MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mvmumamul1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mvmumamul1 21926
Description: The multiplication of an MxN matrix with an N-dimensional vector corresponds to the matrix multiplication of an MxN matrix with an Nx1 matrix. (Contributed by AV, 14-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mvmumamul1.x ร— = (๐‘… maMul โŸจ๐‘€, ๐‘, {โˆ…}โŸฉ)
mvmumamul1.t ยท = (๐‘… maVecMul โŸจ๐‘€, ๐‘โŸฉ)
mvmumamul1.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
mvmumamul1.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
mvmumamul1.m (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ Fin)
mvmumamul1.n (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
mvmumamul1.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ (๐ต โ†‘m (๐‘€ ร— ๐‘)))
mvmumamul1.y (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ (๐ต โ†‘m ๐‘))
mvmumamul1.z (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (๐‘ ร— {โˆ…})))
Assertion
Ref Expression
mvmumamul1 (๐œ‘ โ†’ (โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘Œโ€˜๐‘—) = (๐‘—๐‘โˆ…) โ†’ โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘€ ((๐ด ยท ๐‘Œ)โ€˜๐‘–) = (๐‘–(๐ด ร— ๐‘)โˆ…)))
Distinct variable groups:   ๐‘–,๐‘—,๐‘   ๐‘–,๐‘Œ,๐‘—   ๐‘–,๐‘,๐‘—   ๐œ‘,๐‘–,๐‘—
Allowed substitution hints:   ๐ด(๐‘–,๐‘—)   ๐ต(๐‘–,๐‘—)   ๐‘…(๐‘–,๐‘—)   ยท (๐‘–,๐‘—)   ร— (๐‘–,๐‘—)   ๐‘€(๐‘–,๐‘—)

Proof of Theorem mvmumamul1
Dummy variable ๐‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mvmumamul1.t . . . . . 6 ยท = (๐‘… maVecMul โŸจ๐‘€, ๐‘โŸฉ)
2 mvmumamul1.b . . . . . 6 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
3 eqid 2733 . . . . . 6 (.rโ€˜๐‘…) = (.rโ€˜๐‘…)
4 mvmumamul1.r . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
54adantr 482 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘€) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
6 mvmumamul1.m . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ Fin)
76adantr 482 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘€) โ†’ ๐‘€ โˆˆ Fin)
8 mvmumamul1.n . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
98adantr 482 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘€) โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
10 mvmumamul1.a . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ (๐ต โ†‘m (๐‘€ ร— ๐‘)))
1110adantr 482 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘€) โ†’ ๐ด โˆˆ (๐ต โ†‘m (๐‘€ ร— ๐‘)))
12 mvmumamul1.y . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ (๐ต โ†‘m ๐‘))
1312adantr 482 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘€) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ (๐ต โ†‘m ๐‘))
14 simpr 486 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘€) โ†’ ๐‘– โˆˆ ๐‘€)
151, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 14mvmulfv 21916 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘€) โ†’ ((๐ด ยท ๐‘Œ)โ€˜๐‘–) = (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐ด๐‘˜)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘˜)))))
1615adantlr 714 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘Œโ€˜๐‘—) = (๐‘—๐‘โˆ…)) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘€) โ†’ ((๐ด ยท ๐‘Œ)โ€˜๐‘–) = (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐ด๐‘˜)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘˜)))))
17 fveq2 6846 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ (๐‘Œโ€˜๐‘—) = (๐‘Œโ€˜๐‘˜))
18 oveq1 7368 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ (๐‘—๐‘โˆ…) = (๐‘˜๐‘โˆ…))
1917, 18eqeq12d 2749 . . . . . . . . . . 11 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ ((๐‘Œโ€˜๐‘—) = (๐‘—๐‘โˆ…) โ†” (๐‘Œโ€˜๐‘˜) = (๐‘˜๐‘โˆ…)))
2019rspccv 3580 . . . . . . . . . 10 (โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘Œโ€˜๐‘—) = (๐‘—๐‘โˆ…) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†’ (๐‘Œโ€˜๐‘˜) = (๐‘˜๐‘โˆ…)))
2120adantl 483 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘Œโ€˜๐‘—) = (๐‘—๐‘โˆ…)) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†’ (๐‘Œโ€˜๐‘˜) = (๐‘˜๐‘โˆ…)))
2221imp 408 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘Œโ€˜๐‘—) = (๐‘—๐‘โˆ…)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘Œโ€˜๐‘˜) = (๐‘˜๐‘โˆ…))
2322oveq2d 7377 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘Œโ€˜๐‘—) = (๐‘—๐‘โˆ…)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ((๐‘–๐ด๐‘˜)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘˜)) = ((๐‘–๐ด๐‘˜)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘โˆ…)))
2423mpteq2dva 5209 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘Œโ€˜๐‘—) = (๐‘—๐‘โˆ…)) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐ด๐‘˜)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘˜))) = (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐ด๐‘˜)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘โˆ…))))
2524oveq2d 7377 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘Œโ€˜๐‘—) = (๐‘—๐‘โˆ…)) โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐ด๐‘˜)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘˜)))) = (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐ด๐‘˜)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘โˆ…)))))
2625adantr 482 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘Œโ€˜๐‘—) = (๐‘—๐‘โˆ…)) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘€) โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐ด๐‘˜)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘˜)))) = (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐ด๐‘˜)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘โˆ…)))))
27 mvmumamul1.x . . . . . . 7 ร— = (๐‘… maMul โŸจ๐‘€, ๐‘, {โˆ…}โŸฉ)
28 snfi 8994 . . . . . . . 8 {โˆ…} โˆˆ Fin
2928a1i 11 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘€) โ†’ {โˆ…} โˆˆ Fin)
30 mvmumamul1.z . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (๐‘ ร— {โˆ…})))
3130adantr 482 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘€) โ†’ ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (๐‘ ร— {โˆ…})))
32 0ex 5268 . . . . . . . . 9 โˆ… โˆˆ V
3332snid 4626 . . . . . . . 8 โˆ… โˆˆ {โˆ…}
3433a1i 11 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘€) โ†’ โˆ… โˆˆ {โˆ…})
3527, 2, 3, 5, 7, 9, 29, 11, 31, 14, 34mamufv 21759 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘€) โ†’ (๐‘–(๐ด ร— ๐‘)โˆ…) = (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐ด๐‘˜)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘โˆ…)))))
3635eqcomd 2739 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘€) โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐ด๐‘˜)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘โˆ…)))) = (๐‘–(๐ด ร— ๐‘)โˆ…))
3736adantlr 714 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘Œโ€˜๐‘—) = (๐‘—๐‘โˆ…)) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘€) โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐ด๐‘˜)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘โˆ…)))) = (๐‘–(๐ด ร— ๐‘)โˆ…))
3816, 26, 373eqtrd 2777 . . 3 (((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘Œโ€˜๐‘—) = (๐‘—๐‘โˆ…)) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘€) โ†’ ((๐ด ยท ๐‘Œ)โ€˜๐‘–) = (๐‘–(๐ด ร— ๐‘)โˆ…))
3938ralrimiva 3140 . 2 ((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘Œโ€˜๐‘—) = (๐‘—๐‘โˆ…)) โ†’ โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘€ ((๐ด ยท ๐‘Œ)โ€˜๐‘–) = (๐‘–(๐ด ร— ๐‘)โˆ…))
4039ex 414 1 (๐œ‘ โ†’ (โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘Œโ€˜๐‘—) = (๐‘—๐‘โˆ…) โ†’ โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘€ ((๐ด ยท ๐‘Œ)โ€˜๐‘–) = (๐‘–(๐ด ร— ๐‘)โˆ…)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3061  โˆ…c0 4286  {csn 4590  โŸจcop 4596  โŸจcotp 4598   โ†ฆ cmpt 5192   ร— cxp 5635  โ€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   โ†‘m cmap 8771  Fincfn 8889  Basecbs 17091  .rcmulr 17142   ฮฃg cgsu 17330  Ringcrg 19972   maMul cmmul 21755   maVecMul cmvmul 21912
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-ot 4599  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-1o 8416  df-en 8890  df-fin 8893  df-mamu 21756  df-mvmul 21913
This theorem is referenced by:  mavmumamul1  21927
  Copyright terms: Public domain W3C validator