Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  paddval0 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem paddval0 39137
Description: Projective subspace sum with at least one empty set. (Contributed by NM, 11-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
padd0.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
padd0.p + = (+π‘ƒβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
paddval0 (((𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ (𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘Œ β‰  βˆ…)) β†’ (𝑋 + π‘Œ) = (𝑋 βˆͺ π‘Œ))
Proof of Theorem paddval0
Dummy variable π‘ž is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 padd0.a . . . 4 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
2 padd0.p . . . 4 + = (+π‘ƒβ€˜πΎ)
31, 2elpadd0 39136 . . 3 (((𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ (𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘Œ β‰  βˆ…)) β†’ (π‘ž ∈ (𝑋 + π‘Œ) ↔ (π‘ž ∈ 𝑋 ∨ π‘ž ∈ π‘Œ)))
4 elun 4140 . . 3 (π‘ž ∈ (𝑋 βˆͺ π‘Œ) ↔ (π‘ž ∈ 𝑋 ∨ π‘ž ∈ π‘Œ))
53, 4bitr4di 289 . 2 (((𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ (𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘Œ β‰  βˆ…)) β†’ (π‘ž ∈ (𝑋 + π‘Œ) ↔ π‘ž ∈ (𝑋 βˆͺ π‘Œ)))
65eqrdv 2722 1 (((𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ (𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘Œ β‰  βˆ…)) β†’ (𝑋 + π‘Œ) = (𝑋 βˆͺ π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 844   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2932   βˆͺ cun 3938   βŠ† wss 3940  βˆ…c0 4314  β€˜cfv 6533  (class class class)co 7401  Atomscatm 38589  +𝑃cpadd 39122
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-id 5564  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-padd 39123
This theorem is referenced by:  padd01  39138  padd02  39139
  Copyright terms: Public domain W3C validator