Theorem padd02 40688

Description: Projective subspace sum with an empty set. (Contributed by NM, 11-Jan-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
padd0.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
padd0.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
padd02	⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (∅ + 𝑋) = 𝑋)

Proof of Theorem padd02

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 488	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → 𝐾 ∈ 𝐵)
2		0ss 4350	. . . . 5 ⊢ ∅ ⊆ 𝐴
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ∅ ⊆ 𝐴)
4		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → 𝑋 ⊆ 𝐴)
5	1, 3, 4	3jca 1146	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝐾 ∈ 𝐵 ∧ ∅ ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴))
6		neirr 2964	. . . 4 ⊢ ¬ ∅ ≠ ∅
7	6	intnanr 493	. . 3 ⊢ ¬ (∅ ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)
8		padd0.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
9		padd0.p	. . . 4 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
10	8, 9	paddval0 40686	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ ∅ ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ ¬ (∅ ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (∅ + 𝑋) = (∅ ∪ 𝑋))
11	5, 7, 10	sylancl 598	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (∅ + 𝑋) = (∅ ∪ 𝑋))
12		uncom 4105	. . 3 ⊢ (∅ ∪ 𝑋) = (𝑋 ∪ ∅)
13		un0 4344	. . 3 ⊢ (𝑋 ∪ ∅) = 𝑋
14	12, 13	eqtri 2783	. 2 ⊢ (∅ ∪ 𝑋) = 𝑋
15	11, 14	eqtrdi 2811	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (∅ + 𝑋) = 𝑋)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955   ∪ cun 3897   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  Atomscatm 40139  +_𝑃cpadd 40671

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-padd 40672

This theorem is used by:  paddasslem17  40712  pmodlem2  40723  pmapjat1  40729  osumclN  40843  pexmidALTN  40854