MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  omwordi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem omwordi 8522
Description: Weak ordering property of ordinal multiplication. (Contributed by NM, 21-Dec-2004.)
Assertion
Ref Expression
omwordi ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ (๐ด โŠ† ๐ต โ†’ (๐ถ ยทo ๐ด) โŠ† (๐ถ ยทo ๐ต)))

Proof of Theorem omwordi
StepHypRef Expression
1 omword 8521 . . . 4 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ถ) โ†’ (๐ด โŠ† ๐ต โ†” (๐ถ ยทo ๐ด) โŠ† (๐ถ ยทo ๐ต)))
21biimpd 228 . . 3 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ถ) โ†’ (๐ด โŠ† ๐ต โ†’ (๐ถ ยทo ๐ด) โŠ† (๐ถ ยทo ๐ต)))
32ex 414 . 2 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ (โˆ… โˆˆ ๐ถ โ†’ (๐ด โŠ† ๐ต โ†’ (๐ถ ยทo ๐ด) โŠ† (๐ถ ยทo ๐ต))))
4 eloni 6331 . . . . . 6 (๐ถ โˆˆ On โ†’ Ord ๐ถ)
5 ord0eln0 6376 . . . . . . 7 (Ord ๐ถ โ†’ (โˆ… โˆˆ ๐ถ โ†” ๐ถ โ‰  โˆ…))
65necon2bbid 2984 . . . . . 6 (Ord ๐ถ โ†’ (๐ถ = โˆ… โ†” ยฌ โˆ… โˆˆ ๐ถ))
74, 6syl 17 . . . . 5 (๐ถ โˆˆ On โ†’ (๐ถ = โˆ… โ†” ยฌ โˆ… โˆˆ ๐ถ))
873ad2ant3 1136 . . . 4 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ (๐ถ = โˆ… โ†” ยฌ โˆ… โˆˆ ๐ถ))
9 ssid 3970 . . . . . . 7 โˆ… โŠ† โˆ…
10 om0r 8489 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ On โ†’ (โˆ… ยทo ๐ด) = โˆ…)
1110adantr 482 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (โˆ… ยทo ๐ด) = โˆ…)
12 om0r 8489 . . . . . . . . 9 (๐ต โˆˆ On โ†’ (โˆ… ยทo ๐ต) = โˆ…)
1312adantl 483 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (โˆ… ยทo ๐ต) = โˆ…)
1411, 13sseq12d 3981 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ ((โˆ… ยทo ๐ด) โŠ† (โˆ… ยทo ๐ต) โ†” โˆ… โŠ† โˆ…))
159, 14mpbiri 258 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (โˆ… ยทo ๐ด) โŠ† (โˆ… ยทo ๐ต))
16 oveq1 7368 . . . . . . 7 (๐ถ = โˆ… โ†’ (๐ถ ยทo ๐ด) = (โˆ… ยทo ๐ด))
17 oveq1 7368 . . . . . . 7 (๐ถ = โˆ… โ†’ (๐ถ ยทo ๐ต) = (โˆ… ยทo ๐ต))
1816, 17sseq12d 3981 . . . . . 6 (๐ถ = โˆ… โ†’ ((๐ถ ยทo ๐ด) โŠ† (๐ถ ยทo ๐ต) โ†” (โˆ… ยทo ๐ด) โŠ† (โˆ… ยทo ๐ต)))
1915, 18syl5ibrcom 247 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (๐ถ = โˆ… โ†’ (๐ถ ยทo ๐ด) โŠ† (๐ถ ยทo ๐ต)))
20193adant3 1133 . . . 4 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ (๐ถ = โˆ… โ†’ (๐ถ ยทo ๐ด) โŠ† (๐ถ ยทo ๐ต)))
218, 20sylbird 260 . . 3 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ (ยฌ โˆ… โˆˆ ๐ถ โ†’ (๐ถ ยทo ๐ด) โŠ† (๐ถ ยทo ๐ต)))
2221a1dd 50 . 2 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ (ยฌ โˆ… โˆˆ ๐ถ โ†’ (๐ด โŠ† ๐ต โ†’ (๐ถ ยทo ๐ด) โŠ† (๐ถ ยทo ๐ต))))
233, 22pm2.61d 179 1 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ (๐ด โŠ† ๐ต โ†’ (๐ถ ยทo ๐ด) โŠ† (๐ถ ยทo ๐ต)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โŠ† wss 3914  โˆ…c0 4286  Ord word 6320  Oncon0 6321  (class class class)co 7361   ยทo comu 8414
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-oadd 8420  df-omul 8421
This theorem is referenced by:  omword1  8524  omass  8531  omeulem1  8533  oewordri  8543  oeoalem  8547  oeeui  8553  oaabs2  8599  omxpenlem  9023  cantnflt  9616  cantnflem1d  9632  omabs2  41714  naddwordnexlem0  41760  oaltom  41769
  Copyright terms: Public domain W3C validator