Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dnnumch3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dnnumch3 41871
Description: Define an injection from a set into the ordinals using a choice function. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dnnumch.f 𝐹 = recs((𝑧 ∈ V ↦ (πΊβ€˜(𝐴 βˆ– ran 𝑧))))
dnnumch.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
dnnumch.g (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝒫 𝐴(𝑦 β‰  βˆ… β†’ (πΊβ€˜π‘¦) ∈ 𝑦))
Assertion
Ref Expression
dnnumch3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ∩ (◑𝐹 β€œ {π‘₯})):𝐴–1-1β†’On)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐹,𝑦   π‘₯,𝐺,𝑦,𝑧   π‘₯,𝐴,𝑦,𝑧   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑦,𝑧)   𝐹(𝑧)   𝑉(π‘₯,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem dnnumch3
Dummy variables 𝑣 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnvimass 6080 . . . . 5 (◑𝐹 β€œ {π‘₯}) βŠ† dom 𝐹
2 dnnumch.f . . . . . . 7 𝐹 = recs((𝑧 ∈ V ↦ (πΊβ€˜(𝐴 βˆ– ran 𝑧))))
32tfr1 8399 . . . . . 6 𝐹 Fn On
43fndmi 6653 . . . . 5 dom 𝐹 = On
51, 4sseqtri 4018 . . . 4 (◑𝐹 β€œ {π‘₯}) βŠ† On
6 dnnumch.a . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
7 dnnumch.g . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝒫 𝐴(𝑦 β‰  βˆ… β†’ (πΊβ€˜π‘¦) ∈ 𝑦))
82, 6, 7dnnumch2 41869 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ran 𝐹)
98sselda 3982 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ ran 𝐹)
10 inisegn0 6097 . . . . 5 (π‘₯ ∈ ran 𝐹 ↔ (◑𝐹 β€œ {π‘₯}) β‰  βˆ…)
119, 10sylib 217 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (◑𝐹 β€œ {π‘₯}) β‰  βˆ…)
12 oninton 7785 . . . 4 (((◑𝐹 β€œ {π‘₯}) βŠ† On ∧ (◑𝐹 β€œ {π‘₯}) β‰  βˆ…) β†’ ∩ (◑𝐹 β€œ {π‘₯}) ∈ On)
135, 11, 12sylancr 587 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ∩ (◑𝐹 β€œ {π‘₯}) ∈ On)
1413fmpttd 7116 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ∩ (◑𝐹 β€œ {π‘₯})):𝐴⟢On)
152, 6, 7dnnumch3lem 41870 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ∩ (◑𝐹 β€œ {π‘₯}))β€˜π‘£) = ∩ (◑𝐹 β€œ {𝑣}))
1615adantrr 715 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴)) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ∩ (◑𝐹 β€œ {π‘₯}))β€˜π‘£) = ∩ (◑𝐹 β€œ {𝑣}))
172, 6, 7dnnumch3lem 41870 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ∩ (◑𝐹 β€œ {π‘₯}))β€˜π‘€) = ∩ (◑𝐹 β€œ {𝑀}))
1817adantrl 714 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴)) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ∩ (◑𝐹 β€œ {π‘₯}))β€˜π‘€) = ∩ (◑𝐹 β€œ {𝑀}))
1916, 18eqeq12d 2748 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴)) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ∩ (◑𝐹 β€œ {π‘₯}))β€˜π‘£) = ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ∩ (◑𝐹 β€œ {π‘₯}))β€˜π‘€) ↔ ∩ (◑𝐹 β€œ {𝑣}) = ∩ (◑𝐹 β€œ {𝑀})))
20 fveq2 6891 . . . . . . 7 (∩ (◑𝐹 β€œ {𝑣}) = ∩ (◑𝐹 β€œ {𝑀}) β†’ (πΉβ€˜βˆ© (◑𝐹 β€œ {𝑣})) = (πΉβ€˜βˆ© (◑𝐹 β€œ {𝑀})))
2120adantl 482 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴)) ∧ ∩ (◑𝐹 β€œ {𝑣}) = ∩ (◑𝐹 β€œ {𝑀})) β†’ (πΉβ€˜βˆ© (◑𝐹 β€œ {𝑣})) = (πΉβ€˜βˆ© (◑𝐹 β€œ {𝑀})))
22 cnvimass 6080 . . . . . . . . . . 11 (◑𝐹 β€œ {𝑣}) βŠ† dom 𝐹
2322, 4sseqtri 4018 . . . . . . . . . 10 (◑𝐹 β€œ {𝑣}) βŠ† On
248sselda 3982 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) β†’ 𝑣 ∈ ran 𝐹)
25 inisegn0 6097 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 ∈ ran 𝐹 ↔ (◑𝐹 β€œ {𝑣}) β‰  βˆ…)
2624, 25sylib 217 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) β†’ (◑𝐹 β€œ {𝑣}) β‰  βˆ…)
27 onint 7780 . . . . . . . . . 10 (((◑𝐹 β€œ {𝑣}) βŠ† On ∧ (◑𝐹 β€œ {𝑣}) β‰  βˆ…) β†’ ∩ (◑𝐹 β€œ {𝑣}) ∈ (◑𝐹 β€œ {𝑣}))
2823, 26, 27sylancr 587 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) β†’ ∩ (◑𝐹 β€œ {𝑣}) ∈ (◑𝐹 β€œ {𝑣}))
29 fniniseg 7061 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 Fn On β†’ (∩ (◑𝐹 β€œ {𝑣}) ∈ (◑𝐹 β€œ {𝑣}) ↔ (∩ (◑𝐹 β€œ {𝑣}) ∈ On ∧ (πΉβ€˜βˆ© (◑𝐹 β€œ {𝑣})) = 𝑣)))
303, 29ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (∩ (◑𝐹 β€œ {𝑣}) ∈ (◑𝐹 β€œ {𝑣}) ↔ (∩ (◑𝐹 β€œ {𝑣}) ∈ On ∧ (πΉβ€˜βˆ© (◑𝐹 β€œ {𝑣})) = 𝑣))
3130simprbi 497 . . . . . . . . 9 (∩ (◑𝐹 β€œ {𝑣}) ∈ (◑𝐹 β€œ {𝑣}) β†’ (πΉβ€˜βˆ© (◑𝐹 β€œ {𝑣})) = 𝑣)
3228, 31syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜βˆ© (◑𝐹 β€œ {𝑣})) = 𝑣)
3332adantrr 715 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴)) β†’ (πΉβ€˜βˆ© (◑𝐹 β€œ {𝑣})) = 𝑣)
3433adantr 481 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴)) ∧ ∩ (◑𝐹 β€œ {𝑣}) = ∩ (◑𝐹 β€œ {𝑀})) β†’ (πΉβ€˜βˆ© (◑𝐹 β€œ {𝑣})) = 𝑣)
35 cnvimass 6080 . . . . . . . . . . 11 (◑𝐹 β€œ {𝑀}) βŠ† dom 𝐹
3635, 4sseqtri 4018 . . . . . . . . . 10 (◑𝐹 β€œ {𝑀}) βŠ† On
378sselda 3982 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) β†’ 𝑀 ∈ ran 𝐹)
38 inisegn0 6097 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ran 𝐹 ↔ (◑𝐹 β€œ {𝑀}) β‰  βˆ…)
3937, 38sylib 217 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) β†’ (◑𝐹 β€œ {𝑀}) β‰  βˆ…)
40 onint 7780 . . . . . . . . . 10 (((◑𝐹 β€œ {𝑀}) βŠ† On ∧ (◑𝐹 β€œ {𝑀}) β‰  βˆ…) β†’ ∩ (◑𝐹 β€œ {𝑀}) ∈ (◑𝐹 β€œ {𝑀}))
4136, 39, 40sylancr 587 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) β†’ ∩ (◑𝐹 β€œ {𝑀}) ∈ (◑𝐹 β€œ {𝑀}))
42 fniniseg 7061 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 Fn On β†’ (∩ (◑𝐹 β€œ {𝑀}) ∈ (◑𝐹 β€œ {𝑀}) ↔ (∩ (◑𝐹 β€œ {𝑀}) ∈ On ∧ (πΉβ€˜βˆ© (◑𝐹 β€œ {𝑀})) = 𝑀)))
433, 42ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (∩ (◑𝐹 β€œ {𝑀}) ∈ (◑𝐹 β€œ {𝑀}) ↔ (∩ (◑𝐹 β€œ {𝑀}) ∈ On ∧ (πΉβ€˜βˆ© (◑𝐹 β€œ {𝑀})) = 𝑀))
4443simprbi 497 . . . . . . . . 9 (∩ (◑𝐹 β€œ {𝑀}) ∈ (◑𝐹 β€œ {𝑀}) β†’ (πΉβ€˜βˆ© (◑𝐹 β€œ {𝑀})) = 𝑀)
4541, 44syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜βˆ© (◑𝐹 β€œ {𝑀})) = 𝑀)
4645adantrl 714 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴)) β†’ (πΉβ€˜βˆ© (◑𝐹 β€œ {𝑀})) = 𝑀)
4746adantr 481 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴)) ∧ ∩ (◑𝐹 β€œ {𝑣}) = ∩ (◑𝐹 β€œ {𝑀})) β†’ (πΉβ€˜βˆ© (◑𝐹 β€œ {𝑀})) = 𝑀)
4821, 34, 473eqtr3d 2780 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴)) ∧ ∩ (◑𝐹 β€œ {𝑣}) = ∩ (◑𝐹 β€œ {𝑀})) β†’ 𝑣 = 𝑀)
4948ex 413 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴)) β†’ (∩ (◑𝐹 β€œ {𝑣}) = ∩ (◑𝐹 β€œ {𝑀}) β†’ 𝑣 = 𝑀))
5019, 49sylbid 239 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴)) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ∩ (◑𝐹 β€œ {π‘₯}))β€˜π‘£) = ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ∩ (◑𝐹 β€œ {π‘₯}))β€˜π‘€) β†’ 𝑣 = 𝑀))
5150ralrimivva 3200 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ∩ (◑𝐹 β€œ {π‘₯}))β€˜π‘£) = ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ∩ (◑𝐹 β€œ {π‘₯}))β€˜π‘€) β†’ 𝑣 = 𝑀))
52 dff13 7256 . 2 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ∩ (◑𝐹 β€œ {π‘₯})):𝐴–1-1β†’On ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ∩ (◑𝐹 β€œ {π‘₯})):𝐴⟢On ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ∩ (◑𝐹 β€œ {π‘₯}))β€˜π‘£) = ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ∩ (◑𝐹 β€œ {π‘₯}))β€˜π‘€) β†’ 𝑣 = 𝑀)))
5314, 51, 52sylanbrc 583 1 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ∩ (◑𝐹 β€œ {π‘₯})):𝐴–1-1β†’On)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  Vcvv 3474   βˆ– cdif 3945   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  π’« cpw 4602  {csn 4628  βˆ© cint 4950   ↦ cmpt 5231  β—‘ccnv 5675  dom cdm 5676  ran crn 5677   β€œ cima 5679  Oncon0 6364   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€“1-1β†’wf1 6540  β€˜cfv 6543  recscrecs 8372
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7414  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373
This theorem is referenced by:  dnwech  41872
  Copyright terms: Public domain W3C validator