Theorem mstapst 35974

Description: A statement is a pre-statement. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mstapst.p	⊢ 𝑃 = (mPreSt‘𝑇)
mstapst.s	⊢ 𝑆 = (mStat‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
mstapst	⊢ 𝑆 ⊆ 𝑃

Proof of Theorem mstapst

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2769	. . 3 ⊢ (mStRed‘𝑇) = (mStRed‘𝑇)
2		mstapst.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (mStat‘𝑇)
3	1, 2	mstaval 35971	. 2 ⊢ 𝑆 = ran (mStRed‘𝑇)
4		mstapst.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (mPreSt‘𝑇)
5	4, 1	msrf 35969	. . 3 ⊢ (mStRed‘𝑇):𝑃⟶𝑃
6		frn 6716	. . 3 ⊢ ((mStRed‘𝑇):𝑃⟶𝑃 → ran (mStRed‘𝑇) ⊆ 𝑃)
7	5, 6	ax-mp 5	. 2 ⊢ ran (mStRed‘𝑇) ⊆ 𝑃
8	3, 7	eqsstri 3991	1 ⊢ 𝑆 ⊆ 𝑃

Syntax hints:   = wceq 1567   ⊆ wss 3913  ran crn 5665  ⟶wf 6535  ‘cfv 6539  mPreStcmpst 35900  mStRedcmsr 35901  mStatcmsta 35902

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5273  ax-pow 5339  ax-pr 5407  ax-un 7735

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-ot 4603  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5559  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-mpst 35920  df-msr 35921  df-msta 35922

This theorem is referenced by:  elmsta  35975  mclsssvlem  35989  mclsax  35996  mclsind  35997  mclsppslem  36010