Theorem meassle 47034

Description: The measure of a set is greater than or equal to the measure of a subset, Property 112C (b) of [Fremlin1] p. 15. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
meassle.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Meas)
meassle.x	⊢ 𝑆 = dom 𝑀
meassle.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
meassle.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
meassle.ss	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
meassle	⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ≤ (𝑀‘𝐵))

Proof of Theorem meassle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		meassle.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Meas)
2		meassle.x	. . . 4 ⊢ 𝑆 = dom 𝑀
3		meassle.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
4	1, 2, 3	meaxrcl 47032	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ*)
5	1, 2	dmmeasal 47023	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
6		meassle.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
7		saldifcl2 46899	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝐵 ∖ 𝐴) ∈ 𝑆)
8	5, 6, 3, 7	syl3anc 1390	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ 𝐴) ∈ 𝑆)
9	1, 2, 8	meacl 47029	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝐵 ∖ 𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
10	4, 9	xadd0ge 45895	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ≤ ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑀‘(𝐵 ∖ 𝐴))))
11		meassle.ss	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
12		undif 4436	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴)) = 𝐵)
13	12	biimpi 218	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴)) = 𝐵)
14	11, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴)) = 𝐵)
15	14	fveq2d 6871	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴))) = (𝑀‘𝐵))
16	15	eqcomd 2768	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐵) = (𝑀‘(𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴))))
17		disjdif 4426	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∩ (𝐵 ∖ 𝐴)) = ∅
18	17	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ (𝐵 ∖ 𝐴)) = ∅)
19	1, 2, 3, 8, 18	meadjun 47033	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴))) = ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑀‘(𝐵 ∖ 𝐴))))
20	16, 19	eqtr2d 2798	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑀‘(𝐵 ∖ 𝐴))) = (𝑀‘𝐵))
21	10, 20	breqtrd 5126	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ≤ (𝑀‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1560   ∈ wcel 2142   ∖ cdif 3901   ∪ cun 3902   ∩ cin 3903   ⊆ wss 3904  ∅c0 4285   class class class wbr 5100  dom cdm 5647  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396   ≤ cle 11217   +_𝑒 cxad 13112  SAlgcsalg 46879  Meascmea 47020

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-inf2 9596  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150  ax-pre-sup 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-disj 5068  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-isom 6530  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-sup 9388  df-oi 9458  df-card 9897  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-div 11845  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12482  df-z 12569  df-uz 12840  df-rp 12994  df-xadd 13115  df-ico 13355  df-icc 13356  df-fz 13513  df-fzo 13660  df-seq 14015  df-exp 14075  df-hash 14344  df-cj 15126  df-re 15127  df-im 15128  df-sqrt 15262  df-abs 15263  df-clim 15515  df-sum 15714  df-salg 46880  df-sumge0 46934  df-mea 47021

This theorem is referenced by:  meaunle  47035  meaiunlelem  47039  meassre  47048  meaiuninclem  47051  meaiuninc3v  47055  meaiininclem  47057  vonioolem2  47252