Theorem paddval0 40009

Description: Projective subspace sum with at least one empty set. (Contributed by NM, 11-Jan-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
padd0.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
padd0.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
paddval0	⊢ (((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ ¬ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅)) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑋 ∪ 𝑌))

Proof of Theorem paddval0

Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		padd0.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
2		padd0.p	. . . 4 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
3	1, 2	elpadd0 40008	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ ¬ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅)) → (𝑞 ∈ (𝑋 + 𝑌) ↔ (𝑞 ∈ 𝑋 ∨ 𝑞 ∈ 𝑌)))
4		elun 4103	. . 3 ⊢ (𝑞 ∈ (𝑋 ∪ 𝑌) ↔ (𝑞 ∈ 𝑋 ∨ 𝑞 ∈ 𝑌))
5	3, 4	bitr4di 289	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ ¬ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅)) → (𝑞 ∈ (𝑋 + 𝑌) ↔ 𝑞 ∈ (𝑋 ∪ 𝑌)))
6	5	eqrdv 2732	1 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ ¬ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅)) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑋 ∪ 𝑌))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930   ∪ cun 3897   ⊆ wss 3899  ∅c0 4283  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  Atomscatm 39462  +_𝑃cpadd 39994

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-id 5517  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-padd 39995

This theorem is referenced by:  padd01  40010  padd02  40011