Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  padd01 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem padd01 39794
Description: Projective subspace sum with an empty set. (Contributed by NM, 11-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
padd0.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
padd0.p + = (+𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
padd01 ((𝐾𝐵𝑋𝐴) → (𝑋 + ∅) = 𝑋)

Proof of Theorem padd01
StepHypRef Expression
1 simpl 482 . . . 4 ((𝐾𝐵𝑋𝐴) → 𝐾𝐵)
2 simpr 484 . . . 4 ((𝐾𝐵𝑋𝐴) → 𝑋𝐴)
3 0ss 4406 . . . . 5 ∅ ⊆ 𝐴
43a1i 11 . . . 4 ((𝐾𝐵𝑋𝐴) → ∅ ⊆ 𝐴)
51, 2, 43jca 1127 . . 3 ((𝐾𝐵𝑋𝐴) → (𝐾𝐵𝑋𝐴 ∧ ∅ ⊆ 𝐴))
6 neirr 2947 . . . 4 ¬ ∅ ≠ ∅
76intnan 486 . . 3 ¬ (𝑋 ≠ ∅ ∧ ∅ ≠ ∅)
8 padd0.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
9 padd0.p . . . 4 + = (+𝑃𝐾)
108, 9paddval0 39793 . . 3 (((𝐾𝐵𝑋𝐴 ∧ ∅ ⊆ 𝐴) ∧ ¬ (𝑋 ≠ ∅ ∧ ∅ ≠ ∅)) → (𝑋 + ∅) = (𝑋 ∪ ∅))
115, 7, 10sylancl 586 . 2 ((𝐾𝐵𝑋𝐴) → (𝑋 + ∅) = (𝑋 ∪ ∅))
12 un0 4400 . 2 (𝑋 ∪ ∅) = 𝑋
1311, 12eqtrdi 2791 1 ((𝐾𝐵𝑋𝐴) → (𝑋 + ∅) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  cun 3961  wss 3963  c0 4339  cfv 6563  (class class class)co 7431  Atomscatm 39245  +𝑃cpadd 39778
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-padd 39779
This theorem is referenced by:  paddasslem17  39819  pmodlem2  39830
  Copyright terms: Public domain W3C validator