Theorem elpadd0 38345

Description: Member of projective subspace sum with at least one empty set. (Contributed by NM, 29-Dec-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
padd0.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
padd0.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
elpadd0	⊢ (((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ ¬ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅)) → (𝑆 ∈ (𝑋 + 𝑌) ↔ (𝑆 ∈ 𝑋 ∨ 𝑆 ∈ 𝑌)))

Proof of Theorem elpadd0

Dummy variables 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neanior 3034	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅) ↔ ¬ (𝑋 = ∅ ∨ 𝑌 = ∅))
2	1	bicomi 223	. . 3 ⊢ (¬ (𝑋 = ∅ ∨ 𝑌 = ∅) ↔ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅))
3	2	con1bii 356	. 2 ⊢ (¬ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅) ↔ (𝑋 = ∅ ∨ 𝑌 = ∅))
4		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
5		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
6		padd0.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7		padd0.p	. . . 4 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
8	4, 5, 6, 7	elpadd 38335	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → (𝑆 ∈ (𝑋 + 𝑌) ↔ ((𝑆 ∈ 𝑋 ∨ 𝑆 ∈ 𝑌) ∨ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))))
9		rex0 4322	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ ∃𝑞 ∈ ∅ ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)
10		rexeq 3308	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 = ∅ → (∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟) ↔ ∃𝑞 ∈ ∅ ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))
11	9, 10	mtbiri 326	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = ∅ → ¬ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟))
12		rex0 4322	. . . . . . . . . 10 ⊢ ¬ ∃𝑟 ∈ ∅ 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)
13	12	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 ∈ 𝑋 → ¬ ∃𝑟 ∈ ∅ 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟))
14	13	nrex 3073	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ ∅ 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)
15		rexeq 3308	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 = ∅ → (∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟) ↔ ∃𝑟 ∈ ∅ 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))
16	15	rexbidv 3171	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 = ∅ → (∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟) ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ ∅ 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))
17	14, 16	mtbiri 326	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 = ∅ → ¬ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟))
18	11, 17	jaoi 855	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 = ∅ ∨ 𝑌 = ∅) → ¬ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟))
19	18	intnand 489	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 = ∅ ∨ 𝑌 = ∅) → ¬ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))
20		biorf 935	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)) → ((𝑆 ∈ 𝑋 ∨ 𝑆 ∈ 𝑌) ↔ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)) ∨ (𝑆 ∈ 𝑋 ∨ 𝑆 ∈ 𝑌))))
21	19, 20	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑋 = ∅ ∨ 𝑌 = ∅) → ((𝑆 ∈ 𝑋 ∨ 𝑆 ∈ 𝑌) ↔ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)) ∨ (𝑆 ∈ 𝑋 ∨ 𝑆 ∈ 𝑌))))
22		orcom 868	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)) ∨ (𝑆 ∈ 𝑋 ∨ 𝑆 ∈ 𝑌)) ↔ ((𝑆 ∈ 𝑋 ∨ 𝑆 ∈ 𝑌) ∨ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟))))
23	21, 22	bitr2di 287	. . 3 ⊢ ((𝑋 = ∅ ∨ 𝑌 = ∅) → (((𝑆 ∈ 𝑋 ∨ 𝑆 ∈ 𝑌) ∨ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟))) ↔ (𝑆 ∈ 𝑋 ∨ 𝑆 ∈ 𝑌)))
24	8, 23	sylan9bb 510	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 = ∅ ∨ 𝑌 = ∅)) → (𝑆 ∈ (𝑋 + 𝑌) ↔ (𝑆 ∈ 𝑋 ∨ 𝑆 ∈ 𝑌)))
25	3, 24	sylan2b 594	1 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ ¬ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅)) → (𝑆 ∈ (𝑋 + 𝑌) ↔ (𝑆 ∈ 𝑋 ∨ 𝑆 ∈ 𝑌)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2939  ∃wrex 3069   ⊆ wss 3913  ∅c0 4287   class class class wbr 5110  ‘cfv 6501  (class class class)co 7362  lecple 17154  joincjn 18214  Atomscatm 37798  +_𝑃cpadd 38331

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3448  df-sbc 3743  df-csb 3859  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-padd 38332

This theorem is referenced by:  paddval0  38346