Theorem mvmumamul1 22541

Description: The multiplication of an MxN matrix with an N-dimensional vector corresponds to the matrix multiplication of an MxN matrix with an Nx1 matrix. (Contributed by AV, 14-Mar-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mvmumamul1.x	⊢ × = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑁, {∅}⟩)
mvmumamul1.t	⊢ · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑀, 𝑁⟩)
mvmumamul1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
mvmumamul1.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
mvmumamul1.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Fin)
mvmumamul1.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
mvmumamul1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)))
mvmumamul1.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝑁))
mvmumamul1.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × {∅})))

Assertion

Ref	Expression
mvmumamul1	⊢ (𝜑 → (∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑌‘𝑗) = (𝑗𝑍∅) → ∀𝑖 ∈ 𝑀 ((𝐴 · 𝑌)‘𝑖) = (𝑖(𝐴 × 𝑍)∅)))

Distinct variable groups:   𝑖,𝑗,𝑁   𝑖,𝑌,𝑗   𝑖,𝑍,𝑗   𝜑,𝑖,𝑗

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖,𝑗)   𝐵(𝑖,𝑗)   𝑅(𝑖,𝑗)   · (𝑖,𝑗)   × (𝑖,𝑗)   𝑀(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem mvmumamul1

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mvmumamul1.t	. . . . . 6 ⊢ · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑀, 𝑁⟩)
2		mvmumamul1.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		eqid 2741	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
4		mvmumamul1.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
5	4	adantr 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) → 𝑅 ∈ Ring)
6		mvmumamul1.m	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Fin)
7	6	adantr 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) → 𝑀 ∈ Fin)
8		mvmumamul1.n	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
9	8	adantr 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) → 𝑁 ∈ Fin)
10		mvmumamul1.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)))
11	10	adantr 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) → 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)))
12		mvmumamul1.y	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝑁))
13	12	adantr 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) → 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝑁))
14		simpr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) → 𝑖 ∈ 𝑀)
15	1, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 14	mvmulfv 22531	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) → ((𝐴 · 𝑌)‘𝑖) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝐴𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑘)))))
16	15	adantlr 722	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑌‘𝑗) = (𝑗𝑍∅)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) → ((𝐴 · 𝑌)‘𝑖) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝐴𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑘)))))
17		fveq2 6831	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑌‘𝑗) = (𝑌‘𝑘))
18		oveq1 7367	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑗𝑍∅) = (𝑘𝑍∅))
19	17, 18	eqeq12d 2757	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝑌‘𝑗) = (𝑗𝑍∅) ↔ (𝑌‘𝑘) = (𝑘𝑍∅)))
20	19	rspccv 3559	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑌‘𝑗) = (𝑗𝑍∅) → (𝑘 ∈ 𝑁 → (𝑌‘𝑘) = (𝑘𝑍∅)))
21	20	adantl 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑌‘𝑗) = (𝑗𝑍∅)) → (𝑘 ∈ 𝑁 → (𝑌‘𝑘) = (𝑘𝑍∅)))
22	21	imp 408	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑌‘𝑗) = (𝑗𝑍∅)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (𝑌‘𝑘) = (𝑘𝑍∅))
23	22	oveq2d 7376	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑌‘𝑗) = (𝑗𝑍∅)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → ((𝑖𝐴𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑘)) = ((𝑖𝐴𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑍∅)))
24	23	mpteq2dva 5168	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑌‘𝑗) = (𝑗𝑍∅)) → (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝐴𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑘))) = (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝐴𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑍∅))))
25	24	oveq2d 7376	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑌‘𝑗) = (𝑗𝑍∅)) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝐴𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑘)))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝐴𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑍∅)))))
26	25	adantr 482	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑌‘𝑗) = (𝑗𝑍∅)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝐴𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑘)))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝐴𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑍∅)))))
27		mvmumamul1.x	. . . . . . 7 ⊢ × = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑁, {∅}⟩)
28		snfi 8984	. . . . . . . 8 ⊢ {∅} ∈ Fin
29	28	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) → {∅} ∈ Fin)
30		mvmumamul1.z	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × {∅})))
31	30	adantr 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) → 𝑍 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × {∅})))
32		0ex 5232	. . . . . . . . 9 ⊢ ∅ ∈ V
33	32	snid 4597	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ {∅}
34	33	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) → ∅ ∈ {∅})
35	27, 2, 3, 5, 7, 9, 29, 11, 31, 14, 34	mamufv 22381	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) → (𝑖(𝐴 × 𝑍)∅) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝐴𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑍∅)))))
36	35	eqcomd 2747	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝐴𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑍∅)))) = (𝑖(𝐴 × 𝑍)∅))
37	36	adantlr 722	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑌‘𝑗) = (𝑗𝑍∅)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝐴𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑍∅)))) = (𝑖(𝐴 × 𝑍)∅))
38	16, 26, 37	3eqtrd 2780	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑌‘𝑗) = (𝑗𝑍∅)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) → ((𝐴 · 𝑌)‘𝑖) = (𝑖(𝐴 × 𝑍)∅))
39	38	ralrimiva 3133	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑌‘𝑗) = (𝑗𝑍∅)) → ∀𝑖 ∈ 𝑀 ((𝐴 · 𝑌)‘𝑖) = (𝑖(𝐴 × 𝑍)∅))
40	39	ex 414	1 ⊢ (𝜑 → (∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑌‘𝑗) = (𝑗𝑍∅) → ∀𝑖 ∈ 𝑀 ((𝐴 · 𝑌)‘𝑖) = (𝑖(𝐴 × 𝑍)∅)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  ∀wral 3055  ∅c0 4264  {csn 4558  ⟨cop 4564  ⟨cotp 4566   ↦ cmpt 5156   × cxp 5619  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360   ↑_m cmap 8767  Fincfn 8887  Basecbs 17174  ._rcmulr 17216   Σ_g cgsu 17398  Ringcrg 20209   maMul cmmul 22377   maVecMul cmvmul 22527

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-ral 3056  df-rex 3066  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-ot 4567  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-1o 8399  df-en 8888  df-fin 8891  df-mamu 22378  df-mvmul 22528

This theorem is referenced by:  mavmumamul1  22542