MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfi1fseqlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfi1fseqlem3 25105
Description: Lemma for mbfi1fseq 25109. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfi1fseq.1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ MblFn)
mbfi1fseq.2 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆ(0[,)+∞))
mbfi1fseq.3 𝐽 = (π‘š ∈ β„•, 𝑦 ∈ ℝ ↦ ((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) Β· (2β†‘π‘š))) / (2β†‘π‘š)))
mbfi1fseq.4 𝐺 = (π‘š ∈ β„• ↦ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (-π‘š[,]π‘š), if((π‘šπ½π‘₯) ≀ π‘š, (π‘šπ½π‘₯), π‘š), 0)))
Assertion
Ref Expression
mbfi1fseqlem3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) β†’ (πΊβ€˜π΄):β„βŸΆran (π‘š ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))) ↦ (π‘š / (2↑𝐴))))
Distinct variable groups:   π‘₯,π‘š,𝑦,𝐹   π‘₯,𝐺   π‘š,𝐽   πœ‘,π‘š,π‘₯,𝑦   𝐴,π‘š,π‘₯,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑦,π‘š)   𝐽(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem mbfi1fseqlem3
StepHypRef Expression
1 mbfi1fseq.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ MblFn)
2 mbfi1fseq.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆ(0[,)+∞))
3 mbfi1fseq.3 . . . 4 𝐽 = (π‘š ∈ β„•, 𝑦 ∈ ℝ ↦ ((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) Β· (2β†‘π‘š))) / (2β†‘π‘š)))
4 mbfi1fseq.4 . . . 4 𝐺 = (π‘š ∈ β„• ↦ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (-π‘š[,]π‘š), if((π‘šπ½π‘₯) ≀ π‘š, (π‘šπ½π‘₯), π‘š), 0)))
51, 2, 3, 4mbfi1fseqlem2 25104 . . 3 (𝐴 ∈ β„• β†’ (πΊβ€˜π΄) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (-𝐴[,]𝐴), if((𝐴𝐽π‘₯) ≀ 𝐴, (𝐴𝐽π‘₯), 𝐴), 0)))
65adantl 483 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) β†’ (πΊβ€˜π΄) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (-𝐴[,]𝐴), if((𝐴𝐽π‘₯) ≀ 𝐴, (𝐴𝐽π‘₯), 𝐴), 0)))
7 rge0ssre 13382 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0[,)+∞) βŠ† ℝ
8 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘š ∈ β„• ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
9 ffvelcdm 7036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹:β„βŸΆ(0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ (0[,)+∞))
102, 8, 9syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ (0[,)+∞))
117, 10sselid 3946 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ ℝ)
12 2nn 12234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 ∈ β„•
13 nnnn0 12428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘š ∈ β„• β†’ π‘š ∈ β„•0)
14 nnexpcl 13989 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((2 ∈ β„• ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (2β†‘π‘š) ∈ β„•)
1512, 13, 14sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘š ∈ β„• β†’ (2β†‘π‘š) ∈ β„•)
1615ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) β†’ (2β†‘π‘š) ∈ β„•)
1716nnred 12176 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) β†’ (2β†‘π‘š) ∈ ℝ)
1811, 17remulcld 11193 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) β†’ ((πΉβ€˜π‘¦) Β· (2β†‘π‘š)) ∈ ℝ)
19 reflcl 13710 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πΉβ€˜π‘¦) Β· (2β†‘π‘š)) ∈ ℝ β†’ (βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) Β· (2β†‘π‘š))) ∈ ℝ)
2018, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) β†’ (βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) Β· (2β†‘π‘š))) ∈ ℝ)
2120, 16nndivred 12215 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) β†’ ((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) Β· (2β†‘π‘š))) / (2β†‘π‘š)) ∈ ℝ)
2221ralrimivva 3194 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘š ∈ β„• βˆ€π‘¦ ∈ ℝ ((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) Β· (2β†‘π‘š))) / (2β†‘π‘š)) ∈ ℝ)
233fmpo 8004 . . . . . . . . . . . . 13 (βˆ€π‘š ∈ β„• βˆ€π‘¦ ∈ ℝ ((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) Β· (2β†‘π‘š))) / (2β†‘π‘š)) ∈ ℝ ↔ 𝐽:(β„• Γ— ℝ)βŸΆβ„)
2422, 23sylib 217 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐽:(β„• Γ— ℝ)βŸΆβ„)
25 fovcdm 7528 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽:(β„• Γ— ℝ)βŸΆβ„ ∧ 𝐴 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝐴𝐽π‘₯) ∈ ℝ)
2624, 25syl3an1 1164 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝐴𝐽π‘₯) ∈ ℝ)
27263expa 1119 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝐴𝐽π‘₯) ∈ ℝ)
28 nnre 12168 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ β„• β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
2928ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
30 nnnn0 12428 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ β„• β†’ 𝐴 ∈ β„•0)
31 nnexpcl 13989 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ β„•0) β†’ (2↑𝐴) ∈ β„•)
3212, 30, 31sylancr 588 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ β„• β†’ (2↑𝐴) ∈ β„•)
3332ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (2↑𝐴) ∈ β„•)
34 nnre 12168 . . . . . . . . . . . 12 ((2↑𝐴) ∈ β„• β†’ (2↑𝐴) ∈ ℝ)
35 nngt0 12192 . . . . . . . . . . . 12 ((2↑𝐴) ∈ β„• β†’ 0 < (2↑𝐴))
3634, 35jca 513 . . . . . . . . . . 11 ((2↑𝐴) ∈ β„• β†’ ((2↑𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (2↑𝐴)))
3733, 36syl 17 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((2↑𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (2↑𝐴)))
38 lemul1 12015 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝐽π‘₯) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ ((2↑𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (2↑𝐴))) β†’ ((𝐴𝐽π‘₯) ≀ 𝐴 ↔ ((𝐴𝐽π‘₯) Β· (2↑𝐴)) ≀ (𝐴 Β· (2↑𝐴))))
3927, 29, 37, 38syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((𝐴𝐽π‘₯) ≀ 𝐴 ↔ ((𝐴𝐽π‘₯) Β· (2↑𝐴)) ≀ (𝐴 Β· (2↑𝐴))))
4039biimpa 478 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (𝐴𝐽π‘₯) ≀ 𝐴) β†’ ((𝐴𝐽π‘₯) Β· (2↑𝐴)) ≀ (𝐴 Β· (2↑𝐴)))
41 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘š = 𝐴 ∧ 𝑦 = π‘₯) β†’ 𝑦 = π‘₯)
4241fveq2d 6850 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘š = 𝐴 ∧ 𝑦 = π‘₯) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜π‘₯))
43 simpl 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘š = 𝐴 ∧ 𝑦 = π‘₯) β†’ π‘š = 𝐴)
4443oveq2d 7377 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘š = 𝐴 ∧ 𝑦 = π‘₯) β†’ (2β†‘π‘š) = (2↑𝐴))
4542, 44oveq12d 7379 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘š = 𝐴 ∧ 𝑦 = π‘₯) β†’ ((πΉβ€˜π‘¦) Β· (2β†‘π‘š)) = ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝐴)))
4645fveq2d 6850 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘š = 𝐴 ∧ 𝑦 = π‘₯) β†’ (βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) Β· (2β†‘π‘š))) = (βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝐴))))
4746, 44oveq12d 7379 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘š = 𝐴 ∧ 𝑦 = π‘₯) β†’ ((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) Β· (2β†‘π‘š))) / (2β†‘π‘š)) = ((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝐴))) / (2↑𝐴)))
48 ovex 7394 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝐴))) / (2↑𝐴)) ∈ V
4947, 3, 48ovmpoa 7514 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝐴𝐽π‘₯) = ((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝐴))) / (2↑𝐴)))
5049ad4ant23 752 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (𝐴𝐽π‘₯) ≀ 𝐴) β†’ (𝐴𝐽π‘₯) = ((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝐴))) / (2↑𝐴)))
5150oveq1d 7376 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (𝐴𝐽π‘₯) ≀ 𝐴) β†’ ((𝐴𝐽π‘₯) Β· (2↑𝐴)) = (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝐴))) / (2↑𝐴)) Β· (2↑𝐴)))
522adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) β†’ 𝐹:β„βŸΆ(0[,)+∞))
5352ffvelcdmda 7039 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (0[,)+∞))
54 elrege0 13380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
5553, 54sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
5655simpld 496 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
5733nnred 12176 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (2↑𝐴) ∈ ℝ)
5856, 57remulcld 11193 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝐴)) ∈ ℝ)
5933nnnn0d 12481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (2↑𝐴) ∈ β„•0)
6059nn0ge0d 12484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ 0 ≀ (2↑𝐴))
61 mulge0 11681 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯)) ∧ ((2↑𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (2↑𝐴))) β†’ 0 ≀ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝐴)))
6255, 57, 60, 61syl12anc 836 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ 0 ≀ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝐴)))
63 flge0nn0 13734 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝐴))) β†’ (βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝐴))) ∈ β„•0)
6458, 62, 63syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝐴))) ∈ β„•0)
6564adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (𝐴𝐽π‘₯) ≀ 𝐴) β†’ (βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝐴))) ∈ β„•0)
6665nn0cnd 12483 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (𝐴𝐽π‘₯) ≀ 𝐴) β†’ (βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝐴))) ∈ β„‚)
6733adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (𝐴𝐽π‘₯) ≀ 𝐴) β†’ (2↑𝐴) ∈ β„•)
6867nncnd 12177 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (𝐴𝐽π‘₯) ≀ 𝐴) β†’ (2↑𝐴) ∈ β„‚)
6967nnne0d 12211 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (𝐴𝐽π‘₯) ≀ 𝐴) β†’ (2↑𝐴) β‰  0)
7066, 68, 69divcan1d 11940 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (𝐴𝐽π‘₯) ≀ 𝐴) β†’ (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝐴))) / (2↑𝐴)) Β· (2↑𝐴)) = (βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝐴))))
7151, 70eqtrd 2773 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (𝐴𝐽π‘₯) ≀ 𝐴) β†’ ((𝐴𝐽π‘₯) Β· (2↑𝐴)) = (βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝐴))))
7271, 65eqeltrd 2834 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (𝐴𝐽π‘₯) ≀ 𝐴) β†’ ((𝐴𝐽π‘₯) Β· (2↑𝐴)) ∈ β„•0)
73 nn0uz 12813 . . . . . . . . . 10 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
7472, 73eleqtrdi 2844 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (𝐴𝐽π‘₯) ≀ 𝐴) β†’ ((𝐴𝐽π‘₯) Β· (2↑𝐴)) ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
75 nnmulcl 12185 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ β„• ∧ (2↑𝐴) ∈ β„•) β†’ (𝐴 Β· (2↑𝐴)) ∈ β„•)
7632, 75mpdan 686 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ β„• β†’ (𝐴 Β· (2↑𝐴)) ∈ β„•)
7776ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝐴 Β· (2↑𝐴)) ∈ β„•)
7877adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (𝐴𝐽π‘₯) ≀ 𝐴) β†’ (𝐴 Β· (2↑𝐴)) ∈ β„•)
7978nnzd 12534 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (𝐴𝐽π‘₯) ≀ 𝐴) β†’ (𝐴 Β· (2↑𝐴)) ∈ β„€)
80 elfz5 13442 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝐽π‘₯) Β· (2↑𝐴)) ∈ (β„€β‰₯β€˜0) ∧ (𝐴 Β· (2↑𝐴)) ∈ β„€) β†’ (((𝐴𝐽π‘₯) Β· (2↑𝐴)) ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))) ↔ ((𝐴𝐽π‘₯) Β· (2↑𝐴)) ≀ (𝐴 Β· (2↑𝐴))))
8174, 79, 80syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (𝐴𝐽π‘₯) ≀ 𝐴) β†’ (((𝐴𝐽π‘₯) Β· (2↑𝐴)) ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))) ↔ ((𝐴𝐽π‘₯) Β· (2↑𝐴)) ≀ (𝐴 Β· (2↑𝐴))))
8240, 81mpbird 257 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (𝐴𝐽π‘₯) ≀ 𝐴) β†’ ((𝐴𝐽π‘₯) Β· (2↑𝐴)) ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))))
83 oveq1 7368 . . . . . . . 8 (π‘š = ((𝐴𝐽π‘₯) Β· (2↑𝐴)) β†’ (π‘š / (2↑𝐴)) = (((𝐴𝐽π‘₯) Β· (2↑𝐴)) / (2↑𝐴)))
84 eqid 2733 . . . . . . . 8 (π‘š ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))) ↦ (π‘š / (2↑𝐴))) = (π‘š ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))) ↦ (π‘š / (2↑𝐴)))
85 ovex 7394 . . . . . . . 8 (((𝐴𝐽π‘₯) Β· (2↑𝐴)) / (2↑𝐴)) ∈ V
8683, 84, 85fvmpt 6952 . . . . . . 7 (((𝐴𝐽π‘₯) Β· (2↑𝐴)) ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))) β†’ ((π‘š ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))) ↦ (π‘š / (2↑𝐴)))β€˜((𝐴𝐽π‘₯) Β· (2↑𝐴))) = (((𝐴𝐽π‘₯) Β· (2↑𝐴)) / (2↑𝐴)))
8782, 86syl 17 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (𝐴𝐽π‘₯) ≀ 𝐴) β†’ ((π‘š ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))) ↦ (π‘š / (2↑𝐴)))β€˜((𝐴𝐽π‘₯) Β· (2↑𝐴))) = (((𝐴𝐽π‘₯) Β· (2↑𝐴)) / (2↑𝐴)))
8827adantr 482 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (𝐴𝐽π‘₯) ≀ 𝐴) β†’ (𝐴𝐽π‘₯) ∈ ℝ)
8988recnd 11191 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (𝐴𝐽π‘₯) ≀ 𝐴) β†’ (𝐴𝐽π‘₯) ∈ β„‚)
9089, 68, 69divcan4d 11945 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (𝐴𝐽π‘₯) ≀ 𝐴) β†’ (((𝐴𝐽π‘₯) Β· (2↑𝐴)) / (2↑𝐴)) = (𝐴𝐽π‘₯))
9187, 90eqtrd 2773 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (𝐴𝐽π‘₯) ≀ 𝐴) β†’ ((π‘š ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))) ↦ (π‘š / (2↑𝐴)))β€˜((𝐴𝐽π‘₯) Β· (2↑𝐴))) = (𝐴𝐽π‘₯))
92 elfznn0 13543 . . . . . . . . . . . 12 (π‘š ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))) β†’ π‘š ∈ β„•0)
9392nn0red 12482 . . . . . . . . . . 11 (π‘š ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))) β†’ π‘š ∈ ℝ)
9432adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) β†’ (2↑𝐴) ∈ β„•)
95 nndivre 12202 . . . . . . . . . . 11 ((π‘š ∈ ℝ ∧ (2↑𝐴) ∈ β„•) β†’ (π‘š / (2↑𝐴)) ∈ ℝ)
9693, 94, 95syl2anr 598 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘š ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴)))) β†’ (π‘š / (2↑𝐴)) ∈ ℝ)
9796fmpttd 7067 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) β†’ (π‘š ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))) ↦ (π‘š / (2↑𝐴))):(0...(𝐴 Β· (2↑𝐴)))βŸΆβ„)
9897ffnd 6673 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) β†’ (π‘š ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))) ↦ (π‘š / (2↑𝐴))) Fn (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))))
9998adantr 482 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (π‘š ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))) ↦ (π‘š / (2↑𝐴))) Fn (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))))
10099adantr 482 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (𝐴𝐽π‘₯) ≀ 𝐴) β†’ (π‘š ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))) ↦ (π‘š / (2↑𝐴))) Fn (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))))
101 fnfvelrn 7035 . . . . . 6 (((π‘š ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))) ↦ (π‘š / (2↑𝐴))) Fn (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))) ∧ ((𝐴𝐽π‘₯) Β· (2↑𝐴)) ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴)))) β†’ ((π‘š ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))) ↦ (π‘š / (2↑𝐴)))β€˜((𝐴𝐽π‘₯) Β· (2↑𝐴))) ∈ ran (π‘š ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))) ↦ (π‘š / (2↑𝐴))))
102100, 82, 101syl2anc 585 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (𝐴𝐽π‘₯) ≀ 𝐴) β†’ ((π‘š ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))) ↦ (π‘š / (2↑𝐴)))β€˜((𝐴𝐽π‘₯) Β· (2↑𝐴))) ∈ ran (π‘š ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))) ↦ (π‘š / (2↑𝐴))))
10391, 102eqeltrrd 2835 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (𝐴𝐽π‘₯) ≀ 𝐴) β†’ (𝐴𝐽π‘₯) ∈ ran (π‘š ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))) ↦ (π‘š / (2↑𝐴))))
10477nnnn0d 12481 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝐴 Β· (2↑𝐴)) ∈ β„•0)
105104, 73eleqtrdi 2844 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝐴 Β· (2↑𝐴)) ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
106 eluzfz2 13458 . . . . . . . . 9 ((𝐴 Β· (2↑𝐴)) ∈ (β„€β‰₯β€˜0) β†’ (𝐴 Β· (2↑𝐴)) ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))))
107105, 106syl 17 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝐴 Β· (2↑𝐴)) ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))))
108 oveq1 7368 . . . . . . . . 9 (π‘š = (𝐴 Β· (2↑𝐴)) β†’ (π‘š / (2↑𝐴)) = ((𝐴 Β· (2↑𝐴)) / (2↑𝐴)))
109 ovex 7394 . . . . . . . . 9 ((𝐴 Β· (2↑𝐴)) / (2↑𝐴)) ∈ V
110108, 84, 109fvmpt 6952 . . . . . . . 8 ((𝐴 Β· (2↑𝐴)) ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))) β†’ ((π‘š ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))) ↦ (π‘š / (2↑𝐴)))β€˜(𝐴 Β· (2↑𝐴))) = ((𝐴 Β· (2↑𝐴)) / (2↑𝐴)))
111107, 110syl 17 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((π‘š ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))) ↦ (π‘š / (2↑𝐴)))β€˜(𝐴 Β· (2↑𝐴))) = ((𝐴 Β· (2↑𝐴)) / (2↑𝐴)))
11229recnd 11191 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
11333nncnd 12177 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (2↑𝐴) ∈ β„‚)
11433nnne0d 12211 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (2↑𝐴) β‰  0)
115112, 113, 114divcan4d 11945 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((𝐴 Β· (2↑𝐴)) / (2↑𝐴)) = 𝐴)
116111, 115eqtrd 2773 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((π‘š ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))) ↦ (π‘š / (2↑𝐴)))β€˜(𝐴 Β· (2↑𝐴))) = 𝐴)
117 fnfvelrn 7035 . . . . . . 7 (((π‘š ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))) ↦ (π‘š / (2↑𝐴))) Fn (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))) ∧ (𝐴 Β· (2↑𝐴)) ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴)))) β†’ ((π‘š ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))) ↦ (π‘š / (2↑𝐴)))β€˜(𝐴 Β· (2↑𝐴))) ∈ ran (π‘š ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))) ↦ (π‘š / (2↑𝐴))))
11899, 107, 117syl2anc 585 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((π‘š ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))) ↦ (π‘š / (2↑𝐴)))β€˜(𝐴 Β· (2↑𝐴))) ∈ ran (π‘š ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))) ↦ (π‘š / (2↑𝐴))))
119116, 118eqeltrrd 2835 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ 𝐴 ∈ ran (π‘š ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))) ↦ (π‘š / (2↑𝐴))))
120119adantr 482 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ Β¬ (𝐴𝐽π‘₯) ≀ 𝐴) β†’ 𝐴 ∈ ran (π‘š ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))) ↦ (π‘š / (2↑𝐴))))
121103, 120ifclda 4525 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ if((𝐴𝐽π‘₯) ≀ 𝐴, (𝐴𝐽π‘₯), 𝐴) ∈ ran (π‘š ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))) ↦ (π‘š / (2↑𝐴))))
122 eluzfz1 13457 . . . . . . 7 ((𝐴 Β· (2↑𝐴)) ∈ (β„€β‰₯β€˜0) β†’ 0 ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))))
123105, 122syl 17 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ 0 ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))))
124 oveq1 7368 . . . . . . 7 (π‘š = 0 β†’ (π‘š / (2↑𝐴)) = (0 / (2↑𝐴)))
125 ovex 7394 . . . . . . 7 (0 / (2↑𝐴)) ∈ V
126124, 84, 125fvmpt 6952 . . . . . 6 (0 ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))) β†’ ((π‘š ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))) ↦ (π‘š / (2↑𝐴)))β€˜0) = (0 / (2↑𝐴)))
127123, 126syl 17 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((π‘š ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))) ↦ (π‘š / (2↑𝐴)))β€˜0) = (0 / (2↑𝐴)))
128 nncn 12169 . . . . . . 7 ((2↑𝐴) ∈ β„• β†’ (2↑𝐴) ∈ β„‚)
129 nnne0 12195 . . . . . . 7 ((2↑𝐴) ∈ β„• β†’ (2↑𝐴) β‰  0)
130128, 129div0d 11938 . . . . . 6 ((2↑𝐴) ∈ β„• β†’ (0 / (2↑𝐴)) = 0)
13133, 130syl 17 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (0 / (2↑𝐴)) = 0)
132127, 131eqtrd 2773 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((π‘š ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))) ↦ (π‘š / (2↑𝐴)))β€˜0) = 0)
133 fnfvelrn 7035 . . . . 5 (((π‘š ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))) ↦ (π‘š / (2↑𝐴))) Fn (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))) ∧ 0 ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴)))) β†’ ((π‘š ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))) ↦ (π‘š / (2↑𝐴)))β€˜0) ∈ ran (π‘š ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))) ↦ (π‘š / (2↑𝐴))))
13499, 123, 133syl2anc 585 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((π‘š ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))) ↦ (π‘š / (2↑𝐴)))β€˜0) ∈ ran (π‘š ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))) ↦ (π‘š / (2↑𝐴))))
135132, 134eqeltrrd 2835 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ 0 ∈ ran (π‘š ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))) ↦ (π‘š / (2↑𝐴))))
136121, 135ifcld 4536 . 2 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ if(π‘₯ ∈ (-𝐴[,]𝐴), if((𝐴𝐽π‘₯) ≀ 𝐴, (𝐴𝐽π‘₯), 𝐴), 0) ∈ ran (π‘š ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))) ↦ (π‘š / (2↑𝐴))))
1376, 136fmpt3d 7068 1 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) β†’ (πΊβ€˜π΄):β„βŸΆran (π‘š ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))) ↦ (π‘š / (2↑𝐴))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  ifcif 4490   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192   Γ— cxp 5635  ran crn 5638   Fn wfn 6495  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   ∈ cmpo 7363  β„cr 11058  0cc0 11059   Β· cmul 11064  +∞cpnf 11194   < clt 11197   ≀ cle 11198  -cneg 11394   / cdiv 11820  β„•cn 12161  2c2 12216  β„•0cn0 12421  β„€cz 12507  β„€β‰₯cuz 12771  [,)cico 13275  [,]cicc 13276  ...cfz 13433  βŒŠcfl 13704  β†‘cexp 13976  MblFncmbf 25001
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-sup 9386  df-inf 9387  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-ico 13279  df-fz 13434  df-fl 13706  df-seq 13916  df-exp 13977
This theorem is referenced by:  mbfi1fseqlem4  25106
  Copyright terms: Public domain W3C validator