Theorem padd01 37752

Description: Projective subspace sum with an empty set. (Contributed by NM, 11-Jan-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
padd0.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
padd0.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
padd01	⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝑋 + ∅) = 𝑋)

Proof of Theorem padd01

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → 𝐾 ∈ 𝐵)
2		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → 𝑋 ⊆ 𝐴)
3		0ss 4327	. . . . 5 ⊢ ∅ ⊆ 𝐴
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ∅ ⊆ 𝐴)
5	1, 2, 4	3jca 1126	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ ∅ ⊆ 𝐴))
6		neirr 2951	. . . 4 ⊢ ¬ ∅ ≠ ∅
7	6	intnan 486	. . 3 ⊢ ¬ (𝑋 ≠ ∅ ∧ ∅ ≠ ∅)
8		padd0.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
9		padd0.p	. . . 4 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
10	8, 9	paddval0 37751	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ ∅ ⊆ 𝐴) ∧ ¬ (𝑋 ≠ ∅ ∧ ∅ ≠ ∅)) → (𝑋 + ∅) = (𝑋 ∪ ∅))
11	5, 7, 10	sylancl 585	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝑋 + ∅) = (𝑋 ∪ ∅))
12		un0 4321	. 2 ⊢ (𝑋 ∪ ∅) = 𝑋
13	11, 12	eqtrdi 2795	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝑋 + ∅) = 𝑋)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942   ∪ cun 3881   ⊆ wss 3883  ∅c0 4253  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Atomscatm 37204  +_𝑃cpadd 37736

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-padd 37737

This theorem is referenced by:  paddasslem17  37777  pmodlem2  37788