Theorem meage0 46661

Description: If the measure of a measurable set is greater than or equal to 0. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
meage0.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Meas)
meage0.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
meage0	⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑀‘𝐴))

Proof of Theorem meage0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0xr 11177	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ*
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
3		pnfxr 11184	. . 3 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
5		meage0.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Meas)
6		eqid 2734	. . 3 ⊢ dom 𝑀 = dom 𝑀
7		meage0.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom 𝑀)
8	5, 6, 7	meacl 46644	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ (0[,]+∞))
9		iccgelb 13316	. 2 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ (𝑀‘𝐴))
10	2, 4, 8, 9	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑀‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5096  dom cdm 5622  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  0cc0 11024  +∞cpnf 11161  ℝ^*cxr 11163   ≤ cle 11165  [,]cicc 13262  Meascmea 46635

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-addrcl 11085  ax-rnegex 11095  ax-cnre 11097

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-id 5517  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-pnf 11166  df-xr 11168  df-icc 13266  df-mea 46636

This theorem is referenced by:  meassre  46663  meale0eq0  46664  meaiuninclem  46666