Theorem msrfo 36311

Description: The reduct of a pre-statement is a statement. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mstaval.r	⊢ 𝑅 = (mStRed‘𝑇)
mstaval.s	⊢ 𝑆 = (mStat‘𝑇)
msrfo.p	⊢ 𝑃 = (mPreSt‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
msrfo	⊢ 𝑅:𝑃–onto→𝑆

Proof of Theorem msrfo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		msrfo.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (mPreSt‘𝑇)
2		mstaval.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (mStRed‘𝑇)
3	1, 2	msrf 36307	. . . 4 ⊢ 𝑅:𝑃⟶𝑃
4		ffn 6709	. . . 4 ⊢ (𝑅:𝑃⟶𝑃 → 𝑅 Fn 𝑃)
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝑅 Fn 𝑃
6		dffn4 6802	. . 3 ⊢ (𝑅 Fn 𝑃 ↔ 𝑅:𝑃–onto→ran 𝑅)
7	5, 6	mpbi 233	. 2 ⊢ 𝑅:𝑃–onto→ran 𝑅
8		mstaval.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (mStat‘𝑇)
9	2, 8	mstaval 36309	. . 3 ⊢ 𝑆 = ran 𝑅
10		foeq3 6794	. . 3 ⊢ (𝑆 = ran 𝑅 → (𝑅:𝑃–onto→𝑆 ↔ 𝑅:𝑃–onto→ran 𝑅))
11	9, 10	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝑅:𝑃–onto→𝑆 ↔ 𝑅:𝑃–onto→ran 𝑅)
12	7, 11	mpbir 234	1 ⊢ 𝑅:𝑃–onto→𝑆

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   = wceq 1569  ran crn 5651   Fn wfn 6533  ⟶wf 6534  –onto→wfo 6536  ‘cfv 6538  mPreStcmpst 36238  mStRedcmsr 36239  mStatcmsta 36240

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-ot 4592  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-mpst 36258  df-msr 36259  df-msta 36260

This theorem is used by: (None)