Theorem mppsthm 36430

Description: A provable pre-statement is a theorem. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mppsthm.j	⊢ 𝐽 = (mPPSt‘𝑇)
mppsthm.u	⊢ 𝑈 = (mThm‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
mppsthm	⊢ 𝐽 ⊆ 𝑈

Proof of Theorem mppsthm

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . 3 ⊢ ((mStRed‘𝑇)‘𝑥) = ((mStRed‘𝑇)‘𝑥)
2		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (mStRed‘𝑇) = (mStRed‘𝑇)
3		mppsthm.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (mPPSt‘𝑇)
4		mppsthm.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (mThm‘𝑇)
5	2, 3, 4	mthmi 36428	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐽 ∧ ((mStRed‘𝑇)‘𝑥) = ((mStRed‘𝑇)‘𝑥)) → 𝑥 ∈ 𝑈)
6	1, 5	mpan2 704	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐽 → 𝑥 ∈ 𝑈)
7	6	ssriv 3912	1 ⊢ 𝐽 ⊆ 𝑈

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3895  ‘cfv 6538  mStRedcmsr 36325  mPPStcmpps 36329  mThmcmthm 36330

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-ot 4858  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-mpst 36344  df-msr 36345  df-mpps 36349  df-mthm 36350

This theorem is used by: (None)