Theorem msrfo 35533

Description: The reduct of a pre-statement is a statement. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mstaval.r	⊢ 𝑅 = (mStRed‘𝑇)
mstaval.s	⊢ 𝑆 = (mStat‘𝑇)
msrfo.p	⊢ 𝑃 = (mPreSt‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
msrfo	⊢ 𝑅:𝑃–onto→𝑆

Proof of Theorem msrfo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		msrfo.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (mPreSt‘𝑇)
2		mstaval.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (mStRed‘𝑇)
3	1, 2	msrf 35529	. . . 4 ⊢ 𝑅:𝑃⟶𝑃
4		ffn 6688	. . . 4 ⊢ (𝑅:𝑃⟶𝑃 → 𝑅 Fn 𝑃)
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝑅 Fn 𝑃
6		dffn4 6778	. . 3 ⊢ (𝑅 Fn 𝑃 ↔ 𝑅:𝑃–onto→ran 𝑅)
7	5, 6	mpbi 230	. 2 ⊢ 𝑅:𝑃–onto→ran 𝑅
8		mstaval.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (mStat‘𝑇)
9	2, 8	mstaval 35531	. . 3 ⊢ 𝑆 = ran 𝑅
10		foeq3 6770	. . 3 ⊢ (𝑆 = ran 𝑅 → (𝑅:𝑃–onto→𝑆 ↔ 𝑅:𝑃–onto→ran 𝑅))
11	9, 10	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝑅:𝑃–onto→𝑆 ↔ 𝑅:𝑃–onto→ran 𝑅)
12	7, 11	mpbir 231	1 ⊢ 𝑅:𝑃–onto→𝑆

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1540  ran crn 5639   Fn wfn 6506  ⟶wf 6507  –onto→wfo 6509  ‘cfv 6511  mPreStcmpst 35460  mStRedcmsr 35461  mStatcmsta 35462

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-ot 4598  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-mpst 35480  df-msr 35481  df-msta 35482

This theorem is referenced by: (None)