Theorem mstapst 35749

Description: A statement is a pre-statement. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mstapst.p	⊢ 𝑃 = (mPreSt‘𝑇)
mstapst.s	⊢ 𝑆 = (mStat‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
mstapst	⊢ 𝑆 ⊆ 𝑃

Proof of Theorem mstapst

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . 3 ⊢ (mStRed‘𝑇) = (mStRed‘𝑇)
2		mstapst.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (mStat‘𝑇)
3	1, 2	mstaval 35746	. 2 ⊢ 𝑆 = ran (mStRed‘𝑇)
4		mstapst.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (mPreSt‘𝑇)
5	4, 1	msrf 35744	. . 3 ⊢ (mStRed‘𝑇):𝑃⟶𝑃
6		frn 6671	. . 3 ⊢ ((mStRed‘𝑇):𝑃⟶𝑃 → ran (mStRed‘𝑇) ⊆ 𝑃)
7	5, 6	ax-mp 5	. 2 ⊢ ran (mStRed‘𝑇) ⊆ 𝑃
8	3, 7	eqsstri 3969	1 ⊢ 𝑆 ⊆ 𝑃

Syntax hints:   = wceq 1542   ⊆ wss 3890  ran crn 5627  ⟶wf 6490  ‘cfv 6494  mPreStcmpst 35675  mStRedcmsr 35676  mStatcmsta 35677

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-ot 4577  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5521  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-1st 7937  df-2nd 7938  df-mpst 35695  df-msr 35696  df-msta 35697

This theorem is referenced by:  elmsta  35750  mclsssvlem  35764  mclsax  35771  mclsind  35772  mclsppslem  35785