Theorem meaiunlelem 47681

Description: The measure of the union of countable sets is less than or equal to the sum of the measures, Property 112C (d) of [Fremlin1] p. 16. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
meaiunlelem.1	⊢ Ⅎ𝑛𝜑
meaiunlelem.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Meas)
meaiunlelem.s	⊢ 𝑆 = dom 𝑀
meaiunlelem.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑁)
meaiunlelem.e	⊢ (𝜑 → 𝐸:𝑍⟶𝑆)
meaiunlelem.f	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐸‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸‘𝑖)))

Assertion

Ref	Expression
meaiunlelem	⊢ (𝜑 → (𝑀‘∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) ≤ (Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸‘𝑛)))))

Distinct variable groups:   𝑖,𝐸,𝑛   𝑛,𝑀   𝑖,𝑁,𝑛   𝑆,𝑖,𝑛   𝑛,𝑍   𝜑,𝑖

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐹(𝑖, 𝑛)   𝑀(𝑖)   𝑍(𝑖)

Proof of Theorem meaiunlelem

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		meaiunlelem.1	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛𝜑
2		meaiunlelem.z	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑁)
3		meaiunlelem.e	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸:𝑍⟶𝑆)
4		meaiunlelem.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐸‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸‘𝑖)))
5	1, 2, 3, 4	iundjiun 47673	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((∀𝑥 ∈ 𝑍 ∪ 𝑛 ∈ (𝑁...𝑥)(𝐹‘𝑛) = ∪ 𝑛 ∈ (𝑁...𝑥)(𝐸‘𝑛) ∧ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑛) = ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) ∧ Disj 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑛)))
6	5	simplrd 782	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑛) = ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛))
7	6	eqcomd 2769	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛) = ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑛))
8	7	fveq2d 6909	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) = (𝑀‘∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑛)))
9		meaiunlelem.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Meas)
10		meaiunlelem.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = dom 𝑀
11	9, 10	dmmeasal 47665	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
12	11	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → 𝑆 ∈ SAlg)
13	3	ffvelcdmda 7105	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐸‘𝑛) ∈ 𝑆)
14		fzofi 14141	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁..^𝑛) ∈ Fin
15		isfinite 9677	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁..^𝑛) ∈ Fin ↔ (𝑁..^𝑛) ≺ ω)
16	15	biimpi 219	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁..^𝑛) ∈ Fin → (𝑁..^𝑛) ≺ ω)
17		sdomdom 9032	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁..^𝑛) ≺ ω → (𝑁..^𝑛) ≼ ω)
18	16, 17	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁..^𝑛) ∈ Fin → (𝑁..^𝑛) ≼ ω)
19	14, 18	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁..^𝑛) ≼ ω
20	19	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁..^𝑛) ≼ ω)
21	3	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)) → 𝐸:𝑍⟶𝑆)
22		elfzouz 13822	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛) → 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
23	2	eqcomi 2772	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℤ≥‘𝑁) = 𝑍
24	22, 23	eleqtrdi 2874	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛) → 𝑖 ∈ 𝑍)
25	24	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)) → 𝑖 ∈ 𝑍)
26	21, 25	ffvelcdmd 7106	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)) → (𝐸‘𝑖) ∈ 𝑆)
27	11, 20, 26	saliuncl 47536	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸‘𝑖) ∈ 𝑆)
28	27	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸‘𝑖) ∈ 𝑆)
29		saldifcl2 47541	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ (𝐸‘𝑛) ∈ 𝑆 ∧ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸‘𝑖) ∈ 𝑆) → ((𝐸‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸‘𝑖)) ∈ 𝑆)
30	12, 13, 28, 29	syl3anc 1399	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → ((𝐸‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸‘𝑖)) ∈ 𝑆)
31	1, 30, 4	fmptdf 7138	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶𝑆)
32	31	ffvelcdmda 7105	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑛) ∈ 𝑆)
33		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (ℤ≥‘𝑁) = (ℤ≥‘𝑁)
34	33	uzct 46283	. . . . . 6 ⊢ (ℤ≥‘𝑁) ≼ ω
35	2, 34	eqbrtri 5129	. . . . 5 ⊢ 𝑍 ≼ ω
36	35	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ≼ ω)
37	5	simprd 501	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Disj 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑛))
38	1, 9, 10, 32, 36, 37	meadjiun 47679	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑛)) = (Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐹‘𝑛)))))
39		eqidd 2764	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐹‘𝑛)))) = (Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐹‘𝑛)))))
40	8, 38, 39	3eqtrd 2802	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) = (Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐹‘𝑛)))))
41	2	fvexi 6919	. . . 4 ⊢ 𝑍 ∈ V
42	41	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ V)
43	9	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → 𝑀 ∈ Meas)
44	43, 10, 32	meacl 47671	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝑀‘(𝐹‘𝑛)) ∈ (0[,]+∞))
45	43, 10, 13	meacl 47671	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝑀‘(𝐸‘𝑛)) ∈ (0[,]+∞))
46		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → 𝑛 ∈ 𝑍)
47	13	difexd 5297	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → ((𝐸‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸‘𝑖)) ∈ V)
48	4	fvmpt2 7025	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ((𝐸‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸‘𝑖)) ∈ V) → (𝐹‘𝑛) = ((𝐸‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸‘𝑖)))
49	46, 47, 48	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑛) = ((𝐸‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸‘𝑖)))
50		difssd 4076	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → ((𝐸‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸‘𝑖)) ⊆ (𝐸‘𝑛))
51	49, 50	eqsstrd 3947	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐸‘𝑛))
52	43, 10, 32, 13, 51	meassle 47676	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝑀‘(𝐹‘𝑛)) ≤ (𝑀‘(𝐸‘𝑛)))
53	1, 42, 44, 45, 52	sge0lempt 47623	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐹‘𝑛)))) ≤ (Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸‘𝑛)))))
54	40, 53	eqbrtrd 5130	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) ≤ (Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸‘𝑛)))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570  Ⅎwnf 1816   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  Vcvv 3454   ∖ cdif 4048  ∪ ciun 4954  Disj wdisj 5073   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189  dom cdm 5655  ⟶wf 6551  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  ωcom 7898   ≼ cdom 8996   ≺ csdm 8997  Fincfn 8998   ≤ cle 11368  ℤ_≥cuz 12989  ...cfz 13663  ..^cfzo 13812  SAlgcsalg 47521  Σ^{^}csumge0 47575  Meascmea 47662

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-inf2 9666  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301  ax-pre-sup 11302

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-disj 5074  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-isom 6564  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-2o 8502  df-oadd 8505  df-omul 8506  df-er 8742  df-map 8874  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-sup 9458  df-oi 9528  df-card 10044  df-acn 10047  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-div 11998  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-n0 12631  df-z 12718  df-uz 12990  df-rp 13145  df-xadd 13266  df-ico 13506  df-icc 13507  df-fz 13664  df-fzo 13813  df-seq 14169  df-exp 14229  df-hash 14499  df-cj 15292  df-re 15293  df-im 15294  df-sqrt 15428  df-abs 15429  df-clim 15681  df-sum 15880  df-salg 47522  df-sumge0 47576  df-mea 47663

This theorem is used by:  meaiunle  47682