Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  meaxrcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem meaxrcl 43533
Description: The measure of a set is an extended real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
meaxrcl.1 (𝜑𝑀 ∈ Meas)
meaxrcl.2 𝑆 = dom 𝑀
meaxrcl.3 (𝜑𝐴𝑆)
Assertion
Ref Expression
meaxrcl (𝜑 → (𝑀𝐴) ∈ ℝ*)

Proof of Theorem meaxrcl
StepHypRef Expression
1 iccssxr 12905 . 2 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
2 meaxrcl.1 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ Meas)
3 meaxrcl.2 . . 3 𝑆 = dom 𝑀
4 meaxrcl.3 . . 3 (𝜑𝐴𝑆)
52, 3, 4meacl 43530 . 2 (𝜑 → (𝑀𝐴) ∈ (0[,]+∞))
61, 5sseldi 3876 1 (𝜑 → (𝑀𝐴) ∈ ℝ*)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wcel 2113  dom cdm 5526  cfv 6340  (class class class)co 7171  0cc0 10616  +∞cpnf 10751  *cxr 10753  [,]cicc 12825  Meascmea 43521
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pr 5297  ax-un 7480  ax-cnex 10672  ax-resscn 10673
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3683  df-csb 3792  df-dif 3847  df-un 3849  df-in 3851  df-ss 3861  df-nul 4213  df-if 4416  df-pw 4491  df-sn 4518  df-pr 4520  df-op 4524  df-uni 4798  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-id 5430  df-xp 5532  df-rel 5533  df-cnv 5534  df-co 5535  df-dm 5536  df-rn 5537  df-res 5538  df-ima 5539  df-iota 6298  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-ov 7174  df-oprab 7175  df-mpo 7176  df-1st 7715  df-2nd 7716  df-xr 10758  df-icc 12829  df-mea 43522
This theorem is referenced by:  meassle  43535  meaunle  43536  meassre  43549  meale0eq0  43550  meaiuninclem  43552  meaiuninc3v  43556
  Copyright terms: Public domain W3C validator