MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mvmumamul1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mvmumamul1 22055
Description: The multiplication of an MxN matrix with an N-dimensional vector corresponds to the matrix multiplication of an MxN matrix with an Nx1 matrix. (Contributed by AV, 14-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mvmumamul1.x ร— = (๐‘… maMul โŸจ๐‘€, ๐‘, {โˆ…}โŸฉ)
mvmumamul1.t ยท = (๐‘… maVecMul โŸจ๐‘€, ๐‘โŸฉ)
mvmumamul1.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
mvmumamul1.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
mvmumamul1.m (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ Fin)
mvmumamul1.n (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
mvmumamul1.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ (๐ต โ†‘m (๐‘€ ร— ๐‘)))
mvmumamul1.y (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ (๐ต โ†‘m ๐‘))
mvmumamul1.z (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (๐‘ ร— {โˆ…})))
Assertion
Ref Expression
mvmumamul1 (๐œ‘ โ†’ (โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘Œโ€˜๐‘—) = (๐‘—๐‘โˆ…) โ†’ โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘€ ((๐ด ยท ๐‘Œ)โ€˜๐‘–) = (๐‘–(๐ด ร— ๐‘)โˆ…)))
Distinct variable groups:   ๐‘–,๐‘—,๐‘   ๐‘–,๐‘Œ,๐‘—   ๐‘–,๐‘,๐‘—   ๐œ‘,๐‘–,๐‘—
Allowed substitution hints:   ๐ด(๐‘–,๐‘—)   ๐ต(๐‘–,๐‘—)   ๐‘…(๐‘–,๐‘—)   ยท (๐‘–,๐‘—)   ร— (๐‘–,๐‘—)   ๐‘€(๐‘–,๐‘—)

Proof of Theorem mvmumamul1
Dummy variable ๐‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mvmumamul1.t . . . . . 6 ยท = (๐‘… maVecMul โŸจ๐‘€, ๐‘โŸฉ)
2 mvmumamul1.b . . . . . 6 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
3 eqid 2732 . . . . . 6 (.rโ€˜๐‘…) = (.rโ€˜๐‘…)
4 mvmumamul1.r . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
54adantr 481 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘€) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
6 mvmumamul1.m . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ Fin)
76adantr 481 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘€) โ†’ ๐‘€ โˆˆ Fin)
8 mvmumamul1.n . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
98adantr 481 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘€) โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
10 mvmumamul1.a . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ (๐ต โ†‘m (๐‘€ ร— ๐‘)))
1110adantr 481 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘€) โ†’ ๐ด โˆˆ (๐ต โ†‘m (๐‘€ ร— ๐‘)))
12 mvmumamul1.y . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ (๐ต โ†‘m ๐‘))
1312adantr 481 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘€) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ (๐ต โ†‘m ๐‘))
14 simpr 485 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘€) โ†’ ๐‘– โˆˆ ๐‘€)
151, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 14mvmulfv 22045 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘€) โ†’ ((๐ด ยท ๐‘Œ)โ€˜๐‘–) = (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐ด๐‘˜)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘˜)))))
1615adantlr 713 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘Œโ€˜๐‘—) = (๐‘—๐‘โˆ…)) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘€) โ†’ ((๐ด ยท ๐‘Œ)โ€˜๐‘–) = (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐ด๐‘˜)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘˜)))))
17 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ (๐‘Œโ€˜๐‘—) = (๐‘Œโ€˜๐‘˜))
18 oveq1 7415 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ (๐‘—๐‘โˆ…) = (๐‘˜๐‘โˆ…))
1917, 18eqeq12d 2748 . . . . . . . . . . 11 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ ((๐‘Œโ€˜๐‘—) = (๐‘—๐‘โˆ…) โ†” (๐‘Œโ€˜๐‘˜) = (๐‘˜๐‘โˆ…)))
2019rspccv 3609 . . . . . . . . . 10 (โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘Œโ€˜๐‘—) = (๐‘—๐‘โˆ…) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†’ (๐‘Œโ€˜๐‘˜) = (๐‘˜๐‘โˆ…)))
2120adantl 482 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘Œโ€˜๐‘—) = (๐‘—๐‘โˆ…)) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†’ (๐‘Œโ€˜๐‘˜) = (๐‘˜๐‘โˆ…)))
2221imp 407 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘Œโ€˜๐‘—) = (๐‘—๐‘โˆ…)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘Œโ€˜๐‘˜) = (๐‘˜๐‘โˆ…))
2322oveq2d 7424 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘Œโ€˜๐‘—) = (๐‘—๐‘โˆ…)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ((๐‘–๐ด๐‘˜)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘˜)) = ((๐‘–๐ด๐‘˜)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘โˆ…)))
2423mpteq2dva 5248 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘Œโ€˜๐‘—) = (๐‘—๐‘โˆ…)) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐ด๐‘˜)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘˜))) = (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐ด๐‘˜)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘โˆ…))))
2524oveq2d 7424 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘Œโ€˜๐‘—) = (๐‘—๐‘โˆ…)) โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐ด๐‘˜)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘˜)))) = (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐ด๐‘˜)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘โˆ…)))))
2625adantr 481 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘Œโ€˜๐‘—) = (๐‘—๐‘โˆ…)) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘€) โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐ด๐‘˜)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘˜)))) = (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐ด๐‘˜)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘โˆ…)))))
27 mvmumamul1.x . . . . . . 7 ร— = (๐‘… maMul โŸจ๐‘€, ๐‘, {โˆ…}โŸฉ)
28 snfi 9043 . . . . . . . 8 {โˆ…} โˆˆ Fin
2928a1i 11 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘€) โ†’ {โˆ…} โˆˆ Fin)
30 mvmumamul1.z . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (๐‘ ร— {โˆ…})))
3130adantr 481 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘€) โ†’ ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (๐‘ ร— {โˆ…})))
32 0ex 5307 . . . . . . . . 9 โˆ… โˆˆ V
3332snid 4664 . . . . . . . 8 โˆ… โˆˆ {โˆ…}
3433a1i 11 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘€) โ†’ โˆ… โˆˆ {โˆ…})
3527, 2, 3, 5, 7, 9, 29, 11, 31, 14, 34mamufv 21888 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘€) โ†’ (๐‘–(๐ด ร— ๐‘)โˆ…) = (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐ด๐‘˜)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘โˆ…)))))
3635eqcomd 2738 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘€) โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐ด๐‘˜)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘โˆ…)))) = (๐‘–(๐ด ร— ๐‘)โˆ…))
3736adantlr 713 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘Œโ€˜๐‘—) = (๐‘—๐‘โˆ…)) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘€) โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐ด๐‘˜)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘โˆ…)))) = (๐‘–(๐ด ร— ๐‘)โˆ…))
3816, 26, 373eqtrd 2776 . . 3 (((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘Œโ€˜๐‘—) = (๐‘—๐‘โˆ…)) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘€) โ†’ ((๐ด ยท ๐‘Œ)โ€˜๐‘–) = (๐‘–(๐ด ร— ๐‘)โˆ…))
3938ralrimiva 3146 . 2 ((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘Œโ€˜๐‘—) = (๐‘—๐‘โˆ…)) โ†’ โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘€ ((๐ด ยท ๐‘Œ)โ€˜๐‘–) = (๐‘–(๐ด ร— ๐‘)โˆ…))
4039ex 413 1 (๐œ‘ โ†’ (โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘Œโ€˜๐‘—) = (๐‘—๐‘โˆ…) โ†’ โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘€ ((๐ด ยท ๐‘Œ)โ€˜๐‘–) = (๐‘–(๐ด ร— ๐‘)โˆ…)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  โˆ€wral 3061  โˆ…c0 4322  {csn 4628  โŸจcop 4634  โŸจcotp 4636   โ†ฆ cmpt 5231   ร— cxp 5674  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7408   โ†‘m cmap 8819  Fincfn 8938  Basecbs 17143  .rcmulr 17197   ฮฃg cgsu 17385  Ringcrg 20055   maMul cmmul 21884   maVecMul cmvmul 22041
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-ot 4637  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-1o 8465  df-en 8939  df-fin 8942  df-mamu 21885  df-mvmul 22042
This theorem is referenced by:  mavmumamul1  22056
  Copyright terms: Public domain W3C validator