Theorem ple1 18365

Description: Any element is less than or equal to a poset's upper bound (if defined). (Contributed by NM, 22-Oct-2011.) (Revised by NM, 13-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
ple1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
ple1.u	⊢ 𝑈 = (lub‘𝐾)
ple1.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
ple1.1	⊢ 1 = (1.‘𝐾)
ple1.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑉)
ple1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
ple1.d	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ dom 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
ple1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 1 )

Proof of Theorem ple1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ple1.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		ple1.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		ple1.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (lub‘𝐾)
4		ple1.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑉)
5		ple1.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ dom 𝑈)
6		ple1.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	luble 18294	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ (𝑈‘𝐵))
8		ple1.1	. . . 4 ⊢ 1 = (1.‘𝐾)
9	1, 3, 8	p1val 18363	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑉 → 1 = (𝑈‘𝐵))
10	4, 9	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 1 = (𝑈‘𝐵))
11	7, 10	breqtrrd 5130	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 1 )

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5102  dom cdm 5631  ‘cfv 6499  Basecbs 17155  lecple 17203  lubclub 18246  1.cp1 18359

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-lub 18281  df-p1 18361

This theorem is referenced by:  ople1  39157  lhp2lt  39968