Theorem padd01 39805

Description: Projective subspace sum with an empty set. (Contributed by NM, 11-Jan-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
padd0.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
padd0.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
padd01	⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝑋 + ∅) = 𝑋)

Proof of Theorem padd01

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → 𝐾 ∈ 𝐵)
2		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → 𝑋 ⊆ 𝐴)
3		0ss 4363	. . . . 5 ⊢ ∅ ⊆ 𝐴
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ∅ ⊆ 𝐴)
5	1, 2, 4	3jca 1128	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ ∅ ⊆ 𝐴))
6		neirr 2934	. . . 4 ⊢ ¬ ∅ ≠ ∅
7	6	intnan 486	. . 3 ⊢ ¬ (𝑋 ≠ ∅ ∧ ∅ ≠ ∅)
8		padd0.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
9		padd0.p	. . . 4 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
10	8, 9	paddval0 39804	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ ∅ ⊆ 𝐴) ∧ ¬ (𝑋 ≠ ∅ ∧ ∅ ≠ ∅)) → (𝑋 + ∅) = (𝑋 ∪ ∅))
11	5, 7, 10	sylancl 586	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝑋 + ∅) = (𝑋 ∪ ∅))
12		un0 4357	. 2 ⊢ (𝑋 ∪ ∅) = 𝑋
13	11, 12	eqtrdi 2780	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝑋 + ∅) = 𝑋)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   ∪ cun 3912   ⊆ wss 3914  ∅c0 4296  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  Atomscatm 39256  +_𝑃cpadd 39789

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-padd 39790

This theorem is referenced by:  paddasslem17  39830  pmodlem2  39841