Theorem mthmsta 33837

Description: A theorem is a pre-statement. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mthmsta.u	⊢ 𝑈 = (mThm‘𝑇)
mthmsta.s	⊢ 𝑆 = (mPreSt‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
mthmsta	⊢ 𝑈 ⊆ 𝑆

Proof of Theorem mthmsta

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . 3 ⊢ (mStRed‘𝑇) = (mStRed‘𝑇)
2		eqid 2737	. . 3 ⊢ (mPPSt‘𝑇) = (mPPSt‘𝑇)
3		mthmsta.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (mThm‘𝑇)
4	1, 2, 3	mthmval 33834	. 2 ⊢ 𝑈 = (◡(mStRed‘𝑇) “ ((mStRed‘𝑇) “ (mPPSt‘𝑇)))
5		cnvimass 6023	. . 3 ⊢ (◡(mStRed‘𝑇) “ ((mStRed‘𝑇) “ (mPPSt‘𝑇))) ⊆ dom (mStRed‘𝑇)
6		mthmsta.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (mPreSt‘𝑇)
7	6, 1	msrf 33801	. . . 4 ⊢ (mStRed‘𝑇):𝑆⟶𝑆
8	7	fdmi 6667	. . 3 ⊢ dom (mStRed‘𝑇) = 𝑆
9	5, 8	sseqtri 3971	. 2 ⊢ (◡(mStRed‘𝑇) “ ((mStRed‘𝑇) “ (mPPSt‘𝑇))) ⊆ 𝑆
10	4, 9	eqsstri 3969	1 ⊢ 𝑈 ⊆ 𝑆

Syntax hints:   = wceq 1541   ⊆ wss 3901  ^◡ccnv 5623  dom cdm 5624   “ cima 5627  ‘cfv 6483  mPreStcmpst 33732  mStRedcmsr 33733  mPPStcmpps 33737  mThmcmthm 33738

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5233  ax-sep 5247  ax-nul 5254  ax-pow 5312  ax-pr 5376  ax-un 7654

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3444  df-sbc 3731  df-csb 3847  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4274  df-if 4478  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-ot 4586  df-uni 4857  df-iun 4947  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5180  df-id 5522  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6435  df-fun 6485  df-fn 6486  df-f 6487  df-f1 6488  df-fo 6489  df-f1o 6490  df-fv 6491  df-1st 7903  df-2nd 7904  df-mpst 33752  df-msr 33753  df-mthm 33758

This theorem is referenced by:  mthmpps  33841