Theorem ople1 39776

Description: Any element is less than the orthoposet unity. (chss 31389 analog.) (Contributed by NM, 23-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
ople1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
ople1.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
ople1.u	⊢ 1 = (1.‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
ople1	⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ≤ 1 )

Proof of Theorem ople1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ople1.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2761	. 2 ⊢ (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
3		ople1.l	. 2 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
4		ople1.u	. 2 ⊢ 1 = (1.‘𝐾)
5		simpl 486	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ OP)
6		simpr 488	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
7		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (glb‘𝐾) = (glb‘𝐾)
8	1, 2, 7	op01dm 39768	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ OP → (𝐵 ∈ dom (lub‘𝐾) ∧ 𝐵 ∈ dom (glb‘𝐾)))
9	8	simpld 498	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 𝐵 ∈ dom (lub‘𝐾))
10	9	adantr 484	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐵 ∈ dom (lub‘𝐾))
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 10	ple1 18451	1 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ≤ 1 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   class class class wbr 5097  dom cdm 5643  ‘cfv 6516  Basecbs 17236  lecple 17284  lubclub 18332  glbcglb 18333  1.cp1 18445  OPcops 39757

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-id 5538  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7348  df-ov 7394  df-lub 18367  df-p1 18447  df-oposet 39761

This theorem is referenced by:  op1le  39777  glb0N  39778  opoc1  39787  ncvr1  39857  1cvrat  40061  pmap1N  40352  pol1N  40495  dih1  41871  dihjatc  42002