Theorem meaxrcl 46911

Description: The measure of a set is an extended real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
meaxrcl.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Meas)
meaxrcl.2	⊢ 𝑆 = dom 𝑀
meaxrcl.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
meaxrcl	⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ*)

Proof of Theorem meaxrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccssxr 13378	. 2 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
2		meaxrcl.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Meas)
3		meaxrcl.2	. . 3 ⊢ 𝑆 = dom 𝑀
4		meaxrcl.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
5	2, 3, 4	meacl 46908	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ (0[,]+∞))
6	1, 5	sselid 3920	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ*)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  dom cdm 5626  ‘cfv 6494  (class class class)co 7362  0cc0 11033  +∞cpnf 11171  ℝ^*cxr 11173  [,]cicc 13296  Meascmea 46899

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5521  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-1st 7937  df-2nd 7938  df-xr 11178  df-icc 13300  df-mea 46900

This theorem is referenced by:  meassle  46913  meaunle  46914  meassre  46927  meale0eq0  46928  meaiuninclem  46930  meaiuninc3v  46934