Theorem iundjiunlem 46908

Description: The sets in the sequence 𝐹 are disjoint. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
iundjiunlem.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑁)
iundjiunlem.f	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐸‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸‘𝑖)))
iundjiunlem.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝑍)
iundjiunlem.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑍)
iundjiunlem.lt	⊢ (𝜑 → 𝐽 < 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
iundjiunlem	⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐽) ∩ (𝐹‘𝐾)) = ∅)

Distinct variable groups:   𝑖,𝐸,𝑛   𝑖,𝐽,𝑛   𝑖,𝐾,𝑛   𝑖,𝑁,𝑛   𝑛,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖,𝑛)   𝐹(𝑖,𝑛)   𝑍(𝑖)

Proof of Theorem iundjiunlem

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		incom 4150	. 2 ⊢ ((𝐹‘𝐽) ∩ (𝐹‘𝐾)) = ((𝐹‘𝐾) ∩ (𝐹‘𝐽))
2		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐹‘𝐾)) → 𝜑)
3		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐹‘𝐾)) → 𝑥 ∈ (𝐹‘𝐾))
4		iundjiunlem.k	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑍)
5		fveq2 6835	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝐾 → (𝐸‘𝑛) = (𝐸‘𝐾))
6		oveq2 7369	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 𝐾 → (𝑁..^𝑛) = (𝑁..^𝐾))
7	6	iuneq1d 4962	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝐾 → ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸‘𝑖) = ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐾)(𝐸‘𝑖))
8	5, 7	difeq12d 4068	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝐾 → ((𝐸‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸‘𝑖)) = ((𝐸‘𝐾) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐾)(𝐸‘𝑖)))
9		iundjiunlem.f	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐸‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸‘𝑖)))
10		fvex 6848	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐸‘𝐾) ∈ V
11	10	difexi 5268	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐸‘𝐾) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐾)(𝐸‘𝑖)) ∈ V
12	8, 9, 11	fvmpt 6942	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑍 → (𝐹‘𝐾) = ((𝐸‘𝐾) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐾)(𝐸‘𝑖)))
13	4, 12	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐾) = ((𝐸‘𝐾) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐾)(𝐸‘𝑖)))
14	13	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐹‘𝐾)) → (𝐹‘𝐾) = ((𝐸‘𝐾) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐾)(𝐸‘𝑖)))
15	3, 14	eleqtrd 2839	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐹‘𝐾)) → 𝑥 ∈ ((𝐸‘𝐾) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐾)(𝐸‘𝑖)))
16	15	eldifbd 3903	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐹‘𝐾)) → ¬ 𝑥 ∈ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐾)(𝐸‘𝑖))
17		iundjiunlem.j	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝑍)
18		iundjiunlem.z	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑁)
19	17, 18	eleqtrdi 2847	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
20	18, 4	eluzelz2d 45862	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
21		iundjiunlem.lt	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐽 < 𝐾)
22	19, 20, 21	elfzod 13611	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (𝑁..^𝐾))
23		fveq2 6835	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝐽 → (𝐸‘𝑖) = (𝐸‘𝐽))
24	23	ssiun2s 4992	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐽 ∈ (𝑁..^𝐾) → (𝐸‘𝐽) ⊆ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐾)(𝐸‘𝑖))
25	22, 24	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝐽) ⊆ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐾)(𝐸‘𝑖))
26	25	ssneld 3924	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑥 ∈ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐾)(𝐸‘𝑖) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐸‘𝐽)))
27	2, 16, 26	sylc 65	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐹‘𝐾)) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐸‘𝐽))
28		eldifi 4072	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐸‘𝐽) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐽)(𝐸‘𝑖)) → 𝑥 ∈ (𝐸‘𝐽))
29	27, 28	nsyl 140	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐹‘𝐾)) → ¬ 𝑥 ∈ ((𝐸‘𝐽) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐽)(𝐸‘𝑖)))
30		fveq2 6835	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝐽 → (𝐸‘𝑛) = (𝐸‘𝐽))
31		oveq2 7369	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝐽 → (𝑁..^𝑛) = (𝑁..^𝐽))
32	31	iuneq1d 4962	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝐽 → ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸‘𝑖) = ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐽)(𝐸‘𝑖))
33	30, 32	difeq12d 4068	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝐽 → ((𝐸‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸‘𝑖)) = ((𝐸‘𝐽) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐽)(𝐸‘𝑖)))
34		fvex 6848	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐸‘𝐽) ∈ V
35	34	difexi 5268	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐸‘𝐽) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐽)(𝐸‘𝑖)) ∈ V
36	33, 9, 35	fvmpt 6942	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ 𝑍 → (𝐹‘𝐽) = ((𝐸‘𝐽) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐽)(𝐸‘𝑖)))
37	17, 36	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐽) = ((𝐸‘𝐽) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐽)(𝐸‘𝑖)))
38	37	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐹‘𝐾)) → (𝐹‘𝐽) = ((𝐸‘𝐽) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐽)(𝐸‘𝑖)))
39	29, 38	neleqtrrd 2860	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐹‘𝐾)) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐹‘𝐽))
40	39	ralrimiva 3130	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐹‘𝐾) ¬ 𝑥 ∈ (𝐹‘𝐽))
41		disj 4391	. . 3 ⊢ (((𝐹‘𝐾) ∩ (𝐹‘𝐽)) = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐹‘𝐾) ¬ 𝑥 ∈ (𝐹‘𝐽))
42	40, 41	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐾) ∩ (𝐹‘𝐽)) = ∅)
43	1, 42	eqtrid 2784	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐽) ∩ (𝐹‘𝐾)) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052   ∖ cdif 3887   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890  ∅c0 4274  ∪ ciun 4934   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361   < clt 11173  ℤ_≥cuz 12782  ..^cfzo 13602

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-nn 12169  df-n0 12432  df-z 12519  df-uz 12783  df-fz 13456  df-fzo 13603

This theorem is referenced by:  iundjiun  46909