Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfi1fseqlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfi1fseqlem1 24310
 Description: Lemma for mbfi1fseq 24316. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfi1fseq.1 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
mbfi1fseq.2 (𝜑𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
mbfi1fseq.3 𝐽 = (𝑚 ∈ ℕ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ ((⌊‘((𝐹𝑦) · (2↑𝑚))) / (2↑𝑚)))
Assertion
Ref Expression
mbfi1fseqlem1 (𝜑𝐽:(ℕ × ℝ)⟶(0[,)+∞))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑚,𝐹   𝑚,𝐽   𝜑,𝑚,𝑦
Allowed substitution hint:   𝐽(𝑦)

Proof of Theorem mbfi1fseqlem1
StepHypRef Expression
1 mbfi1fseq.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
2 simpr 488 . . . . . . . . . 10 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
3 ffvelrn 6832 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹𝑦) ∈ (0[,)+∞))
41, 2, 3syl2an 598 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝐹𝑦) ∈ (0[,)+∞))
5 elrege0 12832 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝑦) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝐹𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹𝑦)))
64, 5sylib 221 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((𝐹𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹𝑦)))
76simpld 498 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝐹𝑦) ∈ ℝ)
8 2nn 11698 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℕ
9 nnnn0 11892 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℕ0)
10 nnexpcl 13438 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑𝑚) ∈ ℕ)
118, 9, 10sylancr 590 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ ℕ → (2↑𝑚) ∈ ℕ)
1211ad2antrl 727 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (2↑𝑚) ∈ ℕ)
1312nnred 11640 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (2↑𝑚) ∈ ℝ)
147, 13remulcld 10658 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((𝐹𝑦) · (2↑𝑚)) ∈ ℝ)
15 reflcl 13161 . . . . . 6 (((𝐹𝑦) · (2↑𝑚)) ∈ ℝ → (⌊‘((𝐹𝑦) · (2↑𝑚))) ∈ ℝ)
1614, 15syl 17 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (⌊‘((𝐹𝑦) · (2↑𝑚))) ∈ ℝ)
1716, 12nndivred 11679 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((⌊‘((𝐹𝑦) · (2↑𝑚))) / (2↑𝑚)) ∈ ℝ)
1812nnnn0d 11943 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (2↑𝑚) ∈ ℕ0)
1918nn0ge0d 11946 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 0 ≤ (2↑𝑚))
20 mulge0 11145 . . . . . . . 8 ((((𝐹𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹𝑦)) ∧ ((2↑𝑚) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2↑𝑚))) → 0 ≤ ((𝐹𝑦) · (2↑𝑚)))
216, 13, 19, 20syl12anc 835 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 0 ≤ ((𝐹𝑦) · (2↑𝑚)))
22 flge0nn0 13185 . . . . . . 7 ((((𝐹𝑦) · (2↑𝑚)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝐹𝑦) · (2↑𝑚))) → (⌊‘((𝐹𝑦) · (2↑𝑚))) ∈ ℕ0)
2314, 21, 22syl2anc 587 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (⌊‘((𝐹𝑦) · (2↑𝑚))) ∈ ℕ0)
2423nn0ge0d 11946 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 0 ≤ (⌊‘((𝐹𝑦) · (2↑𝑚))))
2512nngt0d 11674 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 0 < (2↑𝑚))
26 divge0 11496 . . . . 5 ((((⌊‘((𝐹𝑦) · (2↑𝑚))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (⌊‘((𝐹𝑦) · (2↑𝑚)))) ∧ ((2↑𝑚) ∈ ℝ ∧ 0 < (2↑𝑚))) → 0 ≤ ((⌊‘((𝐹𝑦) · (2↑𝑚))) / (2↑𝑚)))
2716, 24, 13, 25, 26syl22anc 837 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 0 ≤ ((⌊‘((𝐹𝑦) · (2↑𝑚))) / (2↑𝑚)))
28 elrege0 12832 . . . 4 (((⌊‘((𝐹𝑦) · (2↑𝑚))) / (2↑𝑚)) ∈ (0[,)+∞) ↔ (((⌊‘((𝐹𝑦) · (2↑𝑚))) / (2↑𝑚)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((⌊‘((𝐹𝑦) · (2↑𝑚))) / (2↑𝑚))))
2917, 27, 28sylanbrc 586 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((⌊‘((𝐹𝑦) · (2↑𝑚))) / (2↑𝑚)) ∈ (0[,)+∞))
3029ralrimivva 3185 . 2 (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℕ ∀𝑦 ∈ ℝ ((⌊‘((𝐹𝑦) · (2↑𝑚))) / (2↑𝑚)) ∈ (0[,)+∞))
31 mbfi1fseq.3 . . 3 𝐽 = (𝑚 ∈ ℕ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ ((⌊‘((𝐹𝑦) · (2↑𝑚))) / (2↑𝑚)))
3231fmpo 7751 . 2 (∀𝑚 ∈ ℕ ∀𝑦 ∈ ℝ ((⌊‘((𝐹𝑦) · (2↑𝑚))) / (2↑𝑚)) ∈ (0[,)+∞) ↔ 𝐽:(ℕ × ℝ)⟶(0[,)+∞))
3330, 32sylib 221 1 (𝜑𝐽:(ℕ × ℝ)⟶(0[,)+∞))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  ∀wral 3132   class class class wbr 5049   × cxp 5536  ⟶wf 6334  ‘cfv 6338  (class class class)co 7140   ∈ cmpo 7142  ℝcr 10523  0cc0 10524   · cmul 10529  +∞cpnf 10659   < clt 10662   ≤ cle 10663   / cdiv 11284  ℕcn 11625  2c2 11680  ℕ0cn0 11885  [,)cico 12728  ⌊cfl 13155  ↑cexp 13425  MblFncmbf 24209 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5186  ax-nul 5193  ax-pow 5249  ax-pr 5313  ax-un 7446  ax-cnex 10580  ax-resscn 10581  ax-1cn 10582  ax-icn 10583  ax-addcl 10584  ax-addrcl 10585  ax-mulcl 10586  ax-mulrcl 10587  ax-mulcom 10588  ax-addass 10589  ax-mulass 10590  ax-distr 10591  ax-i2m1 10592  ax-1ne0 10593  ax-1rid 10594  ax-rnegex 10595  ax-rrecex 10596  ax-cnre 10597  ax-pre-lttri 10598  ax-pre-lttrn 10599  ax-pre-ltadd 10600  ax-pre-mulgt0 10601  ax-pre-sup 10602 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rmo 3140  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4822  df-iun 4904  df-br 5050  df-opab 5112  df-mpt 5130  df-tr 5156  df-id 5443  df-eprel 5448  df-po 5457  df-so 5458  df-fr 5497  df-we 5499  df-xp 5544  df-rel 5545  df-cnv 5546  df-co 5547  df-dm 5548  df-rn 5549  df-res 5550  df-ima 5551  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6297  df-fun 6340  df-fn 6341  df-f 6342  df-f1 6343  df-fo 6344  df-f1o 6345  df-fv 6346  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7674  df-2nd 7675  df-wrecs 7932  df-recs 7993  df-rdg 8031  df-er 8274  df-en 8495  df-dom 8496  df-sdom 8497  df-sup 8892  df-inf 8893  df-pnf 10664  df-mnf 10665  df-xr 10666  df-ltxr 10667  df-le 10668  df-sub 10859  df-neg 10860  df-div 11285  df-nn 11626  df-2 11688  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-ico 12732  df-fl 13157  df-seq 13365  df-exp 13426 This theorem is referenced by:  mbfi1fseqlem5  24314
 Copyright terms: Public domain W3C validator