MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psmetcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psmetcl 24163
Description: Closure of the distance function of a pseudometric space. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
psmetcl ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ*)

Proof of Theorem psmetcl
StepHypRef Expression
1 psmetf 24162 . 2 (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„*)
2 fovcdm 7573 . 2 ((𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„* ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ*)
31, 2syl3an1 1160 1 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ*)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1084   ∈ wcel 2098   Γ— cxp 5667  βŸΆwf 6532  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  β„*cxr 11248  PsMetcpsmet 21219
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-fv 6544  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-map 8821  df-xr 11253  df-psmet 21227
This theorem is referenced by:  psmetsym  24166  psmetge0  24168  psmetlecl  24171  xblpnfps  24251  xblss2ps  24257  blssps  24280  blval2  24421  metuel2  24424  metider  33403
  Copyright terms: Public domain W3C validator