Theorem mppsthm 34868

Description: A provable pre-statement is a theorem. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mppsthm.j	⊢ 𝐽 = (mPPSt‘𝑇)
mppsthm.u	⊢ 𝑈 = (mThm‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
mppsthm	⊢ 𝐽 ⊆ 𝑈

Proof of Theorem mppsthm

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2730	. . 3 ⊢ ((mStRed‘𝑇)‘𝑥) = ((mStRed‘𝑇)‘𝑥)
2		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (mStRed‘𝑇) = (mStRed‘𝑇)
3		mppsthm.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (mPPSt‘𝑇)
4		mppsthm.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (mThm‘𝑇)
5	2, 3, 4	mthmi 34866	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐽 ∧ ((mStRed‘𝑇)‘𝑥) = ((mStRed‘𝑇)‘𝑥)) → 𝑥 ∈ 𝑈)
6	1, 5	mpan2 687	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐽 → 𝑥 ∈ 𝑈)
7	6	ssriv 3985	1 ⊢ 𝐽 ⊆ 𝑈

Syntax hints:   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   ⊆ wss 3947  ‘cfv 6542  mStRedcmsr 34763  mPPStcmpps 34767  mThmcmthm 34768

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-ot 4636  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-mpst 34782  df-msr 34783  df-mpps 34787  df-mthm 34788

This theorem is referenced by: (None)