MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfi1fseqlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfi1fseqlem3 25660
Description: Lemma for mbfi1fseq 25664. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfi1fseq.1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ MblFn)
mbfi1fseq.2 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆ(0[,)+∞))
mbfi1fseq.3 𝐽 = (π‘š ∈ β„•, 𝑦 ∈ ℝ ↦ ((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) Β· (2β†‘π‘š))) / (2β†‘π‘š)))
mbfi1fseq.4 𝐺 = (π‘š ∈ β„• ↦ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (-π‘š[,]π‘š), if((π‘šπ½π‘₯) ≀ π‘š, (π‘šπ½π‘₯), π‘š), 0)))
Assertion
Ref Expression
mbfi1fseqlem3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) β†’ (πΊβ€˜π΄):β„βŸΆran (π‘š ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))) ↦ (π‘š / (2↑𝐴))))
Distinct variable groups:   π‘₯,π‘š,𝑦,𝐹   π‘₯,𝐺   π‘š,𝐽   πœ‘,π‘š,π‘₯,𝑦   𝐴,π‘š,π‘₯,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑦,π‘š)   𝐽(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem mbfi1fseqlem3
StepHypRef Expression
1 mbfi1fseq.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ MblFn)
2 mbfi1fseq.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆ(0[,)+∞))
3 mbfi1fseq.3 . . . 4 𝐽 = (π‘š ∈ β„•, 𝑦 ∈ ℝ ↦ ((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) Β· (2β†‘π‘š))) / (2β†‘π‘š)))
4 mbfi1fseq.4 . . . 4 𝐺 = (π‘š ∈ β„• ↦ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (-π‘š[,]π‘š), if((π‘šπ½π‘₯) ≀ π‘š, (π‘šπ½π‘₯), π‘š), 0)))
51, 2, 3, 4mbfi1fseqlem2 25659 . . 3 (𝐴 ∈ β„• β†’ (πΊβ€˜π΄) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (-𝐴[,]𝐴), if((𝐴𝐽π‘₯) ≀ 𝐴, (𝐴𝐽π‘₯), 𝐴), 0)))
65adantl 480 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) β†’ (πΊβ€˜π΄) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (-𝐴[,]𝐴), if((𝐴𝐽π‘₯) ≀ 𝐴, (𝐴𝐽π‘₯), 𝐴), 0)))
7 rge0ssre 13460 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0[,)+∞) βŠ† ℝ
8 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘š ∈ β„• ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
9 ffvelcdm 7084 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹:β„βŸΆ(0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ (0[,)+∞))
102, 8, 9syl2an 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ (0[,)+∞))
117, 10sselid 3971 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ ℝ)
12 2nn 12310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 ∈ β„•
13 nnnn0 12504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘š ∈ β„• β†’ π‘š ∈ β„•0)
14 nnexpcl 14066 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((2 ∈ β„• ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (2β†‘π‘š) ∈ β„•)
1512, 13, 14sylancr 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘š ∈ β„• β†’ (2β†‘π‘š) ∈ β„•)
1615ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) β†’ (2β†‘π‘š) ∈ β„•)
1716nnred 12252 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) β†’ (2β†‘π‘š) ∈ ℝ)
1811, 17remulcld 11269 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) β†’ ((πΉβ€˜π‘¦) Β· (2β†‘π‘š)) ∈ ℝ)
19 reflcl 13788 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πΉβ€˜π‘¦) Β· (2β†‘π‘š)) ∈ ℝ β†’ (βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) Β· (2β†‘π‘š))) ∈ ℝ)
2018, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) β†’ (βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) Β· (2β†‘π‘š))) ∈ ℝ)
2120, 16nndivred 12291 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) β†’ ((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) Β· (2β†‘π‘š))) / (2β†‘π‘š)) ∈ ℝ)
2221ralrimivva 3191 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘š ∈ β„• βˆ€π‘¦ ∈ ℝ ((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) Β· (2β†‘π‘š))) / (2β†‘π‘š)) ∈ ℝ)
233fmpo 8066 . . . . . . . . . . . . 13 (βˆ€π‘š ∈ β„• βˆ€π‘¦ ∈ ℝ ((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) Β· (2β†‘π‘š))) / (2β†‘π‘š)) ∈ ℝ ↔ 𝐽:(β„• Γ— ℝ)βŸΆβ„)
2422, 23sylib 217 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐽:(β„• Γ— ℝ)βŸΆβ„)
25 fovcdm 7585 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽:(β„• Γ— ℝ)βŸΆβ„ ∧ 𝐴 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝐴𝐽π‘₯) ∈ ℝ)
2624, 25syl3an1 1160 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝐴𝐽π‘₯) ∈ ℝ)
27263expa 1115 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝐴𝐽π‘₯) ∈ ℝ)
28 nnre 12244 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ β„• β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
2928ad2antlr 725 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
30 nnnn0 12504 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ β„• β†’ 𝐴 ∈ β„•0)
31 nnexpcl 14066 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ β„•0) β†’ (2↑𝐴) ∈ β„•)
3212, 30, 31sylancr 585 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ β„• β†’ (2↑𝐴) ∈ β„•)
3332ad2antlr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (2↑𝐴) ∈ β„•)
34 nnre 12244 . . . . . . . . . . . 12 ((2↑𝐴) ∈ β„• β†’ (2↑𝐴) ∈ ℝ)
35 nngt0 12268 . . . . . . . . . . . 12 ((2↑𝐴) ∈ β„• β†’ 0 < (2↑𝐴))
3634, 35jca 510 . . . . . . . . . . 11 ((2↑𝐴) ∈ β„• β†’ ((2↑𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (2↑𝐴)))
3733, 36syl 17 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((2↑𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (2↑𝐴)))
38 lemul1 12091 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝐽π‘₯) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ ((2↑𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (2↑𝐴))) β†’ ((𝐴𝐽π‘₯) ≀ 𝐴 ↔ ((𝐴𝐽π‘₯) Β· (2↑𝐴)) ≀ (𝐴 Β· (2↑𝐴))))
3927, 29, 37, 38syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((𝐴𝐽π‘₯) ≀ 𝐴 ↔ ((𝐴𝐽π‘₯) Β· (2↑𝐴)) ≀ (𝐴 Β· (2↑𝐴))))
4039biimpa 475 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (𝐴𝐽π‘₯) ≀ 𝐴) β†’ ((𝐴𝐽π‘₯) Β· (2↑𝐴)) ≀ (𝐴 Β· (2↑𝐴)))
41 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘š = 𝐴 ∧ 𝑦 = π‘₯) β†’ 𝑦 = π‘₯)
4241fveq2d 6894 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘š = 𝐴 ∧ 𝑦 = π‘₯) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜π‘₯))
43 simpl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘š = 𝐴 ∧ 𝑦 = π‘₯) β†’ π‘š = 𝐴)
4443oveq2d 7429 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘š = 𝐴 ∧ 𝑦 = π‘₯) β†’ (2β†‘π‘š) = (2↑𝐴))
4542, 44oveq12d 7431 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘š = 𝐴 ∧ 𝑦 = π‘₯) β†’ ((πΉβ€˜π‘¦) Β· (2β†‘π‘š)) = ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝐴)))
4645fveq2d 6894 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘š = 𝐴 ∧ 𝑦 = π‘₯) β†’ (βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) Β· (2β†‘π‘š))) = (βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝐴))))
4746, 44oveq12d 7431 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘š = 𝐴 ∧ 𝑦 = π‘₯) β†’ ((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) Β· (2β†‘π‘š))) / (2β†‘π‘š)) = ((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝐴))) / (2↑𝐴)))
48 ovex 7446 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝐴))) / (2↑𝐴)) ∈ V
4947, 3, 48ovmpoa 7570 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝐴𝐽π‘₯) = ((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝐴))) / (2↑𝐴)))
5049ad4ant23 751 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (𝐴𝐽π‘₯) ≀ 𝐴) β†’ (𝐴𝐽π‘₯) = ((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝐴))) / (2↑𝐴)))
5150oveq1d 7428 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (𝐴𝐽π‘₯) ≀ 𝐴) β†’ ((𝐴𝐽π‘₯) Β· (2↑𝐴)) = (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝐴))) / (2↑𝐴)) Β· (2↑𝐴)))
522adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) β†’ 𝐹:β„βŸΆ(0[,)+∞))
5352ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (0[,)+∞))
54 elrege0 13458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
5553, 54sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
5655simpld 493 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
5733nnred 12252 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (2↑𝐴) ∈ ℝ)
5856, 57remulcld 11269 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝐴)) ∈ ℝ)
5933nnnn0d 12557 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (2↑𝐴) ∈ β„•0)
6059nn0ge0d 12560 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ 0 ≀ (2↑𝐴))
61 mulge0 11757 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯)) ∧ ((2↑𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (2↑𝐴))) β†’ 0 ≀ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝐴)))
6255, 57, 60, 61syl12anc 835 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ 0 ≀ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝐴)))
63 flge0nn0 13812 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝐴))) β†’ (βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝐴))) ∈ β„•0)
6458, 62, 63syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝐴))) ∈ β„•0)
6564adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (𝐴𝐽π‘₯) ≀ 𝐴) β†’ (βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝐴))) ∈ β„•0)
6665nn0cnd 12559 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (𝐴𝐽π‘₯) ≀ 𝐴) β†’ (βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝐴))) ∈ β„‚)
6733adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (𝐴𝐽π‘₯) ≀ 𝐴) β†’ (2↑𝐴) ∈ β„•)
6867nncnd 12253 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (𝐴𝐽π‘₯) ≀ 𝐴) β†’ (2↑𝐴) ∈ β„‚)
6967nnne0d 12287 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (𝐴𝐽π‘₯) ≀ 𝐴) β†’ (2↑𝐴) β‰  0)
7066, 68, 69divcan1d 12016 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (𝐴𝐽π‘₯) ≀ 𝐴) β†’ (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝐴))) / (2↑𝐴)) Β· (2↑𝐴)) = (βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝐴))))
7151, 70eqtrd 2765 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (𝐴𝐽π‘₯) ≀ 𝐴) β†’ ((𝐴𝐽π‘₯) Β· (2↑𝐴)) = (βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝐴))))
7271, 65eqeltrd 2825 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (𝐴𝐽π‘₯) ≀ 𝐴) β†’ ((𝐴𝐽π‘₯) Β· (2↑𝐴)) ∈ β„•0)
73 nn0uz 12889 . . . . . . . . . 10 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
7472, 73eleqtrdi 2835 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (𝐴𝐽π‘₯) ≀ 𝐴) β†’ ((𝐴𝐽π‘₯) Β· (2↑𝐴)) ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
75 nnmulcl 12261 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ β„• ∧ (2↑𝐴) ∈ β„•) β†’ (𝐴 Β· (2↑𝐴)) ∈ β„•)
7632, 75mpdan 685 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ β„• β†’ (𝐴 Β· (2↑𝐴)) ∈ β„•)
7776ad2antlr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝐴 Β· (2↑𝐴)) ∈ β„•)
7877adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (𝐴𝐽π‘₯) ≀ 𝐴) β†’ (𝐴 Β· (2↑𝐴)) ∈ β„•)
7978nnzd 12610 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (𝐴𝐽π‘₯) ≀ 𝐴) β†’ (𝐴 Β· (2↑𝐴)) ∈ β„€)
80 elfz5 13520 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝐽π‘₯) Β· (2↑𝐴)) ∈ (β„€β‰₯β€˜0) ∧ (𝐴 Β· (2↑𝐴)) ∈ β„€) β†’ (((𝐴𝐽π‘₯) Β· (2↑𝐴)) ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))) ↔ ((𝐴𝐽π‘₯) Β· (2↑𝐴)) ≀ (𝐴 Β· (2↑𝐴))))
8174, 79, 80syl2anc 582 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (𝐴𝐽π‘₯) ≀ 𝐴) β†’ (((𝐴𝐽π‘₯) Β· (2↑𝐴)) ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))) ↔ ((𝐴𝐽π‘₯) Β· (2↑𝐴)) ≀ (𝐴 Β· (2↑𝐴))))
8240, 81mpbird 256 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (𝐴𝐽π‘₯) ≀ 𝐴) β†’ ((𝐴𝐽π‘₯) Β· (2↑𝐴)) ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))))
83 oveq1 7420 . . . . . . . 8 (π‘š = ((𝐴𝐽π‘₯) Β· (2↑𝐴)) β†’ (π‘š / (2↑𝐴)) = (((𝐴𝐽π‘₯) Β· (2↑𝐴)) / (2↑𝐴)))
84 eqid 2725 . . . . . . . 8 (π‘š ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))) ↦ (π‘š / (2↑𝐴))) = (π‘š ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))) ↦ (π‘š / (2↑𝐴)))
85 ovex 7446 . . . . . . . 8 (((𝐴𝐽π‘₯) Β· (2↑𝐴)) / (2↑𝐴)) ∈ V
8683, 84, 85fvmpt 6998 . . . . . . 7 (((𝐴𝐽π‘₯) Β· (2↑𝐴)) ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))) β†’ ((π‘š ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))) ↦ (π‘š / (2↑𝐴)))β€˜((𝐴𝐽π‘₯) Β· (2↑𝐴))) = (((𝐴𝐽π‘₯) Β· (2↑𝐴)) / (2↑𝐴)))
8782, 86syl 17 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (𝐴𝐽π‘₯) ≀ 𝐴) β†’ ((π‘š ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))) ↦ (π‘š / (2↑𝐴)))β€˜((𝐴𝐽π‘₯) Β· (2↑𝐴))) = (((𝐴𝐽π‘₯) Β· (2↑𝐴)) / (2↑𝐴)))
8827adantr 479 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (𝐴𝐽π‘₯) ≀ 𝐴) β†’ (𝐴𝐽π‘₯) ∈ ℝ)
8988recnd 11267 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (𝐴𝐽π‘₯) ≀ 𝐴) β†’ (𝐴𝐽π‘₯) ∈ β„‚)
9089, 68, 69divcan4d 12021 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (𝐴𝐽π‘₯) ≀ 𝐴) β†’ (((𝐴𝐽π‘₯) Β· (2↑𝐴)) / (2↑𝐴)) = (𝐴𝐽π‘₯))
9187, 90eqtrd 2765 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (𝐴𝐽π‘₯) ≀ 𝐴) β†’ ((π‘š ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))) ↦ (π‘š / (2↑𝐴)))β€˜((𝐴𝐽π‘₯) Β· (2↑𝐴))) = (𝐴𝐽π‘₯))
92 elfznn0 13621 . . . . . . . . . . . 12 (π‘š ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))) β†’ π‘š ∈ β„•0)
9392nn0red 12558 . . . . . . . . . . 11 (π‘š ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))) β†’ π‘š ∈ ℝ)
9432adantl 480 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) β†’ (2↑𝐴) ∈ β„•)
95 nndivre 12278 . . . . . . . . . . 11 ((π‘š ∈ ℝ ∧ (2↑𝐴) ∈ β„•) β†’ (π‘š / (2↑𝐴)) ∈ ℝ)
9693, 94, 95syl2anr 595 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘š ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴)))) β†’ (π‘š / (2↑𝐴)) ∈ ℝ)
9796fmpttd 7118 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) β†’ (π‘š ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))) ↦ (π‘š / (2↑𝐴))):(0...(𝐴 Β· (2↑𝐴)))βŸΆβ„)
9897ffnd 6718 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) β†’ (π‘š ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))) ↦ (π‘š / (2↑𝐴))) Fn (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))))
9998adantr 479 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (π‘š ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))) ↦ (π‘š / (2↑𝐴))) Fn (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))))
10099adantr 479 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (𝐴𝐽π‘₯) ≀ 𝐴) β†’ (π‘š ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))) ↦ (π‘š / (2↑𝐴))) Fn (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))))
101 fnfvelrn 7083 . . . . . 6 (((π‘š ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))) ↦ (π‘š / (2↑𝐴))) Fn (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))) ∧ ((𝐴𝐽π‘₯) Β· (2↑𝐴)) ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴)))) β†’ ((π‘š ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))) ↦ (π‘š / (2↑𝐴)))β€˜((𝐴𝐽π‘₯) Β· (2↑𝐴))) ∈ ran (π‘š ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))) ↦ (π‘š / (2↑𝐴))))
102100, 82, 101syl2anc 582 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (𝐴𝐽π‘₯) ≀ 𝐴) β†’ ((π‘š ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))) ↦ (π‘š / (2↑𝐴)))β€˜((𝐴𝐽π‘₯) Β· (2↑𝐴))) ∈ ran (π‘š ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))) ↦ (π‘š / (2↑𝐴))))
10391, 102eqeltrrd 2826 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (𝐴𝐽π‘₯) ≀ 𝐴) β†’ (𝐴𝐽π‘₯) ∈ ran (π‘š ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))) ↦ (π‘š / (2↑𝐴))))
10477nnnn0d 12557 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝐴 Β· (2↑𝐴)) ∈ β„•0)
105104, 73eleqtrdi 2835 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝐴 Β· (2↑𝐴)) ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
106 eluzfz2 13536 . . . . . . . . 9 ((𝐴 Β· (2↑𝐴)) ∈ (β„€β‰₯β€˜0) β†’ (𝐴 Β· (2↑𝐴)) ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))))
107105, 106syl 17 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝐴 Β· (2↑𝐴)) ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))))
108 oveq1 7420 . . . . . . . . 9 (π‘š = (𝐴 Β· (2↑𝐴)) β†’ (π‘š / (2↑𝐴)) = ((𝐴 Β· (2↑𝐴)) / (2↑𝐴)))
109 ovex 7446 . . . . . . . . 9 ((𝐴 Β· (2↑𝐴)) / (2↑𝐴)) ∈ V
110108, 84, 109fvmpt 6998 . . . . . . . 8 ((𝐴 Β· (2↑𝐴)) ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))) β†’ ((π‘š ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))) ↦ (π‘š / (2↑𝐴)))β€˜(𝐴 Β· (2↑𝐴))) = ((𝐴 Β· (2↑𝐴)) / (2↑𝐴)))
111107, 110syl 17 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((π‘š ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))) ↦ (π‘š / (2↑𝐴)))β€˜(𝐴 Β· (2↑𝐴))) = ((𝐴 Β· (2↑𝐴)) / (2↑𝐴)))
11229recnd 11267 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
11333nncnd 12253 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (2↑𝐴) ∈ β„‚)
11433nnne0d 12287 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (2↑𝐴) β‰  0)
115112, 113, 114divcan4d 12021 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((𝐴 Β· (2↑𝐴)) / (2↑𝐴)) = 𝐴)
116111, 115eqtrd 2765 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((π‘š ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))) ↦ (π‘š / (2↑𝐴)))β€˜(𝐴 Β· (2↑𝐴))) = 𝐴)
117 fnfvelrn 7083 . . . . . . 7 (((π‘š ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))) ↦ (π‘š / (2↑𝐴))) Fn (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))) ∧ (𝐴 Β· (2↑𝐴)) ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴)))) β†’ ((π‘š ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))) ↦ (π‘š / (2↑𝐴)))β€˜(𝐴 Β· (2↑𝐴))) ∈ ran (π‘š ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))) ↦ (π‘š / (2↑𝐴))))
11899, 107, 117syl2anc 582 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((π‘š ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))) ↦ (π‘š / (2↑𝐴)))β€˜(𝐴 Β· (2↑𝐴))) ∈ ran (π‘š ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))) ↦ (π‘š / (2↑𝐴))))
119116, 118eqeltrrd 2826 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ 𝐴 ∈ ran (π‘š ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))) ↦ (π‘š / (2↑𝐴))))
120119adantr 479 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ Β¬ (𝐴𝐽π‘₯) ≀ 𝐴) β†’ 𝐴 ∈ ran (π‘š ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))) ↦ (π‘š / (2↑𝐴))))
121103, 120ifclda 4560 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ if((𝐴𝐽π‘₯) ≀ 𝐴, (𝐴𝐽π‘₯), 𝐴) ∈ ran (π‘š ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))) ↦ (π‘š / (2↑𝐴))))
122 eluzfz1 13535 . . . . . . 7 ((𝐴 Β· (2↑𝐴)) ∈ (β„€β‰₯β€˜0) β†’ 0 ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))))
123105, 122syl 17 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ 0 ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))))
124 oveq1 7420 . . . . . . 7 (π‘š = 0 β†’ (π‘š / (2↑𝐴)) = (0 / (2↑𝐴)))
125 ovex 7446 . . . . . . 7 (0 / (2↑𝐴)) ∈ V
126124, 84, 125fvmpt 6998 . . . . . 6 (0 ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))) β†’ ((π‘š ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))) ↦ (π‘š / (2↑𝐴)))β€˜0) = (0 / (2↑𝐴)))
127123, 126syl 17 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((π‘š ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))) ↦ (π‘š / (2↑𝐴)))β€˜0) = (0 / (2↑𝐴)))
128 nncn 12245 . . . . . . 7 ((2↑𝐴) ∈ β„• β†’ (2↑𝐴) ∈ β„‚)
129 nnne0 12271 . . . . . . 7 ((2↑𝐴) ∈ β„• β†’ (2↑𝐴) β‰  0)
130128, 129div0d 12014 . . . . . 6 ((2↑𝐴) ∈ β„• β†’ (0 / (2↑𝐴)) = 0)
13133, 130syl 17 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (0 / (2↑𝐴)) = 0)
132127, 131eqtrd 2765 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((π‘š ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))) ↦ (π‘š / (2↑𝐴)))β€˜0) = 0)
133 fnfvelrn 7083 . . . . 5 (((π‘š ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))) ↦ (π‘š / (2↑𝐴))) Fn (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))) ∧ 0 ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴)))) β†’ ((π‘š ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))) ↦ (π‘š / (2↑𝐴)))β€˜0) ∈ ran (π‘š ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))) ↦ (π‘š / (2↑𝐴))))
13499, 123, 133syl2anc 582 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((π‘š ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))) ↦ (π‘š / (2↑𝐴)))β€˜0) ∈ ran (π‘š ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))) ↦ (π‘š / (2↑𝐴))))
135132, 134eqeltrrd 2826 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ 0 ∈ ran (π‘š ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))) ↦ (π‘š / (2↑𝐴))))
136121, 135ifcld 4571 . 2 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ if(π‘₯ ∈ (-𝐴[,]𝐴), if((𝐴𝐽π‘₯) ≀ 𝐴, (𝐴𝐽π‘₯), 𝐴), 0) ∈ ran (π‘š ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))) ↦ (π‘š / (2↑𝐴))))
1376, 136fmpt3d 7119 1 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) β†’ (πΊβ€˜π΄):β„βŸΆran (π‘š ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))) ↦ (π‘š / (2↑𝐴))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3051  ifcif 4525   class class class wbr 5144   ↦ cmpt 5227   Γ— cxp 5671  ran crn 5674   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7413   ∈ cmpo 7415  β„cr 11132  0cc0 11133   Β· cmul 11138  +∞cpnf 11270   < clt 11273   ≀ cle 11274  -cneg 11470   / cdiv 11896  β„•cn 12237  2c2 12292  β„•0cn0 12497  β„€cz 12583  β„€β‰₯cuz 12847  [,)cico 13353  [,]cicc 13354  ...cfz 13511  βŒŠcfl 13782  β†‘cexp 14053  MblFncmbf 25556
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-pre-sup 11211
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-sup 9460  df-inf 9461  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-2 12300  df-n0 12498  df-z 12584  df-uz 12848  df-ico 13357  df-fz 13512  df-fl 13784  df-seq 13994  df-exp 14054
This theorem is referenced by:  mbfi1fseqlem4  25661
  Copyright terms: Public domain W3C validator