Theorem onsucunifi 43819

Description: The successor to the union of any non-empty, finite subset of ordinals is the union of the successors of the elements. (Contributed by RP, 12-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
onsucunifi	⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → suc ∪ 𝐴 = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 suc 𝑥)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem onsucunifi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordunifi 9194	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∪ 𝐴 ∈ 𝐴)
2		suceq 6386	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ∪ 𝐴 → suc 𝑥 = suc ∪ 𝐴)
3	2	ssiun2s 4992	. . 3 ⊢ (∪ 𝐴 ∈ 𝐴 → suc ∪ 𝐴 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 suc 𝑥)
4	1, 3	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → suc ∪ 𝐴 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 suc 𝑥)
5		ssorduni 7727	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ On → Ord ∪ 𝐴)
6		ordsuci 7756	. . . . . 6 ⊢ (Ord ∪ 𝐴 → Ord suc ∪ 𝐴)
7	5, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ On → Ord suc ∪ 𝐴)
8		onsucuni 7773	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ On → 𝐴 ⊆ suc ∪ 𝐴)
9	8	sselda 3922	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ suc ∪ 𝐴)
10		ordsucss 7763	. . . . . 6 ⊢ (Ord suc ∪ 𝐴 → (𝑥 ∈ suc ∪ 𝐴 → suc 𝑥 ⊆ suc ∪ 𝐴))
11	10	imp 406	. . . . 5 ⊢ ((Ord suc ∪ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ suc ∪ 𝐴) → suc 𝑥 ⊆ suc ∪ 𝐴)
12	7, 9, 11	syl2an2r 686	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → suc 𝑥 ⊆ suc ∪ 𝐴)
13	12	iunssd 4994	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ On → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 suc 𝑥 ⊆ suc ∪ 𝐴)
14	13	3ad2ant1 1134	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 suc 𝑥 ⊆ suc ∪ 𝐴)
15	4, 14	eqssd 3940	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → suc ∪ 𝐴 = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 suc 𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   ⊆ wss 3890  ∅c0 4274  ∪ cuni 4851  ∪ ciun 4934  Ord word 6317  Oncon0 6318  suc csuc 6320  Fincfn 8887

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5371  ax-un 7683

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-om 7812  df-en 8888  df-fin 8891

This theorem is referenced by: (None)