Theorem mbfi1fseqlem1 25623

Description: Lemma for mbfi1fseq 25629. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mbfi1fseq.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)
mbfi1fseq.2	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
mbfi1fseq.3	⊢ 𝐽 = (𝑚 ∈ ℕ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ ((⌊‘((𝐹‘𝑦) · (2↑𝑚))) / (2↑𝑚)))

Assertion

Ref	Expression
mbfi1fseqlem1	⊢ (𝜑 → 𝐽:(ℕ × ℝ)⟶(0[,)+∞))

Distinct variable groups:   𝑦,𝑚,𝐹   𝑚,𝐽   𝜑,𝑚,𝑦

Allowed substitution hint:   𝐽(𝑦)

Proof of Theorem mbfi1fseqlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mbfi1fseq.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
2		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
3		ffvelcdm 7056	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑦) ∈ (0[,)+∞))
4	1, 2, 3	syl2an 596	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝐹‘𝑦) ∈ (0[,)+∞))
5		elrege0 13422	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹‘𝑦) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝐹‘𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑦)))
6	4, 5	sylib 218	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((𝐹‘𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑦)))
7	6	simpld 494	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ)
8		2nn 12266	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℕ
9		nnnn0 12456	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℕ0)
10		nnexpcl 14046	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑𝑚) ∈ ℕ)
11	8, 9, 10	sylancr 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (2↑𝑚) ∈ ℕ)
12	11	ad2antrl 728	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (2↑𝑚) ∈ ℕ)
13	12	nnred 12208	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (2↑𝑚) ∈ ℝ)
14	7, 13	remulcld 11211	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((𝐹‘𝑦) · (2↑𝑚)) ∈ ℝ)
15		reflcl 13765	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹‘𝑦) · (2↑𝑚)) ∈ ℝ → (⌊‘((𝐹‘𝑦) · (2↑𝑚))) ∈ ℝ)
16	14, 15	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (⌊‘((𝐹‘𝑦) · (2↑𝑚))) ∈ ℝ)
17	16, 12	nndivred 12247	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((⌊‘((𝐹‘𝑦) · (2↑𝑚))) / (2↑𝑚)) ∈ ℝ)
18	12	nnnn0d 12510	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (2↑𝑚) ∈ ℕ0)
19	18	nn0ge0d 12513	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 0 ≤ (2↑𝑚))
20		mulge0 11703	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐹‘𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑦)) ∧ ((2↑𝑚) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2↑𝑚))) → 0 ≤ ((𝐹‘𝑦) · (2↑𝑚)))
21	6, 13, 19, 20	syl12anc 836	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 0 ≤ ((𝐹‘𝑦) · (2↑𝑚)))
22		flge0nn0 13789	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐹‘𝑦) · (2↑𝑚)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝐹‘𝑦) · (2↑𝑚))) → (⌊‘((𝐹‘𝑦) · (2↑𝑚))) ∈ ℕ0)
23	14, 21, 22	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (⌊‘((𝐹‘𝑦) · (2↑𝑚))) ∈ ℕ0)
24	23	nn0ge0d 12513	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 0 ≤ (⌊‘((𝐹‘𝑦) · (2↑𝑚))))
25	12	nngt0d 12242	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 0 < (2↑𝑚))
26		divge0 12059	. . . . 5 ⊢ ((((⌊‘((𝐹‘𝑦) · (2↑𝑚))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (⌊‘((𝐹‘𝑦) · (2↑𝑚)))) ∧ ((2↑𝑚) ∈ ℝ ∧ 0 < (2↑𝑚))) → 0 ≤ ((⌊‘((𝐹‘𝑦) · (2↑𝑚))) / (2↑𝑚)))
27	16, 24, 13, 25, 26	syl22anc 838	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 0 ≤ ((⌊‘((𝐹‘𝑦) · (2↑𝑚))) / (2↑𝑚)))
28		elrege0 13422	. . . 4 ⊢ (((⌊‘((𝐹‘𝑦) · (2↑𝑚))) / (2↑𝑚)) ∈ (0[,)+∞) ↔ (((⌊‘((𝐹‘𝑦) · (2↑𝑚))) / (2↑𝑚)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((⌊‘((𝐹‘𝑦) · (2↑𝑚))) / (2↑𝑚))))
29	17, 27, 28	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((⌊‘((𝐹‘𝑦) · (2↑𝑚))) / (2↑𝑚)) ∈ (0[,)+∞))
30	29	ralrimivva 3181	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℕ ∀𝑦 ∈ ℝ ((⌊‘((𝐹‘𝑦) · (2↑𝑚))) / (2↑𝑚)) ∈ (0[,)+∞))
31		mbfi1fseq.3	. . 3 ⊢ 𝐽 = (𝑚 ∈ ℕ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ ((⌊‘((𝐹‘𝑦) · (2↑𝑚))) / (2↑𝑚)))
32	31	fmpo 8050	. 2 ⊢ (∀𝑚 ∈ ℕ ∀𝑦 ∈ ℝ ((⌊‘((𝐹‘𝑦) · (2↑𝑚))) / (2↑𝑚)) ∈ (0[,)+∞) ↔ 𝐽:(ℕ × ℝ)⟶(0[,)+∞))
33	30, 32	sylib 218	1 ⊢ (𝜑 → 𝐽:(ℕ × ℝ)⟶(0[,)+∞))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045   class class class wbr 5110   × cxp 5639  ⟶wf 6510  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390   ∈ cmpo 7392  ℝcr 11074  0cc0 11075   · cmul 11080  +∞cpnf 11212   < clt 11215   ≤ cle 11216   / cdiv 11842  ℕcn 12193  2c2 12248  ℕ₀cn0 12449  [,)cico 13315  ⌊cfl 13759  ↑cexp 14033  MblFncmbf 25522

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-sup 9400  df-inf 9401  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-ico 13319  df-fl 13761  df-seq 13974  df-exp 14034

This theorem is referenced by:  mbfi1fseqlem5  25627