Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  meassle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem meassle 45748
Description: The measure of a set is greater than or equal to the measure of a subset, Property 112C (b) of [Fremlin1] p. 15. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
meassle.m (𝜑𝑀 ∈ Meas)
meassle.x 𝑆 = dom 𝑀
meassle.a (𝜑𝐴𝑆)
meassle.b (𝜑𝐵𝑆)
meassle.ss (𝜑𝐴𝐵)
Assertion
Ref Expression
meassle (𝜑 → (𝑀𝐴) ≤ (𝑀𝐵))

Proof of Theorem meassle
StepHypRef Expression
1 meassle.m . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ Meas)
2 meassle.x . . . 4 𝑆 = dom 𝑀
3 meassle.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑆)
41, 2, 3meaxrcl 45746 . . 3 (𝜑 → (𝑀𝐴) ∈ ℝ*)
51, 2dmmeasal 45737 . . . . 5 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
6 meassle.b . . . . 5 (𝜑𝐵𝑆)
7 saldifcl2 45613 . . . . 5 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐵𝑆𝐴𝑆) → (𝐵𝐴) ∈ 𝑆)
85, 6, 3, 7syl3anc 1368 . . . 4 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ 𝑆)
91, 2, 8meacl 45743 . . 3 (𝜑 → (𝑀‘(𝐵𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
104, 9xadd0ge 44599 . 2 (𝜑 → (𝑀𝐴) ≤ ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑀‘(𝐵𝐴))))
11 meassle.ss . . . . . 6 (𝜑𝐴𝐵)
12 undif 4476 . . . . . . 7 (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 ∪ (𝐵𝐴)) = 𝐵)
1312biimpi 215 . . . . . 6 (𝐴𝐵 → (𝐴 ∪ (𝐵𝐴)) = 𝐵)
1411, 13syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 ∪ (𝐵𝐴)) = 𝐵)
1514fveq2d 6889 . . . 4 (𝜑 → (𝑀‘(𝐴 ∪ (𝐵𝐴))) = (𝑀𝐵))
1615eqcomd 2732 . . 3 (𝜑 → (𝑀𝐵) = (𝑀‘(𝐴 ∪ (𝐵𝐴))))
17 disjdif 4466 . . . . 5 (𝐴 ∩ (𝐵𝐴)) = ∅
1817a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 ∩ (𝐵𝐴)) = ∅)
191, 2, 3, 8, 18meadjun 45747 . . 3 (𝜑 → (𝑀‘(𝐴 ∪ (𝐵𝐴))) = ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑀‘(𝐵𝐴))))
2016, 19eqtr2d 2767 . 2 (𝜑 → ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑀‘(𝐵𝐴))) = (𝑀𝐵))
2110, 20breqtrd 5167 1 (𝜑 → (𝑀𝐴) ≤ (𝑀𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1533  wcel 2098  cdif 3940  cun 3941  cin 3942  wss 3943  c0 4317   class class class wbr 5141  dom cdm 5669  cfv 6537  (class class class)co 7405  cle 11253   +𝑒 cxad 13096  SAlgcsalg 45593  Meascmea 45734
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-disj 5107  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-xadd 13099  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-sum 15639  df-salg 45594  df-sumge0 45648  df-mea 45735
This theorem is referenced by:  meaunle  45749  meaiunlelem  45753  meassre  45762  meaiuninclem  45765  meaiuninc3v  45769  meaiininclem  45771  vonioolem2  45966
  Copyright terms: Public domain W3C validator