Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  alephsmo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem alephsmo 9322
 Description: The aleph function is strictly monotone. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Mar-2013.)
Assertion
Ref Expression
alephsmo Smo ℵ

Proof of Theorem alephsmo
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 3880 . 2 On ⊆ On
2 ordon 7314 . 2 Ord On
3 alephord2i 9297 . . . 4 (𝑥 ∈ On → (𝑦𝑥 → (ℵ‘𝑦) ∈ (ℵ‘𝑥)))
43ralrimiv 3132 . . 3 (𝑥 ∈ On → ∀𝑦𝑥 (ℵ‘𝑦) ∈ (ℵ‘𝑥))
54rgen 3099 . 2 𝑥 ∈ On ∀𝑦𝑥 (ℵ‘𝑦) ∈ (ℵ‘𝑥)
6 alephfnon 9285 . . . 4 ℵ Fn On
7 alephsson 9320 . . . 4 ran ℵ ⊆ On
8 df-f 6192 . . . 4 (ℵ:On⟶On ↔ (ℵ Fn On ∧ ran ℵ ⊆ On))
96, 7, 8mpbir2an 698 . . 3 ℵ:On⟶On
10 issmo2 7790 . . 3 (ℵ:On⟶On → ((On ⊆ On ∧ Ord On ∧ ∀𝑥 ∈ On ∀𝑦𝑥 (ℵ‘𝑦) ∈ (ℵ‘𝑥)) → Smo ℵ))
119, 10ax-mp 5 . 2 ((On ⊆ On ∧ Ord On ∧ ∀𝑥 ∈ On ∀𝑦𝑥 (ℵ‘𝑦) ∈ (ℵ‘𝑥)) → Smo ℵ)
121, 2, 5, 11mp3an 1440 1 Smo ℵ
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1068   ∈ wcel 2050  ∀wral 3089   ⊆ wss 3830  ran crn 5408  Ord word 6028  Oncon0 6029   Fn wfn 6183  ⟶wf 6184  ‘cfv 6188  Smo wsmo 7786  ℵcale 9159 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2751  ax-rep 5049  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-inf2 8898 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2760  df-cleq 2772  df-clel 2847  df-nfc 2919  df-ne 2969  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3418  df-sbc 3683  df-csb 3788  df-dif 3833  df-un 3835  df-in 3837  df-ss 3844  df-pss 3846  df-nul 4180  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-int 4750  df-iun 4794  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-se 5367  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-isom 6197  df-riota 6937  df-om 7397  df-wrecs 7750  df-smo 7787  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-er 8089  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-fin 8310  df-oi 8769  df-har 8817  df-card 9162  df-aleph 9163 This theorem is referenced by:  alephf1ALT  9323  alephsing  9496
 Copyright terms: Public domain W3C validator