Theorem meacl 47741

Description: The measure of a set is a nonnegative extended real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
meacl.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Meas)
meacl.2	⊢ 𝑆 = dom 𝑀
meacl.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
meacl	⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ (0[,]+∞))

Proof of Theorem meacl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		meacl.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Meas)
2		meacl.2	. . 3 ⊢ 𝑆 = dom 𝑀
3	1, 2	meaf 47736	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀:𝑆⟶(0[,]+∞))
4		meacl.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
5	3, 4	ffvelcdmd 7117	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ (0[,]+∞))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  dom cdm 5658  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  0cc0 11239  +∞cpnf 11379  [,]cicc 13519  Meascmea 47732

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-mea 47733

This theorem is used by:  meaxrcl  47744  meassle  47746  meaiunlelem  47751  meage0  47758  voncl  47949