Theorem measvxrge0 34772

Description: The values of a measure are positive extended reals. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
measvxrge0	⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝑀‘𝐴) ∈ (0[,]+∞))

Proof of Theorem measvxrge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		measfrge0 34770	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → 𝑀:𝑆⟶(0[,]+∞))
2	1	ffvelcdmda 7072	1 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝑀‘𝐴) ∈ (0[,]+∞))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  0cc0 11172  +∞cpnf 11312  [,]cicc 13449  measurescmeas 34762

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5542  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-fv 6535  df-ov 7411  df-esum 34594  df-meas 34763

This theorem is used by:  measge0  34774  measle0  34775  measxun2  34777  measun  34778  measvunilem  34779  measvuni  34781  measssd  34782  measunl  34783  measiun  34785  meascnbl  34786  measinb  34788  measdivcst  34791  measdivcstALTV  34792  sibfinima  34906  prob01  34980  probmeasb  34997