Theorem mthmsta 35766

Description: A theorem is a pre-statement. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mthmsta.u	⊢ 𝑈 = (mThm‘𝑇)
mthmsta.s	⊢ 𝑆 = (mPreSt‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
mthmsta	⊢ 𝑈 ⊆ 𝑆

Proof of Theorem mthmsta

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . 3 ⊢ (mStRed‘𝑇) = (mStRed‘𝑇)
2		eqid 2737	. . 3 ⊢ (mPPSt‘𝑇) = (mPPSt‘𝑇)
3		mthmsta.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (mThm‘𝑇)
4	1, 2, 3	mthmval 35763	. 2 ⊢ 𝑈 = (◡(mStRed‘𝑇) “ ((mStRed‘𝑇) “ (mPPSt‘𝑇)))
5		cnvimass 6039	. . 3 ⊢ (◡(mStRed‘𝑇) “ ((mStRed‘𝑇) “ (mPPSt‘𝑇))) ⊆ dom (mStRed‘𝑇)
6		mthmsta.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (mPreSt‘𝑇)
7	6, 1	msrf 35730	. . . 4 ⊢ (mStRed‘𝑇):𝑆⟶𝑆
8	7	fdmi 6671	. . 3 ⊢ dom (mStRed‘𝑇) = 𝑆
9	5, 8	sseqtri 3971	. 2 ⊢ (◡(mStRed‘𝑇) “ ((mStRed‘𝑇) “ (mPPSt‘𝑇))) ⊆ 𝑆
10	4, 9	eqsstri 3969	1 ⊢ 𝑈 ⊆ 𝑆

Syntax hints:   = wceq 1542   ⊆ wss 3890  ^◡ccnv 5621  dom cdm 5622   “ cima 5625  ‘cfv 6490  mPreStcmpst 35661  mStRedcmsr 35662  mPPStcmpps 35666  mThmcmthm 35667

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-ot 4577  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5517  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-mpst 35681  df-msr 35682  df-mthm 35687

This theorem is referenced by:  mthmpps  35770