MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfi1fseqlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfi1fseqlem1 25103
Description: Lemma for mbfi1fseq 25109. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfi1fseq.1 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ MblFn)
mbfi1fseq.2 (๐œ‘ โ†’ ๐น:โ„โŸถ(0[,)+โˆž))
mbfi1fseq.3 ๐ฝ = (๐‘š โˆˆ โ„•, ๐‘ฆ โˆˆ โ„ โ†ฆ ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) ยท (2โ†‘๐‘š))) / (2โ†‘๐‘š)))
Assertion
Ref Expression
mbfi1fseqlem1 (๐œ‘ โ†’ ๐ฝ:(โ„• ร— โ„)โŸถ(0[,)+โˆž))
Distinct variable groups:   ๐‘ฆ,๐‘š,๐น   ๐‘š,๐ฝ   ๐œ‘,๐‘š,๐‘ฆ
Allowed substitution hint:   ๐ฝ(๐‘ฆ)

Proof of Theorem mbfi1fseqlem1
StepHypRef Expression
1 mbfi1fseq.2 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐น:โ„โŸถ(0[,)+โˆž))
2 simpr 486 . . . . . . . . . 10 ((๐‘š โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„)
3 ffvelcdm 7036 . . . . . . . . . 10 ((๐น:โ„โŸถ(0[,)+โˆž) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ (0[,)+โˆž))
41, 2, 3syl2an 597 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ (0[,)+โˆž))
5 elrege0 13380 . . . . . . . . 9 ((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ (0[,)+โˆž) โ†” ((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (๐นโ€˜๐‘ฆ)))
64, 5sylib 217 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (๐นโ€˜๐‘ฆ)))
76simpld 496 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„)
8 2nn 12234 . . . . . . . . . 10 2 โˆˆ โ„•
9 nnnn0 12428 . . . . . . . . . 10 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„•0)
10 nnexpcl 13989 . . . . . . . . . 10 ((2 โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘๐‘š) โˆˆ โ„•)
118, 9, 10sylancr 588 . . . . . . . . 9 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ (2โ†‘๐‘š) โˆˆ โ„•)
1211ad2antrl 727 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)) โ†’ (2โ†‘๐‘š) โˆˆ โ„•)
1312nnred 12176 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)) โ†’ (2โ†‘๐‘š) โˆˆ โ„)
147, 13remulcld 11193 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฆ) ยท (2โ†‘๐‘š)) โˆˆ โ„)
15 reflcl 13710 . . . . . 6 (((๐นโ€˜๐‘ฆ) ยท (2โ†‘๐‘š)) โˆˆ โ„ โ†’ (โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) ยท (2โ†‘๐‘š))) โˆˆ โ„)
1614, 15syl 17 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)) โ†’ (โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) ยท (2โ†‘๐‘š))) โˆˆ โ„)
1716, 12nndivred 12215 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)) โ†’ ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) ยท (2โ†‘๐‘š))) / (2โ†‘๐‘š)) โˆˆ โ„)
1812nnnn0d 12481 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)) โ†’ (2โ†‘๐‘š) โˆˆ โ„•0)
1918nn0ge0d 12484 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)) โ†’ 0 โ‰ค (2โ†‘๐‘š))
20 mulge0 11681 . . . . . . . 8 ((((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (๐นโ€˜๐‘ฆ)) โˆง ((2โ†‘๐‘š) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (2โ†‘๐‘š))) โ†’ 0 โ‰ค ((๐นโ€˜๐‘ฆ) ยท (2โ†‘๐‘š)))
216, 13, 19, 20syl12anc 836 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)) โ†’ 0 โ‰ค ((๐นโ€˜๐‘ฆ) ยท (2โ†‘๐‘š)))
22 flge0nn0 13734 . . . . . . 7 ((((๐นโ€˜๐‘ฆ) ยท (2โ†‘๐‘š)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ((๐นโ€˜๐‘ฆ) ยท (2โ†‘๐‘š))) โ†’ (โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) ยท (2โ†‘๐‘š))) โˆˆ โ„•0)
2314, 21, 22syl2anc 585 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)) โ†’ (โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) ยท (2โ†‘๐‘š))) โˆˆ โ„•0)
2423nn0ge0d 12484 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)) โ†’ 0 โ‰ค (โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) ยท (2โ†‘๐‘š))))
2512nngt0d 12210 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)) โ†’ 0 < (2โ†‘๐‘š))
26 divge0 12032 . . . . 5 ((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) ยท (2โ†‘๐‘š))) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) ยท (2โ†‘๐‘š)))) โˆง ((2โ†‘๐‘š) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (2โ†‘๐‘š))) โ†’ 0 โ‰ค ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) ยท (2โ†‘๐‘š))) / (2โ†‘๐‘š)))
2716, 24, 13, 25, 26syl22anc 838 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)) โ†’ 0 โ‰ค ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) ยท (2โ†‘๐‘š))) / (2โ†‘๐‘š)))
28 elrege0 13380 . . . 4 (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) ยท (2โ†‘๐‘š))) / (2โ†‘๐‘š)) โˆˆ (0[,)+โˆž) โ†” (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) ยท (2โ†‘๐‘š))) / (2โ†‘๐‘š)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) ยท (2โ†‘๐‘š))) / (2โ†‘๐‘š))))
2917, 27, 28sylanbrc 584 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)) โ†’ ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) ยท (2โ†‘๐‘š))) / (2โ†‘๐‘š)) โˆˆ (0[,)+โˆž))
3029ralrimivva 3194 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„ ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) ยท (2โ†‘๐‘š))) / (2โ†‘๐‘š)) โˆˆ (0[,)+โˆž))
31 mbfi1fseq.3 . . 3 ๐ฝ = (๐‘š โˆˆ โ„•, ๐‘ฆ โˆˆ โ„ โ†ฆ ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) ยท (2โ†‘๐‘š))) / (2โ†‘๐‘š)))
3231fmpo 8004 . 2 (โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„ ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) ยท (2โ†‘๐‘š))) / (2โ†‘๐‘š)) โˆˆ (0[,)+โˆž) โ†” ๐ฝ:(โ„• ร— โ„)โŸถ(0[,)+โˆž))
3330, 32sylib 217 1 (๐œ‘ โ†’ ๐ฝ:(โ„• ร— โ„)โŸถ(0[,)+โˆž))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3061   class class class wbr 5109   ร— cxp 5635  โŸถwf 6496  โ€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   โˆˆ cmpo 7363  โ„cr 11058  0cc0 11059   ยท cmul 11064  +โˆžcpnf 11194   < clt 11197   โ‰ค cle 11198   / cdiv 11820  โ„•cn 12161  2c2 12216  โ„•0cn0 12421  [,)cico 13275  โŒŠcfl 13704  โ†‘cexp 13976  MblFncmbf 25001
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-sup 9386  df-inf 9387  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-ico 13279  df-fl 13706  df-seq 13916  df-exp 13977
This theorem is referenced by:  mbfi1fseqlem5  25107
  Copyright terms: Public domain W3C validator