Theorem meaf 45627

Description: A measure is a function that maps to nonnegative extended reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
meaf.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Meas)
meaf.s	⊢ 𝑆 = dom 𝑀

Assertion

Ref	Expression
meaf	⊢ (𝜑 → 𝑀:𝑆⟶(0[,]+∞))

Proof of Theorem meaf

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		meaf.m	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Meas)
2		ismea 45625	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ Meas ↔ (((𝑀:dom 𝑀⟶(0[,]+∞) ∧ dom 𝑀 ∈ SAlg) ∧ (𝑀‘∅) = 0) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → (𝑀‘∪ 𝑥) = (Σ^‘(𝑀 ↾ 𝑥)))))
3	1, 2	sylib 217	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑀:dom 𝑀⟶(0[,]+∞) ∧ dom 𝑀 ∈ SAlg) ∧ (𝑀‘∅) = 0) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → (𝑀‘∪ 𝑥) = (Σ^‘(𝑀 ↾ 𝑥)))))
4	3	simpld 494	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀:dom 𝑀⟶(0[,]+∞) ∧ dom 𝑀 ∈ SAlg) ∧ (𝑀‘∅) = 0))
5	4	simplld 765	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀:dom 𝑀⟶(0[,]+∞))
6		meaf.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = dom 𝑀
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = dom 𝑀)
8	7	feq2d 6703	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀:𝑆⟶(0[,]+∞) ↔ 𝑀:dom 𝑀⟶(0[,]+∞)))
9	5, 8	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝑀:𝑆⟶(0[,]+∞))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ∀wral 3060  ∅c0 4322  𝒫 cpw 4602  ∪ cuni 4908  Disj wdisj 5113   class class class wbr 5148  dom cdm 5676   ↾ cres 5678  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  ωcom 7859   ≼ cdom 8943  0cc0 11116  +∞cpnf 11252  [,]cicc 13334  SAlgcsalg 45482  Σ^{^}csumge0 45536  Meascmea 45623

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-mea 45624

This theorem is referenced by:  meacl  45632  meadjun  45636  meadjiunlem  45639  meadjiun  45640