Theorem iundjiunlem 47468

Description: The sets in the sequence 𝐹 are disjoint. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
iundjiunlem.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑁)
iundjiunlem.f	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐸‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸‘𝑖)))
iundjiunlem.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝑍)
iundjiunlem.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑍)
iundjiunlem.lt	⊢ (𝜑 → 𝐽 < 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
iundjiunlem	⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐽) ∩ (𝐹‘𝐾)) = ∅)

Distinct variable groups:   𝑖,𝐸,𝑛   𝑖,𝐽,𝑛   𝑖,𝐾,𝑛   𝑖,𝑁,𝑛   𝑛,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖, 𝑛)   𝐹(𝑖, 𝑛)   𝑍(𝑖)

Proof of Theorem iundjiunlem

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		incom 4155	. 2 ⊢ ((𝐹‘𝐽) ∩ (𝐹‘𝐾)) = ((𝐹‘𝐾) ∩ (𝐹‘𝐽))
2		simpl 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐹‘𝐾)) → 𝜑)
3		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐹‘𝐾)) → 𝑥 ∈ (𝐹‘𝐾))
4		iundjiunlem.k	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑍)
5		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝐾 → (𝐸‘𝑛) = (𝐸‘𝐾))
6		oveq2 7428	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 𝐾 → (𝑁..^𝑛) = (𝑁..^𝐾))
7	6	iuneq1d 4979	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝐾 → ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸‘𝑖) = ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐾)(𝐸‘𝑖))
8	5, 7	difeq12d 4075	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝐾 → ((𝐸‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸‘𝑖)) = ((𝐸‘𝐾) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐾)(𝐸‘𝑖)))
9		iundjiunlem.f	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐸‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸‘𝑖)))
10		fvex 6898	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐸‘𝐾) ∈ V
11	10	difexi 5292	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐸‘𝐾) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐾)(𝐸‘𝑖)) ∈ V
12	8, 9, 11	fvmpt 6993	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑍 → (𝐹‘𝐾) = ((𝐸‘𝐾) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐾)(𝐸‘𝑖)))
13	4, 12	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐾) = ((𝐸‘𝐾) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐾)(𝐸‘𝑖)))
14	13	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐹‘𝐾)) → (𝐹‘𝐾) = ((𝐸‘𝐾) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐾)(𝐸‘𝑖)))
15	3, 14	eleqtrd 2863	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐹‘𝐾)) → 𝑥 ∈ ((𝐸‘𝐾) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐾)(𝐸‘𝑖)))
16	15	eldifbd 3912	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐹‘𝐾)) → ¬ 𝑥 ∈ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐾)(𝐸‘𝑖))
17		iundjiunlem.j	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝑍)
18		iundjiunlem.z	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑁)
19	17, 18	eleqtrdi 2871	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
20	18, 4	eluzelz2d 46422	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
21		iundjiunlem.lt	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐽 < 𝐾)
22	19, 20, 21	elfzod 13797	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (𝑁..^𝐾))
23		fveq2 6885	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝐽 → (𝐸‘𝑖) = (𝐸‘𝐽))
24	23	ssiun2s 5007	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐽 ∈ (𝑁..^𝐾) → (𝐸‘𝐽) ⊆ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐾)(𝐸‘𝑖))
25	22, 24	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝐽) ⊆ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐾)(𝐸‘𝑖))
26	25	ssneld 3933	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑥 ∈ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐾)(𝐸‘𝑖) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐸‘𝐽)))
27	2, 16, 26	sylc 66	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐹‘𝐾)) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐸‘𝐽))
28		eldifi 4078	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐸‘𝐽) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐽)(𝐸‘𝑖)) → 𝑥 ∈ (𝐸‘𝐽))
29	27, 28	nsyl 141	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐹‘𝐾)) → ¬ 𝑥 ∈ ((𝐸‘𝐽) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐽)(𝐸‘𝑖)))
30		fveq2 6885	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝐽 → (𝐸‘𝑛) = (𝐸‘𝐽))
31		oveq2 7428	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝐽 → (𝑁..^𝑛) = (𝑁..^𝐽))
32	31	iuneq1d 4979	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝐽 → ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸‘𝑖) = ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐽)(𝐸‘𝑖))
33	30, 32	difeq12d 4075	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝐽 → ((𝐸‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸‘𝑖)) = ((𝐸‘𝐽) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐽)(𝐸‘𝑖)))
34		fvex 6898	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐸‘𝐽) ∈ V
35	34	difexi 5292	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐸‘𝐽) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐽)(𝐸‘𝑖)) ∈ V
36	33, 9, 35	fvmpt 6993	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ 𝑍 → (𝐹‘𝐽) = ((𝐸‘𝐽) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐽)(𝐸‘𝑖)))
37	17, 36	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐽) = ((𝐸‘𝐽) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐽)(𝐸‘𝑖)))
38	37	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐹‘𝐾)) → (𝐹‘𝐽) = ((𝐸‘𝐽) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐽)(𝐸‘𝑖)))
39	29, 38	neleqtrrd 2884	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐹‘𝐾)) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐹‘𝐽))
40	39	ralrimiva 3155	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐹‘𝐾) ¬ 𝑥 ∈ (𝐹‘𝐽))
41		disj 4403	. . 3 ⊢ (((𝐹‘𝐾) ∩ (𝐹‘𝐽)) = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐹‘𝐾) ¬ 𝑥 ∈ (𝐹‘𝐽))
42	40, 41	sylibr 237	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐾) ∩ (𝐹‘𝐽)) = ∅)
43	1, 42	eqtrid 2808	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐽) ∩ (𝐹‘𝐾)) = ∅)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077   ∖ cdif 3896   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  ∪ ciun 4951   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   < clt 11343  ℤ_≥cuz 12965  ..^cfzo 13788

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-fz 13640  df-fzo 13789

This theorem is used by:  iundjiun  47469