Theorem mstapst 35743

Description: A statement is a pre-statement. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mstapst.p	⊢ 𝑃 = (mPreSt‘𝑇)
mstapst.s	⊢ 𝑆 = (mStat‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
mstapst	⊢ 𝑆 ⊆ 𝑃

Proof of Theorem mstapst

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . 3 ⊢ (mStRed‘𝑇) = (mStRed‘𝑇)
2		mstapst.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (mStat‘𝑇)
3	1, 2	mstaval 35740	. 2 ⊢ 𝑆 = ran (mStRed‘𝑇)
4		mstapst.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (mPreSt‘𝑇)
5	4, 1	msrf 35738	. . 3 ⊢ (mStRed‘𝑇):𝑃⟶𝑃
6		frn 6670	. . 3 ⊢ ((mStRed‘𝑇):𝑃⟶𝑃 → ran (mStRed‘𝑇) ⊆ 𝑃)
7	5, 6	ax-mp 5	. 2 ⊢ ran (mStRed‘𝑇) ⊆ 𝑃
8	3, 7	eqsstri 3981	1 ⊢ 𝑆 ⊆ 𝑃

Syntax hints:   = wceq 1542   ⊆ wss 3902  ran crn 5626  ⟶wf 6489  ‘cfv 6493  mPreStcmpst 35669  mStRedcmsr 35670  mStatcmsta 35671

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-ot 4590  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-mpst 35689  df-msr 35690  df-msta 35691

This theorem is referenced by:  elmsta  35744  mclsssvlem  35758  mclsax  35765  mclsind  35766  mclsppslem  35779