MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfi1fseqlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfi1fseqlem1 25619
Description: Lemma for mbfi1fseq 25625. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfi1fseq.1 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ MblFn)
mbfi1fseq.2 (๐œ‘ โ†’ ๐น:โ„โŸถ(0[,)+โˆž))
mbfi1fseq.3 ๐ฝ = (๐‘š โˆˆ โ„•, ๐‘ฆ โˆˆ โ„ โ†ฆ ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) ยท (2โ†‘๐‘š))) / (2โ†‘๐‘š)))
Assertion
Ref Expression
mbfi1fseqlem1 (๐œ‘ โ†’ ๐ฝ:(โ„• ร— โ„)โŸถ(0[,)+โˆž))
Distinct variable groups:   ๐‘ฆ,๐‘š,๐น   ๐‘š,๐ฝ   ๐œ‘,๐‘š,๐‘ฆ
Allowed substitution hint:   ๐ฝ(๐‘ฆ)

Proof of Theorem mbfi1fseqlem1
StepHypRef Expression
1 mbfi1fseq.2 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐น:โ„โŸถ(0[,)+โˆž))
2 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((๐‘š โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„)
3 ffvelcdm 7085 . . . . . . . . . 10 ((๐น:โ„โŸถ(0[,)+โˆž) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ (0[,)+โˆž))
41, 2, 3syl2an 595 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ (0[,)+โˆž))
5 elrege0 13449 . . . . . . . . 9 ((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ (0[,)+โˆž) โ†” ((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (๐นโ€˜๐‘ฆ)))
64, 5sylib 217 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (๐นโ€˜๐‘ฆ)))
76simpld 494 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„)
8 2nn 12301 . . . . . . . . . 10 2 โˆˆ โ„•
9 nnnn0 12495 . . . . . . . . . 10 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„•0)
10 nnexpcl 14057 . . . . . . . . . 10 ((2 โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘๐‘š) โˆˆ โ„•)
118, 9, 10sylancr 586 . . . . . . . . 9 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ (2โ†‘๐‘š) โˆˆ โ„•)
1211ad2antrl 727 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)) โ†’ (2โ†‘๐‘š) โˆˆ โ„•)
1312nnred 12243 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)) โ†’ (2โ†‘๐‘š) โˆˆ โ„)
147, 13remulcld 11260 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฆ) ยท (2โ†‘๐‘š)) โˆˆ โ„)
15 reflcl 13779 . . . . . 6 (((๐นโ€˜๐‘ฆ) ยท (2โ†‘๐‘š)) โˆˆ โ„ โ†’ (โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) ยท (2โ†‘๐‘š))) โˆˆ โ„)
1614, 15syl 17 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)) โ†’ (โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) ยท (2โ†‘๐‘š))) โˆˆ โ„)
1716, 12nndivred 12282 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)) โ†’ ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) ยท (2โ†‘๐‘š))) / (2โ†‘๐‘š)) โˆˆ โ„)
1812nnnn0d 12548 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)) โ†’ (2โ†‘๐‘š) โˆˆ โ„•0)
1918nn0ge0d 12551 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)) โ†’ 0 โ‰ค (2โ†‘๐‘š))
20 mulge0 11748 . . . . . . . 8 ((((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (๐นโ€˜๐‘ฆ)) โˆง ((2โ†‘๐‘š) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (2โ†‘๐‘š))) โ†’ 0 โ‰ค ((๐นโ€˜๐‘ฆ) ยท (2โ†‘๐‘š)))
216, 13, 19, 20syl12anc 836 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)) โ†’ 0 โ‰ค ((๐นโ€˜๐‘ฆ) ยท (2โ†‘๐‘š)))
22 flge0nn0 13803 . . . . . . 7 ((((๐นโ€˜๐‘ฆ) ยท (2โ†‘๐‘š)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ((๐นโ€˜๐‘ฆ) ยท (2โ†‘๐‘š))) โ†’ (โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) ยท (2โ†‘๐‘š))) โˆˆ โ„•0)
2314, 21, 22syl2anc 583 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)) โ†’ (โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) ยท (2โ†‘๐‘š))) โˆˆ โ„•0)
2423nn0ge0d 12551 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)) โ†’ 0 โ‰ค (โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) ยท (2โ†‘๐‘š))))
2512nngt0d 12277 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)) โ†’ 0 < (2โ†‘๐‘š))
26 divge0 12099 . . . . 5 ((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) ยท (2โ†‘๐‘š))) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) ยท (2โ†‘๐‘š)))) โˆง ((2โ†‘๐‘š) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (2โ†‘๐‘š))) โ†’ 0 โ‰ค ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) ยท (2โ†‘๐‘š))) / (2โ†‘๐‘š)))
2716, 24, 13, 25, 26syl22anc 838 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)) โ†’ 0 โ‰ค ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) ยท (2โ†‘๐‘š))) / (2โ†‘๐‘š)))
28 elrege0 13449 . . . 4 (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) ยท (2โ†‘๐‘š))) / (2โ†‘๐‘š)) โˆˆ (0[,)+โˆž) โ†” (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) ยท (2โ†‘๐‘š))) / (2โ†‘๐‘š)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) ยท (2โ†‘๐‘š))) / (2โ†‘๐‘š))))
2917, 27, 28sylanbrc 582 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)) โ†’ ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) ยท (2โ†‘๐‘š))) / (2โ†‘๐‘š)) โˆˆ (0[,)+โˆž))
3029ralrimivva 3195 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„ ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) ยท (2โ†‘๐‘š))) / (2โ†‘๐‘š)) โˆˆ (0[,)+โˆž))
31 mbfi1fseq.3 . . 3 ๐ฝ = (๐‘š โˆˆ โ„•, ๐‘ฆ โˆˆ โ„ โ†ฆ ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) ยท (2โ†‘๐‘š))) / (2โ†‘๐‘š)))
3231fmpo 8064 . 2 (โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„ ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) ยท (2โ†‘๐‘š))) / (2โ†‘๐‘š)) โˆˆ (0[,)+โˆž) โ†” ๐ฝ:(โ„• ร— โ„)โŸถ(0[,)+โˆž))
3330, 32sylib 217 1 (๐œ‘ โ†’ ๐ฝ:(โ„• ร— โ„)โŸถ(0[,)+โˆž))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099  โˆ€wral 3056   class class class wbr 5142   ร— cxp 5670  โŸถwf 6538  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7414   โˆˆ cmpo 7416  โ„cr 11123  0cc0 11124   ยท cmul 11129  +โˆžcpnf 11261   < clt 11264   โ‰ค cle 11265   / cdiv 11887  โ„•cn 12228  2c2 12283  โ„•0cn0 12488  [,)cico 13344  โŒŠcfl 13773  โ†‘cexp 14044  MblFncmbf 25517
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8716  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-sup 9451  df-inf 9452  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11888  df-nn 12229  df-2 12291  df-n0 12489  df-z 12575  df-uz 12839  df-ico 13348  df-fl 13775  df-seq 13985  df-exp 14045
This theorem is referenced by:  mbfi1fseqlem5  25623
  Copyright terms: Public domain W3C validator