Theorem elpadd0 39803

Description: Member of projective subspace sum with at least one empty set. (Contributed by NM, 29-Dec-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
padd0.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
padd0.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
elpadd0	⊢ (((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ ¬ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅)) → (𝑆 ∈ (𝑋 + 𝑌) ↔ (𝑆 ∈ 𝑋 ∨ 𝑆 ∈ 𝑌)))

Proof of Theorem elpadd0

Dummy variables 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neanior 3018	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅) ↔ ¬ (𝑋 = ∅ ∨ 𝑌 = ∅))
2	1	bicomi 224	. . 3 ⊢ (¬ (𝑋 = ∅ ∨ 𝑌 = ∅) ↔ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅))
3	2	con1bii 356	. 2 ⊢ (¬ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅) ↔ (𝑋 = ∅ ∨ 𝑌 = ∅))
4		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
5		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
6		padd0.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7		padd0.p	. . . 4 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
8	4, 5, 6, 7	elpadd 39793	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → (𝑆 ∈ (𝑋 + 𝑌) ↔ ((𝑆 ∈ 𝑋 ∨ 𝑆 ∈ 𝑌) ∨ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))))
9		rex0 4323	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ ∃𝑞 ∈ ∅ ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)
10		rexeq 3295	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 = ∅ → (∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟) ↔ ∃𝑞 ∈ ∅ ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))
11	9, 10	mtbiri 327	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = ∅ → ¬ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟))
12		rex0 4323	. . . . . . . . . 10 ⊢ ¬ ∃𝑟 ∈ ∅ 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)
13	12	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 ∈ 𝑋 → ¬ ∃𝑟 ∈ ∅ 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟))
14	13	nrex 3057	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ ∅ 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)
15		rexeq 3295	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 = ∅ → (∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟) ↔ ∃𝑟 ∈ ∅ 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))
16	15	rexbidv 3157	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 = ∅ → (∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟) ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ ∅ 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))
17	14, 16	mtbiri 327	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 = ∅ → ¬ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟))
18	11, 17	jaoi 857	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 = ∅ ∨ 𝑌 = ∅) → ¬ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟))
19	18	intnand 488	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 = ∅ ∨ 𝑌 = ∅) → ¬ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))
20		biorf 936	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)) → ((𝑆 ∈ 𝑋 ∨ 𝑆 ∈ 𝑌) ↔ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)) ∨ (𝑆 ∈ 𝑋 ∨ 𝑆 ∈ 𝑌))))
21	19, 20	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑋 = ∅ ∨ 𝑌 = ∅) → ((𝑆 ∈ 𝑋 ∨ 𝑆 ∈ 𝑌) ↔ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)) ∨ (𝑆 ∈ 𝑋 ∨ 𝑆 ∈ 𝑌))))
22		orcom 870	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)) ∨ (𝑆 ∈ 𝑋 ∨ 𝑆 ∈ 𝑌)) ↔ ((𝑆 ∈ 𝑋 ∨ 𝑆 ∈ 𝑌) ∨ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟))))
23	21, 22	bitr2di 288	. . 3 ⊢ ((𝑋 = ∅ ∨ 𝑌 = ∅) → (((𝑆 ∈ 𝑋 ∨ 𝑆 ∈ 𝑌) ∨ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟))) ↔ (𝑆 ∈ 𝑋 ∨ 𝑆 ∈ 𝑌)))
24	8, 23	sylan9bb 509	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 = ∅ ∨ 𝑌 = ∅)) → (𝑆 ∈ (𝑋 + 𝑌) ↔ (𝑆 ∈ 𝑋 ∨ 𝑆 ∈ 𝑌)))
25	3, 24	sylan2b 594	1 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ ¬ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅)) → (𝑆 ∈ (𝑋 + 𝑌) ↔ (𝑆 ∈ 𝑋 ∨ 𝑆 ∈ 𝑌)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∃wrex 3053   ⊆ wss 3914  ∅c0 4296   class class class wbr 5107  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  lecple 17227  joincjn 18272  Atomscatm 39256  +_𝑃cpadd 39789

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-padd 39790

This theorem is referenced by:  paddval0  39804