Theorem mbfi1fseqlem1 25855

Description: Lemma for mbfi1fseq 25861. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mbfi1fseq.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)
mbfi1fseq.2	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
mbfi1fseq.3	⊢ 𝐽 = (𝑚 ∈ ℕ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ ((⌊‘((𝐹‘𝑦) · (2↑𝑚))) / (2↑𝑚)))

Assertion

Ref	Expression
mbfi1fseqlem1	⊢ (𝜑 → 𝐽:(ℕ × ℝ)⟶(0[,)+∞))

Distinct variable groups:   𝑦,𝑚,𝐹   𝑚,𝐽   𝜑,𝑚,𝑦

Allowed substitution hint:   𝐽(𝑦)

Proof of Theorem mbfi1fseqlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mbfi1fseq.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
2		simpr 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
3		ffvelcdm 7078	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑦) ∈ (0[,)+∞))
4	1, 2, 3	syl2an 607	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝐹‘𝑦) ∈ (0[,)+∞))
5		elrege0 13482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹‘𝑦) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝐹‘𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑦)))
6	4, 5	sylib 221	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((𝐹‘𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑦)))
7	6	simpld 499	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ)
8		2nn 12315	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℕ
9		nnnn0 12512	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℕ0)
10		nnexpcl 14112	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑𝑚) ∈ ℕ)
11	8, 9, 10	sylancr 598	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (2↑𝑚) ∈ ℕ)
12	11	ad2antrl 740	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (2↑𝑚) ∈ ℕ)
13	12	nnred 12249	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (2↑𝑚) ∈ ℝ)
14	7, 13	remulcld 11240	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((𝐹‘𝑦) · (2↑𝑚)) ∈ ℝ)
15		reflcl 13831	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹‘𝑦) · (2↑𝑚)) ∈ ℝ → (⌊‘((𝐹‘𝑦) · (2↑𝑚))) ∈ ℝ)
16	14, 15	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (⌊‘((𝐹‘𝑦) · (2↑𝑚))) ∈ ℝ)
17	16, 12	nndivred 12291	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((⌊‘((𝐹‘𝑦) · (2↑𝑚))) / (2↑𝑚)) ∈ ℝ)
18	12	nnnn0d 12566	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (2↑𝑚) ∈ ℕ0)
19	18	nn0ge0d 12569	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 0 ≤ (2↑𝑚))
20		mulge0 11733	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐹‘𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑦)) ∧ ((2↑𝑚) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2↑𝑚))) → 0 ≤ ((𝐹‘𝑦) · (2↑𝑚)))
21	6, 13, 19, 20	syl12anc 849	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 0 ≤ ((𝐹‘𝑦) · (2↑𝑚)))
22		flge0nn0 13855	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐹‘𝑦) · (2↑𝑚)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝐹‘𝑦) · (2↑𝑚))) → (⌊‘((𝐹‘𝑦) · (2↑𝑚))) ∈ ℕ0)
23	14, 21, 22	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (⌊‘((𝐹‘𝑦) · (2↑𝑚))) ∈ ℕ0)
24	23	nn0ge0d 12569	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 0 ≤ (⌊‘((𝐹‘𝑦) · (2↑𝑚))))
25	12	nngt0d 12286	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 0 < (2↑𝑚))
26		divge0 12085	. . . . 5 ⊢ ((((⌊‘((𝐹‘𝑦) · (2↑𝑚))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (⌊‘((𝐹‘𝑦) · (2↑𝑚)))) ∧ ((2↑𝑚) ∈ ℝ ∧ 0 < (2↑𝑚))) → 0 ≤ ((⌊‘((𝐹‘𝑦) · (2↑𝑚))) / (2↑𝑚)))
27	16, 24, 13, 25, 26	syl22anc 851	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 0 ≤ ((⌊‘((𝐹‘𝑦) · (2↑𝑚))) / (2↑𝑚)))
28		elrege0 13482	. . . 4 ⊢ (((⌊‘((𝐹‘𝑦) · (2↑𝑚))) / (2↑𝑚)) ∈ (0[,)+∞) ↔ (((⌊‘((𝐹‘𝑦) · (2↑𝑚))) / (2↑𝑚)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((⌊‘((𝐹‘𝑦) · (2↑𝑚))) / (2↑𝑚))))
29	17, 27, 28	sylanbrc 594	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((⌊‘((𝐹‘𝑦) · (2↑𝑚))) / (2↑𝑚)) ∈ (0[,)+∞))
30	29	ralrimivva 3208	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℕ ∀𝑦 ∈ ℝ ((⌊‘((𝐹‘𝑦) · (2↑𝑚))) / (2↑𝑚)) ∈ (0[,)+∞))
31		mbfi1fseq.3	. . 3 ⊢ 𝐽 = (𝑚 ∈ ℕ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ ((⌊‘((𝐹‘𝑦) · (2↑𝑚))) / (2↑𝑚)))
32	31	fmpo 8066	. 2 ⊢ (∀𝑚 ∈ ℕ ∀𝑦 ∈ ℝ ((⌊‘((𝐹‘𝑦) · (2↑𝑚))) / (2↑𝑚)) ∈ (0[,)+∞) ↔ 𝐽:(ℕ × ℝ)⟶(0[,)+∞))
33	30, 32	sylib 221	1 ⊢ (𝜑 → 𝐽:(ℕ × ℝ)⟶(0[,)+∞))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079   class class class wbr 5110   × cxp 5661  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412   ∈ cmpo 7414  ℝcr 11100  0cc0 11101   · cmul 11106  +∞cpnf 11241   < clt 11244   ≤ cle 11245   / cdiv 11872  ℕcn 12234  2c2 12296  ℕ₀cn0 12505  [,)cico 13375  ⌊cfl 13825  ↑cexp 14099  MblFncmbf 25754

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-pre-sup 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-sup 9403  df-inf 9404  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-2 12304  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-ico 13379  df-fl 13827  df-seq 14040  df-exp 14100

This theorem is referenced by:  mbfi1fseqlem5  25859