Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  meassle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem meassle 41164
Description: The measure of a set is greater than or equal to the measure of a subset, Property 112C (b) of [Fremlin1] p. 15. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
meassle.m (𝜑𝑀 ∈ Meas)
meassle.x 𝑆 = dom 𝑀
meassle.a (𝜑𝐴𝑆)
meassle.b (𝜑𝐵𝑆)
meassle.ss (𝜑𝐴𝐵)
Assertion
Ref Expression
meassle (𝜑 → (𝑀𝐴) ≤ (𝑀𝐵))

Proof of Theorem meassle
StepHypRef Expression
1 meassle.m . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ Meas)
2 meassle.x . . . 4 𝑆 = dom 𝑀
3 meassle.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑆)
41, 2, 3meaxrcl 41162 . . 3 (𝜑 → (𝑀𝐴) ∈ ℝ*)
51, 2dmmeasal 41153 . . . . 5 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
6 meassle.b . . . . 5 (𝜑𝐵𝑆)
7 saldifcl2 41030 . . . . 5 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐵𝑆𝐴𝑆) → (𝐵𝐴) ∈ 𝑆)
85, 6, 3, 7syl3anc 1483 . . . 4 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ 𝑆)
91, 2, 8meacl 41159 . . 3 (𝜑 → (𝑀‘(𝐵𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
104, 9xadd0ge 40021 . 2 (𝜑 → (𝑀𝐴) ≤ ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑀‘(𝐵𝐴))))
11 meassle.ss . . . . . 6 (𝜑𝐴𝐵)
12 undif 4256 . . . . . . 7 (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 ∪ (𝐵𝐴)) = 𝐵)
1312biimpi 207 . . . . . 6 (𝐴𝐵 → (𝐴 ∪ (𝐵𝐴)) = 𝐵)
1411, 13syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 ∪ (𝐵𝐴)) = 𝐵)
1514fveq2d 6419 . . . 4 (𝜑 → (𝑀‘(𝐴 ∪ (𝐵𝐴))) = (𝑀𝐵))
1615eqcomd 2823 . . 3 (𝜑 → (𝑀𝐵) = (𝑀‘(𝐴 ∪ (𝐵𝐴))))
17 disjdif 4247 . . . . 5 (𝐴 ∩ (𝐵𝐴)) = ∅
1817a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 ∩ (𝐵𝐴)) = ∅)
191, 2, 3, 8, 18meadjun 41163 . . 3 (𝜑 → (𝑀‘(𝐴 ∪ (𝐵𝐴))) = ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑀‘(𝐵𝐴))))
2016, 19eqtr2d 2852 . 2 (𝜑 → ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑀‘(𝐵𝐴))) = (𝑀𝐵))
2110, 20breqtrd 4881 1 (𝜑 → (𝑀𝐴) ≤ (𝑀𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1637  wcel 2157  cdif 3777  cun 3778  cin 3779  wss 3780  c0 4127   class class class wbr 4855  dom cdm 5322  cfv 6108  (class class class)co 6881  cle 10367   +𝑒 cxad 12167  SAlgcsalg 41012  Meascmea 41150
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2795  ax-rep 4975  ax-sep 4986  ax-nul 4994  ax-pow 5046  ax-pr 5107  ax-un 7186  ax-inf2 8792  ax-cnex 10284  ax-resscn 10285  ax-1cn 10286  ax-icn 10287  ax-addcl 10288  ax-addrcl 10289  ax-mulcl 10290  ax-mulrcl 10291  ax-mulcom 10292  ax-addass 10293  ax-mulass 10294  ax-distr 10295  ax-i2m1 10296  ax-1ne0 10297  ax-1rid 10298  ax-rnegex 10299  ax-rrecex 10300  ax-cnre 10301  ax-pre-lttri 10302  ax-pre-lttrn 10303  ax-pre-ltadd 10304  ax-pre-mulgt0 10305  ax-pre-sup 10306
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-fal 1651  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2642  df-clab 2804  df-cleq 2810  df-clel 2813  df-nfc 2948  df-ne 2990  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3404  df-sbc 3645  df-csb 3740  df-dif 3783  df-un 3785  df-in 3787  df-ss 3794  df-pss 3796  df-nul 4128  df-if 4291  df-pw 4364  df-sn 4382  df-pr 4384  df-tp 4386  df-op 4388  df-uni 4642  df-int 4681  df-iun 4725  df-disj 4824  df-br 4856  df-opab 4918  df-mpt 4935  df-tr 4958  df-id 5230  df-eprel 5235  df-po 5243  df-so 5244  df-fr 5281  df-se 5282  df-we 5283  df-xp 5328  df-rel 5329  df-cnv 5330  df-co 5331  df-dm 5332  df-rn 5333  df-res 5334  df-ima 5335  df-pred 5904  df-ord 5950  df-on 5951  df-lim 5952  df-suc 5953  df-iota 6071  df-fun 6110  df-fn 6111  df-f 6112  df-f1 6113  df-fo 6114  df-f1o 6115  df-fv 6116  df-isom 6117  df-riota 6842  df-ov 6884  df-oprab 6885  df-mpt2 6886  df-om 7303  df-1st 7405  df-2nd 7406  df-wrecs 7649  df-recs 7711  df-rdg 7749  df-1o 7803  df-oadd 7807  df-er 7986  df-en 8200  df-dom 8201  df-sdom 8202  df-fin 8203  df-sup 8594  df-oi 8661  df-card 9055  df-pnf 10368  df-mnf 10369  df-xr 10370  df-ltxr 10371  df-le 10372  df-sub 10560  df-neg 10561  df-div 10977  df-nn 11313  df-2 11371  df-3 11372  df-n0 11567  df-z 11651  df-uz 11912  df-rp 12054  df-xadd 12170  df-ico 12406  df-icc 12407  df-fz 12557  df-fzo 12697  df-seq 13032  df-exp 13091  df-hash 13345  df-cj 14069  df-re 14070  df-im 14071  df-sqrt 14205  df-abs 14206  df-clim 14449  df-sum 14647  df-salg 41013  df-sumge0 41064  df-mea 41151
This theorem is referenced by:  meaunle  41165  meaiunlelem  41169  meassre  41178  meaiuninclem  41181  meaiuninc3v  41185  meaiininclem  41187  vonioolem2  41382
  Copyright terms: Public domain W3C validator