Theorem measvxrge0 32173

Description: The values of a measure are positive extended reals. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
measvxrge0	⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝑀‘𝐴) ∈ (0[,]+∞))

Proof of Theorem measvxrge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		measfrge0 32171	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → 𝑀:𝑆⟶(0[,]+∞))
2	1	ffvelrnda 6961	1 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝑀‘𝐴) ∈ (0[,]+∞))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  0cc0 10871  +∞cpnf 11006  [,]cicc 13082  measurescmeas 32163

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-fv 6441  df-ov 7278  df-esum 31996  df-meas 32164

This theorem is referenced by:  measge0  32175  measle0  32176  measxun2  32178  measun  32179  measvunilem  32180  measvuni  32182  measssd  32183  measunl  32184  measiun  32186  meascnbl  32187  measinb  32189  measdivcst  32192  measdivcstALTV  32193  sibfinima  32306  prob01  32380  probmeasb  32397