Theorem msrfo 35531

Description: The reduct of a pre-statement is a statement. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mstaval.r	⊢ 𝑅 = (mStRed‘𝑇)
mstaval.s	⊢ 𝑆 = (mStat‘𝑇)
msrfo.p	⊢ 𝑃 = (mPreSt‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
msrfo	⊢ 𝑅:𝑃–onto→𝑆

Proof of Theorem msrfo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		msrfo.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (mPreSt‘𝑇)
2		mstaval.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (mStRed‘𝑇)
3	1, 2	msrf 35527	. . . 4 ⊢ 𝑅:𝑃⟶𝑃
4		ffn 6737	. . . 4 ⊢ (𝑅:𝑃⟶𝑃 → 𝑅 Fn 𝑃)
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝑅 Fn 𝑃
6		dffn4 6827	. . 3 ⊢ (𝑅 Fn 𝑃 ↔ 𝑅:𝑃–onto→ran 𝑅)
7	5, 6	mpbi 230	. 2 ⊢ 𝑅:𝑃–onto→ran 𝑅
8		mstaval.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (mStat‘𝑇)
9	2, 8	mstaval 35529	. . 3 ⊢ 𝑆 = ran 𝑅
10		foeq3 6819	. . 3 ⊢ (𝑆 = ran 𝑅 → (𝑅:𝑃–onto→𝑆 ↔ 𝑅:𝑃–onto→ran 𝑅))
11	9, 10	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝑅:𝑃–onto→𝑆 ↔ 𝑅:𝑃–onto→ran 𝑅)
12	7, 11	mpbir 231	1 ⊢ 𝑅:𝑃–onto→𝑆

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1537  ran crn 5690   Fn wfn 6558  ⟶wf 6559  –onto→wfo 6561  ‘cfv 6563  mPreStcmpst 35458  mStRedcmsr 35459  mStatcmsta 35460

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-ot 4640  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-mpst 35478  df-msr 35479  df-msta 35480

This theorem is referenced by: (None)