MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ple1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ple1 17430
Description: Any element is less than or equal to a poset's upper bound (if defined). (Contributed by NM, 22-Oct-2011.) (Revised by NM, 13-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
ple1.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
ple1.u 𝑈 = (lub‘𝐾)
ple1.l = (le‘𝐾)
ple1.1 1 = (1.‘𝐾)
ple1.k (𝜑𝐾𝑉)
ple1.x (𝜑𝑋𝐵)
ple1.d (𝜑𝐵 ∈ dom 𝑈)
Assertion
Ref Expression
ple1 (𝜑𝑋 1 )

Proof of Theorem ple1
StepHypRef Expression
1 ple1.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 ple1.l . . 3 = (le‘𝐾)
3 ple1.u . . 3 𝑈 = (lub‘𝐾)
4 ple1.k . . 3 (𝜑𝐾𝑉)
5 ple1.d . . 3 (𝜑𝐵 ∈ dom 𝑈)
6 ple1.x . . 3 (𝜑𝑋𝐵)
71, 2, 3, 4, 5, 6luble 17373 . 2 (𝜑𝑋 (𝑈𝐵))
8 ple1.1 . . . 4 1 = (1.‘𝐾)
91, 3, 8p1val 17428 . . 3 (𝐾𝑉1 = (𝑈𝐵))
104, 9syl 17 . 2 (𝜑1 = (𝑈𝐵))
117, 10breqtrrd 4914 1 (𝜑𝑋 1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1601  wcel 2107   class class class wbr 4886  dom cdm 5355  cfv 6135  Basecbs 16255  lecple 16345  lubclub 17328  1.cp1 17424
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-id 5261  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-lub 17360  df-p1 17426
This theorem is referenced by:  ople1  35345  lhp2lt  36155
  Copyright terms: Public domain W3C validator