Theorem elpadd0 40185

Description: Member of projective subspace sum with at least one empty set. (Contributed by NM, 29-Dec-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
padd0.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
padd0.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
elpadd0	⊢ (((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ ¬ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅)) → (𝑆 ∈ (𝑋 + 𝑌) ↔ (𝑆 ∈ 𝑋 ∨ 𝑆 ∈ 𝑌)))

Proof of Theorem elpadd0

Dummy variables 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neanior 3026	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅) ↔ ¬ (𝑋 = ∅ ∨ 𝑌 = ∅))
2	1	bicomi 224	. . 3 ⊢ (¬ (𝑋 = ∅ ∨ 𝑌 = ∅) ↔ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅))
3	2	con1bii 356	. 2 ⊢ (¬ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅) ↔ (𝑋 = ∅ ∨ 𝑌 = ∅))
4		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
5		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
6		padd0.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7		padd0.p	. . . 4 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
8	4, 5, 6, 7	elpadd 40175	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → (𝑆 ∈ (𝑋 + 𝑌) ↔ ((𝑆 ∈ 𝑋 ∨ 𝑆 ∈ 𝑌) ∨ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))))
9		rex0 4314	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ ∃𝑞 ∈ ∅ ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)
10		rexeq 3294	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 = ∅ → (∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟) ↔ ∃𝑞 ∈ ∅ ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))
11	9, 10	mtbiri 327	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = ∅ → ¬ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟))
12		rex0 4314	. . . . . . . . . 10 ⊢ ¬ ∃𝑟 ∈ ∅ 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)
13	12	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 ∈ 𝑋 → ¬ ∃𝑟 ∈ ∅ 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟))
14	13	nrex 3066	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ ∅ 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)
15		rexeq 3294	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 = ∅ → (∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟) ↔ ∃𝑟 ∈ ∅ 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))
16	15	rexbidv 3162	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 = ∅ → (∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟) ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ ∅ 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))
17	14, 16	mtbiri 327	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 = ∅ → ¬ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟))
18	11, 17	jaoi 858	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 = ∅ ∨ 𝑌 = ∅) → ¬ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟))
19	18	intnand 488	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 = ∅ ∨ 𝑌 = ∅) → ¬ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))
20		biorf 937	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)) → ((𝑆 ∈ 𝑋 ∨ 𝑆 ∈ 𝑌) ↔ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)) ∨ (𝑆 ∈ 𝑋 ∨ 𝑆 ∈ 𝑌))))
21	19, 20	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑋 = ∅ ∨ 𝑌 = ∅) → ((𝑆 ∈ 𝑋 ∨ 𝑆 ∈ 𝑌) ↔ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)) ∨ (𝑆 ∈ 𝑋 ∨ 𝑆 ∈ 𝑌))))
22		orcom 871	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)) ∨ (𝑆 ∈ 𝑋 ∨ 𝑆 ∈ 𝑌)) ↔ ((𝑆 ∈ 𝑋 ∨ 𝑆 ∈ 𝑌) ∨ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟))))
23	21, 22	bitr2di 288	. . 3 ⊢ ((𝑋 = ∅ ∨ 𝑌 = ∅) → (((𝑆 ∈ 𝑋 ∨ 𝑆 ∈ 𝑌) ∨ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟))) ↔ (𝑆 ∈ 𝑋 ∨ 𝑆 ∈ 𝑌)))
24	8, 23	sylan9bb 509	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 = ∅ ∨ 𝑌 = ∅)) → (𝑆 ∈ (𝑋 + 𝑌) ↔ (𝑆 ∈ 𝑋 ∨ 𝑆 ∈ 𝑌)))
25	3, 24	sylan2b 595	1 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ ¬ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅)) → (𝑆 ∈ (𝑋 + 𝑌) ↔ (𝑆 ∈ 𝑋 ∨ 𝑆 ∈ 𝑌)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∃wrex 3062   ⊆ wss 3903  ∅c0 4287   class class class wbr 5100  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  lecple 17196  joincjn 18246  Atomscatm 39639  +_𝑃cpadd 40171

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-padd 40172

This theorem is referenced by:  paddval0  40186