Theorem meaiunlelem 43896

Description: The measure of the union of countable sets is less than or equal to the sum of the measures, Property 112C (d) of [Fremlin1] p. 16. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
meaiunlelem.1	⊢ Ⅎ𝑛𝜑
meaiunlelem.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Meas)
meaiunlelem.s	⊢ 𝑆 = dom 𝑀
meaiunlelem.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑁)
meaiunlelem.e	⊢ (𝜑 → 𝐸:𝑍⟶𝑆)
meaiunlelem.f	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐸‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸‘𝑖)))

Assertion

Ref	Expression
meaiunlelem	⊢ (𝜑 → (𝑀‘∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) ≤ (Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸‘𝑛)))))

Distinct variable groups:   𝑖,𝐸,𝑛   𝑛,𝑀   𝑖,𝑁,𝑛   𝑆,𝑖,𝑛   𝑛,𝑍   𝜑,𝑖

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐹(𝑖,𝑛)   𝑀(𝑖)   𝑍(𝑖)

Proof of Theorem meaiunlelem

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		meaiunlelem.1	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛𝜑
2		meaiunlelem.z	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑁)
3		meaiunlelem.e	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸:𝑍⟶𝑆)
4		meaiunlelem.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐸‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸‘𝑖)))
5	1, 2, 3, 4	iundjiun 43888	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((∀𝑥 ∈ 𝑍 ∪ 𝑛 ∈ (𝑁...𝑥)(𝐹‘𝑛) = ∪ 𝑛 ∈ (𝑁...𝑥)(𝐸‘𝑛) ∧ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑛) = ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) ∧ Disj 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑛)))
6	5	simplrd 766	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑛) = ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛))
7	6	eqcomd 2744	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛) = ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑛))
8	7	fveq2d 6760	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) = (𝑀‘∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑛)))
9		meaiunlelem.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Meas)
10		meaiunlelem.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = dom 𝑀
11	9, 10	dmmeasal 43880	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
12	11	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → 𝑆 ∈ SAlg)
13	3	ffvelrnda 6943	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐸‘𝑛) ∈ 𝑆)
14		fzofi 13622	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁..^𝑛) ∈ Fin
15		isfinite 9340	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁..^𝑛) ∈ Fin ↔ (𝑁..^𝑛) ≺ ω)
16	15	biimpi 215	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁..^𝑛) ∈ Fin → (𝑁..^𝑛) ≺ ω)
17		sdomdom 8723	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁..^𝑛) ≺ ω → (𝑁..^𝑛) ≼ ω)
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁..^𝑛) ∈ Fin → (𝑁..^𝑛) ≼ ω)
19	14, 18	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁..^𝑛) ≼ ω
20	19	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁..^𝑛) ≼ ω)
21	3	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)) → 𝐸:𝑍⟶𝑆)
22		elfzouz 13320	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛) → 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
23	2	eqcomi 2747	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℤ≥‘𝑁) = 𝑍
24	22, 23	eleqtrdi 2849	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛) → 𝑖 ∈ 𝑍)
25	24	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)) → 𝑖 ∈ 𝑍)
26	21, 25	ffvelrnd 6944	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)) → (𝐸‘𝑖) ∈ 𝑆)
27	11, 20, 26	saliuncl 43753	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸‘𝑖) ∈ 𝑆)
28	27	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸‘𝑖) ∈ 𝑆)
29		saldifcl2 43757	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ (𝐸‘𝑛) ∈ 𝑆 ∧ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸‘𝑖) ∈ 𝑆) → ((𝐸‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸‘𝑖)) ∈ 𝑆)
30	12, 13, 28, 29	syl3anc 1369	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → ((𝐸‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸‘𝑖)) ∈ 𝑆)
31	1, 30, 4	fmptdf 6973	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶𝑆)
32	31	ffvelrnda 6943	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑛) ∈ 𝑆)
33		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (ℤ≥‘𝑁) = (ℤ≥‘𝑁)
34	33	uzct 42500	. . . . . 6 ⊢ (ℤ≥‘𝑁) ≼ ω
35	2, 34	eqbrtri 5091	. . . . 5 ⊢ 𝑍 ≼ ω
36	35	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ≼ ω)
37	5	simprd 495	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Disj 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑛))
38	1, 9, 10, 32, 36, 37	meadjiun 43894	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑛)) = (Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐹‘𝑛)))))
39		eqidd 2739	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐹‘𝑛)))) = (Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐹‘𝑛)))))
40	8, 38, 39	3eqtrd 2782	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) = (Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐹‘𝑛)))))
41	2	fvexi 6770	. . . 4 ⊢ 𝑍 ∈ V
42	41	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ V)
43	9	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → 𝑀 ∈ Meas)
44	43, 10, 32	meacl 43886	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝑀‘(𝐹‘𝑛)) ∈ (0[,]+∞))
45	43, 10, 13	meacl 43886	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝑀‘(𝐸‘𝑛)) ∈ (0[,]+∞))
46		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → 𝑛 ∈ 𝑍)
47	13	difexd 5248	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → ((𝐸‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸‘𝑖)) ∈ V)
48	4	fvmpt2 6868	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ((𝐸‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸‘𝑖)) ∈ V) → (𝐹‘𝑛) = ((𝐸‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸‘𝑖)))
49	46, 47, 48	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑛) = ((𝐸‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸‘𝑖)))
50		difssd 4063	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → ((𝐸‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸‘𝑖)) ⊆ (𝐸‘𝑛))
51	49, 50	eqsstrd 3955	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐸‘𝑛))
52	43, 10, 32, 13, 51	meassle 43891	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝑀‘(𝐹‘𝑛)) ≤ (𝑀‘(𝐸‘𝑛)))
53	1, 42, 44, 45, 52	sge0lempt 43838	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐹‘𝑛)))) ≤ (Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸‘𝑛)))))
54	40, 53	eqbrtrd 5092	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) ≤ (Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸‘𝑛)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539  Ⅎwnf 1787   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063  Vcvv 3422   ∖ cdif 3880  ∪ ciun 4921  Disj wdisj 5035   class class class wbr 5070   ↦ cmpt 5153  dom cdm 5580  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ωcom 7687   ≼ cdom 8689   ≺ csdm 8690  Fincfn 8691   ≤ cle 10941  ℤ_≥cuz 12511  ...cfz 13168  ..^cfzo 13311  SAlgcsalg 43739  Σ^{^}csumge0 43790  Meascmea 43877

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-disj 5036  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-oadd 8271  df-omul 8272  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-oi 9199  df-card 9628  df-acn 9631  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-xadd 12778  df-ico 13014  df-icc 13015  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-seq 13650  df-exp 13711  df-hash 13973  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-clim 15125  df-sum 15326  df-salg 43740  df-sumge0 43791  df-mea 43878

This theorem is referenced by:  meaiunle  43897