Theorem onsuc 7793

Description: The successor of an ordinal number is an ordinal number. Closed form of onsuci 7819. Forward implication of onsucb 7797. Proposition 7.24 of [TakeutiZaring] p. 41. Remark 1.5 of [Schloeder] p. 1. (Contributed by NM, 6-Jun-1994.) (Proof shortened by BTernaryTau, 30-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
onsuc	⊢ (𝐴 ∈ On → suc 𝐴 ∈ On)

Proof of Theorem onsuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sucexg 7788	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → suc 𝐴 ∈ V)
2		sucexeloni 7792	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ suc 𝐴 ∈ V) → suc 𝐴 ∈ On)
3	1, 2	mpdan 697	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → suc 𝐴 ∈ On)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2142  Vcvv 3454  Oncon0 6346  suc csuc 6348

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-pr 5390  ax-un 7718

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-sb 2091  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-ne 2958  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3415  df-v 3456  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-tr 5208  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-ord 6349  df-on 6350  df-suc 6352

This theorem is referenced by:  unon  7811  onsuci  7819  ordunisuc2  7824  ordzsl  7825  onzsl  7826  tfindsg  7841  dfom2  7848  findsg  7878  tfrlem12  8360  oasuc  8493  omsuc  8495  onasuc  8497  oacl  8504  oneo  8550  omeulem1  8551  omeulem2  8552  oeordi  8557  oeworde  8563  oelim2  8565  oelimcl  8570  oeeulem  8571  oeeui  8572  oaabs2  8619  naddsuc2  8672  omxpenlem  9050  card2inf  9503  cantnflt  9627  cantnflem1d  9643  cnfcom  9655  r1ordg  9736  bndrank  9799  r1pw  9803  r1pwALT  9804  tcrank  9842  onssnum  9996  dfac12lem2  10101  cfsuc  10214  cfsmolem  10227  fin1a2lem1  10357  fin1a2lem2  10358  ttukeylem7  10472  alephreg  10540  gch2  10633  winainflem  10651  winalim2  10654  r1wunlim  10695  nqereu  10887  noextend  27727  noresle  27758  nosupno  27764  madeoldsuc  27975  bdayn0p1  28459  constrextdg2lem  34042  fineqvnttrclselem2  35415  nmulprop  36537  ontgval  36788  ontgsucval  36789  onsuctop  36790  sucneqond  37856  onexgt  43814  onexomgt  43815  onexoegt  43818  onepsuc  43826  onsucelab  43837  ordnexbtwnsuc  43841  onsucrn  43845  cantnftermord  43894  cantnfub2  43896  omabs2  43906  onsucunipr  43946  onsucunitp  43947  nadd1suc  43966  naddwordnexlem0  43970  naddwordnexlem1  43971  minregex  44107  onsetreclem2  50324