Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  onsucunifi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem onsucunifi 43383
Description: The successor to the union of any non-empty, finite subset of ordinals is the union of the successors of the elements. (Contributed by RP, 12-Feb-2025.)
Assertion
Ref Expression
onsucunifi ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → suc 𝐴 = 𝑥𝐴 suc 𝑥)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem onsucunifi
StepHypRef Expression
1 ordunifi 9326 . . 3 ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴𝐴)
2 suceq 6450 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → suc 𝑥 = suc 𝐴)
32ssiun2s 5048 . . 3 ( 𝐴𝐴 → suc 𝐴 𝑥𝐴 suc 𝑥)
41, 3syl 17 . 2 ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → suc 𝐴 𝑥𝐴 suc 𝑥)
5 ssorduni 7799 . . . . . 6 (𝐴 ⊆ On → Ord 𝐴)
6 ordsuci 7828 . . . . . 6 (Ord 𝐴 → Ord suc 𝐴)
75, 6syl 17 . . . . 5 (𝐴 ⊆ On → Ord suc 𝐴)
8 onsucuni 7848 . . . . . 6 (𝐴 ⊆ On → 𝐴 ⊆ suc 𝐴)
98sselda 3983 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ suc 𝐴)
10 ordsucss 7838 . . . . . 6 (Ord suc 𝐴 → (𝑥 ∈ suc 𝐴 → suc 𝑥 ⊆ suc 𝐴))
1110imp 406 . . . . 5 ((Ord suc 𝐴𝑥 ∈ suc 𝐴) → suc 𝑥 ⊆ suc 𝐴)
127, 9, 11syl2an2r 685 . . . 4 ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝑥𝐴) → suc 𝑥 ⊆ suc 𝐴)
1312iunssd 5050 . . 3 (𝐴 ⊆ On → 𝑥𝐴 suc 𝑥 ⊆ suc 𝐴)
14133ad2ant1 1134 . 2 ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝑥𝐴 suc 𝑥 ⊆ suc 𝐴)
154, 14eqssd 4001 1 ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → suc 𝐴 = 𝑥𝐴 suc 𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wss 3951  c0 4333   cuni 4907   ciun 4991  Ord word 6383  Oncon0 6384  suc csuc 6386  Fincfn 8985
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-om 7888  df-en 8986  df-fin 8989
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator