Theorem msrfo 35774

Description: The reduct of a pre-statement is a statement. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mstaval.r	⊢ 𝑅 = (mStRed‘𝑇)
mstaval.s	⊢ 𝑆 = (mStat‘𝑇)
msrfo.p	⊢ 𝑃 = (mPreSt‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
msrfo	⊢ 𝑅:𝑃–onto→𝑆

Proof of Theorem msrfo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		msrfo.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (mPreSt‘𝑇)
2		mstaval.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (mStRed‘𝑇)
3	1, 2	msrf 35770	. . . 4 ⊢ 𝑅:𝑃⟶𝑃
4		ffn 6655	. . . 4 ⊢ (𝑅:𝑃⟶𝑃 → 𝑅 Fn 𝑃)
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝑅 Fn 𝑃
6		dffn4 6745	. . 3 ⊢ (𝑅 Fn 𝑃 ↔ 𝑅:𝑃–onto→ran 𝑅)
7	5, 6	mpbi 231	. 2 ⊢ 𝑅:𝑃–onto→ran 𝑅
8		mstaval.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (mStat‘𝑇)
9	2, 8	mstaval 35772	. . 3 ⊢ 𝑆 = ran 𝑅
10		foeq3 6737	. . 3 ⊢ (𝑆 = ran 𝑅 → (𝑅:𝑃–onto→𝑆 ↔ 𝑅:𝑃–onto→ran 𝑅))
11	9, 10	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝑅:𝑃–onto→𝑆 ↔ 𝑅:𝑃–onto→ran 𝑅)
12	7, 11	mpbir 232	1 ⊢ 𝑅:𝑃–onto→𝑆

Syntax hints:   ↔ wb 207   = wceq 1547  ran crn 5619   Fn wfn 6480  ⟶wf 6481  –onto→wfo 6483  ‘cfv 6485  mPreStcmpst 35701  mStRedcmsr 35702  mStatcmsta 35703

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-ot 4564  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-mpst 35721  df-msr 35722  df-msta 35723

This theorem is referenced by: (None)