Theorem alephsmo 10116

Description: The aleph function is strictly monotone. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Mar-2013.)

Assertion

Ref	Expression
alephsmo	⊢ Smo ℵ

Proof of Theorem alephsmo

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3981	. 2 ⊢ On ⊆ On
2		ordon 7771	. 2 ⊢ Ord On
3		alephord2i 10091	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ On → (𝑦 ∈ 𝑥 → (ℵ‘𝑦) ∈ (ℵ‘𝑥)))
4	3	ralrimiv 3131	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ On → ∀𝑦 ∈ 𝑥 (ℵ‘𝑦) ∈ (ℵ‘𝑥))
5	4	rgen 3053	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ On ∀𝑦 ∈ 𝑥 (ℵ‘𝑦) ∈ (ℵ‘𝑥)
6		alephfnon 10079	. . . 4 ⊢ ℵ Fn On
7		alephsson 10114	. . . 4 ⊢ ran ℵ ⊆ On
8		df-f 6535	. . . 4 ⊢ (ℵ:On⟶On ↔ (ℵ Fn On ∧ ran ℵ ⊆ On))
9	6, 7, 8	mpbir2an 711	. . 3 ⊢ ℵ:On⟶On
10		issmo2 8363	. . 3 ⊢ (ℵ:On⟶On → ((On ⊆ On ∧ Ord On ∧ ∀𝑥 ∈ On ∀𝑦 ∈ 𝑥 (ℵ‘𝑦) ∈ (ℵ‘𝑥)) → Smo ℵ))
11	9, 10	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((On ⊆ On ∧ Ord On ∧ ∀𝑥 ∈ On ∀𝑦 ∈ 𝑥 (ℵ‘𝑦) ∈ (ℵ‘𝑥)) → Smo ℵ)
12	1, 2, 5, 11	mp3an 1463	1 ⊢ Smo ℵ

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2108  ∀wral 3051   ⊆ wss 3926  ran crn 5655  Ord word 6351  Oncon0 6352   Fn wfn 6526  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  Smo wsmo 8359  ℵcale 9950

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-inf2 9655

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7362  df-ov 7408  df-om 7862  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-smo 8360  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-oi 9524  df-har 9571  df-card 9953  df-aleph 9954

This theorem is referenced by:  alephf1ALT  10117  alephsing  10290