Theorem alephsmo 10109

Description: The aleph function is strictly monotone. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Mar-2013.)

Assertion

Ref	Expression
alephsmo	⊢ Smo ℵ

Proof of Theorem alephsmo

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3956	. 2 ⊢ On ⊆ On
2		ordon 7780	. 2 ⊢ Ord On
3		alephord2i 10084	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ On → (𝑦 ∈ 𝑥 → (ℵ‘𝑦) ∈ (ℵ‘𝑥)))
4	3	ralrimiv 3155	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ On → ∀𝑦 ∈ 𝑥 (ℵ‘𝑦) ∈ (ℵ‘𝑥))
5	4	rgen 3080	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ On ∀𝑦 ∈ 𝑥 (ℵ‘𝑦) ∈ (ℵ‘𝑥)
6		alephfnon 10072	. . . 4 ⊢ ℵ Fn On
7		alephsson 10107	. . . 4 ⊢ ran ℵ ⊆ On
8		df-f 6541	. . . 4 ⊢ (ℵ:On⟶On ↔ (ℵ Fn On ∧ ran ℵ ⊆ On))
9	6, 7, 8	mpbir2an 724	. . 3 ⊢ ℵ:On⟶On
10		issmo2 8342	. . 3 ⊢ (ℵ:On⟶On → ((On ⊆ On ∧ Ord On ∧ ∀𝑥 ∈ On ∀𝑦 ∈ 𝑥 (ℵ‘𝑦) ∈ (ℵ‘𝑥)) → Smo ℵ))
11	9, 10	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((On ⊆ On ∧ Ord On ∧ ∀𝑥 ∈ On ∀𝑦 ∈ 𝑥 (ℵ‘𝑦) ∈ (ℵ‘𝑥)) → Smo ℵ)
12	1, 2, 5, 11	mp3an 1490	1 ⊢ Smo ℵ

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2145  ∀wral 3078   ⊆ wss 3902  ran crn 5660  Ord word 6360  Oncon0 6361   Fn wfn 6532  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  Smo wsmo 8338  ℵcale 9945

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-inf2 9624

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7374  df-ov 7420  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-smo 8339  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-oi 9486  df-har 9533  df-card 9948  df-aleph 9949

This theorem is used by:  alephf1ALT  10110  alephsing  10282