Theorem elpadd0 39766

Description: Member of projective subspace sum with at least one empty set. (Contributed by NM, 29-Dec-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
padd0.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
padd0.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
elpadd0	⊢ (((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ ¬ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅)) → (𝑆 ∈ (𝑋 + 𝑌) ↔ (𝑆 ∈ 𝑋 ∨ 𝑆 ∈ 𝑌)))

Proof of Theorem elpadd0

Dummy variables 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neanior 3041	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅) ↔ ¬ (𝑋 = ∅ ∨ 𝑌 = ∅))
2	1	bicomi 224	. . 3 ⊢ (¬ (𝑋 = ∅ ∨ 𝑌 = ∅) ↔ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅))
3	2	con1bii 356	. 2 ⊢ (¬ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅) ↔ (𝑋 = ∅ ∨ 𝑌 = ∅))
4		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
5		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
6		padd0.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7		padd0.p	. . . 4 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
8	4, 5, 6, 7	elpadd 39756	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → (𝑆 ∈ (𝑋 + 𝑌) ↔ ((𝑆 ∈ 𝑋 ∨ 𝑆 ∈ 𝑌) ∨ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))))
9		rex0 4383	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ ∃𝑞 ∈ ∅ ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)
10		rexeq 3330	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 = ∅ → (∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟) ↔ ∃𝑞 ∈ ∅ ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))
11	9, 10	mtbiri 327	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = ∅ → ¬ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟))
12		rex0 4383	. . . . . . . . . 10 ⊢ ¬ ∃𝑟 ∈ ∅ 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)
13	12	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 ∈ 𝑋 → ¬ ∃𝑟 ∈ ∅ 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟))
14	13	nrex 3080	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ ∅ 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)
15		rexeq 3330	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 = ∅ → (∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟) ↔ ∃𝑟 ∈ ∅ 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))
16	15	rexbidv 3185	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 = ∅ → (∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟) ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ ∅ 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))
17	14, 16	mtbiri 327	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 = ∅ → ¬ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟))
18	11, 17	jaoi 856	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 = ∅ ∨ 𝑌 = ∅) → ¬ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟))
19	18	intnand 488	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 = ∅ ∨ 𝑌 = ∅) → ¬ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))
20		biorf 935	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)) → ((𝑆 ∈ 𝑋 ∨ 𝑆 ∈ 𝑌) ↔ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)) ∨ (𝑆 ∈ 𝑋 ∨ 𝑆 ∈ 𝑌))))
21	19, 20	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑋 = ∅ ∨ 𝑌 = ∅) → ((𝑆 ∈ 𝑋 ∨ 𝑆 ∈ 𝑌) ↔ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)) ∨ (𝑆 ∈ 𝑋 ∨ 𝑆 ∈ 𝑌))))
22		orcom 869	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)) ∨ (𝑆 ∈ 𝑋 ∨ 𝑆 ∈ 𝑌)) ↔ ((𝑆 ∈ 𝑋 ∨ 𝑆 ∈ 𝑌) ∨ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟))))
23	21, 22	bitr2di 288	. . 3 ⊢ ((𝑋 = ∅ ∨ 𝑌 = ∅) → (((𝑆 ∈ 𝑋 ∨ 𝑆 ∈ 𝑌) ∨ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟))) ↔ (𝑆 ∈ 𝑋 ∨ 𝑆 ∈ 𝑌)))
24	8, 23	sylan9bb 509	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 = ∅ ∨ 𝑌 = ∅)) → (𝑆 ∈ (𝑋 + 𝑌) ↔ (𝑆 ∈ 𝑋 ∨ 𝑆 ∈ 𝑌)))
25	3, 24	sylan2b 593	1 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ ¬ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅)) → (𝑆 ∈ (𝑋 + 𝑌) ↔ (𝑆 ∈ 𝑋 ∨ 𝑆 ∈ 𝑌)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 846   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∃wrex 3076   ⊆ wss 3976  ∅c0 4352   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  lecple 17318  joincjn 18381  Atomscatm 39219  +_𝑃cpadd 39752

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-padd 39753

This theorem is referenced by:  paddval0  39767