Theorem meaxrcl 47471

Description: The measure of a set is an extended real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
meaxrcl.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Meas)
meaxrcl.2	⊢ 𝑆 = dom 𝑀
meaxrcl.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
meaxrcl	⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ*)

Proof of Theorem meaxrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccssxr 13561	. 2 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
2		meaxrcl.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Meas)
3		meaxrcl.2	. . 3 ⊢ 𝑆 = dom 𝑀
4		meaxrcl.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
5	2, 3, 4	meacl 47468	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ (0[,]+∞))
6	1, 5	sselid 3906	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ*)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  dom cdm 5650  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  0cc0 11200  +∞cpnf 11340  ℝ^*cxr 11342  [,]cicc 13479  Meascmea 47459

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-xr 11347  df-icc 13483  df-mea 47460

This theorem is used by:  meassle  47473  meaunle  47474  meassre  47487  meale0eq0  47488  meaiuninclem  47490  meaiuninc3v  47494