Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  onsucunifi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem onsucunifi 42863
Description: The successor to the union of any non-empty, finite subset of ordinals is the union of the successors of the elements. (Contributed by RP, 12-Feb-2025.)
Assertion
Ref Expression
onsucunifi ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → suc 𝐴 = 𝑥𝐴 suc 𝑥)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem onsucunifi
StepHypRef Expression
1 ordunifi 9314 . . 3 ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴𝐴)
2 suceq 6430 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → suc 𝑥 = suc 𝐴)
32ssiun2s 5046 . . 3 ( 𝐴𝐴 → suc 𝐴 𝑥𝐴 suc 𝑥)
41, 3syl 17 . 2 ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → suc 𝐴 𝑥𝐴 suc 𝑥)
5 ssorduni 7778 . . . . . 6 (𝐴 ⊆ On → Ord 𝐴)
6 ordsuci 7808 . . . . . 6 (Ord 𝐴 → Ord suc 𝐴)
75, 6syl 17 . . . . 5 (𝐴 ⊆ On → Ord suc 𝐴)
8 onsucuni 7828 . . . . . 6 (𝐴 ⊆ On → 𝐴 ⊆ suc 𝐴)
98sselda 3972 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ suc 𝐴)
10 ordsucss 7818 . . . . . 6 (Ord suc 𝐴 → (𝑥 ∈ suc 𝐴 → suc 𝑥 ⊆ suc 𝐴))
1110imp 405 . . . . 5 ((Ord suc 𝐴𝑥 ∈ suc 𝐴) → suc 𝑥 ⊆ suc 𝐴)
127, 9, 11syl2an2r 683 . . . 4 ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝑥𝐴) → suc 𝑥 ⊆ suc 𝐴)
1312iunssd 5048 . . 3 (𝐴 ⊆ On → 𝑥𝐴 suc 𝑥 ⊆ suc 𝐴)
14133ad2ant1 1130 . 2 ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝑥𝐴 suc 𝑥 ⊆ suc 𝐴)
154, 14eqssd 3990 1 ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → suc 𝐴 = 𝑥𝐴 suc 𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2930  wss 3940  c0 4318   cuni 4903   ciun 4991  Ord word 6363  Oncon0 6364  suc csuc 6366  Fincfn 8960
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pr 5423  ax-un 7737
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-om 7868  df-en 8961  df-fin 8964
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator