Theorem meage0 43903

Description: If the measure of a measurable set is greater than or equal to 0. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
meage0.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Meas)
meage0.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
meage0	⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑀‘𝐴))

Proof of Theorem meage0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0xr 10953	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ*
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
3		pnfxr 10960	. . 3 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
5		meage0.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Meas)
6		eqid 2738	. . 3 ⊢ dom 𝑀 = dom 𝑀
7		meage0.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom 𝑀)
8	5, 6, 7	meacl 43886	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ (0[,]+∞))
9		iccgelb 13064	. 2 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ (𝑀‘𝐴))
10	2, 4, 8, 9	syl3anc 1369	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑀‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5070  dom cdm 5580  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  0cc0 10802  +∞cpnf 10937  ℝ^*cxr 10939   ≤ cle 10941  [,]cicc 13011  Meascmea 43877

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-addrcl 10863  ax-rnegex 10873  ax-cnre 10875

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-pnf 10942  df-xr 10944  df-icc 13015  df-mea 43878

This theorem is referenced by:  meassre  43905  meale0eq0  43906  meaiuninclem  43908