Theorem onsucunifi 43360

Description: The successor to the union of any non-empty, finite subset of ordinals is the union of the successors of the elements. (Contributed by RP, 12-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
onsucunifi	⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → suc ∪ 𝐴 = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 suc 𝑥)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem onsucunifi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordunifi 9324	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∪ 𝐴 ∈ 𝐴)
2		suceq 6452	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ∪ 𝐴 → suc 𝑥 = suc ∪ 𝐴)
3	2	ssiun2s 5053	. . 3 ⊢ (∪ 𝐴 ∈ 𝐴 → suc ∪ 𝐴 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 suc 𝑥)
4	1, 3	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → suc ∪ 𝐴 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 suc 𝑥)
5		ssorduni 7798	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ On → Ord ∪ 𝐴)
6		ordsuci 7828	. . . . . 6 ⊢ (Ord ∪ 𝐴 → Ord suc ∪ 𝐴)
7	5, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ On → Ord suc ∪ 𝐴)
8		onsucuni 7848	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ On → 𝐴 ⊆ suc ∪ 𝐴)
9	8	sselda 3995	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ suc ∪ 𝐴)
10		ordsucss 7838	. . . . . 6 ⊢ (Ord suc ∪ 𝐴 → (𝑥 ∈ suc ∪ 𝐴 → suc 𝑥 ⊆ suc ∪ 𝐴))
11	10	imp 406	. . . . 5 ⊢ ((Ord suc ∪ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ suc ∪ 𝐴) → suc 𝑥 ⊆ suc ∪ 𝐴)
12	7, 9, 11	syl2an2r 685	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → suc 𝑥 ⊆ suc ∪ 𝐴)
13	12	iunssd 5055	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ On → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 suc 𝑥 ⊆ suc ∪ 𝐴)
14	13	3ad2ant1 1132	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 suc 𝑥 ⊆ suc ∪ 𝐴)
15	4, 14	eqssd 4013	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → suc ∪ 𝐴 = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 suc 𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938   ⊆ wss 3963  ∅c0 4339  ∪ cuni 4912  ∪ ciun 4996  Ord word 6385  Oncon0 6386  suc csuc 6388  Fincfn 8984

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-om 7888  df-en 8985  df-fin 8988

This theorem is referenced by: (None)