Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  meassle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem meassle 43032
 Description: The measure of a set is greater than or equal to the measure of a subset, Property 112C (b) of [Fremlin1] p. 15. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
meassle.m (𝜑𝑀 ∈ Meas)
meassle.x 𝑆 = dom 𝑀
meassle.a (𝜑𝐴𝑆)
meassle.b (𝜑𝐵𝑆)
meassle.ss (𝜑𝐴𝐵)
Assertion
Ref Expression
meassle (𝜑 → (𝑀𝐴) ≤ (𝑀𝐵))

Proof of Theorem meassle
StepHypRef Expression
1 meassle.m . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ Meas)
2 meassle.x . . . 4 𝑆 = dom 𝑀
3 meassle.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑆)
41, 2, 3meaxrcl 43030 . . 3 (𝜑 → (𝑀𝐴) ∈ ℝ*)
51, 2dmmeasal 43021 . . . . 5 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
6 meassle.b . . . . 5 (𝜑𝐵𝑆)
7 saldifcl2 42898 . . . . 5 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐵𝑆𝐴𝑆) → (𝐵𝐴) ∈ 𝑆)
85, 6, 3, 7syl3anc 1368 . . . 4 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ 𝑆)
91, 2, 8meacl 43027 . . 3 (𝜑 → (𝑀‘(𝐵𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
104, 9xadd0ge 41882 . 2 (𝜑 → (𝑀𝐴) ≤ ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑀‘(𝐵𝐴))))
11 meassle.ss . . . . . 6 (𝜑𝐴𝐵)
12 undif 4413 . . . . . . 7 (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 ∪ (𝐵𝐴)) = 𝐵)
1312biimpi 219 . . . . . 6 (𝐴𝐵 → (𝐴 ∪ (𝐵𝐴)) = 𝐵)
1411, 13syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 ∪ (𝐵𝐴)) = 𝐵)
1514fveq2d 6665 . . . 4 (𝜑 → (𝑀‘(𝐴 ∪ (𝐵𝐴))) = (𝑀𝐵))
1615eqcomd 2830 . . 3 (𝜑 → (𝑀𝐵) = (𝑀‘(𝐴 ∪ (𝐵𝐴))))
17 disjdif 4404 . . . . 5 (𝐴 ∩ (𝐵𝐴)) = ∅
1817a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 ∩ (𝐵𝐴)) = ∅)
191, 2, 3, 8, 18meadjun 43031 . . 3 (𝜑 → (𝑀‘(𝐴 ∪ (𝐵𝐴))) = ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑀‘(𝐵𝐴))))
2016, 19eqtr2d 2860 . 2 (𝜑 → ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑀‘(𝐵𝐴))) = (𝑀𝐵))
2110, 20breqtrd 5078 1 (𝜑 → (𝑀𝐴) ≤ (𝑀𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   ∖ cdif 3916   ∪ cun 3917   ∩ cin 3918   ⊆ wss 3919  ∅c0 4276   class class class wbr 5052  dom cdm 5542  ‘cfv 6343  (class class class)co 7149   ≤ cle 10674   +𝑒 cxad 12502  SAlgcsalg 42880  Meascmea 43018 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-inf2 9101  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612  ax-pre-sup 10613 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-disj 5018  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-se 5502  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-isom 6352  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-oadd 8102  df-er 8285  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-sup 8903  df-oi 8971  df-card 9365  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-div 11296  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-n0 11895  df-z 11979  df-uz 12241  df-rp 12387  df-xadd 12505  df-ico 12741  df-icc 12742  df-fz 12895  df-fzo 13038  df-seq 13374  df-exp 13435  df-hash 13696  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-clim 14845  df-sum 15043  df-salg 42881  df-sumge0 42932  df-mea 43019 This theorem is referenced by:  meaunle  43033  meaiunlelem  43037  meassre  43046  meaiuninclem  43049  meaiuninc3v  43053  meaiininclem  43055  vonioolem2  43250
 Copyright terms: Public domain W3C validator