MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mvmumamul1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mvmumamul1 22056
Description: The multiplication of an MxN matrix with an N-dimensional vector corresponds to the matrix multiplication of an MxN matrix with an Nx1 matrix. (Contributed by AV, 14-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mvmumamul1.x ร— = (๐‘… maMul โŸจ๐‘€, ๐‘, {โˆ…}โŸฉ)
mvmumamul1.t ยท = (๐‘… maVecMul โŸจ๐‘€, ๐‘โŸฉ)
mvmumamul1.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
mvmumamul1.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
mvmumamul1.m (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ Fin)
mvmumamul1.n (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
mvmumamul1.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ (๐ต โ†‘m (๐‘€ ร— ๐‘)))
mvmumamul1.y (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ (๐ต โ†‘m ๐‘))
mvmumamul1.z (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (๐‘ ร— {โˆ…})))
Assertion
Ref Expression
mvmumamul1 (๐œ‘ โ†’ (โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘Œโ€˜๐‘—) = (๐‘—๐‘โˆ…) โ†’ โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘€ ((๐ด ยท ๐‘Œ)โ€˜๐‘–) = (๐‘–(๐ด ร— ๐‘)โˆ…)))
Distinct variable groups:   ๐‘–,๐‘—,๐‘   ๐‘–,๐‘Œ,๐‘—   ๐‘–,๐‘,๐‘—   ๐œ‘,๐‘–,๐‘—
Allowed substitution hints:   ๐ด(๐‘–,๐‘—)   ๐ต(๐‘–,๐‘—)   ๐‘…(๐‘–,๐‘—)   ยท (๐‘–,๐‘—)   ร— (๐‘–,๐‘—)   ๐‘€(๐‘–,๐‘—)

Proof of Theorem mvmumamul1
Dummy variable ๐‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mvmumamul1.t . . . . . 6 ยท = (๐‘… maVecMul โŸจ๐‘€, ๐‘โŸฉ)
2 mvmumamul1.b . . . . . 6 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
3 eqid 2733 . . . . . 6 (.rโ€˜๐‘…) = (.rโ€˜๐‘…)
4 mvmumamul1.r . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
54adantr 482 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘€) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
6 mvmumamul1.m . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ Fin)
76adantr 482 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘€) โ†’ ๐‘€ โˆˆ Fin)
8 mvmumamul1.n . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
98adantr 482 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘€) โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
10 mvmumamul1.a . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ (๐ต โ†‘m (๐‘€ ร— ๐‘)))
1110adantr 482 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘€) โ†’ ๐ด โˆˆ (๐ต โ†‘m (๐‘€ ร— ๐‘)))
12 mvmumamul1.y . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ (๐ต โ†‘m ๐‘))
1312adantr 482 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘€) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ (๐ต โ†‘m ๐‘))
14 simpr 486 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘€) โ†’ ๐‘– โˆˆ ๐‘€)
151, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 14mvmulfv 22046 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘€) โ†’ ((๐ด ยท ๐‘Œ)โ€˜๐‘–) = (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐ด๐‘˜)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘˜)))))
1615adantlr 714 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘Œโ€˜๐‘—) = (๐‘—๐‘โˆ…)) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘€) โ†’ ((๐ด ยท ๐‘Œ)โ€˜๐‘–) = (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐ด๐‘˜)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘˜)))))
17 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ (๐‘Œโ€˜๐‘—) = (๐‘Œโ€˜๐‘˜))
18 oveq1 7416 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ (๐‘—๐‘โˆ…) = (๐‘˜๐‘โˆ…))
1917, 18eqeq12d 2749 . . . . . . . . . . 11 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ ((๐‘Œโ€˜๐‘—) = (๐‘—๐‘โˆ…) โ†” (๐‘Œโ€˜๐‘˜) = (๐‘˜๐‘โˆ…)))
2019rspccv 3610 . . . . . . . . . 10 (โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘Œโ€˜๐‘—) = (๐‘—๐‘โˆ…) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†’ (๐‘Œโ€˜๐‘˜) = (๐‘˜๐‘โˆ…)))
2120adantl 483 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘Œโ€˜๐‘—) = (๐‘—๐‘โˆ…)) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†’ (๐‘Œโ€˜๐‘˜) = (๐‘˜๐‘โˆ…)))
2221imp 408 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘Œโ€˜๐‘—) = (๐‘—๐‘โˆ…)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘Œโ€˜๐‘˜) = (๐‘˜๐‘โˆ…))
2322oveq2d 7425 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘Œโ€˜๐‘—) = (๐‘—๐‘โˆ…)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ((๐‘–๐ด๐‘˜)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘˜)) = ((๐‘–๐ด๐‘˜)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘โˆ…)))
2423mpteq2dva 5249 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘Œโ€˜๐‘—) = (๐‘—๐‘โˆ…)) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐ด๐‘˜)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘˜))) = (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐ด๐‘˜)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘โˆ…))))
2524oveq2d 7425 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘Œโ€˜๐‘—) = (๐‘—๐‘โˆ…)) โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐ด๐‘˜)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘˜)))) = (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐ด๐‘˜)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘โˆ…)))))
2625adantr 482 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘Œโ€˜๐‘—) = (๐‘—๐‘โˆ…)) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘€) โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐ด๐‘˜)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘˜)))) = (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐ด๐‘˜)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘โˆ…)))))
27 mvmumamul1.x . . . . . . 7 ร— = (๐‘… maMul โŸจ๐‘€, ๐‘, {โˆ…}โŸฉ)
28 snfi 9044 . . . . . . . 8 {โˆ…} โˆˆ Fin
2928a1i 11 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘€) โ†’ {โˆ…} โˆˆ Fin)
30 mvmumamul1.z . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (๐‘ ร— {โˆ…})))
3130adantr 482 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘€) โ†’ ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (๐‘ ร— {โˆ…})))
32 0ex 5308 . . . . . . . . 9 โˆ… โˆˆ V
3332snid 4665 . . . . . . . 8 โˆ… โˆˆ {โˆ…}
3433a1i 11 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘€) โ†’ โˆ… โˆˆ {โˆ…})
3527, 2, 3, 5, 7, 9, 29, 11, 31, 14, 34mamufv 21889 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘€) โ†’ (๐‘–(๐ด ร— ๐‘)โˆ…) = (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐ด๐‘˜)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘โˆ…)))))
3635eqcomd 2739 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘€) โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐ด๐‘˜)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘โˆ…)))) = (๐‘–(๐ด ร— ๐‘)โˆ…))
3736adantlr 714 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘Œโ€˜๐‘—) = (๐‘—๐‘โˆ…)) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘€) โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐ด๐‘˜)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘โˆ…)))) = (๐‘–(๐ด ร— ๐‘)โˆ…))
3816, 26, 373eqtrd 2777 . . 3 (((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘Œโ€˜๐‘—) = (๐‘—๐‘โˆ…)) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘€) โ†’ ((๐ด ยท ๐‘Œ)โ€˜๐‘–) = (๐‘–(๐ด ร— ๐‘)โˆ…))
3938ralrimiva 3147 . 2 ((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘Œโ€˜๐‘—) = (๐‘—๐‘โˆ…)) โ†’ โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘€ ((๐ด ยท ๐‘Œ)โ€˜๐‘–) = (๐‘–(๐ด ร— ๐‘)โˆ…))
4039ex 414 1 (๐œ‘ โ†’ (โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘Œโ€˜๐‘—) = (๐‘—๐‘โˆ…) โ†’ โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘€ ((๐ด ยท ๐‘Œ)โ€˜๐‘–) = (๐‘–(๐ด ร— ๐‘)โˆ…)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3062  โˆ…c0 4323  {csn 4629  โŸจcop 4635  โŸจcotp 4637   โ†ฆ cmpt 5232   ร— cxp 5675  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   โ†‘m cmap 8820  Fincfn 8939  Basecbs 17144  .rcmulr 17198   ฮฃg cgsu 17386  Ringcrg 20056   maMul cmmul 21885   maVecMul cmvmul 22042
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-ot 4638  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-1o 8466  df-en 8940  df-fin 8943  df-mamu 21886  df-mvmul 22043
This theorem is referenced by:  mavmumamul1  22057
  Copyright terms: Public domain W3C validator