Theorem measvxrge0 34225

Description: The values of a measure are positive extended reals. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
measvxrge0	⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝑀‘𝐴) ∈ (0[,]+∞))

Proof of Theorem measvxrge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		measfrge0 34223	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → 𝑀:𝑆⟶(0[,]+∞))
2	1	ffvelcdmda 7023	1 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝑀‘𝐴) ∈ (0[,]+∞))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6487  (class class class)co 7352  0cc0 11012  +∞cpnf 11149  [,]cicc 13254  measurescmeas 34215

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-fv 6495  df-ov 7355  df-esum 34048  df-meas 34216

This theorem is referenced by:  measge0  34227  measle0  34228  measxun2  34230  measun  34231  measvunilem  34232  measvuni  34234  measssd  34235  measunl  34236  measiun  34238  meascnbl  34239  measinb  34241  measdivcst  34244  measdivcstALTV  34245  sibfinima  34359  prob01  34433  probmeasb  34450