Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  elpadd0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elpadd0 39792
Description: Member of projective subspace sum with at least one empty set. (Contributed by NM, 29-Dec-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
padd0.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
padd0.p + = (+𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
elpadd0 (((𝐾𝐵𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ ¬ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅)) → (𝑆 ∈ (𝑋 + 𝑌) ↔ (𝑆𝑋𝑆𝑌)))

Proof of Theorem elpadd0
Dummy variables 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 neanior 3033 . . . 4 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅) ↔ ¬ (𝑋 = ∅ ∨ 𝑌 = ∅))
21bicomi 224 . . 3 (¬ (𝑋 = ∅ ∨ 𝑌 = ∅) ↔ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅))
32con1bii 356 . 2 (¬ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅) ↔ (𝑋 = ∅ ∨ 𝑌 = ∅))
4 eqid 2735 . . . 4 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
5 eqid 2735 . . . 4 (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
6 padd0.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7 padd0.p . . . 4 + = (+𝑃𝐾)
84, 5, 6, 7elpadd 39782 . . 3 ((𝐾𝐵𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑆 ∈ (𝑋 + 𝑌) ↔ ((𝑆𝑋𝑆𝑌) ∨ (𝑆𝐴 ∧ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))))
9 rex0 4366 . . . . . . . 8 ¬ ∃𝑞 ∈ ∅ ∃𝑟𝑌 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)
10 rexeq 3320 . . . . . . . 8 (𝑋 = ∅ → (∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟) ↔ ∃𝑞 ∈ ∅ ∃𝑟𝑌 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))
119, 10mtbiri 327 . . . . . . 7 (𝑋 = ∅ → ¬ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟))
12 rex0 4366 . . . . . . . . . 10 ¬ ∃𝑟 ∈ ∅ 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)
1312a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑞𝑋 → ¬ ∃𝑟 ∈ ∅ 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟))
1413nrex 3072 . . . . . . . 8 ¬ ∃𝑞𝑋𝑟 ∈ ∅ 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)
15 rexeq 3320 . . . . . . . . 9 (𝑌 = ∅ → (∃𝑟𝑌 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟) ↔ ∃𝑟 ∈ ∅ 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))
1615rexbidv 3177 . . . . . . . 8 (𝑌 = ∅ → (∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟) ↔ ∃𝑞𝑋𝑟 ∈ ∅ 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))
1714, 16mtbiri 327 . . . . . . 7 (𝑌 = ∅ → ¬ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟))
1811, 17jaoi 857 . . . . . 6 ((𝑋 = ∅ ∨ 𝑌 = ∅) → ¬ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟))
1918intnand 488 . . . . 5 ((𝑋 = ∅ ∨ 𝑌 = ∅) → ¬ (𝑆𝐴 ∧ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))
20 biorf 936 . . . . 5 (¬ (𝑆𝐴 ∧ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)) → ((𝑆𝑋𝑆𝑌) ↔ ((𝑆𝐴 ∧ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)) ∨ (𝑆𝑋𝑆𝑌))))
2119, 20syl 17 . . . 4 ((𝑋 = ∅ ∨ 𝑌 = ∅) → ((𝑆𝑋𝑆𝑌) ↔ ((𝑆𝐴 ∧ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)) ∨ (𝑆𝑋𝑆𝑌))))
22 orcom 870 . . . 4 (((𝑆𝐴 ∧ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)) ∨ (𝑆𝑋𝑆𝑌)) ↔ ((𝑆𝑋𝑆𝑌) ∨ (𝑆𝐴 ∧ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟))))
2321, 22bitr2di 288 . . 3 ((𝑋 = ∅ ∨ 𝑌 = ∅) → (((𝑆𝑋𝑆𝑌) ∨ (𝑆𝐴 ∧ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟))) ↔ (𝑆𝑋𝑆𝑌)))
248, 23sylan9bb 509 . 2 (((𝐾𝐵𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋 = ∅ ∨ 𝑌 = ∅)) → (𝑆 ∈ (𝑋 + 𝑌) ↔ (𝑆𝑋𝑆𝑌)))
253, 24sylan2b 594 1 (((𝐾𝐵𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ ¬ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅)) → (𝑆 ∈ (𝑋 + 𝑌) ↔ (𝑆𝑋𝑆𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wrex 3068  wss 3963  c0 4339   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431  lecple 17305  joincjn 18369  Atomscatm 39245  +𝑃cpadd 39778
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-padd 39779
This theorem is referenced by:  paddval0  39793
  Copyright terms: Public domain W3C validator