Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  measle0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem measle0 32580
Description: If the measure of a given set is bounded by zero, it is zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Oct-2017.)
Assertion
Ref Expression
measle0 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (π‘€β€˜π΄) ≀ 0) β†’ (π‘€β€˜π΄) = 0)

Proof of Theorem measle0
StepHypRef Expression
1 simp3 1138 . 2 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (π‘€β€˜π΄) ≀ 0) β†’ (π‘€β€˜π΄) ≀ 0)
2 measvxrge0 32577 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ (π‘€β€˜π΄) ∈ (0[,]+∞))
3 elxrge0 13302 . . . . 5 ((π‘€β€˜π΄) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (π‘€β€˜π΄)))
42, 3sylib 217 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ ((π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (π‘€β€˜π΄)))
543adant3 1132 . . 3 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (π‘€β€˜π΄) ≀ 0) β†’ ((π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (π‘€β€˜π΄)))
65simprd 496 . 2 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (π‘€β€˜π΄) ≀ 0) β†’ 0 ≀ (π‘€β€˜π΄))
75simpld 495 . . 3 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (π‘€β€˜π΄) ≀ 0) β†’ (π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ*)
8 0xr 11135 . . 3 0 ∈ ℝ*
9 xrletri3 13001 . . 3 (((π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) β†’ ((π‘€β€˜π΄) = 0 ↔ ((π‘€β€˜π΄) ≀ 0 ∧ 0 ≀ (π‘€β€˜π΄))))
107, 8, 9sylancl 586 . 2 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (π‘€β€˜π΄) ≀ 0) β†’ ((π‘€β€˜π΄) = 0 ↔ ((π‘€β€˜π΄) ≀ 0 ∧ 0 ≀ (π‘€β€˜π΄))))
111, 6, 10mpbir2and 711 1 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (π‘€β€˜π΄) ≀ 0) β†’ (π‘€β€˜π΄) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5103  β€˜cfv 6491  (class class class)co 7349  0cc0 10984  +∞cpnf 11119  β„*cxr 11121   ≀ cle 11123  [,]cicc 13195  measurescmeas 32567
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7662  ax-cnex 11040  ax-resscn 11041  ax-1cn 11042  ax-addrcl 11045  ax-rnegex 11055  ax-cnre 11057  ax-pre-lttri 11058  ax-pre-lttrn 11059
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-id 5528  df-po 5542  df-so 5543  df-xp 5636  df-rel 5637  df-cnv 5638  df-co 5639  df-dm 5640  df-rn 5641  df-res 5642  df-ima 5643  df-iota 6443  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-er 8581  df-en 8817  df-dom 8818  df-sdom 8819  df-pnf 11124  df-mnf 11125  df-xr 11126  df-ltxr 11127  df-le 11128  df-icc 13199  df-esum 32400  df-meas 32568
This theorem is referenced by:  aean  32616
  Copyright terms: Public domain W3C validator