Theorem padd02 39799

Description: Projective subspace sum with an empty set. (Contributed by NM, 11-Jan-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
padd0.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
padd0.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
padd02	⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (∅ + 𝑋) = 𝑋)

Proof of Theorem padd02

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → 𝐾 ∈ 𝐵)
2		0ss 4359	. . . . 5 ⊢ ∅ ⊆ 𝐴
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ∅ ⊆ 𝐴)
4		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → 𝑋 ⊆ 𝐴)
5	1, 3, 4	3jca 1128	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝐾 ∈ 𝐵 ∧ ∅ ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴))
6		neirr 2934	. . . 4 ⊢ ¬ ∅ ≠ ∅
7	6	intnanr 487	. . 3 ⊢ ¬ (∅ ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)
8		padd0.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
9		padd0.p	. . . 4 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
10	8, 9	paddval0 39797	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ ∅ ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ ¬ (∅ ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (∅ + 𝑋) = (∅ ∪ 𝑋))
11	5, 7, 10	sylancl 586	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (∅ + 𝑋) = (∅ ∪ 𝑋))
12		uncom 4117	. . 3 ⊢ (∅ ∪ 𝑋) = (𝑋 ∪ ∅)
13		un0 4353	. . 3 ⊢ (𝑋 ∪ ∅) = 𝑋
14	12, 13	eqtri 2752	. 2 ⊢ (∅ ∪ 𝑋) = 𝑋
15	11, 14	eqtrdi 2780	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (∅ + 𝑋) = 𝑋)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   ∪ cun 3909   ⊆ wss 3911  ∅c0 4292  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  Atomscatm 39249  +_𝑃cpadd 39782

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-padd 39783

This theorem is referenced by:  paddasslem17  39823  pmodlem2  39834  pmapjat1  39840  osumclN  39954  pexmidALTN  39965