Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mvmumamul1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mvmumamul1 21254
 Description: The multiplication of an MxN matrix with an N-dimensional vector corresponds to the matrix multiplication of an MxN matrix with an Nx1 matrix. (Contributed by AV, 14-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mvmumamul1.x × = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑁, {∅}⟩)
mvmumamul1.t · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑀, 𝑁⟩)
mvmumamul1.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
mvmumamul1.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
mvmumamul1.m (𝜑𝑀 ∈ Fin)
mvmumamul1.n (𝜑𝑁 ∈ Fin)
mvmumamul1.a (𝜑𝐴 ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑁)))
mvmumamul1.y (𝜑𝑌 ∈ (𝐵m 𝑁))
mvmumamul1.z (𝜑𝑍 ∈ (𝐵m (𝑁 × {∅})))
Assertion
Ref Expression
mvmumamul1 (𝜑 → (∀𝑗𝑁 (𝑌𝑗) = (𝑗𝑍∅) → ∀𝑖𝑀 ((𝐴 · 𝑌)‘𝑖) = (𝑖(𝐴 × 𝑍)∅)))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑗,𝑁   𝑖,𝑌,𝑗   𝑖,𝑍,𝑗   𝜑,𝑖,𝑗
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖,𝑗)   𝐵(𝑖,𝑗)   𝑅(𝑖,𝑗)   · (𝑖,𝑗)   × (𝑖,𝑗)   𝑀(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem mvmumamul1
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mvmumamul1.t . . . . . 6 · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑀, 𝑁⟩)
2 mvmumamul1.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑅)
3 eqid 2758 . . . . . 6 (.r𝑅) = (.r𝑅)
4 mvmumamul1.r . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
54adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑖𝑀) → 𝑅 ∈ Ring)
6 mvmumamul1.m . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ Fin)
76adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑖𝑀) → 𝑀 ∈ Fin)
8 mvmumamul1.n . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ Fin)
98adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑖𝑀) → 𝑁 ∈ Fin)
10 mvmumamul1.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑁)))
1110adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑖𝑀) → 𝐴 ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑁)))
12 mvmumamul1.y . . . . . . 7 (𝜑𝑌 ∈ (𝐵m 𝑁))
1312adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑖𝑀) → 𝑌 ∈ (𝐵m 𝑁))
14 simpr 488 . . . . . 6 ((𝜑𝑖𝑀) → 𝑖𝑀)
151, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 14mvmulfv 21244 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝑀) → ((𝐴 · 𝑌)‘𝑖) = (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖𝐴𝑘)(.r𝑅)(𝑌𝑘)))))
1615adantlr 714 . . . 4 (((𝜑 ∧ ∀𝑗𝑁 (𝑌𝑗) = (𝑗𝑍∅)) ∧ 𝑖𝑀) → ((𝐴 · 𝑌)‘𝑖) = (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖𝐴𝑘)(.r𝑅)(𝑌𝑘)))))
17 fveq2 6658 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝑘 → (𝑌𝑗) = (𝑌𝑘))
18 oveq1 7157 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝑘 → (𝑗𝑍∅) = (𝑘𝑍∅))
1917, 18eqeq12d 2774 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝑘 → ((𝑌𝑗) = (𝑗𝑍∅) ↔ (𝑌𝑘) = (𝑘𝑍∅)))
2019rspccv 3538 . . . . . . . . . 10 (∀𝑗𝑁 (𝑌𝑗) = (𝑗𝑍∅) → (𝑘𝑁 → (𝑌𝑘) = (𝑘𝑍∅)))
2120adantl 485 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ∀𝑗𝑁 (𝑌𝑗) = (𝑗𝑍∅)) → (𝑘𝑁 → (𝑌𝑘) = (𝑘𝑍∅)))
2221imp 410 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ∀𝑗𝑁 (𝑌𝑗) = (𝑗𝑍∅)) ∧ 𝑘𝑁) → (𝑌𝑘) = (𝑘𝑍∅))
2322oveq2d 7166 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ∀𝑗𝑁 (𝑌𝑗) = (𝑗𝑍∅)) ∧ 𝑘𝑁) → ((𝑖𝐴𝑘)(.r𝑅)(𝑌𝑘)) = ((𝑖𝐴𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑍∅)))
2423mpteq2dva 5127 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ∀𝑗𝑁 (𝑌𝑗) = (𝑗𝑍∅)) → (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖𝐴𝑘)(.r𝑅)(𝑌𝑘))) = (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖𝐴𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑍∅))))
2524oveq2d 7166 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑗𝑁 (𝑌𝑗) = (𝑗𝑍∅)) → (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖𝐴𝑘)(.r𝑅)(𝑌𝑘)))) = (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖𝐴𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑍∅)))))
2625adantr 484 . . . 4 (((𝜑 ∧ ∀𝑗𝑁 (𝑌𝑗) = (𝑗𝑍∅)) ∧ 𝑖𝑀) → (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖𝐴𝑘)(.r𝑅)(𝑌𝑘)))) = (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖𝐴𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑍∅)))))
27 mvmumamul1.x . . . . . . 7 × = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑁, {∅}⟩)
28 snfi 8614 . . . . . . . 8 {∅} ∈ Fin
2928a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖𝑀) → {∅} ∈ Fin)
30 mvmumamul1.z . . . . . . . 8 (𝜑𝑍 ∈ (𝐵m (𝑁 × {∅})))
3130adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖𝑀) → 𝑍 ∈ (𝐵m (𝑁 × {∅})))
32 0ex 5177 . . . . . . . . 9 ∅ ∈ V
3332snid 4558 . . . . . . . 8 ∅ ∈ {∅}
3433a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖𝑀) → ∅ ∈ {∅})
3527, 2, 3, 5, 7, 9, 29, 11, 31, 14, 34mamufv 21089 . . . . . 6 ((𝜑𝑖𝑀) → (𝑖(𝐴 × 𝑍)∅) = (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖𝐴𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑍∅)))))
3635eqcomd 2764 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝑀) → (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖𝐴𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑍∅)))) = (𝑖(𝐴 × 𝑍)∅))
3736adantlr 714 . . . 4 (((𝜑 ∧ ∀𝑗𝑁 (𝑌𝑗) = (𝑗𝑍∅)) ∧ 𝑖𝑀) → (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖𝐴𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑍∅)))) = (𝑖(𝐴 × 𝑍)∅))
3816, 26, 373eqtrd 2797 . . 3 (((𝜑 ∧ ∀𝑗𝑁 (𝑌𝑗) = (𝑗𝑍∅)) ∧ 𝑖𝑀) → ((𝐴 · 𝑌)‘𝑖) = (𝑖(𝐴 × 𝑍)∅))
3938ralrimiva 3113 . 2 ((𝜑 ∧ ∀𝑗𝑁 (𝑌𝑗) = (𝑗𝑍∅)) → ∀𝑖𝑀 ((𝐴 · 𝑌)‘𝑖) = (𝑖(𝐴 × 𝑍)∅))
4039ex 416 1 (𝜑 → (∀𝑗𝑁 (𝑌𝑗) = (𝑗𝑍∅) → ∀𝑖𝑀 ((𝐴 · 𝑌)‘𝑖) = (𝑖(𝐴 × 𝑍)∅)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3070  ∅c0 4225  {csn 4522  ⟨cop 4528  ⟨cotp 4530   ↦ cmpt 5112   × cxp 5522  ‘cfv 6335  (class class class)co 7150   ↑m cmap 8416  Fincfn 8527  Basecbs 16541  .rcmulr 16624   Σg cgsu 16772  Ringcrg 19365   maMul cmmul 21085   maVecMul cmvmul 21240 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5156  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-ot 4531  df-uni 4799  df-iun 4885  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7580  df-1st 7693  df-2nd 7694  df-1o 8112  df-en 8528  df-fin 8531  df-mamu 21086  df-mvmul 21241 This theorem is referenced by:  mavmumamul1  21255
 Copyright terms: Public domain W3C validator