Theorem dnnumch3lem 43498

Description: Value of the ordinal injection function. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dnnumch.f	⊢ 𝐹 = recs((𝑧 ∈ V ↦ (𝐺‘(𝐴 ∖ ran 𝑧))))
dnnumch.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
dnnumch.g	⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝐴(𝑦 ≠ ∅ → (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑦))

Assertion

Ref	Expression
dnnumch3lem	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∩ (◡𝐹 “ {𝑥}))‘𝑤) = ∩ (◡𝐹 “ {𝑤}))

Distinct variable groups:   𝑤,𝐹,𝑥,𝑦   𝑤,𝐺,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝐴,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑤

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑧)   𝐹(𝑧)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)

Proof of Theorem dnnumch3lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2740	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∩ (◡𝐹 “ {𝑥})) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∩ (◡𝐹 “ {𝑥}))
2		sneq 4572	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → {𝑥} = {𝑤})
3	2	imaeq2d 6019	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (◡𝐹 “ {𝑥}) = (◡𝐹 “ {𝑤}))
4	3	inteqd 4889	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → ∩ (◡𝐹 “ {𝑥}) = ∩ (◡𝐹 “ {𝑤}))
5		simpr 485	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → 𝑤 ∈ 𝐴)
6		cnvimass 6041	. . . 4 ⊢ (◡𝐹 “ {𝑤}) ⊆ dom 𝐹
7		dnnumch.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = recs((𝑧 ∈ V ↦ (𝐺‘(𝐴 ∖ ran 𝑧))))
8	7	tfr1 8333	. . . . 5 ⊢ 𝐹 Fn On
9	8	fndmi 6596	. . . 4 ⊢ dom 𝐹 = On
10	6, 9	sseqtri 3970	. . 3 ⊢ (◡𝐹 “ {𝑤}) ⊆ On
11		dnnumch.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
12		dnnumch.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝐴(𝑦 ≠ ∅ → (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑦))
13	7, 11, 12	dnnumch2 43497	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ran 𝐹)
14	13	sselda 3922	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → 𝑤 ∈ ran 𝐹)
15		inisegn0 6057	. . . 4 ⊢ (𝑤 ∈ ran 𝐹 ↔ (◡𝐹 “ {𝑤}) ≠ ∅)
16	14, 15	sylib 219	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (◡𝐹 “ {𝑤}) ≠ ∅)
17		oninton 7745	. . 3 ⊢ (((◡𝐹 “ {𝑤}) ⊆ On ∧ (◡𝐹 “ {𝑤}) ≠ ∅) → ∩ (◡𝐹 “ {𝑤}) ∈ On)
18	10, 16, 17	sylancr 593	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → ∩ (◡𝐹 “ {𝑤}) ∈ On)
19	1, 4, 5, 18	fvmptd3 6966	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∩ (◡𝐹 “ {𝑥}))‘𝑤) = ∩ (◡𝐹 “ {𝑤}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2935  ∀wral 3054  Vcvv 3432   ∖ cdif 3887   ⊆ wss 3890  ∅c0 4268  𝒫 cpw 4536  {csn 4562  ∩ cint 4884   ↦ cmpt 5160  ^◡ccnv 5624  dom cdm 5625  ran crn 5626   “ cima 5628  Oncon0 6317  ‘cfv 6492  recscrecs 8307

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pr 5369  ax-un 7685

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7366  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308

This theorem is referenced by:  dnnumch3  43499  dnwech  43500