MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfi1fseqlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfi1fseqlem1 25639
Description: Lemma for mbfi1fseq 25645. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfi1fseq.1 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
mbfi1fseq.2 (𝜑𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
mbfi1fseq.3 𝐽 = (𝑚 ∈ ℕ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ ((⌊‘((𝐹𝑦) · (2↑𝑚))) / (2↑𝑚)))
Assertion
Ref Expression
mbfi1fseqlem1 (𝜑𝐽:(ℕ × ℝ)⟶(0[,)+∞))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑚,𝐹   𝑚,𝐽   𝜑,𝑚,𝑦
Allowed substitution hint:   𝐽(𝑦)

Proof of Theorem mbfi1fseqlem1
StepHypRef Expression
1 mbfi1fseq.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
2 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
3 ffvelcdm 7086 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹𝑦) ∈ (0[,)+∞))
41, 2, 3syl2an 595 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝐹𝑦) ∈ (0[,)+∞))
5 elrege0 13458 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝑦) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝐹𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹𝑦)))
64, 5sylib 217 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((𝐹𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹𝑦)))
76simpld 494 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝐹𝑦) ∈ ℝ)
8 2nn 12310 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℕ
9 nnnn0 12504 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℕ0)
10 nnexpcl 14066 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑𝑚) ∈ ℕ)
118, 9, 10sylancr 586 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ ℕ → (2↑𝑚) ∈ ℕ)
1211ad2antrl 727 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (2↑𝑚) ∈ ℕ)
1312nnred 12252 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (2↑𝑚) ∈ ℝ)
147, 13remulcld 11269 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((𝐹𝑦) · (2↑𝑚)) ∈ ℝ)
15 reflcl 13788 . . . . . 6 (((𝐹𝑦) · (2↑𝑚)) ∈ ℝ → (⌊‘((𝐹𝑦) · (2↑𝑚))) ∈ ℝ)
1614, 15syl 17 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (⌊‘((𝐹𝑦) · (2↑𝑚))) ∈ ℝ)
1716, 12nndivred 12291 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((⌊‘((𝐹𝑦) · (2↑𝑚))) / (2↑𝑚)) ∈ ℝ)
1812nnnn0d 12557 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (2↑𝑚) ∈ ℕ0)
1918nn0ge0d 12560 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 0 ≤ (2↑𝑚))
20 mulge0 11757 . . . . . . . 8 ((((𝐹𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹𝑦)) ∧ ((2↑𝑚) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2↑𝑚))) → 0 ≤ ((𝐹𝑦) · (2↑𝑚)))
216, 13, 19, 20syl12anc 836 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 0 ≤ ((𝐹𝑦) · (2↑𝑚)))
22 flge0nn0 13812 . . . . . . 7 ((((𝐹𝑦) · (2↑𝑚)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝐹𝑦) · (2↑𝑚))) → (⌊‘((𝐹𝑦) · (2↑𝑚))) ∈ ℕ0)
2314, 21, 22syl2anc 583 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (⌊‘((𝐹𝑦) · (2↑𝑚))) ∈ ℕ0)
2423nn0ge0d 12560 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 0 ≤ (⌊‘((𝐹𝑦) · (2↑𝑚))))
2512nngt0d 12286 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 0 < (2↑𝑚))
26 divge0 12108 . . . . 5 ((((⌊‘((𝐹𝑦) · (2↑𝑚))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (⌊‘((𝐹𝑦) · (2↑𝑚)))) ∧ ((2↑𝑚) ∈ ℝ ∧ 0 < (2↑𝑚))) → 0 ≤ ((⌊‘((𝐹𝑦) · (2↑𝑚))) / (2↑𝑚)))
2716, 24, 13, 25, 26syl22anc 838 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 0 ≤ ((⌊‘((𝐹𝑦) · (2↑𝑚))) / (2↑𝑚)))
28 elrege0 13458 . . . 4 (((⌊‘((𝐹𝑦) · (2↑𝑚))) / (2↑𝑚)) ∈ (0[,)+∞) ↔ (((⌊‘((𝐹𝑦) · (2↑𝑚))) / (2↑𝑚)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((⌊‘((𝐹𝑦) · (2↑𝑚))) / (2↑𝑚))))
2917, 27, 28sylanbrc 582 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((⌊‘((𝐹𝑦) · (2↑𝑚))) / (2↑𝑚)) ∈ (0[,)+∞))
3029ralrimivva 3196 . 2 (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℕ ∀𝑦 ∈ ℝ ((⌊‘((𝐹𝑦) · (2↑𝑚))) / (2↑𝑚)) ∈ (0[,)+∞))
31 mbfi1fseq.3 . . 3 𝐽 = (𝑚 ∈ ℕ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ ((⌊‘((𝐹𝑦) · (2↑𝑚))) / (2↑𝑚)))
3231fmpo 8067 . 2 (∀𝑚 ∈ ℕ ∀𝑦 ∈ ℝ ((⌊‘((𝐹𝑦) · (2↑𝑚))) / (2↑𝑚)) ∈ (0[,)+∞) ↔ 𝐽:(ℕ × ℝ)⟶(0[,)+∞))
3330, 32sylib 217 1 (𝜑𝐽:(ℕ × ℝ)⟶(0[,)+∞))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099  wral 3057   class class class wbr 5143   × cxp 5671  wf 6539  cfv 6543  (class class class)co 7415  cmpo 7417  cr 11132  0cc0 11133   · cmul 11138  +∞cpnf 11270   < clt 11273  cle 11274   / cdiv 11896  cn 12237  2c2 12292  0cn0 12497  [,)cico 13353  cfl 13782  cexp 14053  MblFncmbf 25537
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-pre-sup 11211
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7866  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-er 8719  df-en 8959  df-dom 8960  df-sdom 8961  df-sup 9460  df-inf 9461  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-2 12300  df-n0 12498  df-z 12584  df-uz 12848  df-ico 13357  df-fl 13784  df-seq 13994  df-exp 14054
This theorem is referenced by:  mbfi1fseqlem5  25643
  Copyright terms: Public domain W3C validator