Theorem mvmumamul1 22720

Description: The multiplication of an MxN matrix with an N-dimensional vector corresponds to the matrix multiplication of an MxN matrix with an Nx1 matrix. (Contributed by AV, 14-Mar-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mvmumamul1.x	⊢ × = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑁, {∅}⟩)
mvmumamul1.t	⊢ · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑀, 𝑁⟩)
mvmumamul1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
mvmumamul1.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
mvmumamul1.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Fin)
mvmumamul1.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
mvmumamul1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)))
mvmumamul1.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝑁))
mvmumamul1.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × {∅})))

Assertion

Ref	Expression
mvmumamul1	⊢ (𝜑 → (∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑌‘𝑗) = (𝑗𝑍∅) → ∀𝑖 ∈ 𝑀 ((𝐴 · 𝑌)‘𝑖) = (𝑖(𝐴 × 𝑍)∅)))

Distinct variable groups:   𝑖,𝑗,𝑁   𝑖,𝑌,𝑗   𝑖,𝑍,𝑗   𝜑,𝑖,𝑗

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖, 𝑗)   𝐵(𝑖, 𝑗)   𝑅(𝑖, 𝑗)   · (𝑖, 𝑗)   × (𝑖, 𝑗)   𝑀(𝑖, 𝑗)

Proof of Theorem mvmumamul1

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mvmumamul1.t	. . . . . 6 ⊢ · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑀, 𝑁⟩)
2		mvmumamul1.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
4		mvmumamul1.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
5	4	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) → 𝑅 ∈ Ring)
6		mvmumamul1.m	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Fin)
7	6	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) → 𝑀 ∈ Fin)
8		mvmumamul1.n	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
9	8	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) → 𝑁 ∈ Fin)
10		mvmumamul1.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)))
11	10	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) → 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)))
12		mvmumamul1.y	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝑁))
13	12	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) → 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝑁))
14		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) → 𝑖 ∈ 𝑀)
15	1, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 14	mvmulfv 22710	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) → ((𝐴 · 𝑌)‘𝑖) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝐴𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑘)))))
16	15	adantlr 727	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑌‘𝑗) = (𝑗𝑍∅)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) → ((𝐴 · 𝑌)‘𝑖) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝐴𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑘)))))
17		fveq2 6881	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑌‘𝑗) = (𝑌‘𝑘))
18		oveq1 7417	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑗𝑍∅) = (𝑘𝑍∅))
19	17, 18	eqeq12d 2779	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝑌‘𝑗) = (𝑗𝑍∅) ↔ (𝑌‘𝑘) = (𝑘𝑍∅)))
20	19	rspccv 3578	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑌‘𝑗) = (𝑗𝑍∅) → (𝑘 ∈ 𝑁 → (𝑌‘𝑘) = (𝑘𝑍∅)))
21	20	adantl 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑌‘𝑗) = (𝑗𝑍∅)) → (𝑘 ∈ 𝑁 → (𝑌‘𝑘) = (𝑘𝑍∅)))
22	21	imp 411	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑌‘𝑗) = (𝑗𝑍∅)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (𝑌‘𝑘) = (𝑘𝑍∅))
23	22	oveq2d 7426	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑌‘𝑗) = (𝑗𝑍∅)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → ((𝑖𝐴𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑘)) = ((𝑖𝐴𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑍∅)))
24	23	mpteq2dva 5204	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑌‘𝑗) = (𝑗𝑍∅)) → (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝐴𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑘))) = (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝐴𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑍∅))))
25	24	oveq2d 7426	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑌‘𝑗) = (𝑗𝑍∅)) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝐴𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑘)))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝐴𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑍∅)))))
26	25	adantr 485	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑌‘𝑗) = (𝑗𝑍∅)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝐴𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑘)))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝐴𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑍∅)))))
27		mvmumamul1.x	. . . . . . 7 ⊢ × = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑁, {∅}⟩)
28		snfi 9036	. . . . . . . 8 ⊢ {∅} ∈ Fin
29	28	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) → {∅} ∈ Fin)
30		mvmumamul1.z	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × {∅})))
31	30	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) → 𝑍 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × {∅})))
32		0ex 5270	. . . . . . . . 9 ⊢ ∅ ∈ V
33	32	snid 4628	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ {∅}
34	33	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) → ∅ ∈ {∅})
35	27, 2, 3, 5, 7, 9, 29, 11, 31, 14, 34	mamufv 22560	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) → (𝑖(𝐴 × 𝑍)∅) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝐴𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑍∅)))))
36	35	eqcomd 2769	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝐴𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑍∅)))) = (𝑖(𝐴 × 𝑍)∅))
37	36	adantlr 727	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑌‘𝑗) = (𝑗𝑍∅)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝐴𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑍∅)))) = (𝑖(𝐴 × 𝑍)∅))
38	16, 26, 37	3eqtrd 2802	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑌‘𝑗) = (𝑗𝑍∅)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) → ((𝐴 · 𝑌)‘𝑖) = (𝑖(𝐴 × 𝑍)∅))
39	38	ralrimiva 3157	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑌‘𝑗) = (𝑗𝑍∅)) → ∀𝑖 ∈ 𝑀 ((𝐴 · 𝑌)‘𝑖) = (𝑖(𝐴 × 𝑍)∅))
40	39	ex 417	1 ⊢ (𝜑 → (∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑌‘𝑗) = (𝑗𝑍∅) → ∀𝑖 ∈ 𝑀 ((𝐴 · 𝑌)‘𝑖) = (𝑖(𝐴 × 𝑍)∅)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079  ∅c0 4286  {csn 4589  ⟨cop 4595  ⟨cotp 4597   ↦ cmpt 5192   × cxp 5659  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ↑_m cmap 8820  Fincfn 8939  Basecbs 17273  ._rcmulr 17315   Σ_g cgsu 17497  Ringcrg 20319   maMul cmmul 22556   maVecMul cmvmul 22706

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-ot 4598  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-1o 8449  df-en 8940  df-fin 8943  df-mamu 22557  df-mvmul 22707

This theorem is used by:  mavmumamul1  22721