Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  meage0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem meage0 45737
Description: If the measure of a measurable set is greater than or equal to 0. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
meage0.m (𝜑𝑀 ∈ Meas)
meage0.a (𝜑𝐴 ∈ dom 𝑀)
Assertion
Ref Expression
meage0 (𝜑 → 0 ≤ (𝑀𝐴))

Proof of Theorem meage0
StepHypRef Expression
1 0xr 11260 . . 3 0 ∈ ℝ*
21a1i 11 . 2 (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
3 pnfxr 11267 . . 3 +∞ ∈ ℝ*
43a1i 11 . 2 (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
5 meage0.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ Meas)
6 eqid 2724 . . 3 dom 𝑀 = dom 𝑀
7 meage0.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ dom 𝑀)
85, 6, 7meacl 45720 . 2 (𝜑 → (𝑀𝐴) ∈ (0[,]+∞))
9 iccgelb 13381 . 2 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ (𝑀𝐴) ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ (𝑀𝐴))
102, 4, 8, 9syl3anc 1368 1 (𝜑 → 0 ≤ (𝑀𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2098   class class class wbr 5139  dom cdm 5667  cfv 6534  (class class class)co 7402  0cc0 11107  +∞cpnf 11244  *cxr 11246  cle 11248  [,]cicc 13328  Meascmea 45711
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-addrcl 11168  ax-rnegex 11178  ax-cnre 11180
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-pnf 11249  df-xr 11251  df-icc 13332  df-mea 45712
This theorem is referenced by:  meassre  45739  meale0eq0  45740  meaiuninclem  45742
  Copyright terms: Public domain W3C validator