Theorem mthmsta 33253

Description: A theorem is a pre-statement. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mthmsta.u	⊢ 𝑈 = (mThm‘𝑇)
mthmsta.s	⊢ 𝑆 = (mPreSt‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
mthmsta	⊢ 𝑈 ⊆ 𝑆

Proof of Theorem mthmsta

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . 3 ⊢ (mStRed‘𝑇) = (mStRed‘𝑇)
2		eqid 2737	. . 3 ⊢ (mPPSt‘𝑇) = (mPPSt‘𝑇)
3		mthmsta.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (mThm‘𝑇)
4	1, 2, 3	mthmval 33250	. 2 ⊢ 𝑈 = (◡(mStRed‘𝑇) “ ((mStRed‘𝑇) “ (mPPSt‘𝑇)))
5		cnvimass 5949	. . 3 ⊢ (◡(mStRed‘𝑇) “ ((mStRed‘𝑇) “ (mPPSt‘𝑇))) ⊆ dom (mStRed‘𝑇)
6		mthmsta.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (mPreSt‘𝑇)
7	6, 1	msrf 33217	. . . 4 ⊢ (mStRed‘𝑇):𝑆⟶𝑆
8	7	fdmi 6557	. . 3 ⊢ dom (mStRed‘𝑇) = 𝑆
9	5, 8	sseqtri 3937	. 2 ⊢ (◡(mStRed‘𝑇) “ ((mStRed‘𝑇) “ (mPPSt‘𝑇))) ⊆ 𝑆
10	4, 9	eqsstri 3935	1 ⊢ 𝑈 ⊆ 𝑆

Syntax hints:   = wceq 1543   ⊆ wss 3866  ^◡ccnv 5550  dom cdm 5551   “ cima 5554  ‘cfv 6380  mPreStcmpst 33148  mStRedcmsr 33149  mPPStcmpps 33153  mThmcmthm 33154

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-ot 4550  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-id 5455  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-mpst 33168  df-msr 33169  df-mthm 33174

This theorem is referenced by:  mthmpps  33257