Theorem measle0 34221

Description: If the measure of a given set is bounded by zero, it is zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Oct-2017.)

Assertion

Ref	Expression
measle0	⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ≤ 0) → (𝑀‘𝐴) = 0)

Proof of Theorem measle0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 1138	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ≤ 0) → (𝑀‘𝐴) ≤ 0)
2		measvxrge0 34218	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝑀‘𝐴) ∈ (0[,]+∞))
3		elxrge0 13357	. . . . 5 ⊢ ((𝑀‘𝐴) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝑀‘𝐴) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑀‘𝐴)))
4	2, 3	sylib 218	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → ((𝑀‘𝐴) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑀‘𝐴)))
5	4	3adant3 1132	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ≤ 0) → ((𝑀‘𝐴) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑀‘𝐴)))
6	5	simprd 495	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ≤ 0) → 0 ≤ (𝑀‘𝐴))
7	5	simpld 494	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ≤ 0) → (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ*)
8		0xr 11159	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ*
9		xrletri3 13053	. . 3 ⊢ (((𝑀‘𝐴) ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → ((𝑀‘𝐴) = 0 ↔ ((𝑀‘𝐴) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝑀‘𝐴))))
10	7, 8, 9	sylancl 586	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ≤ 0) → ((𝑀‘𝐴) = 0 ↔ ((𝑀‘𝐴) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝑀‘𝐴))))
11	1, 6, 10	mpbir2and 713	1 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ≤ 0) → (𝑀‘𝐴) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5089  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  0cc0 11006  +∞cpnf 11143  ℝ^*cxr 11145   ≤ cle 11147  [,]cicc 13248  measurescmeas 34208

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-addrcl 11067  ax-rnegex 11077  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-po 5522  df-so 5523  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-icc 13252  df-esum 34041  df-meas 34209

This theorem is referenced by:  aean  34257