ†‘๐‘—))) + 1)))
110105, 109mpbird 257 . . . . . . . 8 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ((absโ€˜๐‘ฅ) + (๐นโ€˜๐‘ฅ)) < ๐‘˜)) โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘˜)) โ†’ (((๐นโ€˜๐‘ฅ) ยท (2โ†‘๐‘—)) โˆ’ 1) โ‰ค (โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) ยท (2โ†‘๐‘—))))
111 peano2rem 11543 . . . . . . . . . 10 (((๐นโ€˜๐‘ฅ) ยท (2โ†‘๐‘—)) โˆˆ โ„ โ†’ (((๐นโ€˜๐‘ฅ) ยท (2โ†‘๐‘—)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
11299, 111syl 17 . . . . . . . . 9 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ((absโ€˜๐‘ฅ) + (๐นโ€˜๐‘ฅ)) < ๐‘˜)) โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘˜)) โ†’ (((๐นโ€˜๐‘ฅ) ยท (2โ†‘๐‘—)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
11386nngt0d 12277 . . . . . . . . 9 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ((absโ€˜๐‘ฅ) + (๐นโ€˜๐‘ฅ)) < ๐‘˜)) โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘˜)) โ†’ 0 < (2โ†‘๐‘—))
114 lediv1 12095 . . . . . . . . 9 (((((๐นโ€˜๐‘ฅ) ยท (2โ†‘๐‘—)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„ โˆง (โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) ยท (2โ†‘๐‘—))) โˆˆ โ„ โˆง ((2โ†‘๐‘—) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (2โ†‘๐‘—))) โ†’ ((((๐นโ€˜๐‘ฅ) ยท (2โ†‘๐‘—)) โˆ’ 1) โ‰ค (โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) ยท (2โ†‘๐‘—))) โ†” ((((๐นโ€˜๐‘ฅ) ยท (2โ†‘๐‘—)) โˆ’ 1) / (2โ†‘๐‘—)) โ‰ค ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) ยท (2โ†‘๐‘—))) / (2โ†‘๐‘—))))
115112, 108, 87, 113, 114syl112anc 1372 . . . . . . . 8 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ((absโ€˜๐‘ฅ) + (๐นโ€˜๐‘ฅ)) < ๐‘˜)) โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘˜)) โ†’ ((((๐นโ€˜๐‘ฅ) ยท (2โ†‘๐‘—)) โˆ’ 1) โ‰ค (โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) ยท (2โ†‘๐‘—))) โ†” ((((๐นโ€˜๐‘ฅ) ยท (2โ†‘๐‘—)) โˆ’ 1) / (2โ†‘๐‘—)) โ‰ค ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) ยท (2โ†‘๐‘—))) / (2โ†‘๐‘—))))
116110, 115mpbid 231 . . . . . . 7 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ((absโ€˜๐‘ฅ) + (๐นโ€˜๐‘ฅ)) < ๐‘˜)) โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘˜)) โ†’ ((((๐นโ€˜๐‘ฅ) ยท (2โ†‘๐‘—)) โˆ’ 1) / (2โ†‘๐‘—)) โ‰ค ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) ยท (2โ†‘๐‘—))) / (2โ†‘๐‘—)))
117103, 116eqbrtrd 5164 . . . . . 6 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ((absโ€˜๐‘ฅ) + (๐นโ€˜๐‘ฅ)) < ๐‘˜)) โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘˜)) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ ((1 / 2)โ†‘๐‘—)) โ‰ค ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) ยท (2โ†‘๐‘—))) / (2โ†‘๐‘—)))
1181, 2, 3, 4mbfi1fseqlem2 25620 . . . . . . . . . 10 (๐‘— โˆˆ โ„• โ†’ (๐บโ€˜๐‘—) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ (-๐‘—[,]๐‘—), if((๐‘—๐ฝ๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘—, (๐‘—๐ฝ๐‘ฅ), ๐‘—), 0)))
11962, 118syl 17 . . . . . . . . 9 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ((absโ€˜๐‘ฅ) + (๐นโ€˜๐‘ฅ)) < ๐‘˜)) โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘˜)) โ†’ (๐บโ€˜๐‘—) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ (-๐‘—[,]๐‘—), if((๐‘—๐ฝ๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘—, (๐‘—๐ฝ๐‘ฅ), ๐‘—), 0)))
120119fveq1d 6893 . . . . . . . 8 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ((absโ€˜๐‘ฅ) + (๐นโ€˜๐‘ฅ)) < ๐‘˜)) โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘˜)) โ†’ ((๐บโ€˜๐‘—)โ€˜๐‘ฅ) = ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ (-๐‘—[,]๐‘—), if((๐‘—๐ฝ๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘—, (๐‘—๐ฝ๐‘ฅ), ๐‘—), 0))โ€˜๐‘ฅ))
121 ovex 7447 . . . . . . . . . . 11 (๐‘—๐ฝ๐‘ฅ) โˆˆ V
122 vex 3473 . . . . . . . . . . 11 ๐‘— โˆˆ V
123121, 122ifex 4574 . . . . . . . . . 10 if((๐‘—๐ฝ๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘—, (๐‘—๐ฝ๐‘ฅ), ๐‘—) โˆˆ V
124 c0ex 11224 . . . . . . . . . 10 0 โˆˆ V
125123, 124ifex 4574 . . . . . . . . 9 if(๐‘ฅ โˆˆ (-๐‘—[,]๐‘—), if((๐‘—๐ฝ๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘—, (๐‘—๐ฝ๐‘ฅ), ๐‘—), 0) โˆˆ V
126 eqid 2727 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ (-๐‘—[,]๐‘—), if((๐‘—๐ฝ๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘—, (๐‘—๐ฝ๐‘ฅ), ๐‘—), 0)) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ (-๐‘—[,]๐‘—), if((๐‘—๐ฝ๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘—, (๐‘—๐ฝ๐‘ฅ), ๐‘—), 0))
127126fvmpt2 7010 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง if(๐‘ฅ โˆˆ (-๐‘—[,]๐‘—), if((๐‘—๐ฝ๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘—, (๐‘—๐ฝ๐‘ฅ), ๐‘—), 0) โˆˆ V) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ (-๐‘—[,]๐‘—), if((๐‘—๐ฝ๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘—, (๐‘—๐ฝ๐‘ฅ), ๐‘—), 0))โ€˜๐‘ฅ) = if(๐‘ฅ โˆˆ (-๐‘—[,]๐‘—), if((๐‘—๐ฝ๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘—, (๐‘—๐ฝ๐‘ฅ), ๐‘—), 0))
12880, 125, 127sylancl 585 . . . . . . . 8 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ((absโ€˜๐‘ฅ) + (๐นโ€˜๐‘ฅ)) < ๐‘˜)) โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘˜)) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ (-๐‘—[,]๐‘—), if((๐‘—๐ฝ๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘—, (๐‘—๐ฝ๐‘ฅ), ๐‘—), 0))โ€˜๐‘ฅ) = if(๐‘ฅ โˆˆ (-๐‘—[,]๐‘—), if((๐‘—๐ฝ๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘—, (๐‘—๐ฝ๐‘ฅ), ๐‘—), 0))
12975, 120, 1283eqtrd 2771 . . . . . . 7 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ((absโ€˜๐‘ฅ) + (๐นโ€˜๐‘ฅ)) < ๐‘˜)) โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘˜)) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐บโ€˜๐‘›)โ€˜๐‘ฅ))โ€˜๐‘—) = if(๐‘ฅ โˆˆ (-๐‘—[,]๐‘—), if((๐‘—๐ฝ๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘—, (๐‘—๐ฝ๐‘ฅ), ๐‘—), 0))
13010ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ((absโ€˜๐‘ฅ) + (๐นโ€˜๐‘ฅ)) < ๐‘˜)) โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘˜)) โ†’ (absโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
13115ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ((absโ€˜๐‘ฅ) + (๐นโ€˜๐‘ฅ)) < ๐‘˜)) โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘˜)) โ†’ ((absโ€˜๐‘ฅ) + (๐นโ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)
13262nnred 12243 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ((absโ€˜๐‘ฅ) + (๐นโ€˜๐‘ฅ)) < ๐‘˜)) โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘˜)) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„)
13311ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ((absโ€˜๐‘ฅ) + (๐นโ€˜๐‘ฅ)) < ๐‘˜)) โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘˜)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ (0[,)+โˆž))
134133, 12sylib 217 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ((absโ€˜๐‘ฅ) + (๐นโ€˜๐‘ฅ)) < ๐‘˜)) โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘˜)) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (๐นโ€˜๐‘ฅ)))
135134simprd 495 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ((absโ€˜๐‘ฅ) + (๐นโ€˜๐‘ฅ)) < ๐‘˜)) โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘˜)) โ†’ 0 โ‰ค (๐นโ€˜๐‘ฅ))
136130, 64addge01d 11818 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ((absโ€˜๐‘ฅ) + (๐นโ€˜๐‘ฅ)) < ๐‘˜)) โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘˜)) โ†’ (0 โ‰ค (๐นโ€˜๐‘ฅ) โ†” (absโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค ((absโ€˜๐‘ฅ) + (๐นโ€˜๐‘ฅ))))
137135, 136mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ((absโ€˜๐‘ฅ) + (๐นโ€˜๐‘ฅ)) < ๐‘˜)) โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘˜)) โ†’ (absโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค ((absโ€˜๐‘ฅ) + (๐นโ€˜๐‘ฅ)))
13860adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ((absโ€˜๐‘ฅ) + (๐นโ€˜๐‘ฅ)) < ๐‘˜)) โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘˜)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
139138nnred 12243 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ((absโ€˜๐‘ฅ) + (๐นโ€˜๐‘ฅ)) < ๐‘˜)) โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘˜)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„)
140 simplrr 777 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ((absโ€˜๐‘ฅ) + (๐นโ€˜๐‘ฅ)) < ๐‘˜)) โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘˜)) โ†’ ((absโ€˜๐‘ฅ) + (๐นโ€˜๐‘ฅ)) < ๐‘˜)
141131, 139, 140ltled 11378 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ((absโ€˜๐‘ฅ) + (๐นโ€˜๐‘ฅ)) < ๐‘˜)) โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘˜)) โ†’ ((absโ€˜๐‘ฅ) + (๐นโ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ๐‘˜)
142 eluzle 12851 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘˜) โ†’ ๐‘˜ โ‰ค ๐‘—)
143142adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ((absโ€˜๐‘ฅ) + (๐นโ€˜๐‘ฅ)) < ๐‘˜)) โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘˜)) โ†’ ๐‘˜ โ‰ค ๐‘—)
144131, 139, 132, 141, 143letrd 11387 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ((absโ€˜๐‘ฅ) + (๐นโ€˜๐‘ฅ)) < ๐‘˜)) โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘˜)) โ†’ ((absโ€˜๐‘ฅ) + (๐นโ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ๐‘—)
145130, 131, 132, 137, 144letrd 11387 . . . . . . . . . . 11 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ((absโ€˜๐‘ฅ) + (๐นโ€˜๐‘ฅ)) < ๐‘˜)) โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘˜)) โ†’ (absโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘—)
14680, 132absled 15395 . . . . . . . . . . 11 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ((absโ€˜๐‘ฅ) + (๐นโ€˜๐‘ฅ)) < ๐‘˜)) โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘˜)) โ†’ ((absโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘— โ†” (-๐‘— โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ โ‰ค ๐‘—)))
147145, 146mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ((absโ€˜๐‘ฅ) + (๐นโ€˜๐‘ฅ)) < ๐‘˜)) โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘˜)) โ†’ (-๐‘— โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ โ‰ค ๐‘—))
148147simpld 494 . . . . . . . . 9 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ((absโ€˜๐‘ฅ) + (๐นโ€˜๐‘ฅ)) < ๐‘˜)) โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘˜)) โ†’ -๐‘— โ‰ค ๐‘ฅ)
149147simprd 495 . . . . . . . . 9 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ((absโ€˜๐‘ฅ) + (๐นโ€˜๐‘ฅ)) < ๐‘˜)) โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘˜)) โ†’ ๐‘ฅ โ‰ค ๐‘—)
150132renegcld 11657 . . . . . . . . . 10 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ((absโ€˜๐‘ฅ) + (๐นโ€˜๐‘ฅ)) < ๐‘˜)) โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘˜)) โ†’ -๐‘— โˆˆ โ„)
151 elicc2 13407 . . . . . . . . . 10 ((-๐‘— โˆˆ โ„ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (-๐‘—[,]๐‘—) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘— โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ โ‰ค ๐‘—)))
152150, 132, 151syl2anc 583 . . . . . . . . 9 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ((absโ€˜๐‘ฅ) + (๐นโ€˜๐‘ฅ)) < ๐‘˜)) โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘˜)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (-๐‘—[,]๐‘—) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘— โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ โ‰ค ๐‘—)))
15380, 148, 149, 152mpbir3and 1340 . . . . . . . 8 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ((absโ€˜๐‘ฅ) + (๐นโ€˜๐‘ฅ)) < ๐‘˜)) โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘˜)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ (-๐‘—[,]๐‘—))
154153iftrued 4532 . . . . . . 7 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ((absโ€˜๐‘ฅ) + (๐นโ€˜๐‘ฅ)) < ๐‘˜)) โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘˜)) โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ (-๐‘—[,]๐‘—), if((๐‘—๐ฝ๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘—, (๐‘—๐ฝ๐‘ฅ), ๐‘—), 0) = if((๐‘—๐ฝ๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘—, (๐‘—๐ฝ๐‘ฅ), ๐‘—))
155 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘š = ๐‘— โˆง ๐‘ฆ = ๐‘ฅ) โ†’ ๐‘ฆ = ๐‘ฅ)
156155fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘š = ๐‘— โˆง ๐‘ฆ = ๐‘ฅ) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฆ) = (๐นโ€˜๐‘ฅ))
157 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘š = ๐‘— โˆง ๐‘ฆ = ๐‘ฅ) โ†’ ๐‘š = ๐‘—)
158157oveq2d 7430 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘š = ๐‘— โˆง ๐‘ฆ = ๐‘ฅ) โ†’ (2โ†‘๐‘š) = (2โ†‘๐‘—))
159156, 158oveq12d 7432 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘š = ๐‘— โˆง ๐‘ฆ = ๐‘ฅ) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฆ) ยท (2โ†‘๐‘š)) = ((๐นโ€˜๐‘ฅ) ยท (2โ†‘๐‘—)))
160159fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘š = ๐‘— โˆง ๐‘ฆ = ๐‘ฅ) โ†’ (โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) ยท (2โ†‘๐‘š))) = (โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) ยท (2โ†‘๐‘—))))
161160, 158oveq12d 7432 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘š = ๐‘— โˆง ๐‘ฆ = ๐‘ฅ) โ†’ ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) ยท (2โ†‘๐‘š))) / (2โ†‘๐‘š)) = ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) ยท (2โ†‘๐‘—))) / (2โ†‘๐‘—)))
162 ovex 7447 . . . . . . . . . . . 12 ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) ยท (2โ†‘๐‘—))) / (2โ†‘๐‘—)) โˆˆ V
163161, 3, 162ovmpoa 7568 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘— โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘—๐ฝ๐‘ฅ) = ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) ยท (2โ†‘๐‘—))) / (2โ†‘๐‘—)))
16462, 80, 163syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ((absโ€˜๐‘ฅ) + (๐นโ€˜๐‘ฅ)) < ๐‘˜)) โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘˜)) โ†’ (๐‘—๐ฝ๐‘ฅ) = ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) ยท (2โ†‘๐‘—))) / (2โ†‘๐‘—)))
165108, 86nndivred 12282 . . . . . . . . . . 11 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ((absโ€˜๐‘ฅ) + (๐นโ€˜๐‘ฅ)) < ๐‘˜)) โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘˜)) โ†’ ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) ยท (2โ†‘๐‘—))) / (2โ†‘๐‘—)) โˆˆ โ„)
166 flle 13782 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐นโ€˜๐‘ฅ) ยท (2โ†‘๐‘—)) โˆˆ โ„ โ†’ (โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) ยท (2โ†‘๐‘—))) โ‰ค ((๐นโ€˜๐‘ฅ) ยท (2โ†‘๐‘—)))
16799, 166syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ((absโ€˜๐‘ฅ) + (๐นโ€˜๐‘ฅ)) < ๐‘˜)) โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘˜)) โ†’ (โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) ยท (2โ†‘๐‘—))) โ‰ค ((๐นโ€˜๐‘ฅ) ยท (2โ†‘๐‘—)))
168 ledivmul2 12109 . . . . . . . . . . . . 13 (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) ยท (2โ†‘๐‘—))) โˆˆ โ„ โˆง (๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง ((2โ†‘๐‘—) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (2โ†‘๐‘—))) โ†’ (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) ยท (2โ†‘๐‘—))) / (2โ†‘๐‘—)) โ‰ค (๐นโ€˜๐‘ฅ) โ†” (โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) ยท (2โ†‘๐‘—))) โ‰ค ((๐นโ€˜๐‘ฅ) ยท (2โ†‘๐‘—))))
169108, 64, 87, 113, 168syl112anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ((absโ€˜๐‘ฅ) + (๐นโ€˜๐‘ฅ)) < ๐‘˜)) โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘˜)) โ†’ (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) ยท (2โ†‘๐‘—))) / (2โ†‘๐‘—)) โ‰ค (๐นโ€˜๐‘ฅ) โ†” (โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) ยท (2โ†‘๐‘—))) โ‰ค ((๐นโ€˜๐‘ฅ) ยท (2โ†‘๐‘—))))
170167, 169mpbird 257 . . . . . . . . . . 11 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ((absโ€˜๐‘ฅ) + (๐นโ€˜๐‘ฅ)) < ๐‘˜)) โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘˜)) โ†’ ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) ยท (2โ†‘๐‘—))) / (2โ†‘๐‘—)) โ‰ค (๐นโ€˜๐‘ฅ))
1719ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ((absโ€˜๐‘ฅ) + (๐นโ€˜๐‘ฅ)) < ๐‘˜)) โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘˜)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
172171absge0d 15409 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ((absโ€˜๐‘ฅ) + (๐นโ€˜๐‘ฅ)) < ๐‘˜)) โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘˜)) โ†’ 0 โ‰ค (absโ€˜๐‘ฅ))
17364, 130addge02d 11819 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ((absโ€˜๐‘ฅ) + (๐นโ€˜๐‘ฅ)) < ๐‘˜)) โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘˜)) โ†’ (0 โ‰ค (absโ€˜๐‘ฅ) โ†” (๐นโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค ((absโ€˜๐‘ฅ) + (๐นโ€˜๐‘ฅ))))
174172, 173mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ((absโ€˜๐‘ฅ) + (๐นโ€˜๐‘ฅ)) < ๐‘˜)) โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘˜)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค ((absโ€˜๐‘ฅ) + (๐นโ€˜๐‘ฅ)))
17564, 131, 132, 174, 144letrd 11387 . . . . . . . . . . 11 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ((absโ€˜๐‘ฅ) + (๐นโ€˜๐‘ฅ)) < ๐‘˜)) โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘˜)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘—)
176165, 64, 132, 170, 175letrd 11387 . . . . . . . . . 10 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ((absโ€˜๐‘ฅ) + (๐นโ€˜๐‘ฅ)) < ๐‘˜)) โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘˜)) โ†’ ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) ยท (2โ†‘๐‘—))) / (2โ†‘๐‘—)) โ‰ค ๐‘—)
177164, 176eqbrtrd 5164 . . . . . . . . 9 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ((absโ€˜๐‘ฅ) + (๐นโ€˜๐‘ฅ)) < ๐‘˜)) โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘˜)) โ†’ (๐‘—๐ฝ๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘—)
178177iftrued 4532 . . . . . . . 8 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ((absโ€˜๐‘ฅ) + (๐นโ€˜๐‘ฅ)) < ๐‘˜)) โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘˜)) โ†’ if((๐‘—๐ฝ๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘—, (๐‘—๐ฝ๐‘ฅ), ๐‘—) = (๐‘—๐ฝ๐‘ฅ))
179178, 164eqtrd 2767 . . . . . . 7 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ((absโ€˜๐‘ฅ) + (๐นโ€˜๐‘ฅ)) < ๐‘˜)) โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘˜)) โ†’ if((๐‘—๐ฝ๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘—, (๐‘—๐ฝ๐‘ฅ), ๐‘—) = ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) ยท (2โ†‘๐‘—))) / (2โ†‘๐‘—)))
180129, 154, 1793eqtrd 2771 . . . . . 6 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ((absโ€˜๐‘ฅ) + (๐นโ€˜๐‘ฅ)) < ๐‘˜)) โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘˜)) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐บโ€˜๐‘›)โ€˜๐‘ฅ))โ€˜๐‘—) = ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) ยท (2โ†‘๐‘—))) / (2โ†‘๐‘—)))
181117, 63, 1803brtr4d 5174 . . . . 5 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ((absโ€˜๐‘ฅ) + (๐นโ€˜๐‘ฅ)) < ๐‘˜)) โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘˜)) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ ((1 / 2)โ†‘๐‘›)))โ€˜๐‘—) โ‰ค ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐บโ€˜๐‘›)โ€˜๐‘ฅ))โ€˜๐‘—))
182180, 170eqbrtrd 5164 . . . . 5 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ((absโ€˜๐‘ฅ) + (๐นโ€˜๐‘ฅ)) < ๐‘˜)) โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘˜)) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐บโ€˜๐‘›)โ€˜๐‘ฅ))โ€˜๐‘—) โ‰ค (๐นโ€˜๐‘ฅ))
18318, 20, 57, 59, 69, 82, 181, 182climsqz 15603 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ((absโ€˜๐‘ฅ) + (๐นโ€˜๐‘ฅ)) < ๐‘˜)) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐บโ€˜๐‘›)โ€˜๐‘ฅ)) โ‡ (๐นโ€˜๐‘ฅ))
18417, 183rexlimddv 3156 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐บโ€˜๐‘›)โ€˜๐‘ฅ)) โ‡ (๐นโ€˜๐‘ฅ))
185184ralrimiva 3141 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„ (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐บโ€˜๐‘›)โ€˜๐‘ฅ)) โ‡ (๐นโ€˜๐‘ฅ))
18634mptex 7229 . . . 4 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ (-๐‘š[,]๐‘š), if((๐‘š๐ฝ๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘š, (๐‘š๐ฝ๐‘ฅ), ๐‘š), 0))) โˆˆ V
1874, 186eqeltri 2824 . . 3 ๐บ โˆˆ V
188 feq1 6697 . . . 4 (๐‘” = ๐บ โ†’ (๐‘”:โ„•โŸถdom โˆซ1 โ†” ๐บ:โ„•โŸถdom โˆซ1))
189 fveq1 6890 . . . . . . 7 (๐‘” = ๐บ โ†’ (๐‘”โ€˜๐‘›) = (๐บโ€˜๐‘›))
190189breq2d 5154 . . . . . 6 (๐‘” = ๐บ โ†’ (0๐‘ โˆ˜r โ‰ค (๐‘”โ€˜๐‘›) โ†” 0๐‘ โˆ˜r โ‰ค (๐บโ€˜๐‘›)))
191 fveq1 6890 . . . . . . 7 (๐‘” = ๐บ โ†’ (๐‘”โ€˜(๐‘› + 1)) = (๐บโ€˜(๐‘› + 1)))
192189, 191breq12d 5155 . . . . . 6 (๐‘” = ๐บ โ†’ ((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ˜r โ‰ค (๐‘”โ€˜(๐‘› + 1)) โ†” (๐บโ€˜๐‘›) โˆ˜r โ‰ค (๐บโ€˜(๐‘› + 1))))
193190, 192anbi12d 630 . . . . 5 (๐‘” = ๐บ โ†’ ((0๐‘ โˆ˜r โ‰ค (๐‘”โ€˜๐‘›) โˆง (๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ˜r โ‰ค (๐‘”โ€˜(๐‘› + 1))) โ†” (0๐‘ โˆ˜r โ‰ค (๐บโ€˜๐‘›) โˆง (๐บโ€˜๐‘›) โˆ˜r โ‰ค (๐บโ€˜(๐‘› + 1)))))
194193ralbidv 3172 . . . 4 (๐‘” = ๐บ โ†’ (โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• (0๐‘ โˆ˜r โ‰ค (๐‘”โ€˜๐‘›) โˆง (๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ˜r โ‰ค (๐‘”โ€˜(๐‘› + 1))) โ†” โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• (0๐‘ โˆ˜r โ‰ค (๐บโ€˜๐‘›) โˆง (๐บโ€˜๐‘›) โˆ˜r โ‰ค (๐บโ€˜(๐‘› + 1)))))
195189fveq1d 6893 . . . . . . 7 (๐‘” = ๐บ โ†’ ((๐‘”โ€˜๐‘›)โ€˜๐‘ฅ) = ((๐บโ€˜๐‘›)โ€˜๐‘ฅ))
196195mpteq2dv 5244 . . . . . 6 (๐‘” = ๐บ โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘›)โ€˜๐‘ฅ)) = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐บโ€˜๐‘›)โ€˜๐‘ฅ)))
197196breq1d 5152 . . . . 5 (๐‘” = ๐บ โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘›)โ€˜๐‘ฅ)) โ‡ (๐นโ€˜๐‘ฅ) โ†” (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐บโ€˜๐‘›)โ€˜๐‘ฅ)) โ‡ (๐นโ€˜๐‘ฅ)))
198197ralbidv 3172 . . . 4 (๐‘” = ๐บ โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„ (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘›)โ€˜๐‘ฅ)) โ‡ (๐นโ€˜๐‘ฅ) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„ (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐บโ€˜๐‘›)โ€˜๐‘ฅ)) โ‡ (๐นโ€˜๐‘ฅ)))
199188, 194, 1983anbi123d 1433 . . 3 (๐‘” = ๐บ โ†’ ((๐‘”:โ„•โŸถdom โˆซ1 โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• (0๐‘ โˆ˜r โ‰ค (๐‘”โ€˜๐‘›) โˆง (๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ˜r โ‰ค (๐‘”โ€˜(๐‘› + 1))) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„ (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘›)โ€˜๐‘ฅ)) โ‡ (๐นโ€˜๐‘ฅ)) โ†” (๐บ:โ„•โŸถdom โˆซ1 โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• (0๐‘ โˆ˜r โ‰ค (๐บโ€˜๐‘›) โˆง (๐บโ€˜๐‘›) โˆ˜r โ‰ค (๐บโ€˜(๐‘› + 1))) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„ (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐บโ€˜๐‘›)โ€˜๐‘ฅ)) โ‡ (๐นโ€˜๐‘ฅ))))
200187, 199spcev 3591 . 2 ((๐บ:โ„•โŸถdom โˆซ1 โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• (0๐‘ โˆ˜r โ‰ค (๐บโ€˜๐‘›) โˆง (๐บโ€˜๐‘›) โˆ˜r โ‰ค (๐บโ€˜(๐‘› + 1))) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„ (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐บโ€˜๐‘›)โ€˜๐‘ฅ)) โ‡ (๐นโ€˜๐‘ฅ)) โ†’ โˆƒ๐‘”(๐‘”:โ„•โŸถdom โˆซ1 โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• (0๐‘ โˆ˜r โ‰ค (๐‘”โ€˜๐‘›) โˆง (๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ˜r โ‰ค (๐‘”โ€˜(๐‘› + 1))) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„ (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘›)โ€˜๐‘ฅ)) โ‡ (๐นโ€˜๐‘ฅ)))
2015, 7, 185, 200syl3anc 1369 1 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘”(๐‘”:โ„•โŸถdom โˆซ1 โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• (0๐‘ โˆ˜r โ‰ค (๐‘”โ€˜๐‘›) โˆง (๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ˜r โ‰ค (๐‘”โ€˜(๐‘› + 1))) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„ (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘›)โ€˜๐‘ฅ)) โ‡ (๐นโ€˜๐‘ฅ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆง w3a 1085   = wceq 1534  โˆƒwex 1774   โˆˆ wcel 2099   โ‰  wne 2935  โˆ€wral 3056  โˆƒwrex 3065  Vcvv 3469  ifcif 4524   class class class wbr 5142   โ†ฆ cmpt 5225  dom cdm 5672  โŸถwf 6538  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7414   โˆˆ cmpo 7416   โˆ˜r cofr 7676  โ„‚cc 11122  โ„cr 11123  0cc0 11124  1c1 11125   + caddc 11127   ยท cmul 11129  +โˆžcpnf 11261   < clt 11264   โ‰ค cle 11265   โˆ’ cmin 11460  -cneg 11461   / cdiv 11887  โ„•cn 12228  2c2 12283  โ„•0cn0 12488  โ„คcz 12574  โ„คโ‰ฅcuz 12838  [,)cico 13344  [,]cicc 13345  โŒŠcfl 13773  โ†‘cexp 14044  abscabs 15199   โ‡ cli 15446  MblFncmbf 25517  โˆซ1citg1 25518  0๐‘c0p 25572
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-inf2 9650  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7677  df-ofr 7678  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-2o 8479  df-er 8716  df-map 8836  df-pm 8837  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-fi 9420  df-sup 9451  df-inf 9452  df-oi 9519  df-dju 9910  df-card 9948  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11888  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-n0 12489  df-z 12575  df-uz 12839  df-q 12949  df-rp 12993  df-xneg 13110  df-xadd 13111  df-xmul 13112  df-ioo 13346  df-ico 13348  df-icc 13349  df-fz 13503  df-fzo 13646  df-fl 13775  df-seq 13985  df-exp 14045  df-hash 14308  df-cj 15064  df-re 15065  df-im 15066  df-sqrt 15200  df-abs 15201  df-clim 15450  df-rlim 15451  df-sum 15651  df-rest 17389  df-topgen 17410  df-psmet 21251  df-xmet 21252  df-met 21253  df-bl 21254  df-mopn 21255  df-top 22770  df-topon 22787  df-bases 22823  df-cmp 23265  df-ovol 25367  df-vol 25368  df-mbf 25522  df-itg1 25523  df-0p 25573
This theorem is referenced by:  mbfi1fseq  25625
  Copyright terms: Public domain W3C validator