Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ople1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ople1 38565
Description: Any element is less than the orthoposet unity. (chss 30977 analog.) (Contributed by NM, 23-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
ople1.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
ople1.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
ople1.u 1 = (1.β€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
ople1 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ≀ 1 )

Proof of Theorem ople1
StepHypRef Expression
1 ople1.b . 2 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 eqid 2724 . 2 (lubβ€˜πΎ) = (lubβ€˜πΎ)
3 ople1.l . 2 ≀ = (leβ€˜πΎ)
4 ople1.u . 2 1 = (1.β€˜πΎ)
5 simpl 482 . 2 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝐾 ∈ OP)
6 simpr 484 . 2 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
7 eqid 2724 . . . . 5 (glbβ€˜πΎ) = (glbβ€˜πΎ)
81, 2, 7op01dm 38557 . . . 4 (𝐾 ∈ OP β†’ (𝐡 ∈ dom (lubβ€˜πΎ) ∧ 𝐡 ∈ dom (glbβ€˜πΎ)))
98simpld 494 . . 3 (𝐾 ∈ OP β†’ 𝐡 ∈ dom (lubβ€˜πΎ))
109adantr 480 . 2 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ dom (lubβ€˜πΎ))
111, 2, 3, 4, 5, 6, 10ple1 18391 1 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ≀ 1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5139  dom cdm 5667  β€˜cfv 6534  Basecbs 17149  lecple 17209  lubclub 18270  glbcglb 18271  1.cp1 18385  OPcops 38546
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-lub 18307  df-p1 18387  df-oposet 38550
This theorem is referenced by:  op1le  38566  glb0N  38567  opoc1  38576  ncvr1  38646  1cvrat  38851  pmap1N  39142  pol1N  39285  dih1  40661  dihjatc  40792
  Copyright terms: Public domain W3C validator