Theorem meaiunlelem 47210

Description: The measure of the union of countable sets is less than or equal to the sum of the measures, Property 112C (d) of [Fremlin1] p. 16. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
meaiunlelem.1	⊢ Ⅎ𝑛𝜑
meaiunlelem.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Meas)
meaiunlelem.s	⊢ 𝑆 = dom 𝑀
meaiunlelem.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑁)
meaiunlelem.e	⊢ (𝜑 → 𝐸:𝑍⟶𝑆)
meaiunlelem.f	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐸‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸‘𝑖)))

Assertion

Ref	Expression
meaiunlelem	⊢ (𝜑 → (𝑀‘∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) ≤ (Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸‘𝑛)))))

Distinct variable groups:   𝑖,𝐸,𝑛   𝑛,𝑀   𝑖,𝑁,𝑛   𝑆,𝑖,𝑛   𝑛,𝑍   𝜑,𝑖

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐹(𝑖, 𝑛)   𝑀(𝑖)   𝑍(𝑖)

Proof of Theorem meaiunlelem

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		meaiunlelem.1	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛𝜑
2		meaiunlelem.z	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑁)
3		meaiunlelem.e	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸:𝑍⟶𝑆)
4		meaiunlelem.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐸‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸‘𝑖)))
5	1, 2, 3, 4	iundjiun 47202	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((∀𝑥 ∈ 𝑍 ∪ 𝑛 ∈ (𝑁...𝑥)(𝐹‘𝑛) = ∪ 𝑛 ∈ (𝑁...𝑥)(𝐸‘𝑛) ∧ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑛) = ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) ∧ Disj 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑛)))
6	5	simplrd 781	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑛) = ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛))
7	6	eqcomd 2768	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛) = ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑛))
8	7	fveq2d 6885	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) = (𝑀‘∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑛)))
9		meaiunlelem.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Meas)
10		meaiunlelem.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = dom 𝑀
11	9, 10	dmmeasal 47194	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
12	11	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → 𝑆 ∈ SAlg)
13	3	ffvelcdmda 7079	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐸‘𝑛) ∈ 𝑆)
14		fzofi 14017	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁..^𝑛) ∈ Fin
15		isfinite 9619	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁..^𝑛) ∈ Fin ↔ (𝑁..^𝑛) ≺ ω)
16	15	biimpi 219	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁..^𝑛) ∈ Fin → (𝑁..^𝑛) ≺ ω)
17		sdomdom 8975	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁..^𝑛) ≺ ω → (𝑁..^𝑛) ≼ ω)
18	16, 17	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁..^𝑛) ∈ Fin → (𝑁..^𝑛) ≼ ω)
19	14, 18	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁..^𝑛) ≼ ω
20	19	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁..^𝑛) ≼ ω)
21	3	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)) → 𝐸:𝑍⟶𝑆)
22		elfzouz 13699	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛) → 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
23	2	eqcomi 2771	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℤ≥‘𝑁) = 𝑍
24	22, 23	eleqtrdi 2872	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛) → 𝑖 ∈ 𝑍)
25	24	adantl 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)) → 𝑖 ∈ 𝑍)
26	21, 25	ffvelcdmd 7080	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)) → (𝐸‘𝑖) ∈ 𝑆)
27	11, 20, 26	saliuncl 47065	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸‘𝑖) ∈ 𝑆)
28	27	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸‘𝑖) ∈ 𝑆)
29		saldifcl2 47070	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ (𝐸‘𝑛) ∈ 𝑆 ∧ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸‘𝑖) ∈ 𝑆) → ((𝐸‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸‘𝑖)) ∈ 𝑆)
30	12, 13, 28, 29	syl3anc 1397	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → ((𝐸‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸‘𝑖)) ∈ 𝑆)
31	1, 30, 4	fmptdf 7112	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶𝑆)
32	31	ffvelcdmda 7079	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑛) ∈ 𝑆)
33		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (ℤ≥‘𝑁) = (ℤ≥‘𝑁)
34	33	uzct 45811	. . . . . 6 ⊢ (ℤ≥‘𝑁) ≼ ω
35	2, 34	eqbrtri 5131	. . . . 5 ⊢ 𝑍 ≼ ω
36	35	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ≼ ω)
37	5	simprd 500	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Disj 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑛))
38	1, 9, 10, 32, 36, 37	meadjiun 47208	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑛)) = (Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐹‘𝑛)))))
39		eqidd 2763	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐹‘𝑛)))) = (Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐹‘𝑛)))))
40	8, 38, 39	3eqtrd 2801	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) = (Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐹‘𝑛)))))
41	2	fvexi 6895	. . . 4 ⊢ 𝑍 ∈ V
42	41	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ V)
43	9	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → 𝑀 ∈ Meas)
44	43, 10, 32	meacl 47200	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝑀‘(𝐹‘𝑛)) ∈ (0[,]+∞))
45	43, 10, 13	meacl 47200	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝑀‘(𝐸‘𝑛)) ∈ (0[,]+∞))
46		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → 𝑛 ∈ 𝑍)
47	13	difexd 5301	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → ((𝐸‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸‘𝑖)) ∈ V)
48	4	fvmpt2 7001	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ((𝐸‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸‘𝑖)) ∈ V) → (𝐹‘𝑛) = ((𝐸‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸‘𝑖)))
49	46, 47, 48	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑛) = ((𝐸‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸‘𝑖)))
50		difssd 4090	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → ((𝐸‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸‘𝑖)) ⊆ (𝐸‘𝑛))
51	49, 50	eqsstrd 3970	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐸‘𝑛))
52	43, 10, 32, 13, 51	meassle 47205	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝑀‘(𝐹‘𝑛)) ≤ (𝑀‘(𝐸‘𝑛)))
53	1, 42, 44, 45, 52	sge0lempt 47152	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐹‘𝑛)))) ≤ (Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸‘𝑛)))))
54	40, 53	eqbrtrd 5132	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) ≤ (Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸‘𝑛)))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1569  Ⅎwnf 1812   ∈ wcel 2142  ∀wral 3078  Vcvv 3454   ∖ cdif 3901  ∪ ciun 4955  Disj wdisj 5075   class class class wbr 5108   ↦ cmpt 5191  dom cdm 5660  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  ωcom 7860   ≼ cdom 8939   ≺ csdm 8940  Fincfn 8941   ≤ cle 11250  ℤ_≥cuz 12868  ...cfz 13541  ..^cfzo 13689  SAlgcsalg 47050  Σ^{^}csumge0 47104  Meascmea 47191

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-inf2 9608  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-disj 5076  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-se 5614  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-2o 8452  df-oadd 8455  df-omul 8456  df-er 8692  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9400  df-oi 9470  df-card 9932  df-acn 9935  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-div 11878  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-n0 12511  df-z 12598  df-uz 12869  df-rp 13023  df-xadd 13144  df-ico 13384  df-icc 13385  df-fz 13542  df-fzo 13690  df-seq 14045  df-exp 14105  df-hash 14374  df-cj 15157  df-re 15158  df-im 15159  df-sqrt 15293  df-abs 15294  df-clim 15546  df-sum 15745  df-salg 47051  df-sumge0 47105  df-mea 47192

This theorem is used by:  meaiunle  47211