Theorem meassle 46444

Description: The measure of a set is greater than or equal to the measure of a subset, Property 112C (b) of [Fremlin1] p. 15. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
meassle.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Meas)
meassle.x	⊢ 𝑆 = dom 𝑀
meassle.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
meassle.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
meassle.ss	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
meassle	⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ≤ (𝑀‘𝐵))

Proof of Theorem meassle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		meassle.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Meas)
2		meassle.x	. . . 4 ⊢ 𝑆 = dom 𝑀
3		meassle.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
4	1, 2, 3	meaxrcl 46442	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ*)
5	1, 2	dmmeasal 46433	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
6		meassle.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
7		saldifcl2 46309	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝐵 ∖ 𝐴) ∈ 𝑆)
8	5, 6, 3, 7	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ 𝐴) ∈ 𝑆)
9	1, 2, 8	meacl 46439	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝐵 ∖ 𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
10	4, 9	xadd0ge 45301	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ≤ ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑀‘(𝐵 ∖ 𝐴))))
11		meassle.ss	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
12		undif 4433	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴)) = 𝐵)
13	12	biimpi 216	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴)) = 𝐵)
14	11, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴)) = 𝐵)
15	14	fveq2d 6826	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴))) = (𝑀‘𝐵))
16	15	eqcomd 2735	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐵) = (𝑀‘(𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴))))
17		disjdif 4423	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∩ (𝐵 ∖ 𝐴)) = ∅
18	17	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ (𝐵 ∖ 𝐴)) = ∅)
19	1, 2, 3, 8, 18	meadjun 46443	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴))) = ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑀‘(𝐵 ∖ 𝐴))))
20	16, 19	eqtr2d 2765	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑀‘(𝐵 ∖ 𝐴))) = (𝑀‘𝐵))
21	10, 20	breqtrd 5118	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ≤ (𝑀‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∖ cdif 3900   ∪ cun 3901   ∩ cin 3902   ⊆ wss 3903  ∅c0 4284   class class class wbr 5092  dom cdm 5619  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349   ≤ cle 11150   +_𝑒 cxad 13012  SAlgcsalg 46289  Meascmea 46430

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-inf2 9537  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-disj 5060  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-isom 6491  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-2o 8389  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-sup 9332  df-oi 9402  df-card 9835  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-rp 12894  df-xadd 13015  df-ico 13254  df-icc 13255  df-fz 13411  df-fzo 13558  df-seq 13909  df-exp 13969  df-hash 14238  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-clim 15395  df-sum 15594  df-salg 46290  df-sumge0 46344  df-mea 46431

This theorem is referenced by:  meaunle  46445  meaiunlelem  46449  meassre  46458  meaiuninclem  46461  meaiuninc3v  46465  meaiininclem  46467  vonioolem2  46662