MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psmetcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psmetcl 23813
Description: Closure of the distance function of a pseudometric space. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
psmetcl ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ*)

Proof of Theorem psmetcl
StepHypRef Expression
1 psmetf 23812 . 2 (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„*)
2 fovcdm 7577 . 2 ((𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„* ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ*)
31, 2syl3an1 1164 1 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ*)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1088   ∈ wcel 2107   Γ— cxp 5675  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„*cxr 11247  PsMetcpsmet 20928
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-map 8822  df-xr 11252  df-psmet 20936
This theorem is referenced by:  psmetsym  23816  psmetge0  23818  psmetlecl  23821  xblpnfps  23901  xblss2ps  23907  blssps  23930  blval2  24071  metuel2  24074  metider  32874
  Copyright terms: Public domain W3C validator