Theorem measge0 34351

Description: A measure is nonnegative. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
measge0	⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → 0 ≤ (𝑀‘𝐴))

Proof of Theorem measge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		measvxrge0 34349	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝑀‘𝐴) ∈ (0[,]+∞))
2		elxrge0 13410	. . 3 ⊢ ((𝑀‘𝐴) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝑀‘𝐴) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑀‘𝐴)))
3	1, 2	sylib 218	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → ((𝑀‘𝐴) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑀‘𝐴)))
4	3	simprd 495	1 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → 0 ≤ (𝑀‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5085  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  0cc0 11038  +∞cpnf 11176  ℝ^*cxr 11178   ≤ cle 11180  [,]cicc 13301  measurescmeas 34339

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-addrcl 11099  ax-rnegex 11109  ax-cnre 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-fv 6506  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-icc 13305  df-esum 34172  df-meas 34340

This theorem is referenced by:  sibfof  34484