Theorem mthmsta 35550

Description: A theorem is a pre-statement. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mthmsta.u	⊢ 𝑈 = (mThm‘𝑇)
mthmsta.s	⊢ 𝑆 = (mPreSt‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
mthmsta	⊢ 𝑈 ⊆ 𝑆

Proof of Theorem mthmsta

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. . 3 ⊢ (mStRed‘𝑇) = (mStRed‘𝑇)
2		eqid 2729	. . 3 ⊢ (mPPSt‘𝑇) = (mPPSt‘𝑇)
3		mthmsta.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (mThm‘𝑇)
4	1, 2, 3	mthmval 35547	. 2 ⊢ 𝑈 = (◡(mStRed‘𝑇) “ ((mStRed‘𝑇) “ (mPPSt‘𝑇)))
5		cnvimass 6037	. . 3 ⊢ (◡(mStRed‘𝑇) “ ((mStRed‘𝑇) “ (mPPSt‘𝑇))) ⊆ dom (mStRed‘𝑇)
6		mthmsta.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (mPreSt‘𝑇)
7	6, 1	msrf 35514	. . . 4 ⊢ (mStRed‘𝑇):𝑆⟶𝑆
8	7	fdmi 6667	. . 3 ⊢ dom (mStRed‘𝑇) = 𝑆
9	5, 8	sseqtri 3986	. 2 ⊢ (◡(mStRed‘𝑇) “ ((mStRed‘𝑇) “ (mPPSt‘𝑇))) ⊆ 𝑆
10	4, 9	eqsstri 3984	1 ⊢ 𝑈 ⊆ 𝑆

Syntax hints:   = wceq 1540   ⊆ wss 3905  ^◡ccnv 5622  dom cdm 5623   “ cima 5626  ‘cfv 6486  mPreStcmpst 35445  mStRedcmsr 35446  mPPStcmpps 35450  mThmcmthm 35451

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-ot 4588  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-mpst 35465  df-msr 35466  df-mthm 35471

This theorem is referenced by:  mthmpps  35554