Theorem msrfo 36477

Description: The reduct of a pre-statement is a statement. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mstaval.r	⊢ 𝑅 = (mStRed‘𝑇)
mstaval.s	⊢ 𝑆 = (mStat‘𝑇)
msrfo.p	⊢ 𝑃 = (mPreSt‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
msrfo	⊢ 𝑅:𝑃⟶onto𝑆

Proof of Theorem msrfo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		msrfo.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (mPreSt‘𝑇)
2		mstaval.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (mStRed‘𝑇)
3	1, 2	msrf 36473	. . . 4 ⊢ 𝑅:𝑃⟶𝑃
4		ffn 6728	. . . 4 ⊢ (𝑅:𝑃⟶𝑃 → 𝑅 Fn 𝑃)
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝑅 Fn 𝑃
6		dffn4 6821	. . 3 ⊢ (𝑅 Fn 𝑃 ↔ 𝑅:𝑃⟶ontoran 𝑅)
7	5, 6	mpbi 233	. 2 ⊢ 𝑅:𝑃⟶ontoran 𝑅
8		mstaval.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (mStat‘𝑇)
9	2, 8	mstaval 36475	. . 3 ⊢ 𝑆 = ran 𝑅
10		foeq3 6813	. . 3 ⊢ (𝑆 = ran 𝑅 → (𝑅:𝑃⟶onto𝑆 ↔ 𝑅:𝑃⟶ontoran 𝑅))
11	9, 10	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝑅:𝑃⟶onto𝑆 ↔ 𝑅:𝑃⟶ontoran 𝑅)
12	7, 11	mpbir 234	1 ⊢ 𝑅:𝑃⟶onto𝑆

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   = wceq 1570  ran crn 5656   Fn wfn 6550  ⟶wf 6551  ⟶ontowfo 6553  ‘cfv 6555  mPreStcmpst 36404  mStRedcmsr 36405  mStatcmsta 36406

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-ot 4862  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-mpst 36424  df-msr 36425  df-msta 36426

This theorem is used by: (None)