Theorem padd02 40437

Description: Projective subspace sum with an empty set. (Contributed by NM, 11-Jan-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
padd0.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
padd0.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
padd02	⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (∅ + 𝑋) = 𝑋)

Proof of Theorem padd02

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 486	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → 𝐾 ∈ 𝐵)
2		0ss 4355	. . . . 5 ⊢ ∅ ⊆ 𝐴
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ∅ ⊆ 𝐴)
4		simpr 488	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → 𝑋 ⊆ 𝐴)
5	1, 3, 4	3jca 1142	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝐾 ∈ 𝐵 ∧ ∅ ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴))
6		neirr 2967	. . . 4 ⊢ ¬ ∅ ≠ ∅
7	6	intnanr 491	. . 3 ⊢ ¬ (∅ ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)
8		padd0.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
9		padd0.p	. . . 4 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
10	8, 9	paddval0 40435	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ ∅ ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ ¬ (∅ ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (∅ + 𝑋) = (∅ ∪ 𝑋))
11	5, 7, 10	sylancl 595	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (∅ + 𝑋) = (∅ ∪ 𝑋))
12		uncom 4112	. . 3 ⊢ (∅ ∪ 𝑋) = (𝑋 ∪ ∅)
13		un0 4349	. . 3 ⊢ (𝑋 ∪ ∅) = 𝑋
14	12, 13	eqtri 2786	. 2 ⊢ (∅ ∪ 𝑋) = 𝑋
15	11, 14	eqtrdi 2814	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (∅ + 𝑋) = 𝑋)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1099   = wceq 1561   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958   ∪ cun 3903   ⊆ wss 3905  ∅c0 4286  ‘cfv 6522  (class class class)co 7397  Atomscatm 39888  +_𝑃cpadd 40420

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5228  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7719

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-id 5543  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-iota 6478  df-fun 6524  df-fn 6525  df-f 6526  df-f1 6527  df-fo 6528  df-f1o 6529  df-fv 6530  df-ov 7400  df-oprab 7401  df-mpo 7402  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-padd 40421

This theorem is referenced by:  paddasslem17  40461  pmodlem2  40472  pmapjat1  40478  osumclN  40592  pexmidALTN  40603