MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mretopd Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem mretopd 22603
Description: A Moore collection which is closed under finite unions called topological; such a collection is the closed sets of a canonically associated topology. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mretopd.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (Mooreβ€˜π΅))
mretopd.z (πœ‘ β†’ βˆ… ∈ 𝑀)
mretopd.u ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀) β†’ (π‘₯ βˆͺ 𝑦) ∈ 𝑀)
mretopd.j 𝐽 = {𝑧 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ (𝐡 βˆ– 𝑧) ∈ 𝑀}
Assertion
Ref Expression
mretopd (πœ‘ β†’ (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π΅) ∧ 𝑀 = (Clsdβ€˜π½)))
Distinct variable groups:   πœ‘,π‘₯,𝑦,𝑧   π‘₯,𝑀,𝑦,𝑧   π‘₯,𝐽,𝑦   π‘₯,𝐡,𝑦,𝑧
Allowed substitution hint:   𝐽(𝑧)
Proof of Theorem mretopd
Dummy variables π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 unieq 4919 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = βˆ… β†’ βˆͺ π‘Ž = βˆͺ βˆ…)
2 uni0 4939 . . . . . . . . 9 βˆͺ βˆ… = βˆ…
31, 2eqtrdi 2788 . . . . . . . 8 (π‘Ž = βˆ… β†’ βˆͺ π‘Ž = βˆ…)
43eleq1d 2818 . . . . . . 7 (π‘Ž = βˆ… β†’ (βˆͺ π‘Ž ∈ 𝐽 ↔ βˆ… ∈ 𝐽))
5 mretopd.j . . . . . . . . . . . . . 14 𝐽 = {𝑧 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ (𝐡 βˆ– 𝑧) ∈ 𝑀}
65ssrab3 4080 . . . . . . . . . . . . 13 𝐽 βŠ† 𝒫 𝐡
7 sstr 3990 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Ž βŠ† 𝐽 ∧ 𝐽 βŠ† 𝒫 𝐡) β†’ π‘Ž βŠ† 𝒫 𝐡)
86, 7mpan2 689 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Ž βŠ† 𝐽 β†’ π‘Ž βŠ† 𝒫 𝐡)
98adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘Ž βŠ† 𝐽) β†’ π‘Ž βŠ† 𝒫 𝐡)
10 sspwuni 5103 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ž βŠ† 𝒫 𝐡 ↔ βˆͺ π‘Ž βŠ† 𝐡)
119, 10sylib 217 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘Ž βŠ† 𝐽) β†’ βˆͺ π‘Ž βŠ† 𝐡)
12 vuniex 7731 . . . . . . . . . . 11 βˆͺ π‘Ž ∈ V
1312elpw 4606 . . . . . . . . . 10 (βˆͺ π‘Ž ∈ 𝒫 𝐡 ↔ βˆͺ π‘Ž βŠ† 𝐡)
1411, 13sylibr 233 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘Ž βŠ† 𝐽) β†’ βˆͺ π‘Ž ∈ 𝒫 𝐡)
1514adantr 481 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘Ž βŠ† 𝐽) ∧ π‘Ž β‰  βˆ…) β†’ βˆͺ π‘Ž ∈ 𝒫 𝐡)
16 uniiun 5061 . . . . . . . . . 10 βˆͺ π‘Ž = βˆͺ 𝑏 ∈ π‘Ž 𝑏
1716difeq2i 4119 . . . . . . . . 9 (𝐡 βˆ– βˆͺ π‘Ž) = (𝐡 βˆ– βˆͺ 𝑏 ∈ π‘Ž 𝑏)
18 iindif2 5080 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ž β‰  βˆ… β†’ ∩ 𝑏 ∈ π‘Ž (𝐡 βˆ– 𝑏) = (𝐡 βˆ– βˆͺ 𝑏 ∈ π‘Ž 𝑏))
1918adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘Ž βŠ† 𝐽) ∧ π‘Ž β‰  βˆ…) β†’ ∩ 𝑏 ∈ π‘Ž (𝐡 βˆ– 𝑏) = (𝐡 βˆ– βˆͺ 𝑏 ∈ π‘Ž 𝑏))
20 mretopd.m . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (Mooreβ€˜π΅))
2120ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘Ž βŠ† 𝐽) ∧ π‘Ž β‰  βˆ…) β†’ 𝑀 ∈ (Mooreβ€˜π΅))
22 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘Ž βŠ† 𝐽) ∧ π‘Ž β‰  βˆ…) β†’ π‘Ž β‰  βˆ…)
23 difeq2 4116 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 = 𝑏 β†’ (𝐡 βˆ– 𝑧) = (𝐡 βˆ– 𝑏))
2423eleq1d 2818 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = 𝑏 β†’ ((𝐡 βˆ– 𝑧) ∈ 𝑀 ↔ (𝐡 βˆ– 𝑏) ∈ 𝑀))
2524, 5elrab2 3686 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 ∈ 𝐽 ↔ (𝑏 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ (𝐡 βˆ– 𝑏) ∈ 𝑀))
2625simprbi 497 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 ∈ 𝐽 β†’ (𝐡 βˆ– 𝑏) ∈ 𝑀)
2726rgen 3063 . . . . . . . . . . . . 13 βˆ€π‘ ∈ 𝐽 (𝐡 βˆ– 𝑏) ∈ 𝑀
28 ssralv 4050 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Ž βŠ† 𝐽 β†’ (βˆ€π‘ ∈ 𝐽 (𝐡 βˆ– 𝑏) ∈ 𝑀 β†’ βˆ€π‘ ∈ π‘Ž (𝐡 βˆ– 𝑏) ∈ 𝑀))
2928adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘Ž βŠ† 𝐽) β†’ (βˆ€π‘ ∈ 𝐽 (𝐡 βˆ– 𝑏) ∈ 𝑀 β†’ βˆ€π‘ ∈ π‘Ž (𝐡 βˆ– 𝑏) ∈ 𝑀))
3027, 29mpi 20 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘Ž βŠ† 𝐽) β†’ βˆ€π‘ ∈ π‘Ž (𝐡 βˆ– 𝑏) ∈ 𝑀)
3130adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘Ž βŠ† 𝐽) ∧ π‘Ž β‰  βˆ…) β†’ βˆ€π‘ ∈ π‘Ž (𝐡 βˆ– 𝑏) ∈ 𝑀)
32 mreiincl 17542 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ (Mooreβ€˜π΅) ∧ π‘Ž β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘ ∈ π‘Ž (𝐡 βˆ– 𝑏) ∈ 𝑀) β†’ ∩ 𝑏 ∈ π‘Ž (𝐡 βˆ– 𝑏) ∈ 𝑀)
3321, 22, 31, 32syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘Ž βŠ† 𝐽) ∧ π‘Ž β‰  βˆ…) β†’ ∩ 𝑏 ∈ π‘Ž (𝐡 βˆ– 𝑏) ∈ 𝑀)
3419, 33eqeltrrd 2834 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘Ž βŠ† 𝐽) ∧ π‘Ž β‰  βˆ…) β†’ (𝐡 βˆ– βˆͺ 𝑏 ∈ π‘Ž 𝑏) ∈ 𝑀)
3517, 34eqeltrid 2837 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘Ž βŠ† 𝐽) ∧ π‘Ž β‰  βˆ…) β†’ (𝐡 βˆ– βˆͺ π‘Ž) ∈ 𝑀)
36 difeq2 4116 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = βˆͺ π‘Ž β†’ (𝐡 βˆ– 𝑧) = (𝐡 βˆ– βˆͺ π‘Ž))
3736eleq1d 2818 . . . . . . . . 9 (𝑧 = βˆͺ π‘Ž β†’ ((𝐡 βˆ– 𝑧) ∈ 𝑀 ↔ (𝐡 βˆ– βˆͺ π‘Ž) ∈ 𝑀))
3837, 5elrab2 3686 . . . . . . . 8 (βˆͺ π‘Ž ∈ 𝐽 ↔ (βˆͺ π‘Ž ∈ 𝒫 𝐡 ∧ (𝐡 βˆ– βˆͺ π‘Ž) ∈ 𝑀))
3915, 35, 38sylanbrc 583 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘Ž βŠ† 𝐽) ∧ π‘Ž β‰  βˆ…) β†’ βˆͺ π‘Ž ∈ 𝐽)
40 0elpw 5354 . . . . . . . . . 10 βˆ… ∈ 𝒫 𝐡
4140a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βˆ… ∈ 𝒫 𝐡)
42 mre1cl 17540 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ (Mooreβ€˜π΅) β†’ 𝐡 ∈ 𝑀)
4320, 42syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑀)
44 difeq2 4116 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = βˆ… β†’ (𝐡 βˆ– 𝑧) = (𝐡 βˆ– βˆ…))
45 dif0 4372 . . . . . . . . . . . 12 (𝐡 βˆ– βˆ…) = 𝐡
4644, 45eqtrdi 2788 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = βˆ… β†’ (𝐡 βˆ– 𝑧) = 𝐡)
4746eleq1d 2818 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = βˆ… β†’ ((𝐡 βˆ– 𝑧) ∈ 𝑀 ↔ 𝐡 ∈ 𝑀))
4847, 5elrab2 3686 . . . . . . . . 9 (βˆ… ∈ 𝐽 ↔ (βˆ… ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝐡 ∈ 𝑀))
4941, 43, 48sylanbrc 583 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆ… ∈ 𝐽)
5049adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ž βŠ† 𝐽) β†’ βˆ… ∈ 𝐽)
514, 39, 50pm2.61ne 3027 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž βŠ† 𝐽) β†’ βˆͺ π‘Ž ∈ 𝐽)
5251ex 413 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘Ž βŠ† 𝐽 β†’ βˆͺ π‘Ž ∈ 𝐽))
5352alrimiv 1930 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘Ž(π‘Ž βŠ† 𝐽 β†’ βˆͺ π‘Ž ∈ 𝐽))
54 inss1 4228 . . . . . . . 8 (π‘Ž ∩ 𝑏) βŠ† π‘Ž
55 difeq2 4116 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = π‘Ž β†’ (𝐡 βˆ– 𝑧) = (𝐡 βˆ– π‘Ž))
5655eleq1d 2818 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = π‘Ž β†’ ((𝐡 βˆ– 𝑧) ∈ 𝑀 ↔ (𝐡 βˆ– π‘Ž) ∈ 𝑀))
5756, 5elrab2 3686 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ž ∈ 𝐽 ↔ (π‘Ž ∈ 𝒫 𝐡 ∧ (𝐡 βˆ– π‘Ž) ∈ 𝑀))
5857simplbi 498 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž ∈ 𝐽 β†’ π‘Ž ∈ 𝒫 𝐡)
5958elpwid 4611 . . . . . . . . 9 (π‘Ž ∈ 𝐽 β†’ π‘Ž βŠ† 𝐡)
6059ad2antrl 726 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐽 ∧ 𝑏 ∈ 𝐽)) β†’ π‘Ž βŠ† 𝐡)
6154, 60sstrid 3993 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐽 ∧ 𝑏 ∈ 𝐽)) β†’ (π‘Ž ∩ 𝑏) βŠ† 𝐡)
62 vex 3478 . . . . . . . . 9 π‘Ž ∈ V
6362inex1 5317 . . . . . . . 8 (π‘Ž ∩ 𝑏) ∈ V
6463elpw 4606 . . . . . . 7 ((π‘Ž ∩ 𝑏) ∈ 𝒫 𝐡 ↔ (π‘Ž ∩ 𝑏) βŠ† 𝐡)
6561, 64sylibr 233 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐽 ∧ 𝑏 ∈ 𝐽)) β†’ (π‘Ž ∩ 𝑏) ∈ 𝒫 𝐡)
66 difindi 4281 . . . . . . 7 (𝐡 βˆ– (π‘Ž ∩ 𝑏)) = ((𝐡 βˆ– π‘Ž) βˆͺ (𝐡 βˆ– 𝑏))
6757simprbi 497 . . . . . . . . 9 (π‘Ž ∈ 𝐽 β†’ (𝐡 βˆ– π‘Ž) ∈ 𝑀)
6867ad2antrl 726 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐽 ∧ 𝑏 ∈ 𝐽)) β†’ (𝐡 βˆ– π‘Ž) ∈ 𝑀)
6926ad2antll 727 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐽 ∧ 𝑏 ∈ 𝐽)) β†’ (𝐡 βˆ– 𝑏) ∈ 𝑀)
70 simpl 483 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐽 ∧ 𝑏 ∈ 𝐽)) β†’ πœ‘)
71 uneq1 4156 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = (𝐡 βˆ– π‘Ž) β†’ (π‘₯ βˆͺ 𝑦) = ((𝐡 βˆ– π‘Ž) βˆͺ 𝑦))
7271eleq1d 2818 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = (𝐡 βˆ– π‘Ž) β†’ ((π‘₯ βˆͺ 𝑦) ∈ 𝑀 ↔ ((𝐡 βˆ– π‘Ž) βˆͺ 𝑦) ∈ 𝑀))
7372imbi2d 340 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = (𝐡 βˆ– π‘Ž) β†’ ((πœ‘ β†’ (π‘₯ βˆͺ 𝑦) ∈ 𝑀) ↔ (πœ‘ β†’ ((𝐡 βˆ– π‘Ž) βˆͺ 𝑦) ∈ 𝑀)))
74 uneq2 4157 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (𝐡 βˆ– 𝑏) β†’ ((𝐡 βˆ– π‘Ž) βˆͺ 𝑦) = ((𝐡 βˆ– π‘Ž) βˆͺ (𝐡 βˆ– 𝑏)))
7574eleq1d 2818 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝐡 βˆ– 𝑏) β†’ (((𝐡 βˆ– π‘Ž) βˆͺ 𝑦) ∈ 𝑀 ↔ ((𝐡 βˆ– π‘Ž) βˆͺ (𝐡 βˆ– 𝑏)) ∈ 𝑀))
7675imbi2d 340 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (𝐡 βˆ– 𝑏) β†’ ((πœ‘ β†’ ((𝐡 βˆ– π‘Ž) βˆͺ 𝑦) ∈ 𝑀) ↔ (πœ‘ β†’ ((𝐡 βˆ– π‘Ž) βˆͺ (𝐡 βˆ– 𝑏)) ∈ 𝑀)))
77 mretopd.u . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀) β†’ (π‘₯ βˆͺ 𝑦) ∈ 𝑀)
78773expb 1120 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) β†’ (π‘₯ βˆͺ 𝑦) ∈ 𝑀)
7978expcom 414 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀) β†’ (πœ‘ β†’ (π‘₯ βˆͺ 𝑦) ∈ 𝑀))
8073, 76, 79vtocl2ga 3566 . . . . . . . . 9 (((𝐡 βˆ– π‘Ž) ∈ 𝑀 ∧ (𝐡 βˆ– 𝑏) ∈ 𝑀) β†’ (πœ‘ β†’ ((𝐡 βˆ– π‘Ž) βˆͺ (𝐡 βˆ– 𝑏)) ∈ 𝑀))
8180imp 407 . . . . . . . 8 ((((𝐡 βˆ– π‘Ž) ∈ 𝑀 ∧ (𝐡 βˆ– 𝑏) ∈ 𝑀) ∧ πœ‘) β†’ ((𝐡 βˆ– π‘Ž) βˆͺ (𝐡 βˆ– 𝑏)) ∈ 𝑀)
8268, 69, 70, 81syl21anc 836 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐽 ∧ 𝑏 ∈ 𝐽)) β†’ ((𝐡 βˆ– π‘Ž) βˆͺ (𝐡 βˆ– 𝑏)) ∈ 𝑀)
8366, 82eqeltrid 2837 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐽 ∧ 𝑏 ∈ 𝐽)) β†’ (𝐡 βˆ– (π‘Ž ∩ 𝑏)) ∈ 𝑀)
84 difeq2 4116 . . . . . . . 8 (𝑧 = (π‘Ž ∩ 𝑏) β†’ (𝐡 βˆ– 𝑧) = (𝐡 βˆ– (π‘Ž ∩ 𝑏)))
8584eleq1d 2818 . . . . . . 7 (𝑧 = (π‘Ž ∩ 𝑏) β†’ ((𝐡 βˆ– 𝑧) ∈ 𝑀 ↔ (𝐡 βˆ– (π‘Ž ∩ 𝑏)) ∈ 𝑀))
8685, 5elrab2 3686 . . . . . 6 ((π‘Ž ∩ 𝑏) ∈ 𝐽 ↔ ((π‘Ž ∩ 𝑏) ∈ 𝒫 𝐡 ∧ (𝐡 βˆ– (π‘Ž ∩ 𝑏)) ∈ 𝑀))
8765, 83, 86sylanbrc 583 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐽 ∧ 𝑏 ∈ 𝐽)) β†’ (π‘Ž ∩ 𝑏) ∈ 𝐽)
8887ralrimivva 3200 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 βˆ€π‘ ∈ 𝐽 (π‘Ž ∩ 𝑏) ∈ 𝐽)
8943pwexd 5377 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝒫 𝐡 ∈ V)
905, 89rabexd 5333 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ V)
91 istopg 22404 . . . . 5 (𝐽 ∈ V β†’ (𝐽 ∈ Top ↔ (βˆ€π‘Ž(π‘Ž βŠ† 𝐽 β†’ βˆͺ π‘Ž ∈ 𝐽) ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 βˆ€π‘ ∈ 𝐽 (π‘Ž ∩ 𝑏) ∈ 𝐽)))
9290, 91syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐽 ∈ Top ↔ (βˆ€π‘Ž(π‘Ž βŠ† 𝐽 β†’ βˆͺ π‘Ž ∈ 𝐽) ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 βˆ€π‘ ∈ 𝐽 (π‘Ž ∩ 𝑏) ∈ 𝐽)))
9353, 88, 92mpbir2and 711 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Top)
946unissi 4917 . . . . . 6 βˆͺ 𝐽 βŠ† βˆͺ 𝒫 𝐡
95 unipw 5450 . . . . . 6 βˆͺ 𝒫 𝐡 = 𝐡
9694, 95sseqtri 4018 . . . . 5 βˆͺ 𝐽 βŠ† 𝐡
97 pwidg 4622 . . . . . . 7 (𝐡 ∈ 𝑀 β†’ 𝐡 ∈ 𝒫 𝐡)
9843, 97syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝒫 𝐡)
99 difid 4370 . . . . . . 7 (𝐡 βˆ– 𝐡) = βˆ…
100 mretopd.z . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ… ∈ 𝑀)
10199, 100eqeltrid 2837 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆ– 𝐡) ∈ 𝑀)
102 difeq2 4116 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝐡 β†’ (𝐡 βˆ– 𝑧) = (𝐡 βˆ– 𝐡))
103102eleq1d 2818 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝐡 β†’ ((𝐡 βˆ– 𝑧) ∈ 𝑀 ↔ (𝐡 βˆ– 𝐡) ∈ 𝑀))
104103, 5elrab2 3686 . . . . . 6 (𝐡 ∈ 𝐽 ↔ (𝐡 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ (𝐡 βˆ– 𝐡) ∈ 𝑀))
10598, 101, 104sylanbrc 583 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝐽)
106 unissel 4942 . . . . 5 ((βˆͺ 𝐽 βŠ† 𝐡 ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) β†’ βˆͺ 𝐽 = 𝐡)
10796, 105, 106sylancr 587 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝐽 = 𝐡)
108107eqcomd 2738 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡 = βˆͺ 𝐽)
109 istopon 22421 . . 3 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π΅) ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐡 = βˆͺ 𝐽))
11093, 108, 109sylanbrc 583 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π΅))
111 eqid 2732 . . . . 5 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
112111cldval 22534 . . . 4 (𝐽 ∈ Top β†’ (Clsdβ€˜π½) = {π‘₯ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝐽 ∣ (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) ∈ 𝐽})
11393, 112syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (Clsdβ€˜π½) = {π‘₯ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝐽 ∣ (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) ∈ 𝐽})
114107pweqd 4619 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝒫 βˆͺ 𝐽 = 𝒫 𝐡)
115107difeq1d 4121 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) = (𝐡 βˆ– π‘₯))
116115eleq1d 2818 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) ∈ 𝐽 ↔ (𝐡 βˆ– π‘₯) ∈ 𝐽))
117114, 116rabeqbidv 3449 . . 3 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝐽 ∣ (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) ∈ 𝐽} = {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐡 ∣ (𝐡 βˆ– π‘₯) ∈ 𝐽})
1185eleq2i 2825 . . . . . . 7 ((𝐡 βˆ– π‘₯) ∈ 𝐽 ↔ (𝐡 βˆ– π‘₯) ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ (𝐡 βˆ– 𝑧) ∈ 𝑀})
119 difss 4131 . . . . . . . . . 10 (𝐡 βˆ– π‘₯) βŠ† 𝐡
120 elpw2g 5344 . . . . . . . . . . 11 (𝐡 ∈ 𝑀 β†’ ((𝐡 βˆ– π‘₯) ∈ 𝒫 𝐡 ↔ (𝐡 βˆ– π‘₯) βŠ† 𝐡))
12143, 120syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝐡 βˆ– π‘₯) ∈ 𝒫 𝐡 ↔ (𝐡 βˆ– π‘₯) βŠ† 𝐡))
122119, 121mpbiri 257 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆ– π‘₯) ∈ 𝒫 𝐡)
123 difeq2 4116 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = (𝐡 βˆ– π‘₯) β†’ (𝐡 βˆ– 𝑧) = (𝐡 βˆ– (𝐡 βˆ– π‘₯)))
124123eleq1d 2818 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = (𝐡 βˆ– π‘₯) β†’ ((𝐡 βˆ– 𝑧) ∈ 𝑀 ↔ (𝐡 βˆ– (𝐡 βˆ– π‘₯)) ∈ 𝑀))
125124elrab3 3684 . . . . . . . . 9 ((𝐡 βˆ– π‘₯) ∈ 𝒫 𝐡 β†’ ((𝐡 βˆ– π‘₯) ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ (𝐡 βˆ– 𝑧) ∈ 𝑀} ↔ (𝐡 βˆ– (𝐡 βˆ– π‘₯)) ∈ 𝑀))
126122, 125syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝐡 βˆ– π‘₯) ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ (𝐡 βˆ– 𝑧) ∈ 𝑀} ↔ (𝐡 βˆ– (𝐡 βˆ– π‘₯)) ∈ 𝑀))
127126adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 𝐡) β†’ ((𝐡 βˆ– π‘₯) ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ (𝐡 βˆ– 𝑧) ∈ 𝑀} ↔ (𝐡 βˆ– (𝐡 βˆ– π‘₯)) ∈ 𝑀))
128118, 127bitrid 282 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 𝐡) β†’ ((𝐡 βˆ– π‘₯) ∈ 𝐽 ↔ (𝐡 βˆ– (𝐡 βˆ– π‘₯)) ∈ 𝑀))
129 elpwi 4609 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ 𝒫 𝐡 β†’ π‘₯ βŠ† 𝐡)
130 dfss4 4258 . . . . . . . . 9 (π‘₯ βŠ† 𝐡 ↔ (𝐡 βˆ– (𝐡 βˆ– π‘₯)) = π‘₯)
131129, 130sylib 217 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ 𝒫 𝐡 β†’ (𝐡 βˆ– (𝐡 βˆ– π‘₯)) = π‘₯)
132131adantl 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (𝐡 βˆ– (𝐡 βˆ– π‘₯)) = π‘₯)
133132eleq1d 2818 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 𝐡) β†’ ((𝐡 βˆ– (𝐡 βˆ– π‘₯)) ∈ 𝑀 ↔ π‘₯ ∈ 𝑀))
134128, 133bitrd 278 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 𝐡) β†’ ((𝐡 βˆ– π‘₯) ∈ 𝐽 ↔ π‘₯ ∈ 𝑀))
135134rabbidva 3439 . . . 4 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐡 ∣ (𝐡 βˆ– π‘₯) ∈ 𝐽} = {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐡 ∣ π‘₯ ∈ 𝑀})
136 incom 4201 . . . . . 6 (𝑀 ∩ 𝒫 𝐡) = (𝒫 𝐡 ∩ 𝑀)
137 dfin5 3956 . . . . . 6 (𝒫 𝐡 ∩ 𝑀) = {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐡 ∣ π‘₯ ∈ 𝑀}
138136, 137eqtri 2760 . . . . 5 (𝑀 ∩ 𝒫 𝐡) = {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐡 ∣ π‘₯ ∈ 𝑀}
139 mresspw 17538 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (Mooreβ€˜π΅) β†’ 𝑀 βŠ† 𝒫 𝐡)
14020, 139syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑀 βŠ† 𝒫 𝐡)
141 df-ss 3965 . . . . . 6 (𝑀 βŠ† 𝒫 𝐡 ↔ (𝑀 ∩ 𝒫 𝐡) = 𝑀)
142140, 141sylib 217 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑀 ∩ 𝒫 𝐡) = 𝑀)
143138, 142eqtr3id 2786 . . . 4 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐡 ∣ π‘₯ ∈ 𝑀} = 𝑀)
144135, 143eqtrd 2772 . . 3 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐡 ∣ (𝐡 βˆ– π‘₯) ∈ 𝐽} = 𝑀)
145113, 117, 1443eqtrrd 2777 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑀 = (Clsdβ€˜π½))
146110, 145jca 512 1 (πœ‘ β†’ (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π΅) ∧ 𝑀 = (Clsdβ€˜π½)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087  βˆ€wal 1539   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  {crab 3432  Vcvv 3474   βˆ– cdif 3945   βˆͺ cun 3946   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  π’« cpw 4602  βˆͺ cuni 4908  βˆͺ ciun 4997  βˆ© ciin 4998  β€˜cfv 6543  Moorecmre 17528  Topctop 22402  TopOnctopon 22419  Clsdccld 22527
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fv 6551  df-mre 17532  df-top 22403  df-topon 22420  df-cld 22530
This theorem is referenced by:  iscldtop  22606  zartopn  32924  istopclsd  41520
  Copyright terms: Public domain W3C validator