Theorem meassle 46384

Description: The measure of a set is greater than or equal to the measure of a subset, Property 112C (b) of [Fremlin1] p. 15. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
meassle.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Meas)
meassle.x	⊢ 𝑆 = dom 𝑀
meassle.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
meassle.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
meassle.ss	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
meassle	⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ≤ (𝑀‘𝐵))

Proof of Theorem meassle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		meassle.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Meas)
2		meassle.x	. . . 4 ⊢ 𝑆 = dom 𝑀
3		meassle.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
4	1, 2, 3	meaxrcl 46382	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ*)
5	1, 2	dmmeasal 46373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
6		meassle.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
7		saldifcl2 46249	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝐵 ∖ 𝐴) ∈ 𝑆)
8	5, 6, 3, 7	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ 𝐴) ∈ 𝑆)
9	1, 2, 8	meacl 46379	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝐵 ∖ 𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
10	4, 9	xadd0ge 45235	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ≤ ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑀‘(𝐵 ∖ 𝐴))))
11		meassle.ss	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
12		undif 4505	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴)) = 𝐵)
13	12	biimpi 216	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴)) = 𝐵)
14	11, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴)) = 𝐵)
15	14	fveq2d 6924	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴))) = (𝑀‘𝐵))
16	15	eqcomd 2746	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐵) = (𝑀‘(𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴))))
17		disjdif 4495	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∩ (𝐵 ∖ 𝐴)) = ∅
18	17	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ (𝐵 ∖ 𝐴)) = ∅)
19	1, 2, 3, 8, 18	meadjun 46383	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴))) = ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑀‘(𝐵 ∖ 𝐴))))
20	16, 19	eqtr2d 2781	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑀‘(𝐵 ∖ 𝐴))) = (𝑀‘𝐵))
21	10, 20	breqtrd 5192	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ≤ (𝑀‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ∖ cdif 3973   ∪ cun 3974   ∩ cin 3975   ⊆ wss 3976  ∅c0 4352   class class class wbr 5166  dom cdm 5700  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448   ≤ cle 11325   +_𝑒 cxad 13173  SAlgcsalg 46229  Meascmea 46370

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-disj 5134  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-sup 9511  df-oi 9579  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-rp 13058  df-xadd 13176  df-ico 13413  df-icc 13414  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-seq 14053  df-exp 14113  df-hash 14380  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-clim 15534  df-sum 15735  df-salg 46230  df-sumge0 46284  df-mea 46371

This theorem is referenced by:  meaunle  46385  meaiunlelem  46389  meassre  46398  meaiuninclem  46401  meaiuninc3v  46405  meaiininclem  46407  vonioolem2  46602