MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfi1fseqlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfi1fseqlem3 25621
Description: Lemma for mbfi1fseq 25625. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfi1fseq.1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ MblFn)
mbfi1fseq.2 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆ(0[,)+∞))
mbfi1fseq.3 𝐽 = (π‘š ∈ β„•, 𝑦 ∈ ℝ ↦ ((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) Β· (2β†‘π‘š))) / (2β†‘π‘š)))
mbfi1fseq.4 𝐺 = (π‘š ∈ β„• ↦ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (-π‘š[,]π‘š), if((π‘šπ½π‘₯) ≀ π‘š, (π‘šπ½π‘₯), π‘š), 0)))
Assertion
Ref Expression
mbfi1fseqlem3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) β†’ (πΊβ€˜π΄):β„βŸΆran (π‘š ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))) ↦ (π‘š / (2↑𝐴))))
Distinct variable groups:   π‘₯,π‘š,𝑦,𝐹   π‘₯,𝐺   π‘š,𝐽   πœ‘,π‘š,π‘₯,𝑦   𝐴,π‘š,π‘₯,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑦,π‘š)   𝐽(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem mbfi1fseqlem3
StepHypRef Expression
1 mbfi1fseq.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ MblFn)
2 mbfi1fseq.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆ(0[,)+∞))
3 mbfi1fseq.3 . . . 4 𝐽 = (π‘š ∈ β„•, 𝑦 ∈ ℝ ↦ ((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) Β· (2β†‘π‘š))) / (2β†‘π‘š)))
4 mbfi1fseq.4 . . . 4 𝐺 = (π‘š ∈ β„• ↦ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (-π‘š[,]π‘š), if((π‘šπ½π‘₯) ≀ π‘š, (π‘šπ½π‘₯), π‘š), 0)))
51, 2, 3, 4mbfi1fseqlem2 25620 . . 3 (𝐴 ∈ β„• β†’ (πΊβ€˜π΄) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (-𝐴[,]𝐴), if((𝐴𝐽π‘₯) ≀ 𝐴, (𝐴𝐽π‘₯), 𝐴), 0)))
65adantl 481 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) β†’ (πΊβ€˜π΄) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (-𝐴[,]𝐴), if((𝐴𝐽π‘₯) ≀ 𝐴, (𝐴𝐽π‘₯), 𝐴), 0)))
7 rge0ssre 13451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0[,)+∞) βŠ† ℝ
8 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘š ∈ β„• ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
9 ffvelcdm 7085 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹:β„βŸΆ(0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ (0[,)+∞))
102, 8, 9syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ (0[,)+∞))
117, 10sselid 3976 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ ℝ)
12 2nn 12301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 ∈ β„•
13 nnnn0 12495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘š ∈ β„• β†’ π‘š ∈ β„•0)
14 nnexpcl 14057 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((2 ∈ β„• ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (2β†‘π‘š) ∈ β„•)
1512, 13, 14sylancr 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘š ∈ β„• β†’ (2β†‘π‘š) ∈ β„•)
1615ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) β†’ (2β†‘π‘š) ∈ β„•)
1716nnred 12243 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) β†’ (2β†‘π‘š) ∈ ℝ)
1811, 17remulcld 11260 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) β†’ ((πΉβ€˜π‘¦) Β· (2β†‘π‘š)) ∈ ℝ)
19 reflcl 13779 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πΉβ€˜π‘¦) Β· (2β†‘π‘š)) ∈ ℝ β†’ (βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) Β· (2β†‘π‘š))) ∈ ℝ)
2018, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) β†’ (βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) Β· (2β†‘π‘š))) ∈ ℝ)
2120, 16nndivred 12282 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) β†’ ((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) Β· (2β†‘π‘š))) / (2β†‘π‘š)) ∈ ℝ)
2221ralrimivva 3195 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘š ∈ β„• βˆ€π‘¦ ∈ ℝ ((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) Β· (2β†‘π‘š))) / (2β†‘π‘š)) ∈ ℝ)
233fmpo 8064 . . . . . . . . . . . . 13 (βˆ€π‘š ∈ β„• βˆ€π‘¦ ∈ ℝ ((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) Β· (2β†‘π‘š))) / (2β†‘π‘š)) ∈ ℝ ↔ 𝐽:(β„• Γ— ℝ)βŸΆβ„)
2422, 23sylib 217 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐽:(β„• Γ— ℝ)βŸΆβ„)
25 fovcdm 7583 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽:(β„• Γ— ℝ)βŸΆβ„ ∧ 𝐴 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝐴𝐽π‘₯) ∈ ℝ)
2624, 25syl3an1 1161 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝐴𝐽π‘₯) ∈ ℝ)
27263expa 1116 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝐴𝐽π‘₯) ∈ ℝ)
28 nnre 12235 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ β„• β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
2928ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
30 nnnn0 12495 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ β„• β†’ 𝐴 ∈ β„•0)
31 nnexpcl 14057 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ β„•0) β†’ (2↑𝐴) ∈ β„•)
3212, 30, 31sylancr 586 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ β„• β†’ (2↑𝐴) ∈ β„•)
3332ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (2↑𝐴) ∈ β„•)
34 nnre 12235 . . . . . . . . . . . 12 ((2↑𝐴) ∈ β„• β†’ (2↑𝐴) ∈ ℝ)
35 nngt0 12259 . . . . . . . . . . . 12 ((2↑𝐴) ∈ β„• β†’ 0 < (2↑𝐴))
3634, 35jca 511 . . . . . . . . . . 11 ((2↑𝐴) ∈ β„• β†’ ((2↑𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (2↑𝐴)))
3733, 36syl 17 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((2↑𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (2↑𝐴)))
38 lemul1 12082 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝐽π‘₯) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ ((2↑𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (2↑𝐴))) β†’ ((𝐴𝐽π‘₯) ≀ 𝐴 ↔ ((𝐴𝐽π‘₯) Β· (2↑𝐴)) ≀ (𝐴 Β· (2↑𝐴))))
3927, 29, 37, 38syl3anc 1369 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((𝐴𝐽π‘₯) ≀ 𝐴 ↔ ((𝐴𝐽π‘₯) Β· (2↑𝐴)) ≀ (𝐴 Β· (2↑𝐴))))
4039biimpa 476 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (𝐴𝐽π‘₯) ≀ 𝐴) β†’ ((𝐴𝐽π‘₯) Β· (2↑𝐴)) ≀ (𝐴 Β· (2↑𝐴)))
41 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘š = 𝐴 ∧ 𝑦 = π‘₯) β†’ 𝑦 = π‘₯)
4241fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘š = 𝐴 ∧ 𝑦 = π‘₯) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜π‘₯))
43 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘š = 𝐴 ∧ 𝑦 = π‘₯) β†’ π‘š = 𝐴)
4443oveq2d 7430 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘š = 𝐴 ∧ 𝑦 = π‘₯) β†’ (2β†‘π‘š) = (2↑𝐴))
4542, 44oveq12d 7432 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘š = 𝐴 ∧ 𝑦 = π‘₯) β†’ ((πΉβ€˜π‘¦) Β· (2β†‘π‘š)) = ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝐴)))
4645fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘š = 𝐴 ∧ 𝑦 = π‘₯) β†’ (βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) Β· (2β†‘π‘š))) = (βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝐴))))
4746, 44oveq12d 7432 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘š = 𝐴 ∧ 𝑦 = π‘₯) β†’ ((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) Β· (2β†‘π‘š))) / (2β†‘π‘š)) = ((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝐴))) / (2↑𝐴)))
48 ovex 7447 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝐴))) / (2↑𝐴)) ∈ V
4947, 3, 48ovmpoa 7568 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝐴𝐽π‘₯) = ((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝐴))) / (2↑𝐴)))
5049ad4ant23 752 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (𝐴𝐽π‘₯) ≀ 𝐴) β†’ (𝐴𝐽π‘₯) = ((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝐴))) / (2↑𝐴)))
5150oveq1d 7429 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (𝐴𝐽π‘₯) ≀ 𝐴) β†’ ((𝐴𝐽π‘₯) Β· (2↑𝐴)) = (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝐴))) / (2↑𝐴)) Β· (2↑𝐴)))
522adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) β†’ 𝐹:β„βŸΆ(0[,)+∞))
5352ffvelcdmda 7088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (0[,)+∞))
54 elrege0 13449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
5553, 54sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
5655simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
5733nnred 12243 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (2↑𝐴) ∈ ℝ)
5856, 57remulcld 11260 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝐴)) ∈ ℝ)
5933nnnn0d 12548 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (2↑𝐴) ∈ β„•0)
6059nn0ge0d 12551 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ 0 ≀ (2↑𝐴))
61 mulge0 11748 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯)) ∧ ((2↑𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (2↑𝐴))) β†’ 0 ≀ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝐴)))
6255, 57, 60, 61syl12anc 836 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ 0 ≀ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝐴)))
63 flge0nn0 13803 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝐴))) β†’ (βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝐴))) ∈ β„•0)
6458, 62, 63syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝐴))) ∈ β„•0)
6564adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (𝐴𝐽π‘₯) ≀ 𝐴) β†’ (βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝐴))) ∈ β„•0)
6665nn0cnd 12550 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (𝐴𝐽π‘₯) ≀ 𝐴) β†’ (βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝐴))) ∈ β„‚)
6733adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (𝐴𝐽π‘₯) ≀ 𝐴) β†’ (2↑𝐴) ∈ β„•)
6867nncnd 12244 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (𝐴𝐽π‘₯) ≀ 𝐴) β†’ (2↑𝐴) ∈ β„‚)
6967nnne0d 12278 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (𝐴𝐽π‘₯) ≀ 𝐴) β†’ (2↑𝐴) β‰  0)
7066, 68, 69divcan1d 12007 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (𝐴𝐽π‘₯) ≀ 𝐴) β†’ (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝐴))) / (2↑𝐴)) Β· (2↑𝐴)) = (βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝐴))))
7151, 70eqtrd 2767 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (𝐴𝐽π‘₯) ≀ 𝐴) β†’ ((𝐴𝐽π‘₯) Β· (2↑𝐴)) = (βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝐴))))
7271, 65eqeltrd 2828 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (𝐴𝐽π‘₯) ≀ 𝐴) β†’ ((𝐴𝐽π‘₯) Β· (2↑𝐴)) ∈ β„•0)
73 nn0uz 12880 . . . . . . . . . 10 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
7472, 73eleqtrdi 2838 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (𝐴𝐽π‘₯) ≀ 𝐴) β†’ ((𝐴𝐽π‘₯) Β· (2↑𝐴)) ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
75 nnmulcl 12252 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ β„• ∧ (2↑𝐴) ∈ β„•) β†’ (𝐴 Β· (2↑𝐴)) ∈ β„•)
7632, 75mpdan 686 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ β„• β†’ (𝐴 Β· (2↑𝐴)) ∈ β„•)
7776ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝐴 Β· (2↑𝐴)) ∈ β„•)
7877adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (𝐴𝐽π‘₯) ≀ 𝐴) β†’ (𝐴 Β· (2↑𝐴)) ∈ β„•)
7978nnzd 12601 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (𝐴𝐽π‘₯) ≀ 𝐴) β†’ (𝐴 Β· (2↑𝐴)) ∈ β„€)
80 elfz5 13511 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝐽π‘₯) Β· (2↑𝐴)) ∈ (β„€β‰₯β€˜0) ∧ (𝐴 Β· (2↑𝐴)) ∈ β„€) β†’ (((𝐴𝐽π‘₯) Β· (2↑𝐴)) ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))) ↔ ((𝐴𝐽π‘₯) Β· (2↑𝐴)) ≀ (𝐴 Β· (2↑𝐴))))
8174, 79, 80syl2anc 583 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (𝐴𝐽π‘₯) ≀ 𝐴) β†’ (((𝐴𝐽π‘₯) Β· (2↑𝐴)) ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))) ↔ ((𝐴𝐽π‘₯) Β· (2↑𝐴)) ≀ (𝐴 Β· (2↑𝐴))))
8240, 81mpbird 257 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (𝐴𝐽π‘₯) ≀ 𝐴) β†’ ((𝐴𝐽π‘₯) Β· (2↑𝐴)) ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))))
83 oveq1 7421 . . . . . . . 8 (π‘š = ((𝐴𝐽π‘₯) Β· (2↑𝐴)) β†’ (π‘š / (2↑𝐴)) = (((𝐴𝐽π‘₯) Β· (2↑𝐴)) / (2↑𝐴)))
84 eqid 2727 . . . . . . . 8 (π‘š ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))) ↦ (π‘š / (2↑𝐴))) = (π‘š ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))) ↦ (π‘š / (2↑𝐴)))
85 ovex 7447 . . . . . . . 8 (((𝐴𝐽π‘₯) Β· (2↑𝐴)) / (2↑𝐴)) ∈ V
8683, 84, 85fvmpt 6999 . . . . . . 7 (((𝐴𝐽π‘₯) Β· (2↑𝐴)) ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))) β†’ ((π‘š ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))) ↦ (π‘š / (2↑𝐴)))β€˜((𝐴𝐽π‘₯) Β· (2↑𝐴))) = (((𝐴𝐽π‘₯) Β· (2↑𝐴)) / (2↑𝐴)))
8782, 86syl 17 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (𝐴𝐽π‘₯) ≀ 𝐴) β†’ ((π‘š ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))) ↦ (π‘š / (2↑𝐴)))β€˜((𝐴𝐽π‘₯) Β· (2↑𝐴))) = (((𝐴𝐽π‘₯) Β· (2↑𝐴)) / (2↑𝐴)))
8827adantr 480 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (𝐴𝐽π‘₯) ≀ 𝐴) β†’ (𝐴𝐽π‘₯) ∈ ℝ)
8988recnd 11258 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (𝐴𝐽π‘₯) ≀ 𝐴) β†’ (𝐴𝐽π‘₯) ∈ β„‚)
9089, 68, 69divcan4d 12012 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (𝐴𝐽π‘₯) ≀ 𝐴) β†’ (((𝐴𝐽π‘₯) Β· (2↑𝐴)) / (2↑𝐴)) = (𝐴𝐽π‘₯))
9187, 90eqtrd 2767 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (𝐴𝐽π‘₯) ≀ 𝐴) β†’ ((π‘š ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))) ↦ (π‘š / (2↑𝐴)))β€˜((𝐴𝐽π‘₯) Β· (2↑𝐴))) = (𝐴𝐽π‘₯))
92 elfznn0 13612 . . . . . . . . . . . 12 (π‘š ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))) β†’ π‘š ∈ β„•0)
9392nn0red 12549 . . . . . . . . . . 11 (π‘š ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))) β†’ π‘š ∈ ℝ)
9432adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) β†’ (2↑𝐴) ∈ β„•)
95 nndivre 12269 . . . . . . . . . . 11 ((π‘š ∈ ℝ ∧ (2↑𝐴) ∈ β„•) β†’ (π‘š / (2↑𝐴)) ∈ ℝ)
9693, 94, 95syl2anr 596 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘š ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴)))) β†’ (π‘š / (2↑𝐴)) ∈ ℝ)
9796fmpttd 7119 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) β†’ (π‘š ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))) ↦ (π‘š / (2↑𝐴))):(0...(𝐴 Β· (2↑𝐴)))βŸΆβ„)
9897ffnd 6717 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) β†’ (π‘š ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))) ↦ (π‘š / (2↑𝐴))) Fn (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))))
9998adantr 480 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (π‘š ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))) ↦ (π‘š / (2↑𝐴))) Fn (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))))
10099adantr 480 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (𝐴𝐽π‘₯) ≀ 𝐴) β†’ (π‘š ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))) ↦ (π‘š / (2↑𝐴))) Fn (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))))
101 fnfvelrn 7084 . . . . . 6 (((π‘š ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))) ↦ (π‘š / (2↑𝐴))) Fn (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))) ∧ ((𝐴𝐽π‘₯) Β· (2↑𝐴)) ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴)))) β†’ ((π‘š ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))) ↦ (π‘š / (2↑𝐴)))β€˜((𝐴𝐽π‘₯) Β· (2↑𝐴))) ∈ ran (π‘š ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))) ↦ (π‘š / (2↑𝐴))))
102100, 82, 101syl2anc 583 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (𝐴𝐽π‘₯) ≀ 𝐴) β†’ ((π‘š ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))) ↦ (π‘š / (2↑𝐴)))β€˜((𝐴𝐽π‘₯) Β· (2↑𝐴))) ∈ ran (π‘š ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))) ↦ (π‘š / (2↑𝐴))))
10391, 102eqeltrrd 2829 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (𝐴𝐽π‘₯) ≀ 𝐴) β†’ (𝐴𝐽π‘₯) ∈ ran (π‘š ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))) ↦ (π‘š / (2↑𝐴))))
10477nnnn0d 12548 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝐴 Β· (2↑𝐴)) ∈ β„•0)
105104, 73eleqtrdi 2838 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝐴 Β· (2↑𝐴)) ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
106 eluzfz2 13527 . . . . . . . . 9 ((𝐴 Β· (2↑𝐴)) ∈ (β„€β‰₯β€˜0) β†’ (𝐴 Β· (2↑𝐴)) ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))))
107105, 106syl 17 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝐴 Β· (2↑𝐴)) ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))))
108 oveq1 7421 . . . . . . . . 9 (π‘š = (𝐴 Β· (2↑𝐴)) β†’ (π‘š / (2↑𝐴)) = ((𝐴 Β· (2↑𝐴)) / (2↑𝐴)))
109 ovex 7447 . . . . . . . . 9 ((𝐴 Β· (2↑𝐴)) / (2↑𝐴)) ∈ V
110108, 84, 109fvmpt 6999 . . . . . . . 8 ((𝐴 Β· (2↑𝐴)) ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))) β†’ ((π‘š ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))) ↦ (π‘š / (2↑𝐴)))β€˜(𝐴 Β· (2↑𝐴))) = ((𝐴 Β· (2↑𝐴)) / (2↑𝐴)))
111107, 110syl 17 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((π‘š ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))) ↦ (π‘š / (2↑𝐴)))β€˜(𝐴 Β· (2↑𝐴))) = ((𝐴 Β· (2↑𝐴)) / (2↑𝐴)))
11229recnd 11258 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
11333nncnd 12244 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (2↑𝐴) ∈ β„‚)
11433nnne0d 12278 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (2↑𝐴) β‰  0)
115112, 113, 114divcan4d 12012 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((𝐴 Β· (2↑𝐴)) / (2↑𝐴)) = 𝐴)
116111, 115eqtrd 2767 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((π‘š ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))) ↦ (π‘š / (2↑𝐴)))β€˜(𝐴 Β· (2↑𝐴))) = 𝐴)
117 fnfvelrn 7084 . . . . . . 7 (((π‘š ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))) ↦ (π‘š / (2↑𝐴))) Fn (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))) ∧ (𝐴 Β· (2↑𝐴)) ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴)))) β†’ ((π‘š ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))) ↦ (π‘š / (2↑𝐴)))β€˜(𝐴 Β· (2↑𝐴))) ∈ ran (π‘š ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))) ↦ (π‘š / (2↑𝐴))))
11899, 107, 117syl2anc 583 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((π‘š ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))) ↦ (π‘š / (2↑𝐴)))β€˜(𝐴 Β· (2↑𝐴))) ∈ ran (π‘š ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))) ↦ (π‘š / (2↑𝐴))))
119116, 118eqeltrrd 2829 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ 𝐴 ∈ ran (π‘š ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))) ↦ (π‘š / (2↑𝐴))))
120119adantr 480 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ Β¬ (𝐴𝐽π‘₯) ≀ 𝐴) β†’ 𝐴 ∈ ran (π‘š ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))) ↦ (π‘š / (2↑𝐴))))
121103, 120ifclda 4559 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ if((𝐴𝐽π‘₯) ≀ 𝐴, (𝐴𝐽π‘₯), 𝐴) ∈ ran (π‘š ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))) ↦ (π‘š / (2↑𝐴))))
122 eluzfz1 13526 . . . . . . 7 ((𝐴 Β· (2↑𝐴)) ∈ (β„€β‰₯β€˜0) β†’ 0 ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))))
123105, 122syl 17 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ 0 ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))))
124 oveq1 7421 . . . . . . 7 (π‘š = 0 β†’ (π‘š / (2↑𝐴)) = (0 / (2↑𝐴)))
125 ovex 7447 . . . . . . 7 (0 / (2↑𝐴)) ∈ V
126124, 84, 125fvmpt 6999 . . . . . 6 (0 ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))) β†’ ((π‘š ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))) ↦ (π‘š / (2↑𝐴)))β€˜0) = (0 / (2↑𝐴)))
127123, 126syl 17 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((π‘š ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))) ↦ (π‘š / (2↑𝐴)))β€˜0) = (0 / (2↑𝐴)))
128 nncn 12236 . . . . . . 7 ((2↑𝐴) ∈ β„• β†’ (2↑𝐴) ∈ β„‚)
129 nnne0 12262 . . . . . . 7 ((2↑𝐴) ∈ β„• β†’ (2↑𝐴) β‰  0)
130128, 129div0d 12005 . . . . . 6 ((2↑𝐴) ∈ β„• β†’ (0 / (2↑𝐴)) = 0)
13133, 130syl 17 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (0 / (2↑𝐴)) = 0)
132127, 131eqtrd 2767 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((π‘š ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))) ↦ (π‘š / (2↑𝐴)))β€˜0) = 0)
133 fnfvelrn 7084 . . . . 5 (((π‘š ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))) ↦ (π‘š / (2↑𝐴))) Fn (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))) ∧ 0 ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴)))) β†’ ((π‘š ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))) ↦ (π‘š / (2↑𝐴)))β€˜0) ∈ ran (π‘š ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))) ↦ (π‘š / (2↑𝐴))))
13499, 123, 133syl2anc 583 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((π‘š ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))) ↦ (π‘š / (2↑𝐴)))β€˜0) ∈ ran (π‘š ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))) ↦ (π‘š / (2↑𝐴))))
135132, 134eqeltrrd 2829 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ 0 ∈ ran (π‘š ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))) ↦ (π‘š / (2↑𝐴))))
136121, 135ifcld 4570 . 2 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ if(π‘₯ ∈ (-𝐴[,]𝐴), if((𝐴𝐽π‘₯) ≀ 𝐴, (𝐴𝐽π‘₯), 𝐴), 0) ∈ ran (π‘š ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))) ↦ (π‘š / (2↑𝐴))))
1376, 136fmpt3d 7120 1 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) β†’ (πΊβ€˜π΄):β„βŸΆran (π‘š ∈ (0...(𝐴 Β· (2↑𝐴))) ↦ (π‘š / (2↑𝐴))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βˆ€wral 3056  ifcif 4524   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5225   Γ— cxp 5670  ran crn 5673   Fn wfn 6537  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414   ∈ cmpo 7416  β„cr 11123  0cc0 11124   Β· cmul 11129  +∞cpnf 11261   < clt 11264   ≀ cle 11265  -cneg 11461   / cdiv 11887  β„•cn 12228  2c2 12283  β„•0cn0 12488  β„€cz 12574  β„€β‰₯cuz 12838  [,)cico 13344  [,]cicc 13345  ...cfz 13502  βŒŠcfl 13773  β†‘cexp 14044  MblFncmbf 25517
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8716  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-sup 9451  df-inf 9452  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11888  df-nn 12229  df-2 12291  df-n0 12489  df-z 12575  df-uz 12839  df-ico 13348  df-fz 13503  df-fl 13775  df-seq 13985  df-exp 14045
This theorem is referenced by:  mbfi1fseqlem4  25622
  Copyright terms: Public domain W3C validator