Theorem dnnumch3lem 42090

Description: Value of the ordinal injection function. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dnnumch.f	⊢ 𝐹 = recs((𝑧 ∈ V ↦ (𝐺‘(𝐴 ∖ ran 𝑧))))
dnnumch.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
dnnumch.g	⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝐴(𝑦 ≠ ∅ → (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑦))

Assertion

Ref	Expression
dnnumch3lem	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∩ (◡𝐹 “ {𝑥}))‘𝑤) = ∩ (◡𝐹 “ {𝑤}))

Distinct variable groups:   𝑤,𝐹,𝑥,𝑦   𝑤,𝐺,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝐴,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑤

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑧)   𝐹(𝑧)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)

Proof of Theorem dnnumch3lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2730	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∩ (◡𝐹 “ {𝑥})) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∩ (◡𝐹 “ {𝑥}))
2		sneq 4637	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → {𝑥} = {𝑤})
3	2	imaeq2d 6058	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (◡𝐹 “ {𝑥}) = (◡𝐹 “ {𝑤}))
4	3	inteqd 4954	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → ∩ (◡𝐹 “ {𝑥}) = ∩ (◡𝐹 “ {𝑤}))
5		simpr 483	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → 𝑤 ∈ 𝐴)
6		cnvimass 6079	. . . 4 ⊢ (◡𝐹 “ {𝑤}) ⊆ dom 𝐹
7		dnnumch.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = recs((𝑧 ∈ V ↦ (𝐺‘(𝐴 ∖ ran 𝑧))))
8	7	tfr1 8399	. . . . 5 ⊢ 𝐹 Fn On
9	8	fndmi 6652	. . . 4 ⊢ dom 𝐹 = On
10	6, 9	sseqtri 4017	. . 3 ⊢ (◡𝐹 “ {𝑤}) ⊆ On
11		dnnumch.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
12		dnnumch.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝐴(𝑦 ≠ ∅ → (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑦))
13	7, 11, 12	dnnumch2 42089	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ran 𝐹)
14	13	sselda 3981	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → 𝑤 ∈ ran 𝐹)
15		inisegn0 6096	. . . 4 ⊢ (𝑤 ∈ ran 𝐹 ↔ (◡𝐹 “ {𝑤}) ≠ ∅)
16	14, 15	sylib 217	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (◡𝐹 “ {𝑤}) ≠ ∅)
17		oninton 7785	. . 3 ⊢ (((◡𝐹 “ {𝑤}) ⊆ On ∧ (◡𝐹 “ {𝑤}) ≠ ∅) → ∩ (◡𝐹 “ {𝑤}) ∈ On)
18	10, 16, 17	sylancr 585	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → ∩ (◡𝐹 “ {𝑤}) ∈ On)
19	1, 4, 5, 18	fvmptd3 7020	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∩ (◡𝐹 “ {𝑥}))‘𝑤) = ∩ (◡𝐹 “ {𝑤}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   ≠ wne 2938  ∀wral 3059  Vcvv 3472   ∖ cdif 3944   ⊆ wss 3947  ∅c0 4321  𝒫 cpw 4601  {csn 4627  ∩ cint 4949   ↦ cmpt 5230  ^◡ccnv 5674  dom cdm 5675  ran crn 5676   “ cima 5678  Oncon0 6363  ‘cfv 6542  recscrecs 8372

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426  ax-un 7727

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7414  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373

This theorem is referenced by:  dnnumch3  42091  dnwech  42092