Theorem measle0 34390

Description: If the measure of a given set is bounded by zero, it is zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Oct-2017.)

Assertion

Ref	Expression
measle0	⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ≤ 0) → (𝑀‘𝐴) = 0)

Proof of Theorem measle0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 1139	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ≤ 0) → (𝑀‘𝐴) ≤ 0)
2		measvxrge0 34387	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝑀‘𝐴) ∈ (0[,]+∞))
3		elxrge0 13385	. . . . 5 ⊢ ((𝑀‘𝐴) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝑀‘𝐴) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑀‘𝐴)))
4	2, 3	sylib 218	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → ((𝑀‘𝐴) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑀‘𝐴)))
5	4	3adant3 1133	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ≤ 0) → ((𝑀‘𝐴) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑀‘𝐴)))
6	5	simprd 495	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ≤ 0) → 0 ≤ (𝑀‘𝐴))
7	5	simpld 494	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ≤ 0) → (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ*)
8		0xr 11191	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ*
9		xrletri3 13080	. . 3 ⊢ (((𝑀‘𝐴) ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → ((𝑀‘𝐴) = 0 ↔ ((𝑀‘𝐴) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝑀‘𝐴))))
10	7, 8, 9	sylancl 587	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ≤ 0) → ((𝑀‘𝐴) = 0 ↔ ((𝑀‘𝐴) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝑀‘𝐴))))
11	1, 6, 10	mpbir2and 714	1 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ≤ 0) → (𝑀‘𝐴) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5100  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  0cc0 11038  +∞cpnf 11175  ℝ^*cxr 11177   ≤ cle 11179  [,]cicc 13276  measurescmeas 34377

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-addrcl 11099  ax-rnegex 11109  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-po 5540  df-so 5541  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-icc 13280  df-esum 34210  df-meas 34378

This theorem is referenced by:  aean  34426