MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  omwordi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem omwordi 8567
Description: Weak ordering property of ordinal multiplication. (Contributed by NM, 21-Dec-2004.)
Assertion
Ref Expression
omwordi ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ (๐ด โІ ๐ต โ†’ (๐ถ ยทo ๐ด) โІ (๐ถ ยทo ๐ต)))

Proof of Theorem omwordi
StepHypRef Expression
1 omword 8566 . . . 4 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ถ) โ†’ (๐ด โІ ๐ต โ†” (๐ถ ยทo ๐ด) โІ (๐ถ ยทo ๐ต)))
21biimpd 228 . . 3 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ถ) โ†’ (๐ด โІ ๐ต โ†’ (๐ถ ยทo ๐ด) โІ (๐ถ ยทo ๐ต)))
32ex 412 . 2 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ (โˆ… โˆˆ ๐ถ โ†’ (๐ด โІ ๐ต โ†’ (๐ถ ยทo ๐ด) โІ (๐ถ ยทo ๐ต))))
4 eloni 6365 . . . . . 6 (๐ถ โˆˆ On โ†’ Ord ๐ถ)
5 ord0eln0 6410 . . . . . . 7 (Ord ๐ถ โ†’ (โˆ… โˆˆ ๐ถ โ†” ๐ถ โ‰  โˆ…))
65necon2bbid 2976 . . . . . 6 (Ord ๐ถ โ†’ (๐ถ = โˆ… โ†” ยฌ โˆ… โˆˆ ๐ถ))
74, 6syl 17 . . . . 5 (๐ถ โˆˆ On โ†’ (๐ถ = โˆ… โ†” ยฌ โˆ… โˆˆ ๐ถ))
873ad2ant3 1132 . . . 4 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ (๐ถ = โˆ… โ†” ยฌ โˆ… โˆˆ ๐ถ))
9 ssid 3997 . . . . . . 7 โˆ… โІ โˆ…
10 om0r 8535 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ On โ†’ (โˆ… ยทo ๐ด) = โˆ…)
1110adantr 480 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (โˆ… ยทo ๐ด) = โˆ…)
12 om0r 8535 . . . . . . . . 9 (๐ต โˆˆ On โ†’ (โˆ… ยทo ๐ต) = โˆ…)
1312adantl 481 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (โˆ… ยทo ๐ต) = โˆ…)
1411, 13sseq12d 4008 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ ((โˆ… ยทo ๐ด) โІ (โˆ… ยทo ๐ต) โ†” โˆ… โІ โˆ…))
159, 14mpbiri 258 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (โˆ… ยทo ๐ด) โІ (โˆ… ยทo ๐ต))
16 oveq1 7409 . . . . . . 7 (๐ถ = โˆ… โ†’ (๐ถ ยทo ๐ด) = (โˆ… ยทo ๐ด))
17 oveq1 7409 . . . . . . 7 (๐ถ = โˆ… โ†’ (๐ถ ยทo ๐ต) = (โˆ… ยทo ๐ต))
1816, 17sseq12d 4008 . . . . . 6 (๐ถ = โˆ… โ†’ ((๐ถ ยทo ๐ด) โІ (๐ถ ยทo ๐ต) โ†” (โˆ… ยทo ๐ด) โІ (โˆ… ยทo ๐ต)))
1915, 18syl5ibrcom 246 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (๐ถ = โˆ… โ†’ (๐ถ ยทo ๐ด) โІ (๐ถ ยทo ๐ต)))
20193adant3 1129 . . . 4 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ (๐ถ = โˆ… โ†’ (๐ถ ยทo ๐ด) โІ (๐ถ ยทo ๐ต)))
218, 20sylbird 260 . . 3 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ (ยฌ โˆ… โˆˆ ๐ถ โ†’ (๐ถ ยทo ๐ด) โІ (๐ถ ยทo ๐ต)))
2221a1dd 50 . 2 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ (ยฌ โˆ… โˆˆ ๐ถ โ†’ (๐ด โІ ๐ต โ†’ (๐ถ ยทo ๐ด) โІ (๐ถ ยทo ๐ต))))
233, 22pm2.61d 179 1 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ (๐ด โІ ๐ต โ†’ (๐ถ ยทo ๐ด) โІ (๐ถ ยทo ๐ต)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โІ wss 3941  โˆ…c0 4315  Ord word 6354  Oncon0 6355  (class class class)co 7402   ยทo comu 8460
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pr 5418  ax-un 7719
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-oadd 8466  df-omul 8467
This theorem is referenced by:  omword1  8569  omass  8576  omeulem1  8578  oewordri  8588  oeoalem  8592  oeeui  8598  oaabs2  8645  omxpenlem  9070  cantnflt  9664  cantnflem1d  9680  omabs2  42596  naddwordnexlem0  42661  oaltom  42670
  Copyright terms: Public domain W3C validator