Theorem ople1 39296

Description: Any element is less than the orthoposet unity. (chss 31216 analog.) (Contributed by NM, 23-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
ople1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
ople1.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
ople1.u	⊢ 1 = (1.‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
ople1	⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ≤ 1 )

Proof of Theorem ople1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ople1.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2731	. 2 ⊢ (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
3		ople1.l	. 2 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
4		ople1.u	. 2 ⊢ 1 = (1.‘𝐾)
5		simpl 482	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ OP)
6		simpr 484	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
7		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (glb‘𝐾) = (glb‘𝐾)
8	1, 2, 7	op01dm 39288	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ OP → (𝐵 ∈ dom (lub‘𝐾) ∧ 𝐵 ∈ dom (glb‘𝐾)))
9	8	simpld 494	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 𝐵 ∈ dom (lub‘𝐾))
10	9	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐵 ∈ dom (lub‘𝐾))
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 10	ple1 18340	1 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ≤ 1 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5093  dom cdm 5619  ‘cfv 6487  Basecbs 17126  lecple 17174  lubclub 18221  glbcglb 18222  1.cp1 18334  OPcops 39277

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-lub 18256  df-p1 18336  df-oposet 39281

This theorem is referenced by:  op1le  39297  glb0N  39298  opoc1  39307  ncvr1  39377  1cvrat  39581  pmap1N  39872  pol1N  40015  dih1  41391  dihjatc  41522