Theorem mstapst 33025

Description: A statement is a pre-statement. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mstapst.p	⊢ 𝑃 = (mPreSt‘𝑇)
mstapst.s	⊢ 𝑆 = (mStat‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
mstapst	⊢ 𝑆 ⊆ 𝑃

Proof of Theorem mstapst

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2758	. . 3 ⊢ (mStRed‘𝑇) = (mStRed‘𝑇)
2		mstapst.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (mStat‘𝑇)
3	1, 2	mstaval 33022	. 2 ⊢ 𝑆 = ran (mStRed‘𝑇)
4		mstapst.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (mPreSt‘𝑇)
5	4, 1	msrf 33020	. . 3 ⊢ (mStRed‘𝑇):𝑃⟶𝑃
6		frn 6504	. . 3 ⊢ ((mStRed‘𝑇):𝑃⟶𝑃 → ran (mStRed‘𝑇) ⊆ 𝑃)
7	5, 6	ax-mp 5	. 2 ⊢ ran (mStRed‘𝑇) ⊆ 𝑃
8	3, 7	eqsstri 3926	1 ⊢ 𝑆 ⊆ 𝑃

Syntax hints:   = wceq 1538   ⊆ wss 3858  ran crn 5525  ⟶wf 6331  ‘cfv 6335  mPreStcmpst 32951  mStRedcmsr 32952  mStatcmsta 32953

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5156  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-op 4529  df-ot 4531  df-uni 4799  df-iun 4885  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-id 5430  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-1st 7693  df-2nd 7694  df-mpst 32971  df-msr 32972  df-msta 32973

This theorem is referenced by:  elmsta  33026  mclsssvlem  33040  mclsax  33047  mclsind  33048  mclsppslem  33061