![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > mvmulfv | Structured version Visualization version GIF version |
Description: A cell/element in the vector resulting from a multiplication of a vector with a matrix. (Contributed by AV, 23-Feb-2019.) |
Ref | Expression |
---|---|
mvmulfval.x | โข ร = (๐ maVecMul โจ๐, ๐โฉ) |
mvmulfval.b | โข ๐ต = (Baseโ๐ ) |
mvmulfval.t | โข ยท = (.rโ๐ ) |
mvmulfval.r | โข (๐ โ ๐ โ ๐) |
mvmulfval.m | โข (๐ โ ๐ โ Fin) |
mvmulfval.n | โข (๐ โ ๐ โ Fin) |
mvmulval.x | โข (๐ โ ๐ โ (๐ต โm (๐ ร ๐))) |
mvmulval.y | โข (๐ โ ๐ โ (๐ต โm ๐)) |
mvmulfv.i | โข (๐ โ ๐ผ โ ๐) |
Ref | Expression |
---|---|
mvmulfv | โข (๐ โ ((๐ ร ๐)โ๐ผ) = (๐ ฮฃg (๐ โ ๐ โฆ ((๐ผ๐๐) ยท (๐โ๐))))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | mvmulfval.x | . . 3 โข ร = (๐ maVecMul โจ๐, ๐โฉ) | |
2 | mvmulfval.b | . . 3 โข ๐ต = (Baseโ๐ ) | |
3 | mvmulfval.t | . . 3 โข ยท = (.rโ๐ ) | |
4 | mvmulfval.r | . . 3 โข (๐ โ ๐ โ ๐) | |
5 | mvmulfval.m | . . 3 โข (๐ โ ๐ โ Fin) | |
6 | mvmulfval.n | . . 3 โข (๐ โ ๐ โ Fin) | |
7 | mvmulval.x | . . 3 โข (๐ โ ๐ โ (๐ต โm (๐ ร ๐))) | |
8 | mvmulval.y | . . 3 โข (๐ โ ๐ โ (๐ต โm ๐)) | |
9 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 | mvmulval 21915 | . 2 โข (๐ โ (๐ ร ๐) = (๐ โ ๐ โฆ (๐ ฮฃg (๐ โ ๐ โฆ ((๐๐๐) ยท (๐โ๐)))))) |
10 | oveq1 7368 | . . . . . 6 โข (๐ = ๐ผ โ (๐๐๐) = (๐ผ๐๐)) | |
11 | 10 | adantl 483 | . . . . 5 โข ((๐ โง ๐ = ๐ผ) โ (๐๐๐) = (๐ผ๐๐)) |
12 | 11 | oveq1d 7376 | . . . 4 โข ((๐ โง ๐ = ๐ผ) โ ((๐๐๐) ยท (๐โ๐)) = ((๐ผ๐๐) ยท (๐โ๐))) |
13 | 12 | mpteq2dv 5211 | . . 3 โข ((๐ โง ๐ = ๐ผ) โ (๐ โ ๐ โฆ ((๐๐๐) ยท (๐โ๐))) = (๐ โ ๐ โฆ ((๐ผ๐๐) ยท (๐โ๐)))) |
14 | 13 | oveq2d 7377 | . 2 โข ((๐ โง ๐ = ๐ผ) โ (๐ ฮฃg (๐ โ ๐ โฆ ((๐๐๐) ยท (๐โ๐)))) = (๐ ฮฃg (๐ โ ๐ โฆ ((๐ผ๐๐) ยท (๐โ๐))))) |
15 | mvmulfv.i | . 2 โข (๐ โ ๐ผ โ ๐) | |
16 | ovexd 7396 | . 2 โข (๐ โ (๐ ฮฃg (๐ โ ๐ โฆ ((๐ผ๐๐) ยท (๐โ๐)))) โ V) | |
17 | 9, 14, 15, 16 | fvmptd 6959 | 1 โข (๐ โ ((๐ ร ๐)โ๐ผ) = (๐ ฮฃg (๐ โ ๐ โฆ ((๐ผ๐๐) ยท (๐โ๐))))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 397 = wceq 1542 โ wcel 2107 Vcvv 3447 โจcop 4596 โฆ cmpt 5192 ร cxp 5635 โcfv 6500 (class class class)co 7361 โm cmap 8771 Fincfn 8889 Basecbs 17091 .rcmulr 17142 ฮฃg cgsu 17330 maVecMul cmvmul 21912 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2704 ax-rep 5246 ax-sep 5260 ax-nul 5267 ax-pow 5324 ax-pr 5388 ax-un 7676 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2535 df-eu 2564 df-clab 2711 df-cleq 2725 df-clel 2811 df-nfc 2886 df-ne 2941 df-ral 3062 df-rex 3071 df-reu 3353 df-rab 3407 df-v 3449 df-sbc 3744 df-csb 3860 df-dif 3917 df-un 3919 df-in 3921 df-ss 3931 df-nul 4287 df-if 4491 df-pw 4566 df-sn 4591 df-pr 4593 df-op 4597 df-uni 4870 df-iun 4960 df-br 5110 df-opab 5172 df-mpt 5193 df-id 5535 df-xp 5643 df-rel 5644 df-cnv 5645 df-co 5646 df-dm 5647 df-rn 5648 df-res 5649 df-ima 5650 df-iota 6452 df-fun 6502 df-fn 6503 df-f 6504 df-f1 6505 df-fo 6506 df-f1o 6507 df-fv 6508 df-ov 7364 df-oprab 7365 df-mpo 7366 df-1st 7925 df-2nd 7926 df-mvmul 21913 |
This theorem is referenced by: mvmumamul1 21926 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |