Theorem ple1 18383

Description: Any element is less than or equal to a poset's upper bound (if defined). (Contributed by NM, 22-Oct-2011.) (Revised by NM, 13-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
ple1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
ple1.u	⊢ 𝑈 = (lub‘𝐾)
ple1.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
ple1.1	⊢ 1 = (1.‘𝐾)
ple1.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑉)
ple1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
ple1.d	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ dom 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
ple1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 1 )

Proof of Theorem ple1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ple1.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		ple1.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		ple1.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (lub‘𝐾)
4		ple1.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑉)
5		ple1.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ dom 𝑈)
6		ple1.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	luble 18312	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ (𝑈‘𝐵))
8		ple1.1	. . . 4 ⊢ 1 = (1.‘𝐾)
9	1, 3, 8	p1val 18381	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑉 → 1 = (𝑈‘𝐵))
10	4, 9	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 1 = (𝑈‘𝐵))
11	7, 10	breqtrrd 5102	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 1 )

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5074  dom cdm 5620  ‘cfv 6487  Basecbs 17168  lecple 17216  lubclub 18264  1.cp1 18377

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3060  df-rmo 3340  df-reu 3341  df-rab 3388  df-v 3429  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-id 5515  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7313  df-lub 18299  df-p1 18379

This theorem is referenced by:  ople1  39625  lhp2lt  40435