Theorem meacl 45840

Description: The measure of a set is a nonnegative extended real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
meacl.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Meas)
meacl.2	⊢ 𝑆 = dom 𝑀
meacl.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
meacl	⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ (0[,]+∞))

Proof of Theorem meacl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		meacl.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Meas)
2		meacl.2	. . 3 ⊢ 𝑆 = dom 𝑀
3	1, 2	meaf 45835	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀:𝑆⟶(0[,]+∞))
4		meacl.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
5	3, 4	ffvelcdmd 7089	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ (0[,]+∞))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  dom cdm 5672  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  0cc0 11132  +∞cpnf 11269  [,]cicc 13353  Meascmea 45831

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pr 5423

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-mea 45832

This theorem is referenced by:  meaxrcl  45843  meassle  45845  meaiunlelem  45850  meage0  45857  voncl  46048