Theorem measvxrge0 34169

Description: The values of a measure are positive extended reals. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
measvxrge0	⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝑀‘𝐴) ∈ (0[,]+∞))

Proof of Theorem measvxrge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		measfrge0 34167	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → 𝑀:𝑆⟶(0[,]+∞))
2	1	ffvelcdmda 7118	1 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝑀‘𝐴) ∈ (0[,]+∞))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  0cc0 11184  +∞cpnf 11321  [,]cicc 13410  measurescmeas 34159

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-fv 6581  df-ov 7451  df-esum 33992  df-meas 34160

This theorem is referenced by:  measge0  34171  measle0  34172  measxun2  34174  measun  34175  measvunilem  34176  measvuni  34178  measssd  34179  measunl  34180  measiun  34182  meascnbl  34183  measinb  34185  measdivcst  34188  measdivcstALTV  34189  sibfinima  34304  prob01  34378  probmeasb  34395