Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  elpadd0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elpadd0 35768
Description: Member of projective subspace sum with at least one empty set. (Contributed by NM, 29-Dec-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
padd0.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
padd0.p + = (+𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
elpadd0 (((𝐾𝐵𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ ¬ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅)) → (𝑆 ∈ (𝑋 + 𝑌) ↔ (𝑆𝑋𝑆𝑌)))

Proof of Theorem elpadd0
Dummy variables 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 neanior 3029 . . . 4 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅) ↔ ¬ (𝑋 = ∅ ∨ 𝑌 = ∅))
21bicomi 215 . . 3 (¬ (𝑋 = ∅ ∨ 𝑌 = ∅) ↔ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅))
32con1bii 347 . 2 (¬ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅) ↔ (𝑋 = ∅ ∨ 𝑌 = ∅))
4 eqid 2765 . . . 4 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
5 eqid 2765 . . . 4 (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
6 padd0.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7 padd0.p . . . 4 + = (+𝑃𝐾)
84, 5, 6, 7elpadd 35758 . . 3 ((𝐾𝐵𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑆 ∈ (𝑋 + 𝑌) ↔ ((𝑆𝑋𝑆𝑌) ∨ (𝑆𝐴 ∧ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))))
9 rex0 4104 . . . . . . . 8 ¬ ∃𝑞 ∈ ∅ ∃𝑟𝑌 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)
10 rexeq 3287 . . . . . . . 8 (𝑋 = ∅ → (∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟) ↔ ∃𝑞 ∈ ∅ ∃𝑟𝑌 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))
119, 10mtbiri 318 . . . . . . 7 (𝑋 = ∅ → ¬ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟))
12 rex0 4104 . . . . . . . . . 10 ¬ ∃𝑟 ∈ ∅ 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)
1312a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑞𝑋 → ¬ ∃𝑟 ∈ ∅ 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟))
1413nrex 3146 . . . . . . . 8 ¬ ∃𝑞𝑋𝑟 ∈ ∅ 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)
15 rexeq 3287 . . . . . . . . 9 (𝑌 = ∅ → (∃𝑟𝑌 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟) ↔ ∃𝑟 ∈ ∅ 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))
1615rexbidv 3199 . . . . . . . 8 (𝑌 = ∅ → (∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟) ↔ ∃𝑞𝑋𝑟 ∈ ∅ 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))
1714, 16mtbiri 318 . . . . . . 7 (𝑌 = ∅ → ¬ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟))
1811, 17jaoi 883 . . . . . 6 ((𝑋 = ∅ ∨ 𝑌 = ∅) → ¬ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟))
1918intnand 482 . . . . 5 ((𝑋 = ∅ ∨ 𝑌 = ∅) → ¬ (𝑆𝐴 ∧ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))
20 biorf 960 . . . . 5 (¬ (𝑆𝐴 ∧ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)) → ((𝑆𝑋𝑆𝑌) ↔ ((𝑆𝐴 ∧ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)) ∨ (𝑆𝑋𝑆𝑌))))
2119, 20syl 17 . . . 4 ((𝑋 = ∅ ∨ 𝑌 = ∅) → ((𝑆𝑋𝑆𝑌) ↔ ((𝑆𝐴 ∧ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)) ∨ (𝑆𝑋𝑆𝑌))))
22 orcom 896 . . . 4 (((𝑆𝐴 ∧ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)) ∨ (𝑆𝑋𝑆𝑌)) ↔ ((𝑆𝑋𝑆𝑌) ∨ (𝑆𝐴 ∧ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟))))
2321, 22syl6rbb 279 . . 3 ((𝑋 = ∅ ∨ 𝑌 = ∅) → (((𝑆𝑋𝑆𝑌) ∨ (𝑆𝐴 ∧ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟))) ↔ (𝑆𝑋𝑆𝑌)))
248, 23sylan9bb 505 . 2 (((𝐾𝐵𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋 = ∅ ∨ 𝑌 = ∅)) → (𝑆 ∈ (𝑋 + 𝑌) ↔ (𝑆𝑋𝑆𝑌)))
253, 24sylan2b 587 1 (((𝐾𝐵𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ ¬ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅)) → (𝑆 ∈ (𝑋 + 𝑌) ↔ (𝑆𝑋𝑆𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  wo 873  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  wrex 3056  wss 3734  c0 4081   class class class wbr 4811  cfv 6070  (class class class)co 6844  lecple 16224  joincjn 17213  Atomscatm 35222  +𝑃cpadd 35754
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4932  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7149
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-op 4343  df-uni 4597  df-iun 4680  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-id 5187  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-ov 6847  df-oprab 6848  df-mpt2 6849  df-1st 7368  df-2nd 7369  df-padd 35755
This theorem is referenced by:  paddval0  35769
  Copyright terms: Public domain W3C validator