Theorem meaxrcl 47203

Description: The measure of a set is an extended real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
meaxrcl.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Meas)
meaxrcl.2	⊢ 𝑆 = dom 𝑀
meaxrcl.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
meaxrcl	⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ*)

Proof of Theorem meaxrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccssxr 13461	. 2 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
2		meaxrcl.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Meas)
3		meaxrcl.2	. . 3 ⊢ 𝑆 = dom 𝑀
4		meaxrcl.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
5	2, 3, 4	meacl 47200	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ (0[,]+∞))
6	1, 5	sselid 3935	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ*)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  dom cdm 5661  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  0cc0 11104  +∞cpnf 11244  ℝ^*cxr 11246  [,]cicc 13379  Meascmea 47191

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11160  ax-resscn 11161

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-xr 11251  df-icc 13383  df-mea 47192

This theorem is used by:  meassle  47205  meaunle  47206  meassre  47219  meale0eq0  47220  meaiuninclem  47222  meaiuninc3v  47226