Theorem dnnumch3lem 40871

Description: Value of the ordinal injection function. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dnnumch.f	⊢ 𝐹 = recs((𝑧 ∈ V ↦ (𝐺‘(𝐴 ∖ ran 𝑧))))
dnnumch.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
dnnumch.g	⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝐴(𝑦 ≠ ∅ → (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑦))

Assertion

Ref	Expression
dnnumch3lem	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∩ (◡𝐹 “ {𝑥}))‘𝑤) = ∩ (◡𝐹 “ {𝑤}))

Distinct variable groups:   𝑤,𝐹,𝑥,𝑦   𝑤,𝐺,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝐴,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑤

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑧)   𝐹(𝑧)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)

Proof of Theorem dnnumch3lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2738	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∩ (◡𝐹 “ {𝑥})) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∩ (◡𝐹 “ {𝑥}))
2		sneq 4571	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → {𝑥} = {𝑤})
3	2	imaeq2d 5969	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (◡𝐹 “ {𝑥}) = (◡𝐹 “ {𝑤}))
4	3	inteqd 4884	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → ∩ (◡𝐹 “ {𝑥}) = ∩ (◡𝐹 “ {𝑤}))
5		simpr 485	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → 𝑤 ∈ 𝐴)
6		cnvimass 5989	. . . 4 ⊢ (◡𝐹 “ {𝑤}) ⊆ dom 𝐹
7		dnnumch.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = recs((𝑧 ∈ V ↦ (𝐺‘(𝐴 ∖ ran 𝑧))))
8	7	tfr1 8228	. . . . 5 ⊢ 𝐹 Fn On
9	8	fndmi 6537	. . . 4 ⊢ dom 𝐹 = On
10	6, 9	sseqtri 3957	. . 3 ⊢ (◡𝐹 “ {𝑤}) ⊆ On
11		dnnumch.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
12		dnnumch.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝐴(𝑦 ≠ ∅ → (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑦))
13	7, 11, 12	dnnumch2 40870	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ran 𝐹)
14	13	sselda 3921	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → 𝑤 ∈ ran 𝐹)
15		inisegn0 6006	. . . 4 ⊢ (𝑤 ∈ ran 𝐹 ↔ (◡𝐹 “ {𝑤}) ≠ ∅)
16	14, 15	sylib 217	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (◡𝐹 “ {𝑤}) ≠ ∅)
17		oninton 7645	. . 3 ⊢ (((◡𝐹 “ {𝑤}) ⊆ On ∧ (◡𝐹 “ {𝑤}) ≠ ∅) → ∩ (◡𝐹 “ {𝑤}) ∈ On)
18	10, 16, 17	sylancr 587	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → ∩ (◡𝐹 “ {𝑤}) ∈ On)
19	1, 4, 5, 18	fvmptd3 6898	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∩ (◡𝐹 “ {𝑥}))‘𝑤) = ∩ (◡𝐹 “ {𝑤}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∀wral 3064  Vcvv 3432   ∖ cdif 3884   ⊆ wss 3887  ∅c0 4256  𝒫 cpw 4533  {csn 4561  ∩ cint 4879   ↦ cmpt 5157  ^◡ccnv 5588  dom cdm 5589  ran crn 5590   “ cima 5592  Oncon0 6266  ‘cfv 6433  recscrecs 8201

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202

This theorem is referenced by:  dnnumch3  40872  dnwech  40873