Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  measle0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem measle0 32568
Description: If the measure of a given set is bounded by zero, it is zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Oct-2017.)
Assertion
Ref Expression
measle0 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (π‘€β€˜π΄) ≀ 0) β†’ (π‘€β€˜π΄) = 0)

Proof of Theorem measle0
StepHypRef Expression
1 simp3 1139 . 2 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (π‘€β€˜π΄) ≀ 0) β†’ (π‘€β€˜π΄) ≀ 0)
2 measvxrge0 32565 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ (π‘€β€˜π΄) ∈ (0[,]+∞))
3 elxrge0 13303 . . . . 5 ((π‘€β€˜π΄) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (π‘€β€˜π΄)))
42, 3sylib 217 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ ((π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (π‘€β€˜π΄)))
543adant3 1133 . . 3 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (π‘€β€˜π΄) ≀ 0) β†’ ((π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (π‘€β€˜π΄)))
65simprd 497 . 2 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (π‘€β€˜π΄) ≀ 0) β†’ 0 ≀ (π‘€β€˜π΄))
75simpld 496 . . 3 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (π‘€β€˜π΄) ≀ 0) β†’ (π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ*)
8 0xr 11136 . . 3 0 ∈ ℝ*
9 xrletri3 13002 . . 3 (((π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) β†’ ((π‘€β€˜π΄) = 0 ↔ ((π‘€β€˜π΄) ≀ 0 ∧ 0 ≀ (π‘€β€˜π΄))))
107, 8, 9sylancl 587 . 2 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (π‘€β€˜π΄) ≀ 0) β†’ ((π‘€β€˜π΄) = 0 ↔ ((π‘€β€˜π΄) ≀ 0 ∧ 0 ≀ (π‘€β€˜π΄))))
111, 6, 10mpbir2and 712 1 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (π‘€β€˜π΄) ≀ 0) β†’ (π‘€β€˜π΄) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5104  β€˜cfv 6492  (class class class)co 7350  0cc0 10985  +∞cpnf 11120  β„*cxr 11122   ≀ cle 11124  [,]cicc 13196  measurescmeas 32555
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-cnex 11041  ax-resscn 11042  ax-1cn 11043  ax-addrcl 11046  ax-rnegex 11056  ax-cnre 11058  ax-pre-lttri 11059  ax-pre-lttrn 11060
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-id 5529  df-po 5543  df-so 5544  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7353  df-oprab 7354  df-mpo 7355  df-er 8582  df-en 8818  df-dom 8819  df-sdom 8820  df-pnf 11125  df-mnf 11126  df-xr 11127  df-ltxr 11128  df-le 11129  df-icc 13200  df-esum 32388  df-meas 32556
This theorem is referenced by:  aean  32604
  Copyright terms: Public domain W3C validator