Theorem alephsmo 9789

Description: The aleph function is strictly monotone. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Mar-2013.)

Assertion

Ref	Expression
alephsmo	⊢ Smo ℵ

Proof of Theorem alephsmo

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3939	. 2 ⊢ On ⊆ On
2		ordon 7604	. 2 ⊢ Ord On
3		alephord2i 9764	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ On → (𝑦 ∈ 𝑥 → (ℵ‘𝑦) ∈ (ℵ‘𝑥)))
4	3	ralrimiv 3106	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ On → ∀𝑦 ∈ 𝑥 (ℵ‘𝑦) ∈ (ℵ‘𝑥))
5	4	rgen 3073	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ On ∀𝑦 ∈ 𝑥 (ℵ‘𝑦) ∈ (ℵ‘𝑥)
6		alephfnon 9752	. . . 4 ⊢ ℵ Fn On
7		alephsson 9787	. . . 4 ⊢ ran ℵ ⊆ On
8		df-f 6422	. . . 4 ⊢ (ℵ:On⟶On ↔ (ℵ Fn On ∧ ran ℵ ⊆ On))
9	6, 7, 8	mpbir2an 707	. . 3 ⊢ ℵ:On⟶On
10		issmo2 8151	. . 3 ⊢ (ℵ:On⟶On → ((On ⊆ On ∧ Ord On ∧ ∀𝑥 ∈ On ∀𝑦 ∈ 𝑥 (ℵ‘𝑦) ∈ (ℵ‘𝑥)) → Smo ℵ))
11	9, 10	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((On ⊆ On ∧ Ord On ∧ ∀𝑥 ∈ On ∀𝑦 ∈ 𝑥 (ℵ‘𝑦) ∈ (ℵ‘𝑥)) → Smo ℵ)
12	1, 2, 5, 11	mp3an 1459	1 ⊢ Smo ℵ

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1085   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063   ⊆ wss 3883  ran crn 5581  Ord word 6250  Oncon0 6251   Fn wfn 6413  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  Smo wsmo 8147  ℵcale 9625

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-smo 8148  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-oi 9199  df-har 9246  df-card 9628  df-aleph 9629

This theorem is referenced by:  alephf1ALT  9790  alephsing  9963