Theorem onsuc 7746

Description: The successor of an ordinal number is an ordinal number. Closed form of onsuci 7772. Forward implication of onsucb 7750. Proposition 7.24 of [TakeutiZaring] p. 41. Remark 1.5 of [Schloeder] p. 1. (Contributed by NM, 6-Jun-1994.) (Proof shortened by BTernaryTau, 30-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
onsuc	⊢ (𝐴 ∈ On → suc 𝐴 ∈ On)

Proof of Theorem onsuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sucexg 7741	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → suc 𝐴 ∈ V)
2		sucexeloni 7745	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ suc 𝐴 ∈ V) → suc 𝐴 ∈ On)
3	1, 2	mpdan 687	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → suc 𝐴 ∈ On)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  Vcvv 3436  Oncon0 6307  suc csuc 6309

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pr 5371  ax-un 7671

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3395  df-v 3438  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-br 5093  df-opab 5155  df-tr 5200  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-ord 6310  df-on 6311  df-suc 6313

This theorem is referenced by:  unon  7764  onsuci  7772  ordunisuc2  7777  ordzsl  7778  onzsl  7779  tfindsg  7794  dfom2  7801  findsg  7830  tfrlem12  8311  oasuc  8442  omsuc  8444  onasuc  8446  oacl  8453  oneo  8499  omeulem1  8500  omeulem2  8501  oeordi  8505  oeworde  8511  oelim2  8513  oelimcl  8518  oeeulem  8519  oeeui  8520  oaabs2  8567  naddsuc2  8619  omxpenlem  8995  card2inf  9447  cantnflt  9568  cantnflem1d  9584  cnfcom  9596  r1ordg  9674  bndrank  9737  r1pw  9741  r1pwALT  9742  tcrank  9780  onssnum  9934  dfac12lem2  10039  cfsuc  10151  cfsmolem  10164  fin1a2lem1  10294  fin1a2lem2  10295  ttukeylem7  10409  alephreg  10476  gch2  10569  winainflem  10587  winalim2  10590  r1wunlim  10631  nqereu  10823  noextend  27576  noresle  27607  nosupno  27613  madeoldsuc  27799  bdayn0p1  28263  constrextdg2lem  33715  ontgval  36405  ontgsucval  36406  onsuctop  36407  sucneqond  37339  onexgt  43213  onexomgt  43214  onexoegt  43217  onepsuc  43225  onsucelab  43236  ordnexbtwnsuc  43240  onsucrn  43244  cantnftermord  43293  cantnfub2  43295  omabs2  43305  onsucunipr  43345  onsucunitp  43346  nadd1suc  43365  naddwordnexlem0  43369  naddwordnexlem1  43370  minregex  43507  onsetreclem2  49691