Theorem meaxrcl 43999

Description: The measure of a set is an extended real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
meaxrcl.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Meas)
meaxrcl.2	⊢ 𝑆 = dom 𝑀
meaxrcl.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
meaxrcl	⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ*)

Proof of Theorem meaxrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccssxr 13162	. 2 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
2		meaxrcl.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Meas)
3		meaxrcl.2	. . 3 ⊢ 𝑆 = dom 𝑀
4		meaxrcl.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
5	2, 3, 4	meacl 43996	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ (0[,]+∞))
6	1, 5	sselid 3919	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ*)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  dom cdm 5589  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  0cc0 10871  +∞cpnf 11006  ℝ^*cxr 11008  [,]cicc 13082  Meascmea 43987

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-xr 11013  df-icc 13086  df-mea 43988

This theorem is referenced by:  meassle  44001  meaunle  44002  meassre  44015  meale0eq0  44016  meaiuninclem  44018  meaiuninc3v  44022