MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mvmumamul1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mvmumamul1 22576
Description: The multiplication of an MxN matrix with an N-dimensional vector corresponds to the matrix multiplication of an MxN matrix with an Nx1 matrix. (Contributed by AV, 14-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mvmumamul1.x × = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑁, {∅}⟩)
mvmumamul1.t · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑀, 𝑁⟩)
mvmumamul1.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
mvmumamul1.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
mvmumamul1.m (𝜑𝑀 ∈ Fin)
mvmumamul1.n (𝜑𝑁 ∈ Fin)
mvmumamul1.a (𝜑𝐴 ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑁)))
mvmumamul1.y (𝜑𝑌 ∈ (𝐵m 𝑁))
mvmumamul1.z (𝜑𝑍 ∈ (𝐵m (𝑁 × {∅})))
Assertion
Ref Expression
mvmumamul1 (𝜑 → (∀𝑗𝑁 (𝑌𝑗) = (𝑗𝑍∅) → ∀𝑖𝑀 ((𝐴 · 𝑌)‘𝑖) = (𝑖(𝐴 × 𝑍)∅)))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑗,𝑁   𝑖,𝑌,𝑗   𝑖,𝑍,𝑗   𝜑,𝑖,𝑗
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖,𝑗)   𝐵(𝑖,𝑗)   𝑅(𝑖,𝑗)   · (𝑖,𝑗)   × (𝑖,𝑗)   𝑀(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem mvmumamul1
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mvmumamul1.t . . . . . 6 · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑀, 𝑁⟩)
2 mvmumamul1.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑅)
3 eqid 2735 . . . . . 6 (.r𝑅) = (.r𝑅)
4 mvmumamul1.r . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
54adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑖𝑀) → 𝑅 ∈ Ring)
6 mvmumamul1.m . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ Fin)
76adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑖𝑀) → 𝑀 ∈ Fin)
8 mvmumamul1.n . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ Fin)
98adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑖𝑀) → 𝑁 ∈ Fin)
10 mvmumamul1.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑁)))
1110adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑖𝑀) → 𝐴 ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑁)))
12 mvmumamul1.y . . . . . . 7 (𝜑𝑌 ∈ (𝐵m 𝑁))
1312adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑖𝑀) → 𝑌 ∈ (𝐵m 𝑁))
14 simpr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑖𝑀) → 𝑖𝑀)
151, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 14mvmulfv 22566 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝑀) → ((𝐴 · 𝑌)‘𝑖) = (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖𝐴𝑘)(.r𝑅)(𝑌𝑘)))))
1615adantlr 715 . . . 4 (((𝜑 ∧ ∀𝑗𝑁 (𝑌𝑗) = (𝑗𝑍∅)) ∧ 𝑖𝑀) → ((𝐴 · 𝑌)‘𝑖) = (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖𝐴𝑘)(.r𝑅)(𝑌𝑘)))))
17 fveq2 6907 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝑘 → (𝑌𝑗) = (𝑌𝑘))
18 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝑘 → (𝑗𝑍∅) = (𝑘𝑍∅))
1917, 18eqeq12d 2751 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝑘 → ((𝑌𝑗) = (𝑗𝑍∅) ↔ (𝑌𝑘) = (𝑘𝑍∅)))
2019rspccv 3619 . . . . . . . . . 10 (∀𝑗𝑁 (𝑌𝑗) = (𝑗𝑍∅) → (𝑘𝑁 → (𝑌𝑘) = (𝑘𝑍∅)))
2120adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ∀𝑗𝑁 (𝑌𝑗) = (𝑗𝑍∅)) → (𝑘𝑁 → (𝑌𝑘) = (𝑘𝑍∅)))
2221imp 406 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ∀𝑗𝑁 (𝑌𝑗) = (𝑗𝑍∅)) ∧ 𝑘𝑁) → (𝑌𝑘) = (𝑘𝑍∅))
2322oveq2d 7447 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ∀𝑗𝑁 (𝑌𝑗) = (𝑗𝑍∅)) ∧ 𝑘𝑁) → ((𝑖𝐴𝑘)(.r𝑅)(𝑌𝑘)) = ((𝑖𝐴𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑍∅)))
2423mpteq2dva 5248 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ∀𝑗𝑁 (𝑌𝑗) = (𝑗𝑍∅)) → (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖𝐴𝑘)(.r𝑅)(𝑌𝑘))) = (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖𝐴𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑍∅))))
2524oveq2d 7447 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑗𝑁 (𝑌𝑗) = (𝑗𝑍∅)) → (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖𝐴𝑘)(.r𝑅)(𝑌𝑘)))) = (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖𝐴𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑍∅)))))
2625adantr 480 . . . 4 (((𝜑 ∧ ∀𝑗𝑁 (𝑌𝑗) = (𝑗𝑍∅)) ∧ 𝑖𝑀) → (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖𝐴𝑘)(.r𝑅)(𝑌𝑘)))) = (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖𝐴𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑍∅)))))
27 mvmumamul1.x . . . . . . 7 × = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑁, {∅}⟩)
28 snfi 9082 . . . . . . . 8 {∅} ∈ Fin
2928a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖𝑀) → {∅} ∈ Fin)
30 mvmumamul1.z . . . . . . . 8 (𝜑𝑍 ∈ (𝐵m (𝑁 × {∅})))
3130adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖𝑀) → 𝑍 ∈ (𝐵m (𝑁 × {∅})))
32 0ex 5313 . . . . . . . . 9 ∅ ∈ V
3332snid 4667 . . . . . . . 8 ∅ ∈ {∅}
3433a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖𝑀) → ∅ ∈ {∅})
3527, 2, 3, 5, 7, 9, 29, 11, 31, 14, 34mamufv 22414 . . . . . 6 ((𝜑𝑖𝑀) → (𝑖(𝐴 × 𝑍)∅) = (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖𝐴𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑍∅)))))
3635eqcomd 2741 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝑀) → (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖𝐴𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑍∅)))) = (𝑖(𝐴 × 𝑍)∅))
3736adantlr 715 . . . 4 (((𝜑 ∧ ∀𝑗𝑁 (𝑌𝑗) = (𝑗𝑍∅)) ∧ 𝑖𝑀) → (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖𝐴𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑍∅)))) = (𝑖(𝐴 × 𝑍)∅))
3816, 26, 373eqtrd 2779 . . 3 (((𝜑 ∧ ∀𝑗𝑁 (𝑌𝑗) = (𝑗𝑍∅)) ∧ 𝑖𝑀) → ((𝐴 · 𝑌)‘𝑖) = (𝑖(𝐴 × 𝑍)∅))
3938ralrimiva 3144 . 2 ((𝜑 ∧ ∀𝑗𝑁 (𝑌𝑗) = (𝑗𝑍∅)) → ∀𝑖𝑀 ((𝐴 · 𝑌)‘𝑖) = (𝑖(𝐴 × 𝑍)∅))
4039ex 412 1 (𝜑 → (∀𝑗𝑁 (𝑌𝑗) = (𝑗𝑍∅) → ∀𝑖𝑀 ((𝐴 · 𝑌)‘𝑖) = (𝑖(𝐴 × 𝑍)∅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  c0 4339  {csn 4631  cop 4637  cotp 4639  cmpt 5231   × cxp 5687  cfv 6563  (class class class)co 7431  m cmap 8865  Fincfn 8984  Basecbs 17245  .rcmulr 17299   Σg cgsu 17487  Ringcrg 20251   maMul cmmul 22410   maVecMul cmvmul 22562
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-ot 4640  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-1o 8505  df-en 8985  df-fin 8988  df-mamu 22411  df-mvmul 22563
This theorem is referenced by:  mavmumamul1  22577
  Copyright terms: Public domain W3C validator