Theorem onsuc 7758

Description: The successor of an ordinal number is an ordinal number. Closed form of onsuci 7784. Forward implication of onsucb 7762. Proposition 7.24 of [TakeutiZaring] p. 41. Remark 1.5 of [Schloeder] p. 1. (Contributed by NM, 6-Jun-1994.) (Proof shortened by BTernaryTau, 30-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
onsuc	⊢ (𝐴 ∈ On → suc 𝐴 ∈ On)

Proof of Theorem onsuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sucexg 7753	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → suc 𝐴 ∈ V)
2		sucexeloni 7757	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ suc 𝐴 ∈ V) → suc 𝐴 ∈ On)
3	1, 2	mpdan 688	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → suc 𝐴 ∈ On)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430  Oncon0 6318  suc csuc 6320

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-pr 5371  ax-un 7683

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-tr 5194  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-ord 6321  df-on 6322  df-suc 6324

This theorem is referenced by:  unon  7776  onsuci  7784  ordunisuc2  7789  ordzsl  7790  onzsl  7791  tfindsg  7806  dfom2  7813  findsg  7842  tfrlem12  8322  oasuc  8453  omsuc  8455  onasuc  8457  oacl  8464  oneo  8510  omeulem1  8511  omeulem2  8512  oeordi  8517  oeworde  8523  oelim2  8525  oelimcl  8530  oeeulem  8531  oeeui  8532  oaabs2  8579  naddsuc2  8631  omxpenlem  9010  card2inf  9464  cantnflt  9587  cantnflem1d  9603  cnfcom  9615  r1ordg  9696  bndrank  9759  r1pw  9763  r1pwALT  9764  tcrank  9802  onssnum  9956  dfac12lem2  10061  cfsuc  10173  cfsmolem  10186  fin1a2lem1  10316  fin1a2lem2  10317  ttukeylem7  10431  alephreg  10499  gch2  10592  winainflem  10610  winalim2  10613  r1wunlim  10654  nqereu  10846  noextend  27647  noresle  27678  nosupno  27684  madeoldsuc  27894  bdayn0p1  28378  constrextdg2lem  33911  fineqvnttrclselem2  35285  ontgval  36632  ontgsucval  36633  onsuctop  36634  sucneqond  37698  onexgt  43689  onexomgt  43690  onexoegt  43693  onepsuc  43701  onsucelab  43712  ordnexbtwnsuc  43716  onsucrn  43720  cantnftermord  43769  cantnfub2  43771  omabs2  43781  onsucunipr  43821  onsucunitp  43822  nadd1suc  43841  naddwordnexlem0  43845  naddwordnexlem1  43846  minregex  43982  onsetreclem2  50196