Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ople1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ople1 38663
Description: Any element is less than the orthoposet unity. (chss 31052 analog.) (Contributed by NM, 23-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
ople1.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
ople1.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
ople1.u 1 = (1.β€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
ople1 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ≀ 1 )

Proof of Theorem ople1
StepHypRef Expression
1 ople1.b . 2 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 eqid 2728 . 2 (lubβ€˜πΎ) = (lubβ€˜πΎ)
3 ople1.l . 2 ≀ = (leβ€˜πΎ)
4 ople1.u . 2 1 = (1.β€˜πΎ)
5 simpl 482 . 2 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝐾 ∈ OP)
6 simpr 484 . 2 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
7 eqid 2728 . . . . 5 (glbβ€˜πΎ) = (glbβ€˜πΎ)
81, 2, 7op01dm 38655 . . . 4 (𝐾 ∈ OP β†’ (𝐡 ∈ dom (lubβ€˜πΎ) ∧ 𝐡 ∈ dom (glbβ€˜πΎ)))
98simpld 494 . . 3 (𝐾 ∈ OP β†’ 𝐡 ∈ dom (lubβ€˜πΎ))
109adantr 480 . 2 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ dom (lubβ€˜πΎ))
111, 2, 3, 4, 5, 6, 10ple1 18422 1 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ≀ 1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   class class class wbr 5148  dom cdm 5678  β€˜cfv 6548  Basecbs 17180  lecple 17240  lubclub 18301  glbcglb 18302  1.cp1 18416  OPcops 38644
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-lub 18338  df-p1 18418  df-oposet 38648
This theorem is referenced by:  op1le  38664  glb0N  38665  opoc1  38674  ncvr1  38744  1cvrat  38949  pmap1N  39240  pol1N  39383  dih1  40759  dihjatc  40890
  Copyright terms: Public domain W3C validator