MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mvmulval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mvmulval 21915
Description: Multiplication of a vector with a matrix. (Contributed by AV, 23-Feb-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mvmulfval.x ร— = (๐‘… maVecMul โŸจ๐‘€, ๐‘โŸฉ)
mvmulfval.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
mvmulfval.t ยท = (.rโ€˜๐‘…)
mvmulfval.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ ๐‘‰)
mvmulfval.m (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ Fin)
mvmulfval.n (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
mvmulval.x (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ (๐ต โ†‘m (๐‘€ ร— ๐‘)))
mvmulval.y (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ (๐ต โ†‘m ๐‘))
Assertion
Ref Expression
mvmulval (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ ร— ๐‘Œ) = (๐‘– โˆˆ ๐‘€ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘‹๐‘—) ยท (๐‘Œโ€˜๐‘—))))))
Distinct variable groups:   ๐‘–,๐‘—,๐œ‘   ๐‘–,๐‘€,๐‘—   ๐‘–,๐‘,๐‘—   ๐‘…,๐‘–,๐‘—   ยท ,๐‘–   ๐‘–,๐‘‹,๐‘—   ๐‘–,๐‘Œ,๐‘—
Allowed substitution hints:   ๐ต(๐‘–,๐‘—)   ยท (๐‘—)   ร— (๐‘–,๐‘—)   ๐‘‰(๐‘–,๐‘—)

Proof of Theorem mvmulval
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mvmulfval.x . . 3 ร— = (๐‘… maVecMul โŸจ๐‘€, ๐‘โŸฉ)
2 mvmulfval.b . . 3 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
3 mvmulfval.t . . 3 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
4 mvmulfval.r . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ ๐‘‰)
5 mvmulfval.m . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ Fin)
6 mvmulfval.n . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
71, 2, 3, 4, 5, 6mvmulfval 21914 . 2 (๐œ‘ โ†’ ร— = (๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โ†‘m (๐‘€ ร— ๐‘)), ๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โ†‘m ๐‘) โ†ฆ (๐‘– โˆˆ ๐‘€ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—) ยท (๐‘ฆโ€˜๐‘—)))))))
8 oveq 7367 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ (๐‘–๐‘ฅ๐‘—) = (๐‘–๐‘‹๐‘—))
9 fveq1 6845 . . . . . . 7 (๐‘ฆ = ๐‘Œ โ†’ (๐‘ฆโ€˜๐‘—) = (๐‘Œโ€˜๐‘—))
108, 9oveqan12d 7380 . . . . . 6 ((๐‘ฅ = ๐‘‹ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘Œ) โ†’ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—) ยท (๐‘ฆโ€˜๐‘—)) = ((๐‘–๐‘‹๐‘—) ยท (๐‘Œโ€˜๐‘—)))
1110adantl 483 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = ๐‘‹ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘Œ)) โ†’ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—) ยท (๐‘ฆโ€˜๐‘—)) = ((๐‘–๐‘‹๐‘—) ยท (๐‘Œโ€˜๐‘—)))
1211mpteq2dv 5211 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = ๐‘‹ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘Œ)) โ†’ (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—) ยท (๐‘ฆโ€˜๐‘—))) = (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘‹๐‘—) ยท (๐‘Œโ€˜๐‘—))))
1312oveq2d 7377 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = ๐‘‹ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘Œ)) โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—) ยท (๐‘ฆโ€˜๐‘—)))) = (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘‹๐‘—) ยท (๐‘Œโ€˜๐‘—)))))
1413mpteq2dv 5211 . 2 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = ๐‘‹ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘Œ)) โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐‘€ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—) ยท (๐‘ฆโ€˜๐‘—))))) = (๐‘– โˆˆ ๐‘€ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘‹๐‘—) ยท (๐‘Œโ€˜๐‘—))))))
15 mvmulval.x . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ (๐ต โ†‘m (๐‘€ ร— ๐‘)))
16 mvmulval.y . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ (๐ต โ†‘m ๐‘))
175mptexd 7178 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐‘€ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘‹๐‘—) ยท (๐‘Œโ€˜๐‘—))))) โˆˆ V)
187, 14, 15, 16, 17ovmpod 7511 1 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ ร— ๐‘Œ) = (๐‘– โˆˆ ๐‘€ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘‹๐‘—) ยท (๐‘Œโ€˜๐‘—))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  Vcvv 3447  โŸจcop 4596   โ†ฆ cmpt 5192   ร— cxp 5635  โ€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   โ†‘m cmap 8771  Fincfn 8889  Basecbs 17091  .rcmulr 17142   ฮฃg cgsu 17330   maVecMul cmvmul 21912
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-mvmul 21913
This theorem is referenced by:  mvmulfv  21916  mavmulval  21917
  Copyright terms: Public domain W3C validator