MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfi1fseqlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfi1fseqlem1 25658
Description: Lemma for mbfi1fseq 25664. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfi1fseq.1 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ MblFn)
mbfi1fseq.2 (๐œ‘ โ†’ ๐น:โ„โŸถ(0[,)+โˆž))
mbfi1fseq.3 ๐ฝ = (๐‘š โˆˆ โ„•, ๐‘ฆ โˆˆ โ„ โ†ฆ ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) ยท (2โ†‘๐‘š))) / (2โ†‘๐‘š)))
Assertion
Ref Expression
mbfi1fseqlem1 (๐œ‘ โ†’ ๐ฝ:(โ„• ร— โ„)โŸถ(0[,)+โˆž))
Distinct variable groups:   ๐‘ฆ,๐‘š,๐น   ๐‘š,๐ฝ   ๐œ‘,๐‘š,๐‘ฆ
Allowed substitution hint:   ๐ฝ(๐‘ฆ)

Proof of Theorem mbfi1fseqlem1
StepHypRef Expression
1 mbfi1fseq.2 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐น:โ„โŸถ(0[,)+โˆž))
2 simpr 483 . . . . . . . . . 10 ((๐‘š โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„)
3 ffvelcdm 7084 . . . . . . . . . 10 ((๐น:โ„โŸถ(0[,)+โˆž) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ (0[,)+โˆž))
41, 2, 3syl2an 594 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ (0[,)+โˆž))
5 elrege0 13458 . . . . . . . . 9 ((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ (0[,)+โˆž) โ†” ((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (๐นโ€˜๐‘ฆ)))
64, 5sylib 217 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (๐นโ€˜๐‘ฆ)))
76simpld 493 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„)
8 2nn 12310 . . . . . . . . . 10 2 โˆˆ โ„•
9 nnnn0 12504 . . . . . . . . . 10 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„•0)
10 nnexpcl 14066 . . . . . . . . . 10 ((2 โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘๐‘š) โˆˆ โ„•)
118, 9, 10sylancr 585 . . . . . . . . 9 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ (2โ†‘๐‘š) โˆˆ โ„•)
1211ad2antrl 726 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)) โ†’ (2โ†‘๐‘š) โˆˆ โ„•)
1312nnred 12252 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)) โ†’ (2โ†‘๐‘š) โˆˆ โ„)
147, 13remulcld 11269 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฆ) ยท (2โ†‘๐‘š)) โˆˆ โ„)
15 reflcl 13788 . . . . . 6 (((๐นโ€˜๐‘ฆ) ยท (2โ†‘๐‘š)) โˆˆ โ„ โ†’ (โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) ยท (2โ†‘๐‘š))) โˆˆ โ„)
1614, 15syl 17 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)) โ†’ (โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) ยท (2โ†‘๐‘š))) โˆˆ โ„)
1716, 12nndivred 12291 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)) โ†’ ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) ยท (2โ†‘๐‘š))) / (2โ†‘๐‘š)) โˆˆ โ„)
1812nnnn0d 12557 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)) โ†’ (2โ†‘๐‘š) โˆˆ โ„•0)
1918nn0ge0d 12560 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)) โ†’ 0 โ‰ค (2โ†‘๐‘š))
20 mulge0 11757 . . . . . . . 8 ((((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (๐นโ€˜๐‘ฆ)) โˆง ((2โ†‘๐‘š) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (2โ†‘๐‘š))) โ†’ 0 โ‰ค ((๐นโ€˜๐‘ฆ) ยท (2โ†‘๐‘š)))
216, 13, 19, 20syl12anc 835 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)) โ†’ 0 โ‰ค ((๐นโ€˜๐‘ฆ) ยท (2โ†‘๐‘š)))
22 flge0nn0 13812 . . . . . . 7 ((((๐นโ€˜๐‘ฆ) ยท (2โ†‘๐‘š)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ((๐นโ€˜๐‘ฆ) ยท (2โ†‘๐‘š))) โ†’ (โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) ยท (2โ†‘๐‘š))) โˆˆ โ„•0)
2314, 21, 22syl2anc 582 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)) โ†’ (โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) ยท (2โ†‘๐‘š))) โˆˆ โ„•0)
2423nn0ge0d 12560 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)) โ†’ 0 โ‰ค (โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) ยท (2โ†‘๐‘š))))
2512nngt0d 12286 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)) โ†’ 0 < (2โ†‘๐‘š))
26 divge0 12108 . . . . 5 ((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) ยท (2โ†‘๐‘š))) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) ยท (2โ†‘๐‘š)))) โˆง ((2โ†‘๐‘š) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (2โ†‘๐‘š))) โ†’ 0 โ‰ค ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) ยท (2โ†‘๐‘š))) / (2โ†‘๐‘š)))
2716, 24, 13, 25, 26syl22anc 837 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)) โ†’ 0 โ‰ค ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) ยท (2โ†‘๐‘š))) / (2โ†‘๐‘š)))
28 elrege0 13458 . . . 4 (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) ยท (2โ†‘๐‘š))) / (2โ†‘๐‘š)) โˆˆ (0[,)+โˆž) โ†” (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) ยท (2โ†‘๐‘š))) / (2โ†‘๐‘š)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) ยท (2โ†‘๐‘š))) / (2โ†‘๐‘š))))
2917, 27, 28sylanbrc 581 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)) โ†’ ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) ยท (2โ†‘๐‘š))) / (2โ†‘๐‘š)) โˆˆ (0[,)+โˆž))
3029ralrimivva 3191 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„ ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) ยท (2โ†‘๐‘š))) / (2โ†‘๐‘š)) โˆˆ (0[,)+โˆž))
31 mbfi1fseq.3 . . 3 ๐ฝ = (๐‘š โˆˆ โ„•, ๐‘ฆ โˆˆ โ„ โ†ฆ ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) ยท (2โ†‘๐‘š))) / (2โ†‘๐‘š)))
3231fmpo 8066 . 2 (โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„ ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) ยท (2โ†‘๐‘š))) / (2โ†‘๐‘š)) โˆˆ (0[,)+โˆž) โ†” ๐ฝ:(โ„• ร— โ„)โŸถ(0[,)+โˆž))
3330, 32sylib 217 1 (๐œ‘ โ†’ ๐ฝ:(โ„• ร— โ„)โŸถ(0[,)+โˆž))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ€wral 3051   class class class wbr 5144   ร— cxp 5671  โŸถwf 6539  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7413   โˆˆ cmpo 7415  โ„cr 11132  0cc0 11133   ยท cmul 11138  +โˆžcpnf 11270   < clt 11273   โ‰ค cle 11274   / cdiv 11896  โ„•cn 12237  2c2 12292  โ„•0cn0 12497  [,)cico 13353  โŒŠcfl 13782  โ†‘cexp 14053  MblFncmbf 25556
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-pre-sup 11211
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-sup 9460  df-inf 9461  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-2 12300  df-n0 12498  df-z 12584  df-uz 12848  df-ico 13357  df-fl 13784  df-seq 13994  df-exp 14054
This theorem is referenced by:  mbfi1fseqlem5  25662
  Copyright terms: Public domain W3C validator