Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  meaiunlelem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem meaiunlelem 43094
 Description: The measure of the union of countable sets is less than or equal to the sum of the measures, Property 112C (d) of [Fremlin1] p. 16. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
meaiunlelem.1 𝑛𝜑
meaiunlelem.m (𝜑𝑀 ∈ Meas)
meaiunlelem.s 𝑆 = dom 𝑀
meaiunlelem.z 𝑍 = (ℤ𝑁)
meaiunlelem.e (𝜑𝐸:𝑍𝑆)
meaiunlelem.f 𝐹 = (𝑛𝑍 ↦ ((𝐸𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖)))
Assertion
Ref Expression
meaiunlelem (𝜑 → (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) ≤ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑛)))))
Distinct variable groups:   𝑖,𝐸,𝑛   𝑛,𝑀   𝑖,𝑁,𝑛   𝑆,𝑖,𝑛   𝑛,𝑍   𝜑,𝑖
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐹(𝑖,𝑛)   𝑀(𝑖)   𝑍(𝑖)

Proof of Theorem meaiunlelem
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 meaiunlelem.1 . . . . . . 7 𝑛𝜑
2 meaiunlelem.z . . . . . . 7 𝑍 = (ℤ𝑁)
3 meaiunlelem.e . . . . . . 7 (𝜑𝐸:𝑍𝑆)
4 meaiunlelem.f . . . . . . 7 𝐹 = (𝑛𝑍 ↦ ((𝐸𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖)))
51, 2, 3, 4iundjiun 43086 . . . . . 6 (𝜑 → ((∀𝑥𝑍 𝑛 ∈ (𝑁...𝑥)(𝐹𝑛) = 𝑛 ∈ (𝑁...𝑥)(𝐸𝑛) ∧ 𝑛𝑍 (𝐹𝑛) = 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) ∧ Disj 𝑛𝑍 (𝐹𝑛)))
65simplrd 769 . . . . 5 (𝜑 𝑛𝑍 (𝐹𝑛) = 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))
76eqcomd 2807 . . . 4 (𝜑 𝑛𝑍 (𝐸𝑛) = 𝑛𝑍 (𝐹𝑛))
87fveq2d 6653 . . 3 (𝜑 → (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) = (𝑀 𝑛𝑍 (𝐹𝑛)))
9 meaiunlelem.m . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ Meas)
10 meaiunlelem.s . . . 4 𝑆 = dom 𝑀
119, 10dmmeasal 43078 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
1211adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝑆 ∈ SAlg)
133ffvelrnda 6832 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐸𝑛) ∈ 𝑆)
14 fzofi 13341 . . . . . . . . . . 11 (𝑁..^𝑛) ∈ Fin
15 isfinite 9103 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁..^𝑛) ∈ Fin ↔ (𝑁..^𝑛) ≺ ω)
1615biimpi 219 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁..^𝑛) ∈ Fin → (𝑁..^𝑛) ≺ ω)
17 sdomdom 8524 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁..^𝑛) ≺ ω → (𝑁..^𝑛) ≼ ω)
1816, 17syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁..^𝑛) ∈ Fin → (𝑁..^𝑛) ≼ ω)
1914, 18ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (𝑁..^𝑛) ≼ ω
2019a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁..^𝑛) ≼ ω)
213adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)) → 𝐸:𝑍𝑆)
22 elfzouz 13041 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛) → 𝑖 ∈ (ℤ𝑁))
232eqcomi 2810 . . . . . . . . . . . 12 (ℤ𝑁) = 𝑍
2422, 23eleqtrdi 2903 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛) → 𝑖𝑍)
2524adantl 485 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)) → 𝑖𝑍)
2621, 25ffvelrnd 6833 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)) → (𝐸𝑖) ∈ 𝑆)
2711, 20, 26saliuncl 42951 . . . . . . . 8 (𝜑 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖) ∈ 𝑆)
2827adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖) ∈ 𝑆)
29 saldifcl2 42955 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ (𝐸𝑛) ∈ 𝑆 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖) ∈ 𝑆) → ((𝐸𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖)) ∈ 𝑆)
3012, 13, 28, 29syl3anc 1368 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑍) → ((𝐸𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖)) ∈ 𝑆)
311, 30, 4fmptdf 6862 . . . . 5 (𝜑𝐹:𝑍𝑆)
3231ffvelrnda 6832 . . . 4 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐹𝑛) ∈ 𝑆)
33 eqid 2801 . . . . . . 7 (ℤ𝑁) = (ℤ𝑁)
3433uzct 41684 . . . . . 6 (ℤ𝑁) ≼ ω
352, 34eqbrtri 5054 . . . . 5 𝑍 ≼ ω
3635a1i 11 . . . 4 (𝜑𝑍 ≼ ω)
375simprd 499 . . . 4 (𝜑Disj 𝑛𝑍 (𝐹𝑛))
381, 9, 10, 32, 36, 37meadjiun 43092 . . 3 (𝜑 → (𝑀 𝑛𝑍 (𝐹𝑛)) = (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐹𝑛)))))
39 eqidd 2802 . . 3 (𝜑 → (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐹𝑛)))) = (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐹𝑛)))))
408, 38, 393eqtrd 2840 . 2 (𝜑 → (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) = (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐹𝑛)))))
412fvexi 6663 . . . 4 𝑍 ∈ V
4241a1i 11 . . 3 (𝜑𝑍 ∈ V)
439adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝑀 ∈ Meas)
4443, 10, 32meacl 43084 . . 3 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑀‘(𝐹𝑛)) ∈ (0[,]+∞))
4543, 10, 13meacl 43084 . . 3 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑀‘(𝐸𝑛)) ∈ (0[,]+∞))
46 simpr 488 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝑛𝑍)
47 difexg 5198 . . . . . . 7 ((𝐸𝑛) ∈ 𝑆 → ((𝐸𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖)) ∈ V)
4813, 47syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑍) → ((𝐸𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖)) ∈ V)
494fvmpt2 6760 . . . . . 6 ((𝑛𝑍 ∧ ((𝐸𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖)) ∈ V) → (𝐹𝑛) = ((𝐸𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖)))
5046, 48, 49syl2anc 587 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐹𝑛) = ((𝐸𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖)))
51 difssd 4063 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝑍) → ((𝐸𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖)) ⊆ (𝐸𝑛))
5250, 51eqsstrd 3956 . . . 4 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐹𝑛) ⊆ (𝐸𝑛))
5343, 10, 32, 13, 52meassle 43089 . . 3 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑀‘(𝐹𝑛)) ≤ (𝑀‘(𝐸𝑛)))
541, 42, 44, 45, 53sge0lempt 43036 . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐹𝑛)))) ≤ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑛)))))
5540, 54eqbrtrd 5055 1 (𝜑 → (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) ≤ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑛)))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2112  ∀wral 3109  Vcvv 3444   ∖ cdif 3881  ∪ ciun 4884  Disj wdisj 4998   class class class wbr 5033   ↦ cmpt 5113  dom cdm 5523  ⟶wf 6324  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139  ωcom 7564   ≼ cdom 8494   ≺ csdm 8495  Fincfn 8496   ≤ cle 10669  ℤ≥cuz 12235  ...cfz 12889  ..^cfzo 13032  SAlgcsalg 42937  Σ^csumge0 42988  Meascmea 43075 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-inf2 9092  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-disj 4999  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-omul 8094  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-sup 8894  df-oi 8962  df-card 9356  df-acn 9359  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12382  df-xadd 12500  df-ico 12736  df-icc 12737  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-seq 13369  df-exp 13430  df-hash 13691  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-clim 14840  df-sum 15038  df-salg 42938  df-sumge0 42989  df-mea 43076 This theorem is referenced by:  meaiunle  43095
 Copyright terms: Public domain W3C validator