Theorem msrfo 35568

Description: The reduct of a pre-statement is a statement. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mstaval.r	⊢ 𝑅 = (mStRed‘𝑇)
mstaval.s	⊢ 𝑆 = (mStat‘𝑇)
msrfo.p	⊢ 𝑃 = (mPreSt‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
msrfo	⊢ 𝑅:𝑃–onto→𝑆

Proof of Theorem msrfo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		msrfo.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (mPreSt‘𝑇)
2		mstaval.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (mStRed‘𝑇)
3	1, 2	msrf 35564	. . . 4 ⊢ 𝑅:𝑃⟶𝑃
4		ffn 6706	. . . 4 ⊢ (𝑅:𝑃⟶𝑃 → 𝑅 Fn 𝑃)
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝑅 Fn 𝑃
6		dffn4 6796	. . 3 ⊢ (𝑅 Fn 𝑃 ↔ 𝑅:𝑃–onto→ran 𝑅)
7	5, 6	mpbi 230	. 2 ⊢ 𝑅:𝑃–onto→ran 𝑅
8		mstaval.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (mStat‘𝑇)
9	2, 8	mstaval 35566	. . 3 ⊢ 𝑆 = ran 𝑅
10		foeq3 6788	. . 3 ⊢ (𝑆 = ran 𝑅 → (𝑅:𝑃–onto→𝑆 ↔ 𝑅:𝑃–onto→ran 𝑅))
11	9, 10	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝑅:𝑃–onto→𝑆 ↔ 𝑅:𝑃–onto→ran 𝑅)
12	7, 11	mpbir 231	1 ⊢ 𝑅:𝑃–onto→𝑆

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1540  ran crn 5655   Fn wfn 6526  ⟶wf 6527  –onto→wfo 6529  ‘cfv 6531  mPreStcmpst 35495  mStRedcmsr 35496  mStatcmsta 35497

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-ot 4610  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-mpst 35515  df-msr 35516  df-msta 35517

This theorem is referenced by: (None)