Theorem mvmumamul1 21165

Description: The multiplication of an MxN matrix with an N-dimensional vector corresponds to the matrix multiplication of an MxN matrix with an Nx1 matrix. (Contributed by AV, 14-Mar-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mvmumamul1.x	⊢ × = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑁, {∅}⟩)
mvmumamul1.t	⊢ · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑀, 𝑁⟩)
mvmumamul1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
mvmumamul1.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
mvmumamul1.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Fin)
mvmumamul1.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
mvmumamul1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)))
mvmumamul1.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝑁))
mvmumamul1.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × {∅})))

Assertion

Ref	Expression
mvmumamul1	⊢ (𝜑 → (∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑌‘𝑗) = (𝑗𝑍∅) → ∀𝑖 ∈ 𝑀 ((𝐴 · 𝑌)‘𝑖) = (𝑖(𝐴 × 𝑍)∅)))

Distinct variable groups:   𝑖,𝑗,𝑁   𝑖,𝑌,𝑗   𝑖,𝑍,𝑗   𝜑,𝑖,𝑗

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖,𝑗)   𝐵(𝑖,𝑗)   𝑅(𝑖,𝑗)   · (𝑖,𝑗)   × (𝑖,𝑗)   𝑀(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem mvmumamul1

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mvmumamul1.t	. . . . . 6 ⊢ · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑀, 𝑁⟩)
2		mvmumamul1.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		eqid 2823	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
4		mvmumamul1.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
5	4	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) → 𝑅 ∈ Ring)
6		mvmumamul1.m	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Fin)
7	6	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) → 𝑀 ∈ Fin)
8		mvmumamul1.n	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
9	8	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) → 𝑁 ∈ Fin)
10		mvmumamul1.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)))
11	10	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) → 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)))
12		mvmumamul1.y	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝑁))
13	12	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) → 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝑁))
14		simpr 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) → 𝑖 ∈ 𝑀)
15	1, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 14	mvmulfv 21155	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) → ((𝐴 · 𝑌)‘𝑖) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝐴𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑘)))))
16	15	adantlr 713	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑌‘𝑗) = (𝑗𝑍∅)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) → ((𝐴 · 𝑌)‘𝑖) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝐴𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑘)))))
17		fveq2 6672	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑌‘𝑗) = (𝑌‘𝑘))
18		oveq1 7165	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑗𝑍∅) = (𝑘𝑍∅))
19	17, 18	eqeq12d 2839	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝑌‘𝑗) = (𝑗𝑍∅) ↔ (𝑌‘𝑘) = (𝑘𝑍∅)))
20	19	rspccv 3622	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑌‘𝑗) = (𝑗𝑍∅) → (𝑘 ∈ 𝑁 → (𝑌‘𝑘) = (𝑘𝑍∅)))
21	20	adantl 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑌‘𝑗) = (𝑗𝑍∅)) → (𝑘 ∈ 𝑁 → (𝑌‘𝑘) = (𝑘𝑍∅)))
22	21	imp 409	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑌‘𝑗) = (𝑗𝑍∅)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (𝑌‘𝑘) = (𝑘𝑍∅))
23	22	oveq2d 7174	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑌‘𝑗) = (𝑗𝑍∅)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → ((𝑖𝐴𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑘)) = ((𝑖𝐴𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑍∅)))
24	23	mpteq2dva 5163	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑌‘𝑗) = (𝑗𝑍∅)) → (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝐴𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑘))) = (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝐴𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑍∅))))
25	24	oveq2d 7174	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑌‘𝑗) = (𝑗𝑍∅)) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝐴𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑘)))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝐴𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑍∅)))))
26	25	adantr 483	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑌‘𝑗) = (𝑗𝑍∅)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝐴𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑘)))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝐴𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑍∅)))))
27		mvmumamul1.x	. . . . . . 7 ⊢ × = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑁, {∅}⟩)
28		snfi 8596	. . . . . . . 8 ⊢ {∅} ∈ Fin
29	28	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) → {∅} ∈ Fin)
30		mvmumamul1.z	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × {∅})))
31	30	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) → 𝑍 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × {∅})))
32		0ex 5213	. . . . . . . . 9 ⊢ ∅ ∈ V
33	32	snid 4603	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ {∅}
34	33	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) → ∅ ∈ {∅})
35	27, 2, 3, 5, 7, 9, 29, 11, 31, 14, 34	mamufv 21000	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) → (𝑖(𝐴 × 𝑍)∅) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝐴𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑍∅)))))
36	35	eqcomd 2829	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝐴𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑍∅)))) = (𝑖(𝐴 × 𝑍)∅))
37	36	adantlr 713	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑌‘𝑗) = (𝑗𝑍∅)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝐴𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑍∅)))) = (𝑖(𝐴 × 𝑍)∅))
38	16, 26, 37	3eqtrd 2862	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑌‘𝑗) = (𝑗𝑍∅)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) → ((𝐴 · 𝑌)‘𝑖) = (𝑖(𝐴 × 𝑍)∅))
39	38	ralrimiva 3184	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑌‘𝑗) = (𝑗𝑍∅)) → ∀𝑖 ∈ 𝑀 ((𝐴 · 𝑌)‘𝑖) = (𝑖(𝐴 × 𝑍)∅))
40	39	ex 415	1 ⊢ (𝜑 → (∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑌‘𝑗) = (𝑗𝑍∅) → ∀𝑖 ∈ 𝑀 ((𝐴 · 𝑌)‘𝑖) = (𝑖(𝐴 × 𝑍)∅)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∀wral 3140  ∅c0 4293  {csn 4569  ⟨cop 4575  ⟨cotp 4577   ↦ cmpt 5148   × cxp 5555  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158   ↑_m cmap 8408  Fincfn 8511  Basecbs 16485  ._rcmulr 16568   Σ_g cgsu 16716  Ringcrg 19299   maMul cmmul 20996   maVecMul cmvmul 21151

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-ot 4578  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-1o 8104  df-en 8512  df-fin 8515  df-mamu 20997  df-mvmul 21152

This theorem is referenced by:  mavmumamul1  21166