Theorem meacl 46435

Description: The measure of a set is a nonnegative extended real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
meacl.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Meas)
meacl.2	⊢ 𝑆 = dom 𝑀
meacl.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
meacl	⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ (0[,]+∞))

Proof of Theorem meacl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		meacl.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Meas)
2		meacl.2	. . 3 ⊢ 𝑆 = dom 𝑀
3	1, 2	meaf 46430	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀:𝑆⟶(0[,]+∞))
4		meacl.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
5	3, 4	ffvelcdmd 7074	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ (0[,]+∞))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  dom cdm 5654  ‘cfv 6530  (class class class)co 7403  0cc0 11127  +∞cpnf 11264  [,]cicc 13363  Meascmea 46426

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pr 5402

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-mea 46427

This theorem is referenced by:  meaxrcl  46438  meassle  46440  meaiunlelem  46445  meage0  46452  voncl  46643