Theorem mthmb 35191

Description: If two statements have the same reduct then one is a theorem iff the other is. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mthmb.r	⊢ 𝑅 = (mStRed‘𝑇)
mthmb.u	⊢ 𝑈 = (mThm‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
mthmb	⊢ ((𝑅‘𝑋) = (𝑅‘𝑌) → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ 𝑌 ∈ 𝑈))

Proof of Theorem mthmb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mthmb.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (mStRed‘𝑇)
2		mthmb.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (mThm‘𝑇)
3	1, 2	mthmblem 35190	. 2 ⊢ ((𝑅‘𝑋) = (𝑅‘𝑌) → (𝑋 ∈ 𝑈 → 𝑌 ∈ 𝑈))
4	1, 2	mthmblem 35190	. . 3 ⊢ ((𝑅‘𝑌) = (𝑅‘𝑋) → (𝑌 ∈ 𝑈 → 𝑋 ∈ 𝑈))
5	4	eqcoms 2736	. 2 ⊢ ((𝑅‘𝑋) = (𝑅‘𝑌) → (𝑌 ∈ 𝑈 → 𝑋 ∈ 𝑈))
6	3, 5	impbid 211	1 ⊢ ((𝑅‘𝑋) = (𝑅‘𝑌) → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ 𝑌 ∈ 𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ‘cfv 6548  mStRedcmsr 35084  mThmcmthm 35089

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-ot 4638  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-mpst 35103  df-msr 35104  df-mpps 35108  df-mthm 35109

This theorem is referenced by: (None)