Theorem padd02 39814

Description: Projective subspace sum with an empty set. (Contributed by NM, 11-Jan-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
padd0.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
padd0.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
padd02	⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (∅ + 𝑋) = 𝑋)

Proof of Theorem padd02

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → 𝐾 ∈ 𝐵)
2		0ss 4400	. . . . 5 ⊢ ∅ ⊆ 𝐴
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ∅ ⊆ 𝐴)
4		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → 𝑋 ⊆ 𝐴)
5	1, 3, 4	3jca 1129	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝐾 ∈ 𝐵 ∧ ∅ ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴))
6		neirr 2949	. . . 4 ⊢ ¬ ∅ ≠ ∅
7	6	intnanr 487	. . 3 ⊢ ¬ (∅ ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)
8		padd0.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
9		padd0.p	. . . 4 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
10	8, 9	paddval0 39812	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ ∅ ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ ¬ (∅ ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (∅ + 𝑋) = (∅ ∪ 𝑋))
11	5, 7, 10	sylancl 586	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (∅ + 𝑋) = (∅ ∪ 𝑋))
12		uncom 4158	. . 3 ⊢ (∅ ∪ 𝑋) = (𝑋 ∪ ∅)
13		un0 4394	. . 3 ⊢ (𝑋 ∪ ∅) = 𝑋
14	12, 13	eqtri 2765	. 2 ⊢ (∅ ∪ 𝑋) = 𝑋
15	11, 14	eqtrdi 2793	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (∅ + 𝑋) = 𝑋)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940   ∪ cun 3949   ⊆ wss 3951  ∅c0 4333  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  Atomscatm 39264  +_𝑃cpadd 39797

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-padd 39798

This theorem is referenced by:  paddasslem17  39838  pmodlem2  39849  pmapjat1  39855  osumclN  39969  pexmidALTN  39980