Theorem meassle 46419

Description: The measure of a set is greater than or equal to the measure of a subset, Property 112C (b) of [Fremlin1] p. 15. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
meassle.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Meas)
meassle.x	⊢ 𝑆 = dom 𝑀
meassle.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
meassle.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
meassle.ss	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
meassle	⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ≤ (𝑀‘𝐵))

Proof of Theorem meassle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		meassle.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Meas)
2		meassle.x	. . . 4 ⊢ 𝑆 = dom 𝑀
3		meassle.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
4	1, 2, 3	meaxrcl 46417	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ*)
5	1, 2	dmmeasal 46408	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
6		meassle.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
7		saldifcl2 46284	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝐵 ∖ 𝐴) ∈ 𝑆)
8	5, 6, 3, 7	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ 𝐴) ∈ 𝑆)
9	1, 2, 8	meacl 46414	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝐵 ∖ 𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
10	4, 9	xadd0ge 45271	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ≤ ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑀‘(𝐵 ∖ 𝐴))))
11		meassle.ss	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
12		undif 4488	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴)) = 𝐵)
13	12	biimpi 216	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴)) = 𝐵)
14	11, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴)) = 𝐵)
15	14	fveq2d 6911	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴))) = (𝑀‘𝐵))
16	15	eqcomd 2741	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐵) = (𝑀‘(𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴))))
17		disjdif 4478	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∩ (𝐵 ∖ 𝐴)) = ∅
18	17	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ (𝐵 ∖ 𝐴)) = ∅)
19	1, 2, 3, 8, 18	meadjun 46418	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴))) = ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑀‘(𝐵 ∖ 𝐴))))
20	16, 19	eqtr2d 2776	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑀‘(𝐵 ∖ 𝐴))) = (𝑀‘𝐵))
21	10, 20	breqtrd 5174	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ≤ (𝑀‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ∖ cdif 3960   ∪ cun 3961   ∩ cin 3962   ⊆ wss 3963  ∅c0 4339   class class class wbr 5148  dom cdm 5689  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431   ≤ cle 11294   +_𝑒 cxad 13150  SAlgcsalg 46264  Meascmea 46405

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-disj 5116  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-xadd 13153  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-sum 15720  df-salg 46265  df-sumge0 46319  df-mea 46406

This theorem is referenced by:  meaunle  46420  meaiunlelem  46424  meassre  46433  meaiuninclem  46436  meaiuninc3v  46440  meaiininclem  46442  vonioolem2  46637