MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ple1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ple1 18324
Description: Any element is less than or equal to a poset's upper bound (if defined). (Contributed by NM, 22-Oct-2011.) (Revised by NM, 13-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
ple1.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
ple1.u π‘ˆ = (lubβ€˜πΎ)
ple1.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
ple1.1 1 = (1.β€˜πΎ)
ple1.k (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ 𝑉)
ple1.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
ple1.d (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ dom π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
ple1 (πœ‘ β†’ 𝑋 ≀ 1 )

Proof of Theorem ple1
StepHypRef Expression
1 ple1.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 ple1.l . . 3 ≀ = (leβ€˜πΎ)
3 ple1.u . . 3 π‘ˆ = (lubβ€˜πΎ)
4 ple1.k . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ 𝑉)
5 ple1.d . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ dom π‘ˆ)
6 ple1.x . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
71, 2, 3, 4, 5, 6luble 18253 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑋 ≀ (π‘ˆβ€˜π΅))
8 ple1.1 . . . 4 1 = (1.β€˜πΎ)
91, 3, 8p1val 18322 . . 3 (𝐾 ∈ 𝑉 β†’ 1 = (π‘ˆβ€˜π΅))
104, 9syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ 1 = (π‘ˆβ€˜π΅))
117, 10breqtrrd 5134 1 (πœ‘ β†’ 𝑋 ≀ 1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5106  dom cdm 5634  β€˜cfv 6497  Basecbs 17088  lecple 17145  lubclub 18203  1.cp1 18318
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-lub 18240  df-p1 18320
This theorem is referenced by:  ople1  37699  lhp2lt  38510
  Copyright terms: Public domain W3C validator