Theorem iundjiunlem 47614

Description: The sets in the sequence 𝐹 are disjoint. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
iundjiunlem.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑁)
iundjiunlem.f	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐸‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸‘𝑖)))
iundjiunlem.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝑍)
iundjiunlem.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑍)
iundjiunlem.lt	⊢ (𝜑 → 𝐽 < 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
iundjiunlem	⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐽) ∩ (𝐹‘𝐾)) = ∅)

Distinct variable groups:   𝑖,𝐸,𝑛   𝑖,𝐽,𝑛   𝑖,𝐾,𝑛   𝑖,𝑁,𝑛   𝑛,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖, 𝑛)   𝐹(𝑖, 𝑛)   𝑍(𝑖)

Proof of Theorem iundjiunlem

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		incom 4109	. 2 ⊢ ((𝐹‘𝐽) ∩ (𝐹‘𝐾)) = ((𝐹‘𝐾) ∩ (𝐹‘𝐽))
2		simpl 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐹‘𝐾)) → 𝜑)
3		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐹‘𝐾)) → 𝑥 ∈ (𝐹‘𝐾))
4		iundjiunlem.k	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑍)
5		fveq2 6896	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝐾 → (𝐸‘𝑛) = (𝐸‘𝐾))
6		oveq2 7438	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 𝐾 → (𝑁..^𝑛) = (𝑁..^𝐾))
7	6	iuneq1d 4982	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝐾 → ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸‘𝑖) = ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐾)(𝐸‘𝑖))
8	5, 7	difeq12d 4067	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝐾 → ((𝐸‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸‘𝑖)) = ((𝐸‘𝐾) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐾)(𝐸‘𝑖)))
9		iundjiunlem.f	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐸‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸‘𝑖)))
10		fvex 6909	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐸‘𝐾) ∈ V
11	10	difexi 5296	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐸‘𝐾) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐾)(𝐸‘𝑖)) ∈ V
12	8, 9, 11	fvmpt 7004	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑍 → (𝐹‘𝐾) = ((𝐸‘𝐾) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐾)(𝐸‘𝑖)))
13	4, 12	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐾) = ((𝐸‘𝐾) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐾)(𝐸‘𝑖)))
14	13	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐹‘𝐾)) → (𝐹‘𝐾) = ((𝐸‘𝐾) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐾)(𝐸‘𝑖)))
15	3, 14	eleqtrd 2866	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐹‘𝐾)) → 𝑥 ∈ ((𝐸‘𝐾) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐾)(𝐸‘𝑖)))
16	15	eldifbd 4055	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐹‘𝐾)) → ¬ 𝑥 ∈ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐾)(𝐸‘𝑖))
17		iundjiunlem.j	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝑍)
18		iundjiunlem.z	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑁)
19	17, 18	eleqtrdi 2874	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
20	18, 4	eluzelz2d 46568	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
21		iundjiunlem.lt	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐽 < 𝐾)
22	19, 20, 21	elfzod 13810	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (𝑁..^𝐾))
23		fveq2 6896	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝐽 → (𝐸‘𝑖) = (𝐸‘𝐽))
24	23	ssiun2s 5010	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐽 ∈ (𝑁..^𝐾) → (𝐸‘𝐽) ⊆ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐾)(𝐸‘𝑖))
25	22, 24	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝐽) ⊆ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐾)(𝐸‘𝑖))
26	25	ssneld 3915	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑥 ∈ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐾)(𝐸‘𝑖) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐸‘𝐽)))
27	2, 16, 26	sylc 66	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐹‘𝐾)) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐸‘𝐽))
28		eldifi 4070	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐸‘𝐽) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐽)(𝐸‘𝑖)) → 𝑥 ∈ (𝐸‘𝐽))
29	27, 28	nsyl 141	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐹‘𝐾)) → ¬ 𝑥 ∈ ((𝐸‘𝐽) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐽)(𝐸‘𝑖)))
30		fveq2 6896	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝐽 → (𝐸‘𝑛) = (𝐸‘𝐽))
31		oveq2 7438	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝐽 → (𝑁..^𝑛) = (𝑁..^𝐽))
32	31	iuneq1d 4982	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝐽 → ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸‘𝑖) = ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐽)(𝐸‘𝑖))
33	30, 32	difeq12d 4067	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝐽 → ((𝐸‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸‘𝑖)) = ((𝐸‘𝐽) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐽)(𝐸‘𝑖)))
34		fvex 6909	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐸‘𝐽) ∈ V
35	34	difexi 5296	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐸‘𝐽) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐽)(𝐸‘𝑖)) ∈ V
36	33, 9, 35	fvmpt 7004	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ 𝑍 → (𝐹‘𝐽) = ((𝐸‘𝐽) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐽)(𝐸‘𝑖)))
37	17, 36	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐽) = ((𝐸‘𝐽) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐽)(𝐸‘𝑖)))
38	37	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐹‘𝐾)) → (𝐹‘𝐽) = ((𝐸‘𝐽) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐽)(𝐸‘𝑖)))
39	29, 38	neleqtrrd 2887	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐹‘𝐾)) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐹‘𝐽))
40	39	ralrimiva 3158	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐹‘𝐾) ¬ 𝑥 ∈ (𝐹‘𝐽))
41		disj 4406	. . 3 ⊢ (((𝐹‘𝐾) ∩ (𝐹‘𝐽)) = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐹‘𝐾) ¬ 𝑥 ∈ (𝐹‘𝐽))
42	40, 41	sylibr 237	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐾) ∩ (𝐹‘𝐽)) = ∅)
43	1, 42	eqtrid 2810	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐽) ∩ (𝐹‘𝐾)) = ∅)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  ∀wral 3080   ⊆ wss 3900   ∖ cdif 4048   ∩ cin 4092  ∅c0 4281  ∪ ciun 4954   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189  ‘cfv 6547  (class class class)co 7430   < clt 11356  ℤ_≥cuz 12978  ..^cfzo 13801

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-cnex 11269  ax-resscn 11270  ax-1cn 11271  ax-icn 11272  ax-addcl 11273  ax-addrcl 11274  ax-mulcl 11275  ax-mulrcl 11276  ax-mulcom 11277  ax-addass 11278  ax-mulass 11279  ax-distr 11280  ax-i2m1 11281  ax-1ne0 11282  ax-1rid 11283  ax-rnegex 11284  ax-rrecex 11285  ax-cnre 11286  ax-pre-lttri 11287  ax-pre-lttrn 11288  ax-pre-ltadd 11289  ax-pre-mulgt0 11290

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6311  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7888  df-1st 8011  df-2nd 8012  df-frecs 8313  df-wrecs 8344  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-er 8731  df-en 8988  df-dom 8989  df-sdom 8990  df-pnf 11358  df-mnf 11359  df-xr 11360  df-ltxr 11361  df-le 11362  df-sub 11556  df-neg 11557  df-nn 12349  df-n0 12620  df-z 12707  df-uz 12979  df-fz 13653  df-fzo 13802

This theorem is used by:  iundjiun  47615