Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  measle0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem measle0 31527
Description: If the measure of a given set is bounded by zero, it is zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Oct-2017.)
Assertion
Ref Expression
measle0 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆 ∧ (𝑀𝐴) ≤ 0) → (𝑀𝐴) = 0)

Proof of Theorem measle0
StepHypRef Expression
1 simp3 1135 . 2 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆 ∧ (𝑀𝐴) ≤ 0) → (𝑀𝐴) ≤ 0)
2 measvxrge0 31524 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) → (𝑀𝐴) ∈ (0[,]+∞))
3 elxrge0 12847 . . . . 5 ((𝑀𝐴) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝑀𝐴) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑀𝐴)))
42, 3sylib 221 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) → ((𝑀𝐴) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑀𝐴)))
543adant3 1129 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆 ∧ (𝑀𝐴) ≤ 0) → ((𝑀𝐴) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑀𝐴)))
65simprd 499 . 2 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆 ∧ (𝑀𝐴) ≤ 0) → 0 ≤ (𝑀𝐴))
75simpld 498 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆 ∧ (𝑀𝐴) ≤ 0) → (𝑀𝐴) ∈ ℝ*)
8 0xr 10687 . . 3 0 ∈ ℝ*
9 xrletri3 12547 . . 3 (((𝑀𝐴) ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → ((𝑀𝐴) = 0 ↔ ((𝑀𝐴) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝑀𝐴))))
107, 8, 9sylancl 589 . 2 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆 ∧ (𝑀𝐴) ≤ 0) → ((𝑀𝐴) = 0 ↔ ((𝑀𝐴) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝑀𝐴))))
111, 6, 10mpbir2and 712 1 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆 ∧ (𝑀𝐴) ≤ 0) → (𝑀𝐴) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115   class class class wbr 5053  cfv 6344  (class class class)co 7150  0cc0 10536  +∞cpnf 10671  *cxr 10673  cle 10675  [,]cicc 12741  measurescmeas 31514
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7456  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-addrcl 10597  ax-rnegex 10607  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-rab 3142  df-v 3483  df-sbc 3760  df-csb 3868  df-dif 3923  df-un 3925  df-in 3927  df-ss 3937  df-nul 4278  df-if 4452  df-pw 4525  df-sn 4552  df-pr 4554  df-op 4558  df-uni 4826  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-id 5448  df-po 5462  df-so 5463  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-er 8286  df-en 8507  df-dom 8508  df-sdom 8509  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-icc 12745  df-esum 31347  df-meas 31515
This theorem is referenced by:  aean  31563
  Copyright terms: Public domain W3C validator