Theorem mbfi1fseqlem1 24880

Description: Lemma for mbfi1fseq 24886. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mbfi1fseq.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)
mbfi1fseq.2	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
mbfi1fseq.3	⊢ 𝐽 = (𝑚 ∈ ℕ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ ((⌊‘((𝐹‘𝑦) · (2↑𝑚))) / (2↑𝑚)))

Assertion

Ref	Expression
mbfi1fseqlem1	⊢ (𝜑 → 𝐽:(ℕ × ℝ)⟶(0[,)+∞))

Distinct variable groups:   𝑦,𝑚,𝐹   𝑚,𝐽   𝜑,𝑚,𝑦

Allowed substitution hint:   𝐽(𝑦)

Proof of Theorem mbfi1fseqlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mbfi1fseq.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
2		simpr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
3		ffvelrn 6959	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑦) ∈ (0[,)+∞))
4	1, 2, 3	syl2an 596	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝐹‘𝑦) ∈ (0[,)+∞))
5		elrege0 13186	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹‘𝑦) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝐹‘𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑦)))
6	4, 5	sylib 217	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((𝐹‘𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑦)))
7	6	simpld 495	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ)
8		2nn 12046	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℕ
9		nnnn0 12240	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℕ0)
10		nnexpcl 13795	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑𝑚) ∈ ℕ)
11	8, 9, 10	sylancr 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (2↑𝑚) ∈ ℕ)
12	11	ad2antrl 725	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (2↑𝑚) ∈ ℕ)
13	12	nnred 11988	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (2↑𝑚) ∈ ℝ)
14	7, 13	remulcld 11005	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((𝐹‘𝑦) · (2↑𝑚)) ∈ ℝ)
15		reflcl 13516	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹‘𝑦) · (2↑𝑚)) ∈ ℝ → (⌊‘((𝐹‘𝑦) · (2↑𝑚))) ∈ ℝ)
16	14, 15	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (⌊‘((𝐹‘𝑦) · (2↑𝑚))) ∈ ℝ)
17	16, 12	nndivred 12027	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((⌊‘((𝐹‘𝑦) · (2↑𝑚))) / (2↑𝑚)) ∈ ℝ)
18	12	nnnn0d 12293	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (2↑𝑚) ∈ ℕ0)
19	18	nn0ge0d 12296	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 0 ≤ (2↑𝑚))
20		mulge0 11493	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐹‘𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑦)) ∧ ((2↑𝑚) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2↑𝑚))) → 0 ≤ ((𝐹‘𝑦) · (2↑𝑚)))
21	6, 13, 19, 20	syl12anc 834	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 0 ≤ ((𝐹‘𝑦) · (2↑𝑚)))
22		flge0nn0 13540	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐹‘𝑦) · (2↑𝑚)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝐹‘𝑦) · (2↑𝑚))) → (⌊‘((𝐹‘𝑦) · (2↑𝑚))) ∈ ℕ0)
23	14, 21, 22	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (⌊‘((𝐹‘𝑦) · (2↑𝑚))) ∈ ℕ0)
24	23	nn0ge0d 12296	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 0 ≤ (⌊‘((𝐹‘𝑦) · (2↑𝑚))))
25	12	nngt0d 12022	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 0 < (2↑𝑚))
26		divge0 11844	. . . . 5 ⊢ ((((⌊‘((𝐹‘𝑦) · (2↑𝑚))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (⌊‘((𝐹‘𝑦) · (2↑𝑚)))) ∧ ((2↑𝑚) ∈ ℝ ∧ 0 < (2↑𝑚))) → 0 ≤ ((⌊‘((𝐹‘𝑦) · (2↑𝑚))) / (2↑𝑚)))
27	16, 24, 13, 25, 26	syl22anc 836	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 0 ≤ ((⌊‘((𝐹‘𝑦) · (2↑𝑚))) / (2↑𝑚)))
28		elrege0 13186	. . . 4 ⊢ (((⌊‘((𝐹‘𝑦) · (2↑𝑚))) / (2↑𝑚)) ∈ (0[,)+∞) ↔ (((⌊‘((𝐹‘𝑦) · (2↑𝑚))) / (2↑𝑚)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((⌊‘((𝐹‘𝑦) · (2↑𝑚))) / (2↑𝑚))))
29	17, 27, 28	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((⌊‘((𝐹‘𝑦) · (2↑𝑚))) / (2↑𝑚)) ∈ (0[,)+∞))
30	29	ralrimivva 3123	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℕ ∀𝑦 ∈ ℝ ((⌊‘((𝐹‘𝑦) · (2↑𝑚))) / (2↑𝑚)) ∈ (0[,)+∞))
31		mbfi1fseq.3	. . 3 ⊢ 𝐽 = (𝑚 ∈ ℕ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ ((⌊‘((𝐹‘𝑦) · (2↑𝑚))) / (2↑𝑚)))
32	31	fmpo 7908	. 2 ⊢ (∀𝑚 ∈ ℕ ∀𝑦 ∈ ℝ ((⌊‘((𝐹‘𝑦) · (2↑𝑚))) / (2↑𝑚)) ∈ (0[,)+∞) ↔ 𝐽:(ℕ × ℝ)⟶(0[,)+∞))
33	30, 32	sylib 217	1 ⊢ (𝜑 → 𝐽:(ℕ × ℝ)⟶(0[,)+∞))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064   class class class wbr 5074   × cxp 5587  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275   ∈ cmpo 7277  ℝcr 10870  0cc0 10871   · cmul 10876  +∞cpnf 11006   < clt 11009   ≤ cle 11010   / cdiv 11632  ℕcn 11973  2c2 12028  ℕ₀cn0 12233  [,)cico 13081  ⌊cfl 13510  ↑cexp 13782  MblFncmbf 24778

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-sup 9201  df-inf 9202  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-ico 13085  df-fl 13512  df-seq 13722  df-exp 13783

This theorem is referenced by:  mbfi1fseqlem5  24884