Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  measle0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem measle0 34189
Description: If the measure of a given set is bounded by zero, it is zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Oct-2017.)
Assertion
Ref Expression
measle0 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆 ∧ (𝑀𝐴) ≤ 0) → (𝑀𝐴) = 0)

Proof of Theorem measle0
StepHypRef Expression
1 simp3 1137 . 2 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆 ∧ (𝑀𝐴) ≤ 0) → (𝑀𝐴) ≤ 0)
2 measvxrge0 34186 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) → (𝑀𝐴) ∈ (0[,]+∞))
3 elxrge0 13494 . . . . 5 ((𝑀𝐴) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝑀𝐴) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑀𝐴)))
42, 3sylib 218 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) → ((𝑀𝐴) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑀𝐴)))
543adant3 1131 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆 ∧ (𝑀𝐴) ≤ 0) → ((𝑀𝐴) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑀𝐴)))
65simprd 495 . 2 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆 ∧ (𝑀𝐴) ≤ 0) → 0 ≤ (𝑀𝐴))
75simpld 494 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆 ∧ (𝑀𝐴) ≤ 0) → (𝑀𝐴) ∈ ℝ*)
8 0xr 11306 . . 3 0 ∈ ℝ*
9 xrletri3 13193 . . 3 (((𝑀𝐴) ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → ((𝑀𝐴) = 0 ↔ ((𝑀𝐴) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝑀𝐴))))
107, 8, 9sylancl 586 . 2 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆 ∧ (𝑀𝐴) ≤ 0) → ((𝑀𝐴) = 0 ↔ ((𝑀𝐴) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝑀𝐴))))
111, 6, 10mpbir2and 713 1 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆 ∧ (𝑀𝐴) ≤ 0) → (𝑀𝐴) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431  0cc0 11153  +∞cpnf 11290  *cxr 11292  cle 11294  [,]cicc 13387  measurescmeas 34176
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-addrcl 11214  ax-rnegex 11224  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-icc 13391  df-esum 34009  df-meas 34177
This theorem is referenced by:  aean  34225
  Copyright terms: Public domain W3C validator