Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  meaiunlelem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem meaiunlelem 43094
Description: The measure of the union of countable sets is less than or equal to the sum of the measures, Property 112C (d) of [Fremlin1] p. 16. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
meaiunlelem.1 𝑛𝜑
meaiunlelem.m (𝜑𝑀 ∈ Meas)
meaiunlelem.s 𝑆 = dom 𝑀
meaiunlelem.z 𝑍 = (ℤ𝑁)
meaiunlelem.e (𝜑𝐸:𝑍𝑆)
meaiunlelem.f 𝐹 = (𝑛𝑍 ↦ ((𝐸𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖)))
Assertion
Ref Expression
meaiunlelem (𝜑 → (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) ≤ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑛)))))
Distinct variable groups:   𝑖,𝐸,𝑛   𝑛,𝑀   𝑖,𝑁,𝑛   𝑆,𝑖,𝑛   𝑛,𝑍   𝜑,𝑖
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐹(𝑖,𝑛)   𝑀(𝑖)   𝑍(𝑖)

Proof of Theorem meaiunlelem
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 meaiunlelem.1 . . . . . . 7 𝑛𝜑
2 meaiunlelem.z . . . . . . 7 𝑍 = (ℤ𝑁)
3 meaiunlelem.e . . . . . . 7 (𝜑𝐸:𝑍𝑆)
4 meaiunlelem.f . . . . . . 7 𝐹 = (𝑛𝑍 ↦ ((𝐸𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖)))
51, 2, 3, 4iundjiun 43086 . . . . . 6 (𝜑 → ((∀𝑥𝑍 𝑛 ∈ (𝑁...𝑥)(𝐹𝑛) = 𝑛 ∈ (𝑁...𝑥)(𝐸𝑛) ∧ 𝑛𝑍 (𝐹𝑛) = 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) ∧ Disj 𝑛𝑍 (𝐹𝑛)))
65simplrd 769 . . . . 5 (𝜑 𝑛𝑍 (𝐹𝑛) = 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))
76eqcomd 2807 . . . 4 (𝜑 𝑛𝑍 (𝐸𝑛) = 𝑛𝑍 (𝐹𝑛))
87fveq2d 6653 . . 3 (𝜑 → (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) = (𝑀 𝑛𝑍 (𝐹𝑛)))
9 meaiunlelem.m . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ Meas)
10 meaiunlelem.s . . . 4 𝑆 = dom 𝑀
119, 10dmmeasal 43078 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
1211adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝑆 ∈ SAlg)
133ffvelrnda 6832 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐸𝑛) ∈ 𝑆)
14 fzofi 13341 . . . . . . . . . . 11 (𝑁..^𝑛) ∈ Fin
15 isfinite 9103 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁..^𝑛) ∈ Fin ↔ (𝑁..^𝑛) ≺ ω)
1615biimpi 219 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁..^𝑛) ∈ Fin → (𝑁..^𝑛) ≺ ω)
17 sdomdom 8524 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁..^𝑛) ≺ ω → (𝑁..^𝑛) ≼ ω)
1816, 17syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁..^𝑛) ∈ Fin → (𝑁..^𝑛) ≼ ω)
1914, 18ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (𝑁..^𝑛) ≼ ω
2019a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁..^𝑛) ≼ ω)
213adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)) → 𝐸:𝑍𝑆)
22 elfzouz 13041 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛) → 𝑖 ∈ (ℤ𝑁))
232eqcomi 2810 . . . . . . . . . . . 12 (ℤ𝑁) = 𝑍
2422, 23eleqtrdi 2903 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛) → 𝑖𝑍)
2524adantl 485 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)) → 𝑖𝑍)
2621, 25ffvelrnd 6833 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)) → (𝐸𝑖) ∈ 𝑆)
2711, 20, 26saliuncl 42951 . . . . . . . 8 (𝜑 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖) ∈ 𝑆)
2827adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖) ∈ 𝑆)
29 saldifcl2 42955 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ (𝐸𝑛) ∈ 𝑆 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖) ∈ 𝑆) → ((𝐸𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖)) ∈ 𝑆)
3012, 13, 28, 29syl3anc 1368 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑍) → ((𝐸𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖)) ∈ 𝑆)
311, 30, 4fmptdf 6862 . . . . 5 (𝜑𝐹:𝑍𝑆)
3231ffvelrnda 6832 . . . 4 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐹𝑛) ∈ 𝑆)
33 eqid 2801 . . . . . . 7 (ℤ𝑁) = (ℤ𝑁)
3433uzct 41684 . . . . . 6 (ℤ𝑁) ≼ ω
352, 34eqbrtri 5054 . . . . 5 𝑍 ≼ ω
3635a1i 11 . . . 4 (𝜑𝑍 ≼ ω)
375simprd 499 . . . 4 (𝜑Disj 𝑛𝑍 (𝐹𝑛))
381, 9, 10, 32, 36, 37meadjiun 43092 . . 3 (𝜑 → (𝑀 𝑛𝑍 (𝐹𝑛)) = (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐹𝑛)))))
39 eqidd 2802 . . 3 (𝜑 → (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐹𝑛)))) = (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐹𝑛)))))
408, 38, 393eqtrd 2840 . 2 (𝜑 → (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) = (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐹𝑛)))))
412fvexi 6663 . . . 4 𝑍 ∈ V
4241a1i 11 . . 3 (𝜑𝑍 ∈ V)
439adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝑀 ∈ Meas)
4443, 10, 32meacl 43084 . . 3 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑀‘(𝐹𝑛)) ∈ (0[,]+∞))
4543, 10, 13meacl 43084 . . 3 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑀‘(𝐸𝑛)) ∈ (0[,]+∞))
46 simpr 488 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝑛𝑍)
47 difexg 5198 . . . . . . 7 ((𝐸𝑛) ∈ 𝑆 → ((𝐸𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖)) ∈ V)
4813, 47syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑍) → ((𝐸𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖)) ∈ V)
494fvmpt2 6760 . . . . . 6 ((𝑛𝑍 ∧ ((𝐸𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖)) ∈ V) → (𝐹𝑛) = ((𝐸𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖)))
5046, 48, 49syl2anc 587 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐹𝑛) = ((𝐸𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖)))
51 difssd 4063 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝑍) → ((𝐸𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖)) ⊆ (𝐸𝑛))
5250, 51eqsstrd 3956 . . . 4 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐹𝑛) ⊆ (𝐸𝑛))
5343, 10, 32, 13, 52meassle 43089 . . 3 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑀‘(𝐹𝑛)) ≤ (𝑀‘(𝐸𝑛)))
541, 42, 44, 45, 53sge0lempt 43036 . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐹𝑛)))) ≤ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑛)))))
5540, 54eqbrtrd 5055 1 (𝜑 → (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) ≤ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑛)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wnf 1785  wcel 2112  wral 3109  Vcvv 3444  cdif 3881   ciun 4884  Disj wdisj 4998   class class class wbr 5033  cmpt 5113  dom cdm 5523  wf 6324  cfv 6328  (class class class)co 7139  ωcom 7564  cdom 8494  csdm 8495  Fincfn 8496  cle 10669  cuz 12235  ...cfz 12889  ..^cfzo 13032  SAlgcsalg 42937  Σ^csumge0 42988  Meascmea 43075
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-inf2 9092  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-disj 4999  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-omul 8094  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-sup 8894  df-oi 8962  df-card 9356  df-acn 9359  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12382  df-xadd 12500  df-ico 12736  df-icc 12737  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-seq 13369  df-exp 13430  df-hash 13691  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-clim 14840  df-sum 15038  df-salg 42938  df-sumge0 42989  df-mea 43076
This theorem is referenced by:  meaiunle  43095
  Copyright terms: Public domain W3C validator