Theorem iundjiunlem 47099

Description: The sets in the sequence 𝐹 are disjoint. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
iundjiunlem.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑁)
iundjiunlem.f	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐸‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸‘𝑖)))
iundjiunlem.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝑍)
iundjiunlem.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑍)
iundjiunlem.lt	⊢ (𝜑 → 𝐽 < 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
iundjiunlem	⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐽) ∩ (𝐹‘𝐾)) = ∅)

Distinct variable groups:   𝑖,𝐸,𝑛   𝑖,𝐽,𝑛   𝑖,𝐾,𝑛   𝑖,𝑁,𝑛   𝑛,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖,𝑛)   𝐹(𝑖,𝑛)   𝑍(𝑖)

Proof of Theorem iundjiunlem

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		incom 4170	. 2 ⊢ ((𝐹‘𝐽) ∩ (𝐹‘𝐾)) = ((𝐹‘𝐾) ∩ (𝐹‘𝐽))
2		simpl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐹‘𝐾)) → 𝜑)
3		simpr 489	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐹‘𝐾)) → 𝑥 ∈ (𝐹‘𝐾))
4		iundjiunlem.k	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑍)
5		fveq2 6882	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝐾 → (𝐸‘𝑛) = (𝐸‘𝐾))
6		oveq2 7419	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 𝐾 → (𝑁..^𝑛) = (𝑁..^𝐾))
7	6	iuneq1d 4988	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝐾 → ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸‘𝑖) = ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐾)(𝐸‘𝑖))
8	5, 7	difeq12d 4090	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝐾 → ((𝐸‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸‘𝑖)) = ((𝐸‘𝐾) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐾)(𝐸‘𝑖)))
9		iundjiunlem.f	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐸‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸‘𝑖)))
10		fvex 6895	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐸‘𝐾) ∈ V
11	10	difexi 5301	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐸‘𝐾) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐾)(𝐸‘𝑖)) ∈ V
12	8, 9, 11	fvmpt 6990	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑍 → (𝐹‘𝐾) = ((𝐸‘𝐾) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐾)(𝐸‘𝑖)))
13	4, 12	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐾) = ((𝐸‘𝐾) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐾)(𝐸‘𝑖)))
14	13	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐹‘𝐾)) → (𝐹‘𝐾) = ((𝐸‘𝐾) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐾)(𝐸‘𝑖)))
15	3, 14	eleqtrd 2871	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐹‘𝐾)) → 𝑥 ∈ ((𝐸‘𝐾) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐾)(𝐸‘𝑖)))
16	15	eldifbd 3926	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐹‘𝐾)) → ¬ 𝑥 ∈ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐾)(𝐸‘𝑖))
17		iundjiunlem.j	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝑍)
18		iundjiunlem.z	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑁)
19	17, 18	eleqtrdi 2879	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
20	18, 4	eluzelz2d 46053	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
21		iundjiunlem.lt	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐽 < 𝐾)
22	19, 20, 21	elfzod 13691	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (𝑁..^𝐾))
23		fveq2 6882	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝐽 → (𝐸‘𝑖) = (𝐸‘𝐽))
24	23	ssiun2s 5017	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐽 ∈ (𝑁..^𝐾) → (𝐸‘𝐽) ⊆ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐾)(𝐸‘𝑖))
25	22, 24	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝐽) ⊆ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐾)(𝐸‘𝑖))
26	25	ssneld 3947	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑥 ∈ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐾)(𝐸‘𝑖) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐸‘𝐽)))
27	2, 16, 26	sylc 66	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐹‘𝐾)) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐸‘𝐽))
28		eldifi 4093	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐸‘𝐽) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐽)(𝐸‘𝑖)) → 𝑥 ∈ (𝐸‘𝐽))
29	27, 28	nsyl 141	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐹‘𝐾)) → ¬ 𝑥 ∈ ((𝐸‘𝐽) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐽)(𝐸‘𝑖)))
30		fveq2 6882	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝐽 → (𝐸‘𝑛) = (𝐸‘𝐽))
31		oveq2 7419	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝐽 → (𝑁..^𝑛) = (𝑁..^𝐽))
32	31	iuneq1d 4988	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝐽 → ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸‘𝑖) = ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐽)(𝐸‘𝑖))
33	30, 32	difeq12d 4090	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝐽 → ((𝐸‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸‘𝑖)) = ((𝐸‘𝐽) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐽)(𝐸‘𝑖)))
34		fvex 6895	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐸‘𝐽) ∈ V
35	34	difexi 5301	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐸‘𝐽) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐽)(𝐸‘𝑖)) ∈ V
36	33, 9, 35	fvmpt 6990	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ 𝑍 → (𝐹‘𝐽) = ((𝐸‘𝐽) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐽)(𝐸‘𝑖)))
37	17, 36	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐽) = ((𝐸‘𝐽) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐽)(𝐸‘𝑖)))
38	37	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐹‘𝐾)) → (𝐹‘𝐽) = ((𝐸‘𝐽) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐽)(𝐸‘𝑖)))
39	29, 38	neleqtrrd 2892	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐹‘𝐾)) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐹‘𝐽))
40	39	ralrimiva 3163	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐹‘𝐾) ¬ 𝑥 ∈ (𝐹‘𝐽))
41		disj 4416	. . 3 ⊢ (((𝐹‘𝐾) ∩ (𝐹‘𝐽)) = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐹‘𝐾) ¬ 𝑥 ∈ (𝐹‘𝐽))
42	40, 41	sylibr 237	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐾) ∩ (𝐹‘𝐽)) = ∅)
43	1, 42	eqtrid 2816	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐽) ∩ (𝐹‘𝐾)) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∀wral 3085   ∖ cdif 3910   ∩ cin 3912   ⊆ wss 3913  ∅c0 4294  ∪ ciun 4960   class class class wbr 5113   ↦ cmpt 5196  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411   < clt 11243  ℤ_≥cuz 12862  ..^cfzo 13682

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-n0 12505  df-z 12592  df-uz 12863  df-fz 13536  df-fzo 13683

This theorem is referenced by:  iundjiun  47100