Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  padd02 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem padd02 38242
Description: Projective subspace sum with an empty set. (Contributed by NM, 11-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
padd0.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
padd0.p + = (+𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
padd02 ((𝐾𝐵𝑋𝐴) → (∅ + 𝑋) = 𝑋)

Proof of Theorem padd02
StepHypRef Expression
1 simpl 483 . . . 4 ((𝐾𝐵𝑋𝐴) → 𝐾𝐵)
2 0ss 4354 . . . . 5 ∅ ⊆ 𝐴
32a1i 11 . . . 4 ((𝐾𝐵𝑋𝐴) → ∅ ⊆ 𝐴)
4 simpr 485 . . . 4 ((𝐾𝐵𝑋𝐴) → 𝑋𝐴)
51, 3, 43jca 1128 . . 3 ((𝐾𝐵𝑋𝐴) → (𝐾𝐵 ∧ ∅ ⊆ 𝐴𝑋𝐴))
6 neirr 2950 . . . 4 ¬ ∅ ≠ ∅
76intnanr 488 . . 3 ¬ (∅ ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)
8 padd0.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
9 padd0.p . . . 4 + = (+𝑃𝐾)
108, 9paddval0 38240 . . 3 (((𝐾𝐵 ∧ ∅ ⊆ 𝐴𝑋𝐴) ∧ ¬ (∅ ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (∅ + 𝑋) = (∅ ∪ 𝑋))
115, 7, 10sylancl 586 . 2 ((𝐾𝐵𝑋𝐴) → (∅ + 𝑋) = (∅ ∪ 𝑋))
12 uncom 4111 . . 3 (∅ ∪ 𝑋) = (𝑋 ∪ ∅)
13 un0 4348 . . 3 (𝑋 ∪ ∅) = 𝑋
1412, 13eqtri 2764 . 2 (∅ ∪ 𝑋) = 𝑋
1511, 14eqtrdi 2792 1 ((𝐾𝐵𝑋𝐴) → (∅ + 𝑋) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2941  cun 3906  wss 3908  c0 4280  cfv 6493  (class class class)co 7353  Atomscatm 37692  +𝑃cpadd 38225
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7668
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-id 5529  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-1st 7917  df-2nd 7918  df-padd 38226
This theorem is referenced by:  paddasslem17  38266  pmodlem2  38277  pmapjat1  38283  osumclN  38397  pexmidALTN  38408
  Copyright terms: Public domain W3C validator