Theorem mvmumamul1 22775

Description: The multiplication of an MxN matrix with an N-dimensional vector corresponds to the matrix multiplication of an MxN matrix with an Nx1 matrix. (Contributed by AV, 14-Mar-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mvmumamul1.x	⊢ × = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑁, {∅}⟩)
mvmumamul1.t	⊢ · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑀, 𝑁⟩)
mvmumamul1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
mvmumamul1.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
mvmumamul1.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Fin)
mvmumamul1.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
mvmumamul1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)))
mvmumamul1.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝑁))
mvmumamul1.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × {∅})))

Assertion

Ref	Expression
mvmumamul1	⊢ (𝜑 → (∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑌‘𝑗) = (𝑗𝑍∅) → ∀𝑖 ∈ 𝑀 ((𝐴 · 𝑌)‘𝑖) = (𝑖(𝐴 × 𝑍)∅)))

Distinct variable groups:   𝑖,𝑗,𝑁   𝑖,𝑌,𝑗   𝑖,𝑍,𝑗   𝜑,𝑖,𝑗

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖, 𝑗)   𝐵(𝑖, 𝑗)   𝑅(𝑖, 𝑗)   · (𝑖, 𝑗)   × (𝑖, 𝑗)   𝑀(𝑖, 𝑗)

Proof of Theorem mvmumamul1

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mvmumamul1.t	. . . . . 6 ⊢ · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑀, 𝑁⟩)
2		mvmumamul1.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
4		mvmumamul1.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
5	4	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) → 𝑅 ∈ Ring)
6		mvmumamul1.m	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Fin)
7	6	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) → 𝑀 ∈ Fin)
8		mvmumamul1.n	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
9	8	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) → 𝑁 ∈ Fin)
10		mvmumamul1.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)))
11	10	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) → 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)))
12		mvmumamul1.y	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝑁))
13	12	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) → 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝑁))
14		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) → 𝑖 ∈ 𝑀)
15	1, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 14	mvmulfv 22765	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) → ((𝐴 · 𝑌)‘𝑖) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝐴𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑘)))))
16	15	adantlr 728	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑌‘𝑗) = (𝑗𝑍∅)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) → ((𝐴 · 𝑌)‘𝑖) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝐴𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑘)))))
17		fveq2 6882	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑌‘𝑗) = (𝑌‘𝑘))
18		oveq1 7423	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑗𝑍∅) = (𝑘𝑍∅))
19	17, 18	eqeq12d 2778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝑌‘𝑗) = (𝑗𝑍∅) ↔ (𝑌‘𝑘) = (𝑘𝑍∅)))
20	19	rspccv 3576	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑌‘𝑗) = (𝑗𝑍∅) → (𝑘 ∈ 𝑁 → (𝑌‘𝑘) = (𝑘𝑍∅)))
21	20	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑌‘𝑗) = (𝑗𝑍∅)) → (𝑘 ∈ 𝑁 → (𝑌‘𝑘) = (𝑘𝑍∅)))
22	21	imp 412	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑌‘𝑗) = (𝑗𝑍∅)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (𝑌‘𝑘) = (𝑘𝑍∅))
23	22	oveq2d 7432	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑌‘𝑗) = (𝑗𝑍∅)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → ((𝑖𝐴𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑘)) = ((𝑖𝐴𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑍∅)))
24	23	mpteq2dva 5202	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑌‘𝑗) = (𝑗𝑍∅)) → (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝐴𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑘))) = (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝐴𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑍∅))))
25	24	oveq2d 7432	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑌‘𝑗) = (𝑗𝑍∅)) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝐴𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑘)))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝐴𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑍∅)))))
26	25	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑌‘𝑗) = (𝑗𝑍∅)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝐴𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑘)))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝐴𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑍∅)))))
27		mvmumamul1.x	. . . . . . 7 ⊢ × = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑁, {∅}⟩)
28		snfi 9053	. . . . . . . 8 ⊢ {∅} ∈ Fin
29	28	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) → {∅} ∈ Fin)
30		mvmumamul1.z	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × {∅})))
31	30	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) → 𝑍 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × {∅})))
32		0ex 5268	. . . . . . . . 9 ⊢ ∅ ∈ V
33	32	snid 4626	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ {∅}
34	33	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) → ∅ ∈ {∅})
35	27, 2, 3, 5, 7, 9, 29, 11, 31, 14, 34	mamufv 22615	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) → (𝑖(𝐴 × 𝑍)∅) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝐴𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑍∅)))))
36	35	eqcomd 2768	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝐴𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑍∅)))) = (𝑖(𝐴 × 𝑍)∅))
37	36	adantlr 728	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑌‘𝑗) = (𝑗𝑍∅)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝐴𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑍∅)))) = (𝑖(𝐴 × 𝑍)∅))
38	16, 26, 37	3eqtrd 2801	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑌‘𝑗) = (𝑗𝑍∅)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) → ((𝐴 · 𝑌)‘𝑖) = (𝑖(𝐴 × 𝑍)∅))
39	38	ralrimiva 3156	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑌‘𝑗) = (𝑗𝑍∅)) → ∀𝑖 ∈ 𝑀 ((𝐴 · 𝑌)‘𝑖) = (𝑖(𝐴 × 𝑍)∅))
40	39	ex 418	1 ⊢ (𝜑 → (∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑌‘𝑗) = (𝑗𝑍∅) → ∀𝑖 ∈ 𝑀 ((𝐴 · 𝑌)‘𝑖) = (𝑖(𝐴 × 𝑍)∅)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3078  ∅c0 4282  {csn 4587  ⟨cop 4593  ⟨cotp 4595   ↦ cmpt 5190   × cxp 5657  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416   ↑_m cmap 8829  Fincfn 8955  Basecbs 17303  ._rcmulr 17345   Σ_g cgsu 17527  Ringcrg 20371   maMul cmmul 22611   maVecMul cmvmul 22761

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-ot 4596  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-1o 8458  df-en 8956  df-fin 8959  df-mamu 22612  df-mvmul 22762

This theorem is used by:  mavmumamul1  22776