Theorem meaiunlelem 47214

Description: The measure of the union of countable sets is less than or equal to the sum of the measures, Property 112C (d) of [Fremlin1] p. 16. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
meaiunlelem.1	⊢ Ⅎ𝑛𝜑
meaiunlelem.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Meas)
meaiunlelem.s	⊢ 𝑆 = dom 𝑀
meaiunlelem.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑁)
meaiunlelem.e	⊢ (𝜑 → 𝐸:𝑍⟶𝑆)
meaiunlelem.f	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐸‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸‘𝑖)))

Assertion

Ref	Expression
meaiunlelem	⊢ (𝜑 → (𝑀‘∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) ≤ (Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸‘𝑛)))))

Distinct variable groups:   𝑖,𝐸,𝑛   𝑛,𝑀   𝑖,𝑁,𝑛   𝑆,𝑖,𝑛   𝑛,𝑍   𝜑,𝑖

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐹(𝑖, 𝑛)   𝑀(𝑖)   𝑍(𝑖)

Proof of Theorem meaiunlelem

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		meaiunlelem.1	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛𝜑
2		meaiunlelem.z	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑁)
3		meaiunlelem.e	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸:𝑍⟶𝑆)
4		meaiunlelem.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐸‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸‘𝑖)))
5	1, 2, 3, 4	iundjiun 47206	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((∀𝑥 ∈ 𝑍 ∪ 𝑛 ∈ (𝑁...𝑥)(𝐹‘𝑛) = ∪ 𝑛 ∈ (𝑁...𝑥)(𝐸‘𝑛) ∧ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑛) = ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) ∧ Disj 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑛)))
6	5	simplrd 782	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑛) = ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛))
7	6	eqcomd 2772	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛) = ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑛))
8	7	fveq2d 6889	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) = (𝑀‘∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑛)))
9		meaiunlelem.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Meas)
10		meaiunlelem.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = dom 𝑀
11	9, 10	dmmeasal 47198	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
12	11	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → 𝑆 ∈ SAlg)
13	3	ffvelcdmda 7083	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐸‘𝑛) ∈ 𝑆)
14		fzofi 14021	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁..^𝑛) ∈ Fin
15		isfinite 9623	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁..^𝑛) ∈ Fin ↔ (𝑁..^𝑛) ≺ ω)
16	15	biimpi 219	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁..^𝑛) ∈ Fin → (𝑁..^𝑛) ≺ ω)
17		sdomdom 8979	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁..^𝑛) ≺ ω → (𝑁..^𝑛) ≼ ω)
18	16, 17	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁..^𝑛) ∈ Fin → (𝑁..^𝑛) ≼ ω)
19	14, 18	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁..^𝑛) ≼ ω
20	19	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁..^𝑛) ≼ ω)
21	3	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)) → 𝐸:𝑍⟶𝑆)
22		elfzouz 13703	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛) → 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
23	2	eqcomi 2775	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℤ≥‘𝑁) = 𝑍
24	22, 23	eleqtrdi 2876	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛) → 𝑖 ∈ 𝑍)
25	24	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)) → 𝑖 ∈ 𝑍)
26	21, 25	ffvelcdmd 7084	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)) → (𝐸‘𝑖) ∈ 𝑆)
27	11, 20, 26	saliuncl 47069	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸‘𝑖) ∈ 𝑆)
28	27	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸‘𝑖) ∈ 𝑆)
29		saldifcl2 47074	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ (𝐸‘𝑛) ∈ 𝑆 ∧ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸‘𝑖) ∈ 𝑆) → ((𝐸‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸‘𝑖)) ∈ 𝑆)
30	12, 13, 28, 29	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → ((𝐸‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸‘𝑖)) ∈ 𝑆)
31	1, 30, 4	fmptdf 7116	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶𝑆)
32	31	ffvelcdmda 7083	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑛) ∈ 𝑆)
33		eqid 2766	. . . . . . 7 ⊢ (ℤ≥‘𝑁) = (ℤ≥‘𝑁)
34	33	uzct 45815	. . . . . 6 ⊢ (ℤ≥‘𝑁) ≼ ω
35	2, 34	eqbrtri 5135	. . . . 5 ⊢ 𝑍 ≼ ω
36	35	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ≼ ω)
37	5	simprd 501	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Disj 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑛))
38	1, 9, 10, 32, 36, 37	meadjiun 47212	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑛)) = (Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐹‘𝑛)))))
39		eqidd 2767	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐹‘𝑛)))) = (Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐹‘𝑛)))))
40	8, 38, 39	3eqtrd 2805	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) = (Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐹‘𝑛)))))
41	2	fvexi 6899	. . . 4 ⊢ 𝑍 ∈ V
42	41	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ V)
43	9	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → 𝑀 ∈ Meas)
44	43, 10, 32	meacl 47204	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝑀‘(𝐹‘𝑛)) ∈ (0[,]+∞))
45	43, 10, 13	meacl 47204	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝑀‘(𝐸‘𝑛)) ∈ (0[,]+∞))
46		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → 𝑛 ∈ 𝑍)
47	13	difexd 5305	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → ((𝐸‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸‘𝑖)) ∈ V)
48	4	fvmpt2 7005	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ((𝐸‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸‘𝑖)) ∈ V) → (𝐹‘𝑛) = ((𝐸‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸‘𝑖)))
49	46, 47, 48	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑛) = ((𝐸‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸‘𝑖)))
50		difssd 4094	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → ((𝐸‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸‘𝑖)) ⊆ (𝐸‘𝑛))
51	49, 50	eqsstrd 3974	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐸‘𝑛))
52	43, 10, 32, 13, 51	meassle 47209	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝑀‘(𝐹‘𝑛)) ≤ (𝑀‘(𝐸‘𝑛)))
53	1, 42, 44, 45, 52	sge0lempt 47156	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐹‘𝑛)))) ≤ (Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸‘𝑛)))))
54	40, 53	eqbrtrd 5136	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) ≤ (Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸‘𝑛)))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570  Ⅎwnf 1816   ∈ wcel 2146  ∀wral 3082  Vcvv 3458   ∖ cdif 3905  ∪ ciun 4959  Disj wdisj 5079   class class class wbr 5112   ↦ cmpt 5195  dom cdm 5664  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  ωcom 7864   ≼ cdom 8943   ≺ csdm 8944  Fincfn 8945   ≤ cle 11254  ℤ_≥cuz 12872  ...cfz 13545  ..^cfzo 13693  SAlgcsalg 47054  Σ^{^}csumge0 47108  Meascmea 47195

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5241  ax-sep 5260  ax-nul 5272  ax-pow 5339  ax-pr 5407  ax-un 7738  ax-inf2 9612  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4876  df-int 4916  df-iun 4961  df-disj 5080  df-br 5113  df-opab 5177  df-mpt 5196  df-tr 5222  df-id 5559  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-se 5618  df-we 5619  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-oadd 8459  df-omul 8460  df-er 8696  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9404  df-oi 9474  df-card 9936  df-acn 9939  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11882  df-nn 12244  df-2 12313  df-3 12314  df-n0 12515  df-z 12602  df-uz 12873  df-rp 13027  df-xadd 13148  df-ico 13388  df-icc 13389  df-fz 13546  df-fzo 13694  df-seq 14049  df-exp 14109  df-hash 14378  df-cj 15161  df-re 15162  df-im 15163  df-sqrt 15297  df-abs 15298  df-clim 15550  df-sum 15749  df-salg 47055  df-sumge0 47109  df-mea 47196

This theorem is used by:  meaiunle  47215