Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  measge0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem measge0 31580
Description: A measure is nonnegative. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
measge0 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) → 0 ≤ (𝑀𝐴))

Proof of Theorem measge0
StepHypRef Expression
1 measvxrge0 31578 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) → (𝑀𝐴) ∈ (0[,]+∞))
2 elxrge0 12839 . . 3 ((𝑀𝐴) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝑀𝐴) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑀𝐴)))
31, 2sylib 221 . 2 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) → ((𝑀𝐴) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑀𝐴)))
43simprd 499 1 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) → 0 ≤ (𝑀𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  wcel 2112   class class class wbr 5033  cfv 6328  (class class class)co 7139  0cc0 10530  +∞cpnf 10665  *cxr 10667  cle 10669  [,]cicc 12733  measurescmeas 31568
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-addrcl 10591  ax-rnegex 10601  ax-cnre 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-uni 4804  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-id 5428  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-fv 6336  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-icc 12737  df-esum 31401  df-meas 31569
This theorem is referenced by:  sibfof  31712
  Copyright terms: Public domain W3C validator