Theorem ple1 18462

Description: Any element is less than or equal to a poset's upper bound (if defined). (Contributed by NM, 22-Oct-2011.) (Revised by NM, 13-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
ple1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
ple1.u	⊢ 𝑈 = (lub‘𝐾)
ple1.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
ple1.1	⊢ 1 = (1.‘𝐾)
ple1.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑉)
ple1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
ple1.d	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ dom 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
ple1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 1 )

Proof of Theorem ple1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ple1.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		ple1.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		ple1.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (lub‘𝐾)
4		ple1.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑉)
5		ple1.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ dom 𝑈)
6		ple1.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	luble 18391	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ (𝑈‘𝐵))
8		ple1.1	. . . 4 ⊢ 1 = (1.‘𝐾)
9	1, 3, 8	p1val 18460	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑉 → 1 = (𝑈‘𝐵))
10	4, 9	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 1 = (𝑈‘𝐵))
11	7, 10	breqtrrd 5130	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 1 )

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1562   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  dom cdm 5649  ‘cfv 6523  Basecbs 17247  lecple 17295  lubclub 18343  1.cp1 18456

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-rep 5229  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5544  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7355  df-lub 18378  df-p1 18458

This theorem is referenced by:  ople1  39820  lhp2lt  40630