Theorem iundjiunlem 45161

Description: The sets in the sequence 𝐹 are disjoint. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
iundjiunlem.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑁)
iundjiunlem.f	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐸‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸‘𝑖)))
iundjiunlem.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝑍)
iundjiunlem.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑍)
iundjiunlem.lt	⊢ (𝜑 → 𝐽 < 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
iundjiunlem	⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐽) ∩ (𝐹‘𝐾)) = ∅)

Distinct variable groups:   𝑖,𝐸,𝑛   𝑖,𝐽,𝑛   𝑖,𝐾,𝑛   𝑖,𝑁,𝑛   𝑛,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖,𝑛)   𝐹(𝑖,𝑛)   𝑍(𝑖)

Proof of Theorem iundjiunlem

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		incom 4200	. 2 ⊢ ((𝐹‘𝐽) ∩ (𝐹‘𝐾)) = ((𝐹‘𝐾) ∩ (𝐹‘𝐽))
2		simpl 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐹‘𝐾)) → 𝜑)
3		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐹‘𝐾)) → 𝑥 ∈ (𝐹‘𝐾))
4		iundjiunlem.k	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑍)
5		fveq2 6888	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝐾 → (𝐸‘𝑛) = (𝐸‘𝐾))
6		oveq2 7413	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 𝐾 → (𝑁..^𝑛) = (𝑁..^𝐾))
7	6	iuneq1d 5023	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝐾 → ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸‘𝑖) = ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐾)(𝐸‘𝑖))
8	5, 7	difeq12d 4122	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝐾 → ((𝐸‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸‘𝑖)) = ((𝐸‘𝐾) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐾)(𝐸‘𝑖)))
9		iundjiunlem.f	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐸‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸‘𝑖)))
10		fvex 6901	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐸‘𝐾) ∈ V
11	10	difexi 5327	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐸‘𝐾) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐾)(𝐸‘𝑖)) ∈ V
12	8, 9, 11	fvmpt 6995	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑍 → (𝐹‘𝐾) = ((𝐸‘𝐾) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐾)(𝐸‘𝑖)))
13	4, 12	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐾) = ((𝐸‘𝐾) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐾)(𝐸‘𝑖)))
14	13	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐹‘𝐾)) → (𝐹‘𝐾) = ((𝐸‘𝐾) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐾)(𝐸‘𝑖)))
15	3, 14	eleqtrd 2835	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐹‘𝐾)) → 𝑥 ∈ ((𝐸‘𝐾) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐾)(𝐸‘𝑖)))
16	15	eldifbd 3960	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐹‘𝐾)) → ¬ 𝑥 ∈ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐾)(𝐸‘𝑖))
17		iundjiunlem.j	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝑍)
18		iundjiunlem.z	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑁)
19	17, 18	eleqtrdi 2843	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
20	18, 4	eluzelz2d 44109	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
21		iundjiunlem.lt	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐽 < 𝐾)
22	19, 20, 21	elfzod 44096	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (𝑁..^𝐾))
23		fveq2 6888	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝐽 → (𝐸‘𝑖) = (𝐸‘𝐽))
24	23	ssiun2s 5050	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐽 ∈ (𝑁..^𝐾) → (𝐸‘𝐽) ⊆ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐾)(𝐸‘𝑖))
25	22, 24	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝐽) ⊆ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐾)(𝐸‘𝑖))
26	25	ssneld 3983	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑥 ∈ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐾)(𝐸‘𝑖) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐸‘𝐽)))
27	2, 16, 26	sylc 65	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐹‘𝐾)) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐸‘𝐽))
28		eldifi 4125	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐸‘𝐽) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐽)(𝐸‘𝑖)) → 𝑥 ∈ (𝐸‘𝐽))
29	27, 28	nsyl 140	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐹‘𝐾)) → ¬ 𝑥 ∈ ((𝐸‘𝐽) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐽)(𝐸‘𝑖)))
30		fveq2 6888	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝐽 → (𝐸‘𝑛) = (𝐸‘𝐽))
31		oveq2 7413	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝐽 → (𝑁..^𝑛) = (𝑁..^𝐽))
32	31	iuneq1d 5023	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝐽 → ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸‘𝑖) = ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐽)(𝐸‘𝑖))
33	30, 32	difeq12d 4122	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝐽 → ((𝐸‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸‘𝑖)) = ((𝐸‘𝐽) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐽)(𝐸‘𝑖)))
34		fvex 6901	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐸‘𝐽) ∈ V
35	34	difexi 5327	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐸‘𝐽) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐽)(𝐸‘𝑖)) ∈ V
36	33, 9, 35	fvmpt 6995	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ 𝑍 → (𝐹‘𝐽) = ((𝐸‘𝐽) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐽)(𝐸‘𝑖)))
37	17, 36	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐽) = ((𝐸‘𝐽) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐽)(𝐸‘𝑖)))
38	37	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐹‘𝐾)) → (𝐹‘𝐽) = ((𝐸‘𝐽) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐽)(𝐸‘𝑖)))
39	29, 38	neleqtrrd 2856	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐹‘𝐾)) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐹‘𝐽))
40	39	ralrimiva 3146	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐹‘𝐾) ¬ 𝑥 ∈ (𝐹‘𝐽))
41		disj 4446	. . 3 ⊢ (((𝐹‘𝐾) ∩ (𝐹‘𝐽)) = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐹‘𝐾) ¬ 𝑥 ∈ (𝐹‘𝐽))
42	40, 41	sylibr 233	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐾) ∩ (𝐹‘𝐽)) = ∅)
43	1, 42	eqtrid 2784	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐽) ∩ (𝐹‘𝐾)) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3061   ∖ cdif 3944   ∩ cin 3946   ⊆ wss 3947  ∅c0 4321  ∪ ciun 4996   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405   < clt 11244  ℤ_≥cuz 12818  ..^cfzo 13623

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624

This theorem is referenced by:  iundjiun  45162