Theorem ople1 37213

Description: Any element is less than the orthoposet unit. (chss 29599 analog.) (Contributed by NM, 23-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
ople1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
ople1.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
ople1.u	⊢ 1 = (1.‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
ople1	⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ≤ 1 )

Proof of Theorem ople1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ople1.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2738	. 2 ⊢ (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
3		ople1.l	. 2 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
4		ople1.u	. 2 ⊢ 1 = (1.‘𝐾)
5		simpl 483	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ OP)
6		simpr 485	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
7		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (glb‘𝐾) = (glb‘𝐾)
8	1, 2, 7	op01dm 37205	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ OP → (𝐵 ∈ dom (lub‘𝐾) ∧ 𝐵 ∈ dom (glb‘𝐾)))
9	8	simpld 495	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 𝐵 ∈ dom (lub‘𝐾))
10	9	adantr 481	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐵 ∈ dom (lub‘𝐾))
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 10	ple1 18158	1 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ≤ 1 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5073  dom cdm 5584  ‘cfv 6426  Basecbs 16922  lecple 16979  lubclub 18037  glbcglb 18038  1.cp1 18152  OPcops 37194

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5208  ax-sep 5221  ax-nul 5228  ax-pow 5286  ax-pr 5350

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rab 3073  df-v 3431  df-sbc 3716  df-csb 3832  df-dif 3889  df-un 3891  df-in 3893  df-ss 3903  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5157  df-id 5484  df-xp 5590  df-rel 5591  df-cnv 5592  df-co 5593  df-dm 5594  df-rn 5595  df-res 5596  df-ima 5597  df-iota 6384  df-fun 6428  df-fn 6429  df-f 6430  df-f1 6431  df-fo 6432  df-f1o 6433  df-fv 6434  df-riota 7224  df-ov 7270  df-lub 18074  df-p1 18154  df-oposet 37198

This theorem is referenced by:  op1le  37214  glb0N  37215  opoc1  37224  ncvr1  37294  1cvrat  37498  pmap1N  37789  pol1N  37932  dih1  39308  dihjatc  39439