MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  omwordi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem omwordi 8586
Description: Weak ordering property of ordinal multiplication. (Contributed by NM, 21-Dec-2004.)
Assertion
Ref Expression
omwordi ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ (๐ด โІ ๐ต โ†’ (๐ถ ยทo ๐ด) โІ (๐ถ ยทo ๐ต)))

Proof of Theorem omwordi
StepHypRef Expression
1 omword 8585 . . . 4 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ถ) โ†’ (๐ด โІ ๐ต โ†” (๐ถ ยทo ๐ด) โІ (๐ถ ยทo ๐ต)))
21biimpd 228 . . 3 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ถ) โ†’ (๐ด โІ ๐ต โ†’ (๐ถ ยทo ๐ด) โІ (๐ถ ยทo ๐ต)))
32ex 412 . 2 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ (โˆ… โˆˆ ๐ถ โ†’ (๐ด โІ ๐ต โ†’ (๐ถ ยทo ๐ด) โІ (๐ถ ยทo ๐ต))))
4 eloni 6374 . . . . . 6 (๐ถ โˆˆ On โ†’ Ord ๐ถ)
5 ord0eln0 6419 . . . . . . 7 (Ord ๐ถ โ†’ (โˆ… โˆˆ ๐ถ โ†” ๐ถ โ‰  โˆ…))
65necon2bbid 2980 . . . . . 6 (Ord ๐ถ โ†’ (๐ถ = โˆ… โ†” ยฌ โˆ… โˆˆ ๐ถ))
74, 6syl 17 . . . . 5 (๐ถ โˆˆ On โ†’ (๐ถ = โˆ… โ†” ยฌ โˆ… โˆˆ ๐ถ))
873ad2ant3 1133 . . . 4 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ (๐ถ = โˆ… โ†” ยฌ โˆ… โˆˆ ๐ถ))
9 ssid 4001 . . . . . . 7 โˆ… โІ โˆ…
10 om0r 8554 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ On โ†’ (โˆ… ยทo ๐ด) = โˆ…)
1110adantr 480 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (โˆ… ยทo ๐ด) = โˆ…)
12 om0r 8554 . . . . . . . . 9 (๐ต โˆˆ On โ†’ (โˆ… ยทo ๐ต) = โˆ…)
1312adantl 481 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (โˆ… ยทo ๐ต) = โˆ…)
1411, 13sseq12d 4012 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ ((โˆ… ยทo ๐ด) โІ (โˆ… ยทo ๐ต) โ†” โˆ… โІ โˆ…))
159, 14mpbiri 258 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (โˆ… ยทo ๐ด) โІ (โˆ… ยทo ๐ต))
16 oveq1 7422 . . . . . . 7 (๐ถ = โˆ… โ†’ (๐ถ ยทo ๐ด) = (โˆ… ยทo ๐ด))
17 oveq1 7422 . . . . . . 7 (๐ถ = โˆ… โ†’ (๐ถ ยทo ๐ต) = (โˆ… ยทo ๐ต))
1816, 17sseq12d 4012 . . . . . 6 (๐ถ = โˆ… โ†’ ((๐ถ ยทo ๐ด) โІ (๐ถ ยทo ๐ต) โ†” (โˆ… ยทo ๐ด) โІ (โˆ… ยทo ๐ต)))
1915, 18syl5ibrcom 246 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (๐ถ = โˆ… โ†’ (๐ถ ยทo ๐ด) โІ (๐ถ ยทo ๐ต)))
20193adant3 1130 . . . 4 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ (๐ถ = โˆ… โ†’ (๐ถ ยทo ๐ด) โІ (๐ถ ยทo ๐ต)))
218, 20sylbird 260 . . 3 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ (ยฌ โˆ… โˆˆ ๐ถ โ†’ (๐ถ ยทo ๐ด) โІ (๐ถ ยทo ๐ต)))
2221a1dd 50 . 2 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ (ยฌ โˆ… โˆˆ ๐ถ โ†’ (๐ด โІ ๐ต โ†’ (๐ถ ยทo ๐ด) โІ (๐ถ ยทo ๐ต))))
233, 22pm2.61d 179 1 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ (๐ด โІ ๐ต โ†’ (๐ถ ยทo ๐ด) โІ (๐ถ ยทo ๐ต)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆง w3a 1085   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099   โІ wss 3945  โˆ…c0 4319  Ord word 6363  Oncon0 6364  (class class class)co 7415   ยทo comu 8479
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pr 5424  ax-un 7735
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7866  df-2nd 7989  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-oadd 8485  df-omul 8486
This theorem is referenced by:  omword1  8588  omass  8595  omeulem1  8597  oewordri  8607  oeoalem  8611  oeeui  8617  oaabs2  8664  omxpenlem  9092  cantnflt  9690  cantnflem1d  9706  omabs2  42752  naddwordnexlem0  42817  oaltom  42826
  Copyright terms: Public domain W3C validator