MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfi1fseqlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfi1fseqlem1 23702
Description: Lemma for mbfi1fseq 23708. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfi1fseq.1 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
mbfi1fseq.2 (𝜑𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
mbfi1fseq.3 𝐽 = (𝑚 ∈ ℕ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ ((⌊‘((𝐹𝑦) · (2↑𝑚))) / (2↑𝑚)))
Assertion
Ref Expression
mbfi1fseqlem1 (𝜑𝐽:(ℕ × ℝ)⟶(0[,)+∞))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑚,𝐹   𝑚,𝐽   𝜑,𝑚,𝑦
Allowed substitution hint:   𝐽(𝑦)

Proof of Theorem mbfi1fseqlem1
StepHypRef Expression
1 mbfi1fseq.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
2 simpr 471 . . . . . . . . . 10 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
3 ffvelrn 6502 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹𝑦) ∈ (0[,)+∞))
41, 2, 3syl2an 583 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝐹𝑦) ∈ (0[,)+∞))
5 elrege0 12485 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝑦) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝐹𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹𝑦)))
64, 5sylib 208 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((𝐹𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹𝑦)))
76simpld 482 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝐹𝑦) ∈ ℝ)
8 2nn 11392 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℕ
9 nnnn0 11506 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℕ0)
10 nnexpcl 13080 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑𝑚) ∈ ℕ)
118, 9, 10sylancr 575 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ ℕ → (2↑𝑚) ∈ ℕ)
1211ad2antrl 707 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (2↑𝑚) ∈ ℕ)
1312nnred 11241 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (2↑𝑚) ∈ ℝ)
147, 13remulcld 10276 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((𝐹𝑦) · (2↑𝑚)) ∈ ℝ)
15 reflcl 12805 . . . . . 6 (((𝐹𝑦) · (2↑𝑚)) ∈ ℝ → (⌊‘((𝐹𝑦) · (2↑𝑚))) ∈ ℝ)
1614, 15syl 17 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (⌊‘((𝐹𝑦) · (2↑𝑚))) ∈ ℝ)
1716, 12nndivred 11275 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((⌊‘((𝐹𝑦) · (2↑𝑚))) / (2↑𝑚)) ∈ ℝ)
1812nnnn0d 11558 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (2↑𝑚) ∈ ℕ0)
1918nn0ge0d 11561 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 0 ≤ (2↑𝑚))
20 mulge0 10752 . . . . . . . 8 ((((𝐹𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹𝑦)) ∧ ((2↑𝑚) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2↑𝑚))) → 0 ≤ ((𝐹𝑦) · (2↑𝑚)))
216, 13, 19, 20syl12anc 1474 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 0 ≤ ((𝐹𝑦) · (2↑𝑚)))
22 flge0nn0 12829 . . . . . . 7 ((((𝐹𝑦) · (2↑𝑚)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝐹𝑦) · (2↑𝑚))) → (⌊‘((𝐹𝑦) · (2↑𝑚))) ∈ ℕ0)
2314, 21, 22syl2anc 573 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (⌊‘((𝐹𝑦) · (2↑𝑚))) ∈ ℕ0)
2423nn0ge0d 11561 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 0 ≤ (⌊‘((𝐹𝑦) · (2↑𝑚))))
2512nngt0d 11270 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 0 < (2↑𝑚))
26 divge0 11098 . . . . 5 ((((⌊‘((𝐹𝑦) · (2↑𝑚))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (⌊‘((𝐹𝑦) · (2↑𝑚)))) ∧ ((2↑𝑚) ∈ ℝ ∧ 0 < (2↑𝑚))) → 0 ≤ ((⌊‘((𝐹𝑦) · (2↑𝑚))) / (2↑𝑚)))
2716, 24, 13, 25, 26syl22anc 1477 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 0 ≤ ((⌊‘((𝐹𝑦) · (2↑𝑚))) / (2↑𝑚)))
28 elrege0 12485 . . . 4 (((⌊‘((𝐹𝑦) · (2↑𝑚))) / (2↑𝑚)) ∈ (0[,)+∞) ↔ (((⌊‘((𝐹𝑦) · (2↑𝑚))) / (2↑𝑚)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((⌊‘((𝐹𝑦) · (2↑𝑚))) / (2↑𝑚))))
2917, 27, 28sylanbrc 572 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((⌊‘((𝐹𝑦) · (2↑𝑚))) / (2↑𝑚)) ∈ (0[,)+∞))
3029ralrimivva 3120 . 2 (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℕ ∀𝑦 ∈ ℝ ((⌊‘((𝐹𝑦) · (2↑𝑚))) / (2↑𝑚)) ∈ (0[,)+∞))
31 mbfi1fseq.3 . . 3 𝐽 = (𝑚 ∈ ℕ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ ((⌊‘((𝐹𝑦) · (2↑𝑚))) / (2↑𝑚)))
3231fmpt2 7391 . 2 (∀𝑚 ∈ ℕ ∀𝑦 ∈ ℝ ((⌊‘((𝐹𝑦) · (2↑𝑚))) / (2↑𝑚)) ∈ (0[,)+∞) ↔ 𝐽:(ℕ × ℝ)⟶(0[,)+∞))
3330, 32sylib 208 1 (𝜑𝐽:(ℕ × ℝ)⟶(0[,)+∞))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wral 3061   class class class wbr 4787   × cxp 5248  wf 6026  cfv 6030  (class class class)co 6796  cmpt2 6798  cr 10141  0cc0 10142   · cmul 10147  +∞cpnf 10277   < clt 10280  cle 10281   / cdiv 10890  cn 11226  2c2 11276  0cn0 11499  [,)cico 12382  cfl 12799  cexp 13067  MblFncmbf 23602
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219  ax-pre-sup 10220
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-er 7900  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-sup 8508  df-inf 8509  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-div 10891  df-nn 11227  df-2 11285  df-n0 11500  df-z 11585  df-uz 11894  df-ico 12386  df-fl 12801  df-seq 13009  df-exp 13068
This theorem is referenced by:  mbfi1fseqlem5  23706
  Copyright terms: Public domain W3C validator