Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  measle0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem measle0 30877
Description: If the measure of a given set is bounded by zero, it is zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Oct-2017.)
Assertion
Ref Expression
measle0 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆 ∧ (𝑀𝐴) ≤ 0) → (𝑀𝐴) = 0)

Proof of Theorem measle0
StepHypRef Expression
1 simp3 1129 . 2 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆 ∧ (𝑀𝐴) ≤ 0) → (𝑀𝐴) ≤ 0)
2 measvxrge0 30874 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) → (𝑀𝐴) ∈ (0[,]+∞))
3 elxrge0 12600 . . . . 5 ((𝑀𝐴) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝑀𝐴) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑀𝐴)))
42, 3sylib 210 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) → ((𝑀𝐴) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑀𝐴)))
543adant3 1123 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆 ∧ (𝑀𝐴) ≤ 0) → ((𝑀𝐴) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑀𝐴)))
65simprd 491 . 2 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆 ∧ (𝑀𝐴) ≤ 0) → 0 ≤ (𝑀𝐴))
75simpld 490 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆 ∧ (𝑀𝐴) ≤ 0) → (𝑀𝐴) ∈ ℝ*)
8 0xr 10425 . . 3 0 ∈ ℝ*
9 xrletri3 12302 . . 3 (((𝑀𝐴) ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → ((𝑀𝐴) = 0 ↔ ((𝑀𝐴) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝑀𝐴))))
107, 8, 9sylancl 580 . 2 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆 ∧ (𝑀𝐴) ≤ 0) → ((𝑀𝐴) = 0 ↔ ((𝑀𝐴) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝑀𝐴))))
111, 6, 10mpbir2and 703 1 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆 ∧ (𝑀𝐴) ≤ 0) → (𝑀𝐴) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386  w3a 1071   = wceq 1601  wcel 2107   class class class wbr 4888  cfv 6137  (class class class)co 6924  0cc0 10274  +∞cpnf 10410  *cxr 10412  cle 10414  [,]cicc 12495  measurescmeas 30864
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-addrcl 10335  ax-rnegex 10345  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4674  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-id 5263  df-po 5276  df-so 5277  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-er 8028  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-icc 12499  df-esum 30696  df-meas 30865
This theorem is referenced by:  aean  30913
  Copyright terms: Public domain W3C validator