Theorem alephsmo 10055

Description: The aleph function is strictly monotone. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Mar-2013.)

Assertion

Ref	Expression
alephsmo	⊢ Smo ℵ

Proof of Theorem alephsmo

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3958	. 2 ⊢ On ⊆ On
2		ordon 7756	. 2 ⊢ Ord On
3		alephord2i 10030	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ On → (𝑦 ∈ 𝑥 → (ℵ‘𝑦) ∈ (ℵ‘𝑥)))
4	3	ralrimiv 3152	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ On → ∀𝑦 ∈ 𝑥 (ℵ‘𝑦) ∈ (ℵ‘𝑥))
5	4	rgen 3077	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ On ∀𝑦 ∈ 𝑥 (ℵ‘𝑦) ∈ (ℵ‘𝑥)
6		alephfnon 10018	. . . 4 ⊢ ℵ Fn On
7		alephsson 10053	. . . 4 ⊢ ran ℵ ⊆ On
8		df-f 6521	. . . 4 ⊢ (ℵ:On⟶On ↔ (ℵ Fn On ∧ ran ℵ ⊆ On))
9	6, 7, 8	mpbir2an 721	. . 3 ⊢ ℵ:On⟶On
10		issmo2 8315	. . 3 ⊢ (ℵ:On⟶On → ((On ⊆ On ∧ Ord On ∧ ∀𝑥 ∈ On ∀𝑦 ∈ 𝑥 (ℵ‘𝑦) ∈ (ℵ‘𝑥)) → Smo ℵ))
11	9, 10	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((On ⊆ On ∧ Ord On ∧ ∀𝑥 ∈ On ∀𝑦 ∈ 𝑥 (ℵ‘𝑦) ∈ (ℵ‘𝑥)) → Smo ℵ)
12	1, 2, 5, 11	mp3an 1481	1 ⊢ Smo ℵ

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1097   ∈ wcel 2141  ∀wral 3075   ⊆ wss 3904  ran crn 5646  Ord word 6341  Oncon0 6342   Fn wfn 6512  ⟶wf 6513  ‘cfv 6517  Smo wsmo 8311  ℵcale 9891

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-inf2 9593

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-se 5599  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-isom 6526  df-riota 7349  df-ov 7395  df-om 7843  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-smo 8312  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-oi 9455  df-har 9502  df-card 9894  df-aleph 9895

This theorem is referenced by:  alephf1ALT  10056  alephsing  10230