Theorem measvxrge0 34881

Description: The values of a measure are positive extended reals. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
measvxrge0	⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝑀‘𝐴) ∈ (0[,]+∞))

Proof of Theorem measvxrge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		measfrge0 34879	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → 𝑀:𝑆⟶(0[,]+∞))
2	1	ffvelcdmda 7084	1 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝑀‘𝐴) ∈ (0[,]+∞))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  0cc0 11201  +∞cpnf 11341  [,]cicc 13480  measurescmeas 34871

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-fv 6546  df-ov 7423  df-esum 34703  df-meas 34872

This theorem is used by:  measge0  34883  measle0  34884  measxun2  34886  measun  34887  measvunilem  34888  measvuni  34890  measssd  34891  measunl  34892  measiun  34894  meascnbl  34895  measinb  34897  measdivcst  34900  measdivcstALTV  34901  sibfinima  35014  prob01  35088  probmeasb  35105