Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  measge0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem measge0 32579
Description: A measure is nonnegative. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
measge0 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ 0 ≀ (π‘€β€˜π΄))

Proof of Theorem measge0
StepHypRef Expression
1 measvxrge0 32577 . . 3 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ (π‘€β€˜π΄) ∈ (0[,]+∞))
2 elxrge0 13302 . . 3 ((π‘€β€˜π΄) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (π‘€β€˜π΄)))
31, 2sylib 217 . 2 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ ((π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (π‘€β€˜π΄)))
43simprd 496 1 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ 0 ≀ (π‘€β€˜π΄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5103  β€˜cfv 6491  (class class class)co 7349  0cc0 10984  +∞cpnf 11119  β„*cxr 11121   ≀ cle 11123  [,]cicc 13195  measurescmeas 32567
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7662  ax-cnex 11040  ax-resscn 11041  ax-1cn 11042  ax-addrcl 11045  ax-rnegex 11055  ax-cnre 11057
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-id 5528  df-xp 5636  df-rel 5637  df-cnv 5638  df-co 5639  df-dm 5640  df-rn 5641  df-iota 6443  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-fv 6499  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-pnf 11124  df-mnf 11125  df-xr 11126  df-ltxr 11127  df-le 11128  df-icc 13199  df-esum 32400  df-meas 32568
This theorem is referenced by:  sibfof  32713
  Copyright terms: Public domain W3C validator