Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mthmb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mthmb 35089
Description: If two statements have the same reduct then one is a theorem iff the other is. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
mthmb.r 𝑅 = (mStRedβ€˜π‘‡)
mthmb.u π‘ˆ = (mThmβ€˜π‘‡)
Assertion
Ref Expression
mthmb ((π‘…β€˜π‘‹) = (π‘…β€˜π‘Œ) β†’ (𝑋 ∈ π‘ˆ ↔ π‘Œ ∈ π‘ˆ))

Proof of Theorem mthmb
StepHypRef Expression
1 mthmb.r . . 3 𝑅 = (mStRedβ€˜π‘‡)
2 mthmb.u . . 3 π‘ˆ = (mThmβ€˜π‘‡)
31, 2mthmblem 35088 . 2 ((π‘…β€˜π‘‹) = (π‘…β€˜π‘Œ) β†’ (𝑋 ∈ π‘ˆ β†’ π‘Œ ∈ π‘ˆ))
41, 2mthmblem 35088 . . 3 ((π‘…β€˜π‘Œ) = (π‘…β€˜π‘‹) β†’ (π‘Œ ∈ π‘ˆ β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ))
54eqcoms 2732 . 2 ((π‘…β€˜π‘‹) = (π‘…β€˜π‘Œ) β†’ (π‘Œ ∈ π‘ˆ β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ))
63, 5impbid 211 1 ((π‘…β€˜π‘‹) = (π‘…β€˜π‘Œ) β†’ (𝑋 ∈ π‘ˆ ↔ π‘Œ ∈ π‘ˆ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  β€˜cfv 6534  mStRedcmsr 34982  mThmcmthm 34987
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-ot 4630  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-mpst 35001  df-msr 35002  df-mpps 35006  df-mthm 35007
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator