Theorem mbfi1fseqlem1 26042

Description: Lemma for mbfi1fseq 26048. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mbfi1fseq.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)
mbfi1fseq.2	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
mbfi1fseq.3	⊢ 𝐽 = (𝑚 ∈ ℕ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ ((⌊‘((𝐹‘𝑦) · (2↑𝑚))) / (2↑𝑚)))

Assertion

Ref	Expression
mbfi1fseqlem1	⊢ (𝜑 → 𝐽:(ℕ × ℝ)⟶(0[,)+∞))

Distinct variable groups:   𝑦,𝑚,𝐹   𝑚,𝐽   𝜑,𝑚,𝑦

Allowed substitution hint:   𝐽(𝑦)

Proof of Theorem mbfi1fseqlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mbfi1fseq.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
2		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
3		ffvelcdm 7082	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑦) ∈ (0[,)+∞))
4	1, 2, 3	syl2an 608	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝐹‘𝑦) ∈ (0[,)+∞))
5		elrege0 13589	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹‘𝑦) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝐹‘𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑦)))
6	4, 5	sylib 221	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((𝐹‘𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑦)))
7	6	simpld 500	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ)
8		2nn 12420	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℕ
9		nnnn0 12617	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℕ0)
10		nnexpcl 14221	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑𝑚) ∈ ℕ)
11	8, 9, 10	sylancr 599	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (2↑𝑚) ∈ ℕ)
12	11	ad2antrl 741	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (2↑𝑚) ∈ ℕ)
13	12	nnred 12354	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (2↑𝑚) ∈ ℝ)
14	7, 13	remulcld 11343	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((𝐹‘𝑦) · (2↑𝑚)) ∈ ℝ)
15		reflcl 13940	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹‘𝑦) · (2↑𝑚)) ∈ ℝ → (⌊‘((𝐹‘𝑦) · (2↑𝑚))) ∈ ℝ)
16	14, 15	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (⌊‘((𝐹‘𝑦) · (2↑𝑚))) ∈ ℝ)
17	16, 12	nndivred 12396	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((⌊‘((𝐹‘𝑦) · (2↑𝑚))) / (2↑𝑚)) ∈ ℝ)
18	12	nnnn0d 12671	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (2↑𝑚) ∈ ℕ0)
19	18	nn0ge0d 12674	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 0 ≤ (2↑𝑚))
20		mulge0 11838	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐹‘𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑦)) ∧ ((2↑𝑚) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2↑𝑚))) → 0 ≤ ((𝐹‘𝑦) · (2↑𝑚)))
21	6, 13, 19, 20	syl12anc 850	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 0 ≤ ((𝐹‘𝑦) · (2↑𝑚)))
22		flge0nn0 13964	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐹‘𝑦) · (2↑𝑚)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝐹‘𝑦) · (2↑𝑚))) → (⌊‘((𝐹‘𝑦) · (2↑𝑚))) ∈ ℕ0)
23	14, 21, 22	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (⌊‘((𝐹‘𝑦) · (2↑𝑚))) ∈ ℕ0)
24	23	nn0ge0d 12674	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 0 ≤ (⌊‘((𝐹‘𝑦) · (2↑𝑚))))
25	12	nngt0d 12391	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 0 < (2↑𝑚))
26		divge0 12190	. . . . 5 ⊢ ((((⌊‘((𝐹‘𝑦) · (2↑𝑚))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (⌊‘((𝐹‘𝑦) · (2↑𝑚)))) ∧ ((2↑𝑚) ∈ ℝ ∧ 0 < (2↑𝑚))) → 0 ≤ ((⌊‘((𝐹‘𝑦) · (2↑𝑚))) / (2↑𝑚)))
27	16, 24, 13, 25, 26	syl22anc 852	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 0 ≤ ((⌊‘((𝐹‘𝑦) · (2↑𝑚))) / (2↑𝑚)))
28		elrege0 13589	. . . 4 ⊢ (((⌊‘((𝐹‘𝑦) · (2↑𝑚))) / (2↑𝑚)) ∈ (0[,)+∞) ↔ (((⌊‘((𝐹‘𝑦) · (2↑𝑚))) / (2↑𝑚)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((⌊‘((𝐹‘𝑦) · (2↑𝑚))) / (2↑𝑚))))
29	17, 27, 28	sylanbrc 595	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((⌊‘((𝐹‘𝑦) · (2↑𝑚))) / (2↑𝑚)) ∈ (0[,)+∞))
30	29	ralrimivva 3205	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℕ ∀𝑦 ∈ ℝ ((⌊‘((𝐹‘𝑦) · (2↑𝑚))) / (2↑𝑚)) ∈ (0[,)+∞))
31		mbfi1fseq.3	. . 3 ⊢ 𝐽 = (𝑚 ∈ ℕ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ ((⌊‘((𝐹‘𝑦) · (2↑𝑚))) / (2↑𝑚)))
32	31	fmpo 8080	. 2 ⊢ (∀𝑚 ∈ ℕ ∀𝑦 ∈ ℝ ((⌊‘((𝐹‘𝑦) · (2↑𝑚))) / (2↑𝑚)) ∈ (0[,)+∞) ↔ 𝐽:(ℕ × ℝ)⟶(0[,)+∞))
33	30, 32	sylib 221	1 ⊢ (𝜑 → 𝐽:(ℕ × ℝ)⟶(0[,)+∞))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076   class class class wbr 5102   × cxp 5648  ⟶wf 6535  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421   ∈ cmpo 7423  ℝcr 11203  0cc0 11204   · cmul 11209  +∞cpnf 11344   < clt 11347   ≤ cle 11348   / cdiv 11977  ℕcn 12339  2c2 12401  ℕ₀cn0 12610  [,)cico 13482  ⌊cfl 13934  ↑cexp 14208  MblFncmbf 25941

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281  ax-pre-sup 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-sup 9438  df-inf 9439  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-div 11978  df-nn 12340  df-2 12409  df-n0 12611  df-z 12698  df-uz 12970  df-ico 13486  df-fl 13936  df-seq 14149  df-exp 14209

This theorem is used by:  mbfi1fseqlem5  26046