Theorem onsuc 7764

Description: The successor of an ordinal number is an ordinal number. Closed form of onsuci 7790. Forward implication of onsucb 7768. Proposition 7.24 of [TakeutiZaring] p. 41. Remark 1.5 of [Schloeder] p. 1. (Contributed by NM, 6-Jun-1994.) (Proof shortened by BTernaryTau, 30-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
onsuc	⊢ (𝐴 ∈ On → suc 𝐴 ∈ On)

Proof of Theorem onsuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sucexg 7759	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → suc 𝐴 ∈ V)
2		sucexeloni 7763	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ suc 𝐴 ∈ V) → suc 𝐴 ∈ On)
3	1, 2	mpdan 688	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → suc 𝐴 ∈ On)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  Vcvv 3429  Oncon0 6323  suc csuc 6325

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-tr 5193  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-ord 6326  df-on 6327  df-suc 6329

This theorem is referenced by:  unon  7782  onsuci  7790  ordunisuc2  7795  ordzsl  7796  onzsl  7797  tfindsg  7812  dfom2  7819  findsg  7848  tfrlem12  8328  oasuc  8459  omsuc  8461  onasuc  8463  oacl  8470  oneo  8516  omeulem1  8517  omeulem2  8518  oeordi  8523  oeworde  8529  oelim2  8531  oelimcl  8536  oeeulem  8537  oeeui  8538  oaabs2  8585  naddsuc2  8637  omxpenlem  9016  card2inf  9470  cantnflt  9593  cantnflem1d  9609  cnfcom  9621  r1ordg  9702  bndrank  9765  r1pw  9769  r1pwALT  9770  tcrank  9808  onssnum  9962  dfac12lem2  10067  cfsuc  10179  cfsmolem  10192  fin1a2lem1  10322  fin1a2lem2  10323  ttukeylem7  10437  alephreg  10505  gch2  10598  winainflem  10616  winalim2  10619  r1wunlim  10660  nqereu  10852  noextend  27630  noresle  27661  nosupno  27667  madeoldsuc  27877  bdayn0p1  28361  constrextdg2lem  33892  fineqvnttrclselem2  35266  ontgval  36613  ontgsucval  36614  onsuctop  36615  sucneqond  37681  onexgt  43668  onexomgt  43669  onexoegt  43672  onepsuc  43680  onsucelab  43691  ordnexbtwnsuc  43695  onsucrn  43699  cantnftermord  43748  cantnfub2  43750  omabs2  43760  onsucunipr  43800  onsucunitp  43801  nadd1suc  43820  naddwordnexlem0  43824  naddwordnexlem1  43825  minregex  43961  onsetreclem2  50181