MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mretopd Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem mretopd 22596
Description: A Moore collection which is closed under finite unions called topological; such a collection is the closed sets of a canonically associated topology. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mretopd.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (Mooreβ€˜π΅))
mretopd.z (πœ‘ β†’ βˆ… ∈ 𝑀)
mretopd.u ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀) β†’ (π‘₯ βˆͺ 𝑦) ∈ 𝑀)
mretopd.j 𝐽 = {𝑧 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ (𝐡 βˆ– 𝑧) ∈ 𝑀}
Assertion
Ref Expression
mretopd (πœ‘ β†’ (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π΅) ∧ 𝑀 = (Clsdβ€˜π½)))
Distinct variable groups:   πœ‘,π‘₯,𝑦,𝑧   π‘₯,𝑀,𝑦,𝑧   π‘₯,𝐽,𝑦   π‘₯,𝐡,𝑦,𝑧
Allowed substitution hint:   𝐽(𝑧)
Proof of Theorem mretopd
Dummy variables π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 unieq 4920 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = βˆ… β†’ βˆͺ π‘Ž = βˆͺ βˆ…)
2 uni0 4940 . . . . . . . . 9 βˆͺ βˆ… = βˆ…
31, 2eqtrdi 2789 . . . . . . . 8 (π‘Ž = βˆ… β†’ βˆͺ π‘Ž = βˆ…)
43eleq1d 2819 . . . . . . 7 (π‘Ž = βˆ… β†’ (βˆͺ π‘Ž ∈ 𝐽 ↔ βˆ… ∈ 𝐽))
5 mretopd.j . . . . . . . . . . . . . 14 𝐽 = {𝑧 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ (𝐡 βˆ– 𝑧) ∈ 𝑀}
65ssrab3 4081 . . . . . . . . . . . . 13 𝐽 βŠ† 𝒫 𝐡
7 sstr 3991 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Ž βŠ† 𝐽 ∧ 𝐽 βŠ† 𝒫 𝐡) β†’ π‘Ž βŠ† 𝒫 𝐡)
86, 7mpan2 690 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Ž βŠ† 𝐽 β†’ π‘Ž βŠ† 𝒫 𝐡)
98adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘Ž βŠ† 𝐽) β†’ π‘Ž βŠ† 𝒫 𝐡)
10 sspwuni 5104 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ž βŠ† 𝒫 𝐡 ↔ βˆͺ π‘Ž βŠ† 𝐡)
119, 10sylib 217 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘Ž βŠ† 𝐽) β†’ βˆͺ π‘Ž βŠ† 𝐡)
12 vuniex 7729 . . . . . . . . . . 11 βˆͺ π‘Ž ∈ V
1312elpw 4607 . . . . . . . . . 10 (βˆͺ π‘Ž ∈ 𝒫 𝐡 ↔ βˆͺ π‘Ž βŠ† 𝐡)
1411, 13sylibr 233 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘Ž βŠ† 𝐽) β†’ βˆͺ π‘Ž ∈ 𝒫 𝐡)
1514adantr 482 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘Ž βŠ† 𝐽) ∧ π‘Ž β‰  βˆ…) β†’ βˆͺ π‘Ž ∈ 𝒫 𝐡)
16 uniiun 5062 . . . . . . . . . 10 βˆͺ π‘Ž = βˆͺ 𝑏 ∈ π‘Ž 𝑏
1716difeq2i 4120 . . . . . . . . 9 (𝐡 βˆ– βˆͺ π‘Ž) = (𝐡 βˆ– βˆͺ 𝑏 ∈ π‘Ž 𝑏)
18 iindif2 5081 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ž β‰  βˆ… β†’ ∩ 𝑏 ∈ π‘Ž (𝐡 βˆ– 𝑏) = (𝐡 βˆ– βˆͺ 𝑏 ∈ π‘Ž 𝑏))
1918adantl 483 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘Ž βŠ† 𝐽) ∧ π‘Ž β‰  βˆ…) β†’ ∩ 𝑏 ∈ π‘Ž (𝐡 βˆ– 𝑏) = (𝐡 βˆ– βˆͺ 𝑏 ∈ π‘Ž 𝑏))
20 mretopd.m . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (Mooreβ€˜π΅))
2120ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘Ž βŠ† 𝐽) ∧ π‘Ž β‰  βˆ…) β†’ 𝑀 ∈ (Mooreβ€˜π΅))
22 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘Ž βŠ† 𝐽) ∧ π‘Ž β‰  βˆ…) β†’ π‘Ž β‰  βˆ…)
23 difeq2 4117 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 = 𝑏 β†’ (𝐡 βˆ– 𝑧) = (𝐡 βˆ– 𝑏))
2423eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = 𝑏 β†’ ((𝐡 βˆ– 𝑧) ∈ 𝑀 ↔ (𝐡 βˆ– 𝑏) ∈ 𝑀))
2524, 5elrab2 3687 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 ∈ 𝐽 ↔ (𝑏 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ (𝐡 βˆ– 𝑏) ∈ 𝑀))
2625simprbi 498 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 ∈ 𝐽 β†’ (𝐡 βˆ– 𝑏) ∈ 𝑀)
2726rgen 3064 . . . . . . . . . . . . 13 βˆ€π‘ ∈ 𝐽 (𝐡 βˆ– 𝑏) ∈ 𝑀
28 ssralv 4051 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Ž βŠ† 𝐽 β†’ (βˆ€π‘ ∈ 𝐽 (𝐡 βˆ– 𝑏) ∈ 𝑀 β†’ βˆ€π‘ ∈ π‘Ž (𝐡 βˆ– 𝑏) ∈ 𝑀))
2928adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘Ž βŠ† 𝐽) β†’ (βˆ€π‘ ∈ 𝐽 (𝐡 βˆ– 𝑏) ∈ 𝑀 β†’ βˆ€π‘ ∈ π‘Ž (𝐡 βˆ– 𝑏) ∈ 𝑀))
3027, 29mpi 20 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘Ž βŠ† 𝐽) β†’ βˆ€π‘ ∈ π‘Ž (𝐡 βˆ– 𝑏) ∈ 𝑀)
3130adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘Ž βŠ† 𝐽) ∧ π‘Ž β‰  βˆ…) β†’ βˆ€π‘ ∈ π‘Ž (𝐡 βˆ– 𝑏) ∈ 𝑀)
32 mreiincl 17540 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ (Mooreβ€˜π΅) ∧ π‘Ž β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘ ∈ π‘Ž (𝐡 βˆ– 𝑏) ∈ 𝑀) β†’ ∩ 𝑏 ∈ π‘Ž (𝐡 βˆ– 𝑏) ∈ 𝑀)
3321, 22, 31, 32syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘Ž βŠ† 𝐽) ∧ π‘Ž β‰  βˆ…) β†’ ∩ 𝑏 ∈ π‘Ž (𝐡 βˆ– 𝑏) ∈ 𝑀)
3419, 33eqeltrrd 2835 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘Ž βŠ† 𝐽) ∧ π‘Ž β‰  βˆ…) β†’ (𝐡 βˆ– βˆͺ 𝑏 ∈ π‘Ž 𝑏) ∈ 𝑀)
3517, 34eqeltrid 2838 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘Ž βŠ† 𝐽) ∧ π‘Ž β‰  βˆ…) β†’ (𝐡 βˆ– βˆͺ π‘Ž) ∈ 𝑀)
36 difeq2 4117 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = βˆͺ π‘Ž β†’ (𝐡 βˆ– 𝑧) = (𝐡 βˆ– βˆͺ π‘Ž))
3736eleq1d 2819 . . . . . . . . 9 (𝑧 = βˆͺ π‘Ž β†’ ((𝐡 βˆ– 𝑧) ∈ 𝑀 ↔ (𝐡 βˆ– βˆͺ π‘Ž) ∈ 𝑀))
3837, 5elrab2 3687 . . . . . . . 8 (βˆͺ π‘Ž ∈ 𝐽 ↔ (βˆͺ π‘Ž ∈ 𝒫 𝐡 ∧ (𝐡 βˆ– βˆͺ π‘Ž) ∈ 𝑀))
3915, 35, 38sylanbrc 584 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘Ž βŠ† 𝐽) ∧ π‘Ž β‰  βˆ…) β†’ βˆͺ π‘Ž ∈ 𝐽)
40 0elpw 5355 . . . . . . . . . 10 βˆ… ∈ 𝒫 𝐡
4140a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βˆ… ∈ 𝒫 𝐡)
42 mre1cl 17538 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ (Mooreβ€˜π΅) β†’ 𝐡 ∈ 𝑀)
4320, 42syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑀)
44 difeq2 4117 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = βˆ… β†’ (𝐡 βˆ– 𝑧) = (𝐡 βˆ– βˆ…))
45 dif0 4373 . . . . . . . . . . . 12 (𝐡 βˆ– βˆ…) = 𝐡
4644, 45eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = βˆ… β†’ (𝐡 βˆ– 𝑧) = 𝐡)
4746eleq1d 2819 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = βˆ… β†’ ((𝐡 βˆ– 𝑧) ∈ 𝑀 ↔ 𝐡 ∈ 𝑀))
4847, 5elrab2 3687 . . . . . . . . 9 (βˆ… ∈ 𝐽 ↔ (βˆ… ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝐡 ∈ 𝑀))
4941, 43, 48sylanbrc 584 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆ… ∈ 𝐽)
5049adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ž βŠ† 𝐽) β†’ βˆ… ∈ 𝐽)
514, 39, 50pm2.61ne 3028 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž βŠ† 𝐽) β†’ βˆͺ π‘Ž ∈ 𝐽)
5251ex 414 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘Ž βŠ† 𝐽 β†’ βˆͺ π‘Ž ∈ 𝐽))
5352alrimiv 1931 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘Ž(π‘Ž βŠ† 𝐽 β†’ βˆͺ π‘Ž ∈ 𝐽))
54 inss1 4229 . . . . . . . 8 (π‘Ž ∩ 𝑏) βŠ† π‘Ž
55 difeq2 4117 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = π‘Ž β†’ (𝐡 βˆ– 𝑧) = (𝐡 βˆ– π‘Ž))
5655eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = π‘Ž β†’ ((𝐡 βˆ– 𝑧) ∈ 𝑀 ↔ (𝐡 βˆ– π‘Ž) ∈ 𝑀))
5756, 5elrab2 3687 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ž ∈ 𝐽 ↔ (π‘Ž ∈ 𝒫 𝐡 ∧ (𝐡 βˆ– π‘Ž) ∈ 𝑀))
5857simplbi 499 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž ∈ 𝐽 β†’ π‘Ž ∈ 𝒫 𝐡)
5958elpwid 4612 . . . . . . . . 9 (π‘Ž ∈ 𝐽 β†’ π‘Ž βŠ† 𝐡)
6059ad2antrl 727 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐽 ∧ 𝑏 ∈ 𝐽)) β†’ π‘Ž βŠ† 𝐡)
6154, 60sstrid 3994 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐽 ∧ 𝑏 ∈ 𝐽)) β†’ (π‘Ž ∩ 𝑏) βŠ† 𝐡)
62 vex 3479 . . . . . . . . 9 π‘Ž ∈ V
6362inex1 5318 . . . . . . . 8 (π‘Ž ∩ 𝑏) ∈ V
6463elpw 4607 . . . . . . 7 ((π‘Ž ∩ 𝑏) ∈ 𝒫 𝐡 ↔ (π‘Ž ∩ 𝑏) βŠ† 𝐡)
6561, 64sylibr 233 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐽 ∧ 𝑏 ∈ 𝐽)) β†’ (π‘Ž ∩ 𝑏) ∈ 𝒫 𝐡)
66 difindi 4282 . . . . . . 7 (𝐡 βˆ– (π‘Ž ∩ 𝑏)) = ((𝐡 βˆ– π‘Ž) βˆͺ (𝐡 βˆ– 𝑏))
6757simprbi 498 . . . . . . . . 9 (π‘Ž ∈ 𝐽 β†’ (𝐡 βˆ– π‘Ž) ∈ 𝑀)
6867ad2antrl 727 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐽 ∧ 𝑏 ∈ 𝐽)) β†’ (𝐡 βˆ– π‘Ž) ∈ 𝑀)
6926ad2antll 728 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐽 ∧ 𝑏 ∈ 𝐽)) β†’ (𝐡 βˆ– 𝑏) ∈ 𝑀)
70 simpl 484 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐽 ∧ 𝑏 ∈ 𝐽)) β†’ πœ‘)
71 uneq1 4157 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = (𝐡 βˆ– π‘Ž) β†’ (π‘₯ βˆͺ 𝑦) = ((𝐡 βˆ– π‘Ž) βˆͺ 𝑦))
7271eleq1d 2819 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = (𝐡 βˆ– π‘Ž) β†’ ((π‘₯ βˆͺ 𝑦) ∈ 𝑀 ↔ ((𝐡 βˆ– π‘Ž) βˆͺ 𝑦) ∈ 𝑀))
7372imbi2d 341 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = (𝐡 βˆ– π‘Ž) β†’ ((πœ‘ β†’ (π‘₯ βˆͺ 𝑦) ∈ 𝑀) ↔ (πœ‘ β†’ ((𝐡 βˆ– π‘Ž) βˆͺ 𝑦) ∈ 𝑀)))
74 uneq2 4158 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (𝐡 βˆ– 𝑏) β†’ ((𝐡 βˆ– π‘Ž) βˆͺ 𝑦) = ((𝐡 βˆ– π‘Ž) βˆͺ (𝐡 βˆ– 𝑏)))
7574eleq1d 2819 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝐡 βˆ– 𝑏) β†’ (((𝐡 βˆ– π‘Ž) βˆͺ 𝑦) ∈ 𝑀 ↔ ((𝐡 βˆ– π‘Ž) βˆͺ (𝐡 βˆ– 𝑏)) ∈ 𝑀))
7675imbi2d 341 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (𝐡 βˆ– 𝑏) β†’ ((πœ‘ β†’ ((𝐡 βˆ– π‘Ž) βˆͺ 𝑦) ∈ 𝑀) ↔ (πœ‘ β†’ ((𝐡 βˆ– π‘Ž) βˆͺ (𝐡 βˆ– 𝑏)) ∈ 𝑀)))
77 mretopd.u . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀) β†’ (π‘₯ βˆͺ 𝑦) ∈ 𝑀)
78773expb 1121 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) β†’ (π‘₯ βˆͺ 𝑦) ∈ 𝑀)
7978expcom 415 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀) β†’ (πœ‘ β†’ (π‘₯ βˆͺ 𝑦) ∈ 𝑀))
8073, 76, 79vtocl2ga 3567 . . . . . . . . 9 (((𝐡 βˆ– π‘Ž) ∈ 𝑀 ∧ (𝐡 βˆ– 𝑏) ∈ 𝑀) β†’ (πœ‘ β†’ ((𝐡 βˆ– π‘Ž) βˆͺ (𝐡 βˆ– 𝑏)) ∈ 𝑀))
8180imp 408 . . . . . . . 8 ((((𝐡 βˆ– π‘Ž) ∈ 𝑀 ∧ (𝐡 βˆ– 𝑏) ∈ 𝑀) ∧ πœ‘) β†’ ((𝐡 βˆ– π‘Ž) βˆͺ (𝐡 βˆ– 𝑏)) ∈ 𝑀)
8268, 69, 70, 81syl21anc 837 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐽 ∧ 𝑏 ∈ 𝐽)) β†’ ((𝐡 βˆ– π‘Ž) βˆͺ (𝐡 βˆ– 𝑏)) ∈ 𝑀)
8366, 82eqeltrid 2838 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐽 ∧ 𝑏 ∈ 𝐽)) β†’ (𝐡 βˆ– (π‘Ž ∩ 𝑏)) ∈ 𝑀)
84 difeq2 4117 . . . . . . . 8 (𝑧 = (π‘Ž ∩ 𝑏) β†’ (𝐡 βˆ– 𝑧) = (𝐡 βˆ– (π‘Ž ∩ 𝑏)))
8584eleq1d 2819 . . . . . . 7 (𝑧 = (π‘Ž ∩ 𝑏) β†’ ((𝐡 βˆ– 𝑧) ∈ 𝑀 ↔ (𝐡 βˆ– (π‘Ž ∩ 𝑏)) ∈ 𝑀))
8685, 5elrab2 3687 . . . . . 6 ((π‘Ž ∩ 𝑏) ∈ 𝐽 ↔ ((π‘Ž ∩ 𝑏) ∈ 𝒫 𝐡 ∧ (𝐡 βˆ– (π‘Ž ∩ 𝑏)) ∈ 𝑀))
8765, 83, 86sylanbrc 584 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐽 ∧ 𝑏 ∈ 𝐽)) β†’ (π‘Ž ∩ 𝑏) ∈ 𝐽)
8887ralrimivva 3201 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 βˆ€π‘ ∈ 𝐽 (π‘Ž ∩ 𝑏) ∈ 𝐽)
8943pwexd 5378 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝒫 𝐡 ∈ V)
905, 89rabexd 5334 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ V)
91 istopg 22397 . . . . 5 (𝐽 ∈ V β†’ (𝐽 ∈ Top ↔ (βˆ€π‘Ž(π‘Ž βŠ† 𝐽 β†’ βˆͺ π‘Ž ∈ 𝐽) ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 βˆ€π‘ ∈ 𝐽 (π‘Ž ∩ 𝑏) ∈ 𝐽)))
9290, 91syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐽 ∈ Top ↔ (βˆ€π‘Ž(π‘Ž βŠ† 𝐽 β†’ βˆͺ π‘Ž ∈ 𝐽) ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 βˆ€π‘ ∈ 𝐽 (π‘Ž ∩ 𝑏) ∈ 𝐽)))
9353, 88, 92mpbir2and 712 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Top)
946unissi 4918 . . . . . 6 βˆͺ 𝐽 βŠ† βˆͺ 𝒫 𝐡
95 unipw 5451 . . . . . 6 βˆͺ 𝒫 𝐡 = 𝐡
9694, 95sseqtri 4019 . . . . 5 βˆͺ 𝐽 βŠ† 𝐡
97 pwidg 4623 . . . . . . 7 (𝐡 ∈ 𝑀 β†’ 𝐡 ∈ 𝒫 𝐡)
9843, 97syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝒫 𝐡)
99 difid 4371 . . . . . . 7 (𝐡 βˆ– 𝐡) = βˆ…
100 mretopd.z . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ… ∈ 𝑀)
10199, 100eqeltrid 2838 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆ– 𝐡) ∈ 𝑀)
102 difeq2 4117 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝐡 β†’ (𝐡 βˆ– 𝑧) = (𝐡 βˆ– 𝐡))
103102eleq1d 2819 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝐡 β†’ ((𝐡 βˆ– 𝑧) ∈ 𝑀 ↔ (𝐡 βˆ– 𝐡) ∈ 𝑀))
104103, 5elrab2 3687 . . . . . 6 (𝐡 ∈ 𝐽 ↔ (𝐡 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ (𝐡 βˆ– 𝐡) ∈ 𝑀))
10598, 101, 104sylanbrc 584 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝐽)
106 unissel 4943 . . . . 5 ((βˆͺ 𝐽 βŠ† 𝐡 ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) β†’ βˆͺ 𝐽 = 𝐡)
10796, 105, 106sylancr 588 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝐽 = 𝐡)
108107eqcomd 2739 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡 = βˆͺ 𝐽)
109 istopon 22414 . . 3 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π΅) ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐡 = βˆͺ 𝐽))
11093, 108, 109sylanbrc 584 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π΅))
111 eqid 2733 . . . . 5 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
112111cldval 22527 . . . 4 (𝐽 ∈ Top β†’ (Clsdβ€˜π½) = {π‘₯ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝐽 ∣ (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) ∈ 𝐽})
11393, 112syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (Clsdβ€˜π½) = {π‘₯ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝐽 ∣ (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) ∈ 𝐽})
114107pweqd 4620 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝒫 βˆͺ 𝐽 = 𝒫 𝐡)
115107difeq1d 4122 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) = (𝐡 βˆ– π‘₯))
116115eleq1d 2819 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) ∈ 𝐽 ↔ (𝐡 βˆ– π‘₯) ∈ 𝐽))
117114, 116rabeqbidv 3450 . . 3 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝐽 ∣ (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) ∈ 𝐽} = {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐡 ∣ (𝐡 βˆ– π‘₯) ∈ 𝐽})
1185eleq2i 2826 . . . . . . 7 ((𝐡 βˆ– π‘₯) ∈ 𝐽 ↔ (𝐡 βˆ– π‘₯) ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ (𝐡 βˆ– 𝑧) ∈ 𝑀})
119 difss 4132 . . . . . . . . . 10 (𝐡 βˆ– π‘₯) βŠ† 𝐡
120 elpw2g 5345 . . . . . . . . . . 11 (𝐡 ∈ 𝑀 β†’ ((𝐡 βˆ– π‘₯) ∈ 𝒫 𝐡 ↔ (𝐡 βˆ– π‘₯) βŠ† 𝐡))
12143, 120syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝐡 βˆ– π‘₯) ∈ 𝒫 𝐡 ↔ (𝐡 βˆ– π‘₯) βŠ† 𝐡))
122119, 121mpbiri 258 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆ– π‘₯) ∈ 𝒫 𝐡)
123 difeq2 4117 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = (𝐡 βˆ– π‘₯) β†’ (𝐡 βˆ– 𝑧) = (𝐡 βˆ– (𝐡 βˆ– π‘₯)))
124123eleq1d 2819 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = (𝐡 βˆ– π‘₯) β†’ ((𝐡 βˆ– 𝑧) ∈ 𝑀 ↔ (𝐡 βˆ– (𝐡 βˆ– π‘₯)) ∈ 𝑀))
125124elrab3 3685 . . . . . . . . 9 ((𝐡 βˆ– π‘₯) ∈ 𝒫 𝐡 β†’ ((𝐡 βˆ– π‘₯) ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ (𝐡 βˆ– 𝑧) ∈ 𝑀} ↔ (𝐡 βˆ– (𝐡 βˆ– π‘₯)) ∈ 𝑀))
126122, 125syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝐡 βˆ– π‘₯) ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ (𝐡 βˆ– 𝑧) ∈ 𝑀} ↔ (𝐡 βˆ– (𝐡 βˆ– π‘₯)) ∈ 𝑀))
127126adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 𝐡) β†’ ((𝐡 βˆ– π‘₯) ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ (𝐡 βˆ– 𝑧) ∈ 𝑀} ↔ (𝐡 βˆ– (𝐡 βˆ– π‘₯)) ∈ 𝑀))
128118, 127bitrid 283 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 𝐡) β†’ ((𝐡 βˆ– π‘₯) ∈ 𝐽 ↔ (𝐡 βˆ– (𝐡 βˆ– π‘₯)) ∈ 𝑀))
129 elpwi 4610 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ 𝒫 𝐡 β†’ π‘₯ βŠ† 𝐡)
130 dfss4 4259 . . . . . . . . 9 (π‘₯ βŠ† 𝐡 ↔ (𝐡 βˆ– (𝐡 βˆ– π‘₯)) = π‘₯)
131129, 130sylib 217 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ 𝒫 𝐡 β†’ (𝐡 βˆ– (𝐡 βˆ– π‘₯)) = π‘₯)
132131adantl 483 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (𝐡 βˆ– (𝐡 βˆ– π‘₯)) = π‘₯)
133132eleq1d 2819 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 𝐡) β†’ ((𝐡 βˆ– (𝐡 βˆ– π‘₯)) ∈ 𝑀 ↔ π‘₯ ∈ 𝑀))
134128, 133bitrd 279 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 𝐡) β†’ ((𝐡 βˆ– π‘₯) ∈ 𝐽 ↔ π‘₯ ∈ 𝑀))
135134rabbidva 3440 . . . 4 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐡 ∣ (𝐡 βˆ– π‘₯) ∈ 𝐽} = {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐡 ∣ π‘₯ ∈ 𝑀})
136 incom 4202 . . . . . 6 (𝑀 ∩ 𝒫 𝐡) = (𝒫 𝐡 ∩ 𝑀)
137 dfin5 3957 . . . . . 6 (𝒫 𝐡 ∩ 𝑀) = {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐡 ∣ π‘₯ ∈ 𝑀}
138136, 137eqtri 2761 . . . . 5 (𝑀 ∩ 𝒫 𝐡) = {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐡 ∣ π‘₯ ∈ 𝑀}
139 mresspw 17536 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (Mooreβ€˜π΅) β†’ 𝑀 βŠ† 𝒫 𝐡)
14020, 139syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑀 βŠ† 𝒫 𝐡)
141 df-ss 3966 . . . . . 6 (𝑀 βŠ† 𝒫 𝐡 ↔ (𝑀 ∩ 𝒫 𝐡) = 𝑀)
142140, 141sylib 217 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑀 ∩ 𝒫 𝐡) = 𝑀)
143138, 142eqtr3id 2787 . . . 4 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐡 ∣ π‘₯ ∈ 𝑀} = 𝑀)
144135, 143eqtrd 2773 . . 3 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐡 ∣ (𝐡 βˆ– π‘₯) ∈ 𝐽} = 𝑀)
145113, 117, 1443eqtrrd 2778 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑀 = (Clsdβ€˜π½))
146110, 145jca 513 1 (πœ‘ β†’ (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π΅) ∧ 𝑀 = (Clsdβ€˜π½)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088  βˆ€wal 1540   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  {crab 3433  Vcvv 3475   βˆ– cdif 3946   βˆͺ cun 3947   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  π’« cpw 4603  βˆͺ cuni 4909  βˆͺ ciun 4998  βˆ© ciin 4999  β€˜cfv 6544  Moorecmre 17526  Topctop 22395  TopOnctopon 22412  Clsdccld 22520
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fv 6552  df-mre 17530  df-top 22396  df-topon 22413  df-cld 22523
This theorem is referenced by:  iscldtop  22599  zartopn  32855  istopclsd  41438
  Copyright terms: Public domain W3C validator