Theorem onsucunifi 43554

Description: The successor to the union of any non-empty, finite subset of ordinals is the union of the successors of the elements. (Contributed by RP, 12-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
onsucunifi	⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → suc ∪ 𝐴 = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 suc 𝑥)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem onsucunifi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordunifi 9188	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∪ 𝐴 ∈ 𝐴)
2		suceq 6383	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ∪ 𝐴 → suc 𝑥 = suc ∪ 𝐴)
3	2	ssiun2s 5002	. . 3 ⊢ (∪ 𝐴 ∈ 𝐴 → suc ∪ 𝐴 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 suc 𝑥)
4	1, 3	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → suc ∪ 𝐴 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 suc 𝑥)
5		ssorduni 7722	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ On → Ord ∪ 𝐴)
6		ordsuci 7751	. . . . . 6 ⊢ (Ord ∪ 𝐴 → Ord suc ∪ 𝐴)
7	5, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ On → Ord suc ∪ 𝐴)
8		onsucuni 7768	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ On → 𝐴 ⊆ suc ∪ 𝐴)
9	8	sselda 3931	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ suc ∪ 𝐴)
10		ordsucss 7758	. . . . . 6 ⊢ (Ord suc ∪ 𝐴 → (𝑥 ∈ suc ∪ 𝐴 → suc 𝑥 ⊆ suc ∪ 𝐴))
11	10	imp 406	. . . . 5 ⊢ ((Ord suc ∪ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ suc ∪ 𝐴) → suc 𝑥 ⊆ suc ∪ 𝐴)
12	7, 9, 11	syl2an2r 685	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → suc 𝑥 ⊆ suc ∪ 𝐴)
13	12	iunssd 5004	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ On → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 suc 𝑥 ⊆ suc ∪ 𝐴)
14	13	3ad2ant1 1133	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 suc 𝑥 ⊆ suc ∪ 𝐴)
15	4, 14	eqssd 3949	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → suc ∪ 𝐴 = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 suc 𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930   ⊆ wss 3899  ∅c0 4283  ∪ cuni 4861  ∪ ciun 4944  Ord word 6314  Oncon0 6315  suc csuc 6317  Fincfn 8881

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pr 5375  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-om 7807  df-en 8882  df-fin 8885

This theorem is referenced by: (None)