Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dnnumch3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dnnumch3 41403
Description: Define an injection from a set into the ordinals using a choice function. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dnnumch.f 𝐹 = recs((𝑧 ∈ V ↦ (πΊβ€˜(𝐴 βˆ– ran 𝑧))))
dnnumch.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
dnnumch.g (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝒫 𝐴(𝑦 β‰  βˆ… β†’ (πΊβ€˜π‘¦) ∈ 𝑦))
Assertion
Ref Expression
dnnumch3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ∩ (◑𝐹 β€œ {π‘₯})):𝐴–1-1β†’On)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐹,𝑦   π‘₯,𝐺,𝑦,𝑧   π‘₯,𝐴,𝑦,𝑧   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑦,𝑧)   𝐹(𝑧)   𝑉(π‘₯,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem dnnumch3
Dummy variables 𝑣 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnvimass 6038 . . . . 5 (◑𝐹 β€œ {π‘₯}) βŠ† dom 𝐹
2 dnnumch.f . . . . . . 7 𝐹 = recs((𝑧 ∈ V ↦ (πΊβ€˜(𝐴 βˆ– ran 𝑧))))
32tfr1 8348 . . . . . 6 𝐹 Fn On
43fndmi 6611 . . . . 5 dom 𝐹 = On
51, 4sseqtri 3985 . . . 4 (◑𝐹 β€œ {π‘₯}) βŠ† On
6 dnnumch.a . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
7 dnnumch.g . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝒫 𝐴(𝑦 β‰  βˆ… β†’ (πΊβ€˜π‘¦) ∈ 𝑦))
82, 6, 7dnnumch2 41401 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ran 𝐹)
98sselda 3949 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ ran 𝐹)
10 inisegn0 6055 . . . . 5 (π‘₯ ∈ ran 𝐹 ↔ (◑𝐹 β€œ {π‘₯}) β‰  βˆ…)
119, 10sylib 217 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (◑𝐹 β€œ {π‘₯}) β‰  βˆ…)
12 oninton 7735 . . . 4 (((◑𝐹 β€œ {π‘₯}) βŠ† On ∧ (◑𝐹 β€œ {π‘₯}) β‰  βˆ…) β†’ ∩ (◑𝐹 β€œ {π‘₯}) ∈ On)
135, 11, 12sylancr 588 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ∩ (◑𝐹 β€œ {π‘₯}) ∈ On)
1413fmpttd 7068 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ∩ (◑𝐹 β€œ {π‘₯})):𝐴⟢On)
152, 6, 7dnnumch3lem 41402 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ∩ (◑𝐹 β€œ {π‘₯}))β€˜π‘£) = ∩ (◑𝐹 β€œ {𝑣}))
1615adantrr 716 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴)) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ∩ (◑𝐹 β€œ {π‘₯}))β€˜π‘£) = ∩ (◑𝐹 β€œ {𝑣}))
172, 6, 7dnnumch3lem 41402 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ∩ (◑𝐹 β€œ {π‘₯}))β€˜π‘€) = ∩ (◑𝐹 β€œ {𝑀}))
1817adantrl 715 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴)) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ∩ (◑𝐹 β€œ {π‘₯}))β€˜π‘€) = ∩ (◑𝐹 β€œ {𝑀}))
1916, 18eqeq12d 2753 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴)) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ∩ (◑𝐹 β€œ {π‘₯}))β€˜π‘£) = ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ∩ (◑𝐹 β€œ {π‘₯}))β€˜π‘€) ↔ ∩ (◑𝐹 β€œ {𝑣}) = ∩ (◑𝐹 β€œ {𝑀})))
20 fveq2 6847 . . . . . . 7 (∩ (◑𝐹 β€œ {𝑣}) = ∩ (◑𝐹 β€œ {𝑀}) β†’ (πΉβ€˜βˆ© (◑𝐹 β€œ {𝑣})) = (πΉβ€˜βˆ© (◑𝐹 β€œ {𝑀})))
2120adantl 483 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴)) ∧ ∩ (◑𝐹 β€œ {𝑣}) = ∩ (◑𝐹 β€œ {𝑀})) β†’ (πΉβ€˜βˆ© (◑𝐹 β€œ {𝑣})) = (πΉβ€˜βˆ© (◑𝐹 β€œ {𝑀})))
22 cnvimass 6038 . . . . . . . . . . 11 (◑𝐹 β€œ {𝑣}) βŠ† dom 𝐹
2322, 4sseqtri 3985 . . . . . . . . . 10 (◑𝐹 β€œ {𝑣}) βŠ† On
248sselda 3949 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) β†’ 𝑣 ∈ ran 𝐹)
25 inisegn0 6055 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 ∈ ran 𝐹 ↔ (◑𝐹 β€œ {𝑣}) β‰  βˆ…)
2624, 25sylib 217 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) β†’ (◑𝐹 β€œ {𝑣}) β‰  βˆ…)
27 onint 7730 . . . . . . . . . 10 (((◑𝐹 β€œ {𝑣}) βŠ† On ∧ (◑𝐹 β€œ {𝑣}) β‰  βˆ…) β†’ ∩ (◑𝐹 β€œ {𝑣}) ∈ (◑𝐹 β€œ {𝑣}))
2823, 26, 27sylancr 588 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) β†’ ∩ (◑𝐹 β€œ {𝑣}) ∈ (◑𝐹 β€œ {𝑣}))
29 fniniseg 7015 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 Fn On β†’ (∩ (◑𝐹 β€œ {𝑣}) ∈ (◑𝐹 β€œ {𝑣}) ↔ (∩ (◑𝐹 β€œ {𝑣}) ∈ On ∧ (πΉβ€˜βˆ© (◑𝐹 β€œ {𝑣})) = 𝑣)))
303, 29ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (∩ (◑𝐹 β€œ {𝑣}) ∈ (◑𝐹 β€œ {𝑣}) ↔ (∩ (◑𝐹 β€œ {𝑣}) ∈ On ∧ (πΉβ€˜βˆ© (◑𝐹 β€œ {𝑣})) = 𝑣))
3130simprbi 498 . . . . . . . . 9 (∩ (◑𝐹 β€œ {𝑣}) ∈ (◑𝐹 β€œ {𝑣}) β†’ (πΉβ€˜βˆ© (◑𝐹 β€œ {𝑣})) = 𝑣)
3228, 31syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜βˆ© (◑𝐹 β€œ {𝑣})) = 𝑣)
3332adantrr 716 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴)) β†’ (πΉβ€˜βˆ© (◑𝐹 β€œ {𝑣})) = 𝑣)
3433adantr 482 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴)) ∧ ∩ (◑𝐹 β€œ {𝑣}) = ∩ (◑𝐹 β€œ {𝑀})) β†’ (πΉβ€˜βˆ© (◑𝐹 β€œ {𝑣})) = 𝑣)
35 cnvimass 6038 . . . . . . . . . . 11 (◑𝐹 β€œ {𝑀}) βŠ† dom 𝐹
3635, 4sseqtri 3985 . . . . . . . . . 10 (◑𝐹 β€œ {𝑀}) βŠ† On
378sselda 3949 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) β†’ 𝑀 ∈ ran 𝐹)
38 inisegn0 6055 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ran 𝐹 ↔ (◑𝐹 β€œ {𝑀}) β‰  βˆ…)
3937, 38sylib 217 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) β†’ (◑𝐹 β€œ {𝑀}) β‰  βˆ…)
40 onint 7730 . . . . . . . . . 10 (((◑𝐹 β€œ {𝑀}) βŠ† On ∧ (◑𝐹 β€œ {𝑀}) β‰  βˆ…) β†’ ∩ (◑𝐹 β€œ {𝑀}) ∈ (◑𝐹 β€œ {𝑀}))
4136, 39, 40sylancr 588 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) β†’ ∩ (◑𝐹 β€œ {𝑀}) ∈ (◑𝐹 β€œ {𝑀}))
42 fniniseg 7015 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 Fn On β†’ (∩ (◑𝐹 β€œ {𝑀}) ∈ (◑𝐹 β€œ {𝑀}) ↔ (∩ (◑𝐹 β€œ {𝑀}) ∈ On ∧ (πΉβ€˜βˆ© (◑𝐹 β€œ {𝑀})) = 𝑀)))
433, 42ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (∩ (◑𝐹 β€œ {𝑀}) ∈ (◑𝐹 β€œ {𝑀}) ↔ (∩ (◑𝐹 β€œ {𝑀}) ∈ On ∧ (πΉβ€˜βˆ© (◑𝐹 β€œ {𝑀})) = 𝑀))
4443simprbi 498 . . . . . . . . 9 (∩ (◑𝐹 β€œ {𝑀}) ∈ (◑𝐹 β€œ {𝑀}) β†’ (πΉβ€˜βˆ© (◑𝐹 β€œ {𝑀})) = 𝑀)
4541, 44syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜βˆ© (◑𝐹 β€œ {𝑀})) = 𝑀)
4645adantrl 715 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴)) β†’ (πΉβ€˜βˆ© (◑𝐹 β€œ {𝑀})) = 𝑀)
4746adantr 482 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴)) ∧ ∩ (◑𝐹 β€œ {𝑣}) = ∩ (◑𝐹 β€œ {𝑀})) β†’ (πΉβ€˜βˆ© (◑𝐹 β€œ {𝑀})) = 𝑀)
4821, 34, 473eqtr3d 2785 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴)) ∧ ∩ (◑𝐹 β€œ {𝑣}) = ∩ (◑𝐹 β€œ {𝑀})) β†’ 𝑣 = 𝑀)
4948ex 414 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴)) β†’ (∩ (◑𝐹 β€œ {𝑣}) = ∩ (◑𝐹 β€œ {𝑀}) β†’ 𝑣 = 𝑀))
5019, 49sylbid 239 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴)) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ∩ (◑𝐹 β€œ {π‘₯}))β€˜π‘£) = ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ∩ (◑𝐹 β€œ {π‘₯}))β€˜π‘€) β†’ 𝑣 = 𝑀))
5150ralrimivva 3198 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ∩ (◑𝐹 β€œ {π‘₯}))β€˜π‘£) = ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ∩ (◑𝐹 β€œ {π‘₯}))β€˜π‘€) β†’ 𝑣 = 𝑀))
52 dff13 7207 . 2 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ∩ (◑𝐹 β€œ {π‘₯})):𝐴–1-1β†’On ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ∩ (◑𝐹 β€œ {π‘₯})):𝐴⟢On ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ∩ (◑𝐹 β€œ {π‘₯}))β€˜π‘£) = ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ∩ (◑𝐹 β€œ {π‘₯}))β€˜π‘€) β†’ 𝑣 = 𝑀)))
5314, 51, 52sylanbrc 584 1 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ∩ (◑𝐹 β€œ {π‘₯})):𝐴–1-1β†’On)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆ€wral 3065  Vcvv 3448   βˆ– cdif 3912   βŠ† wss 3915  βˆ…c0 4287  π’« cpw 4565  {csn 4591  βˆ© cint 4912   ↦ cmpt 5193  β—‘ccnv 5637  dom cdm 5638  ran crn 5639   β€œ cima 5641  Oncon0 6322   Fn wfn 6496  βŸΆwf 6497  β€“1-1β†’wf1 6498  β€˜cfv 6501  recscrecs 8321
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pr 5389  ax-un 7677
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-ov 7365  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322
This theorem is referenced by:  dnwech  41404
  Copyright terms: Public domain W3C validator