Theorem onsucunifi 43947

Description: The successor to the union of any non-empty, finite subset of ordinals is the union of the successors of the elements. (Contributed by RP, 12-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
onsucunifi	⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → suc ∪ 𝐴 = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 suc 𝑥)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem onsucunifi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordunifi 9234	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∪ 𝐴 ∈ 𝐴)
2		suceq 6414	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ∪ 𝐴 → suc 𝑥 = suc ∪ 𝐴)
3	2	ssiun2s 5006	. . 3 ⊢ (∪ 𝐴 ∈ 𝐴 → suc ∪ 𝐴 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 suc 𝑥)
4	1, 3	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → suc ∪ 𝐴 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 suc 𝑥)
5		ssorduni 7762	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ On → Ord ∪ 𝐴)
6		ordsuci 7791	. . . . . 6 ⊢ (Ord ∪ 𝐴 → Ord suc ∪ 𝐴)
7	5, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ On → Ord suc ∪ 𝐴)
8		onsucuni 7808	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ On → 𝐴 ⊆ suc ∪ 𝐴)
9	8	sselda 3936	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ suc ∪ 𝐴)
10		ordsucss 7798	. . . . . 6 ⊢ (Ord suc ∪ 𝐴 → (𝑥 ∈ suc ∪ 𝐴 → suc 𝑥 ⊆ suc ∪ 𝐴))
11	10	imp 410	. . . . 5 ⊢ ((Ord suc ∪ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ suc ∪ 𝐴) → suc 𝑥 ⊆ suc ∪ 𝐴)
12	7, 9, 11	syl2an2r 695	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → suc 𝑥 ⊆ suc ∪ 𝐴)
13	12	iunssd 5008	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ On → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 suc 𝑥 ⊆ suc ∪ 𝐴)
14	13	3ad2ant1 1146	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 suc 𝑥 ⊆ suc ∪ 𝐴)
15	4, 14	eqssd 3953	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → suc ∪ 𝐴 = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 suc 𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1098   = wceq 1560   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957   ⊆ wss 3904  ∅c0 4285  ∪ cuni 4865  ∪ ciun 4949  Ord word 6345  Oncon0 6346  suc csuc 6348  Fincfn 8927

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5390  ax-un 7718

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-om 7847  df-en 8928  df-fin 8931

This theorem is referenced by: (None)