Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iundjiunlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iundjiunlem 46474
Description: The sets in the sequence 𝐹 are disjoint. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
iundjiunlem.z 𝑍 = (ℤ𝑁)
iundjiunlem.f 𝐹 = (𝑛𝑍 ↦ ((𝐸𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖)))
iundjiunlem.j (𝜑𝐽𝑍)
iundjiunlem.k (𝜑𝐾𝑍)
iundjiunlem.lt (𝜑𝐽 < 𝐾)
Assertion
Ref Expression
iundjiunlem (𝜑 → ((𝐹𝐽) ∩ (𝐹𝐾)) = ∅)
Distinct variable groups:   𝑖,𝐸,𝑛   𝑖,𝐽,𝑛   𝑖,𝐾,𝑛   𝑖,𝑁,𝑛   𝑛,𝑍
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖,𝑛)   𝐹(𝑖,𝑛)   𝑍(𝑖)

Proof of Theorem iundjiunlem
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 incom 4209 . 2 ((𝐹𝐽) ∩ (𝐹𝐾)) = ((𝐹𝐾) ∩ (𝐹𝐽))
2 simpl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐹𝐾)) → 𝜑)
3 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐹𝐾)) → 𝑥 ∈ (𝐹𝐾))
4 iundjiunlem.k . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐾𝑍)
5 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝐾 → (𝐸𝑛) = (𝐸𝐾))
6 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝐾 → (𝑁..^𝑛) = (𝑁..^𝐾))
76iuneq1d 5019 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝐾 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖) = 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐾)(𝐸𝑖))
85, 7difeq12d 4127 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝐾 → ((𝐸𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖)) = ((𝐸𝐾) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐾)(𝐸𝑖)))
9 iundjiunlem.f . . . . . . . . . . . 12 𝐹 = (𝑛𝑍 ↦ ((𝐸𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖)))
10 fvex 6919 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐸𝐾) ∈ V
1110difexi 5330 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐸𝐾) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐾)(𝐸𝑖)) ∈ V
128, 9, 11fvmpt 7016 . . . . . . . . . . 11 (𝐾𝑍 → (𝐹𝐾) = ((𝐸𝐾) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐾)(𝐸𝑖)))
134, 12syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹𝐾) = ((𝐸𝐾) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐾)(𝐸𝑖)))
1413adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐹𝐾)) → (𝐹𝐾) = ((𝐸𝐾) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐾)(𝐸𝑖)))
153, 14eleqtrd 2843 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐹𝐾)) → 𝑥 ∈ ((𝐸𝐾) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐾)(𝐸𝑖)))
1615eldifbd 3964 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐹𝐾)) → ¬ 𝑥 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐾)(𝐸𝑖))
17 iundjiunlem.j . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐽𝑍)
18 iundjiunlem.z . . . . . . . . . . 11 𝑍 = (ℤ𝑁)
1917, 18eleqtrdi 2851 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐽 ∈ (ℤ𝑁))
2018, 4eluzelz2d 45424 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
21 iundjiunlem.lt . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐽 < 𝐾)
2219, 20, 21elfzod 45411 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐽 ∈ (𝑁..^𝐾))
23 fveq2 6906 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝐽 → (𝐸𝑖) = (𝐸𝐽))
2423ssiun2s 5048 . . . . . . . . 9 (𝐽 ∈ (𝑁..^𝐾) → (𝐸𝐽) ⊆ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐾)(𝐸𝑖))
2522, 24syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐸𝐽) ⊆ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐾)(𝐸𝑖))
2625ssneld 3985 . . . . . . 7 (𝜑 → (¬ 𝑥 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐾)(𝐸𝑖) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝐽)))
272, 16, 26sylc 65 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐹𝐾)) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝐽))
28 eldifi 4131 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ((𝐸𝐽) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐽)(𝐸𝑖)) → 𝑥 ∈ (𝐸𝐽))
2927, 28nsyl 140 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐹𝐾)) → ¬ 𝑥 ∈ ((𝐸𝐽) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐽)(𝐸𝑖)))
30 fveq2 6906 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝐽 → (𝐸𝑛) = (𝐸𝐽))
31 oveq2 7439 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝐽 → (𝑁..^𝑛) = (𝑁..^𝐽))
3231iuneq1d 5019 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝐽 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖) = 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐽)(𝐸𝑖))
3330, 32difeq12d 4127 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝐽 → ((𝐸𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖)) = ((𝐸𝐽) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐽)(𝐸𝑖)))
34 fvex 6919 . . . . . . . . 9 (𝐸𝐽) ∈ V
3534difexi 5330 . . . . . . . 8 ((𝐸𝐽) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐽)(𝐸𝑖)) ∈ V
3633, 9, 35fvmpt 7016 . . . . . . 7 (𝐽𝑍 → (𝐹𝐽) = ((𝐸𝐽) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐽)(𝐸𝑖)))
3717, 36syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹𝐽) = ((𝐸𝐽) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐽)(𝐸𝑖)))
3837adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐹𝐾)) → (𝐹𝐽) = ((𝐸𝐽) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐽)(𝐸𝑖)))
3929, 38neleqtrrd 2864 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐹𝐾)) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐹𝐽))
4039ralrimiva 3146 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐹𝐾) ¬ 𝑥 ∈ (𝐹𝐽))
41 disj 4450 . . 3 (((𝐹𝐾) ∩ (𝐹𝐽)) = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐹𝐾) ¬ 𝑥 ∈ (𝐹𝐽))
4240, 41sylibr 234 . 2 (𝜑 → ((𝐹𝐾) ∩ (𝐹𝐽)) = ∅)
431, 42eqtrid 2789 1 (𝜑 → ((𝐹𝐽) ∩ (𝐹𝐾)) = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  cdif 3948  cin 3950  wss 3951  c0 4333   ciun 4991   class class class wbr 5143  cmpt 5225  cfv 6561  (class class class)co 7431   < clt 11295  cuz 12878  ..^cfzo 13694
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695
This theorem is referenced by:  iundjiun  46475
  Copyright terms: Public domain W3C validator