Theorem alephsmo 10092

Description: The aleph function is strictly monotone. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Mar-2013.)

Assertion

Ref	Expression
alephsmo	⊢ Smo ℵ

Proof of Theorem alephsmo

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3996	. 2 ⊢ On ⊆ On
2		ordon 7757	. 2 ⊢ Ord On
3		alephord2i 10067	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ On → (𝑦 ∈ 𝑥 → (ℵ‘𝑦) ∈ (ℵ‘𝑥)))
4	3	ralrimiv 3137	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ On → ∀𝑦 ∈ 𝑥 (ℵ‘𝑦) ∈ (ℵ‘𝑥))
5	4	rgen 3055	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ On ∀𝑦 ∈ 𝑥 (ℵ‘𝑦) ∈ (ℵ‘𝑥)
6		alephfnon 10055	. . . 4 ⊢ ℵ Fn On
7		alephsson 10090	. . . 4 ⊢ ran ℵ ⊆ On
8		df-f 6537	. . . 4 ⊢ (ℵ:On⟶On ↔ (ℵ Fn On ∧ ran ℵ ⊆ On))
9	6, 7, 8	mpbir2an 708	. . 3 ⊢ ℵ:On⟶On
10		issmo2 8344	. . 3 ⊢ (ℵ:On⟶On → ((On ⊆ On ∧ Ord On ∧ ∀𝑥 ∈ On ∀𝑦 ∈ 𝑥 (ℵ‘𝑦) ∈ (ℵ‘𝑥)) → Smo ℵ))
11	9, 10	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((On ⊆ On ∧ Ord On ∧ ∀𝑥 ∈ On ∀𝑦 ∈ 𝑥 (ℵ‘𝑦) ∈ (ℵ‘𝑥)) → Smo ℵ)
12	1, 2, 5, 11	mp3an 1457	1 ⊢ Smo ℵ

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1084   ∈ wcel 2098  ∀wral 3053   ⊆ wss 3940  ran crn 5667  Ord word 6353  Oncon0 6354   Fn wfn 6528  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  Smo wsmo 8340  ℵcale 9926

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-inf2 9631

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-om 7849  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-smo 8341  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8698  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-fin 8938  df-oi 9500  df-har 9547  df-card 9929  df-aleph 9930

This theorem is referenced by:  alephf1ALT  10093  alephsing  10266