MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psmetge0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psmetge0 24234
Description: The distance function of a pseudometric space is nonnegative. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
psmetge0 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ 0 ≀ (𝐴𝐷𝐡))

Proof of Theorem psmetge0
StepHypRef Expression
1 simp1 1133 . . . 4 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹))
2 simp2 1134 . . . 4 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
3 simp3 1135 . . . 4 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ 𝐡 ∈ 𝑋)
4 psmettri2 24231 . . . 4 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐡𝐷𝐡) ≀ ((𝐴𝐷𝐡) +𝑒 (𝐴𝐷𝐡)))
51, 2, 3, 3, 4syl13anc 1369 . . 3 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐡𝐷𝐡) ≀ ((𝐴𝐷𝐡) +𝑒 (𝐴𝐷𝐡)))
6 2re 12314 . . . . 5 2 ∈ ℝ
7 rexr 11288 . . . . 5 (2 ∈ ℝ β†’ 2 ∈ ℝ*)
8 xmul01 13276 . . . . 5 (2 ∈ ℝ* β†’ (2 Β·e 0) = 0)
96, 7, 8mp2b 10 . . . 4 (2 Β·e 0) = 0
10 psmet0 24230 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐡𝐷𝐡) = 0)
11103adant2 1128 . . . 4 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐡𝐷𝐡) = 0)
129, 11eqtr4id 2784 . . 3 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (2 Β·e 0) = (𝐡𝐷𝐡))
13 psmetcl 24229 . . . 4 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ*)
14 x2times 13308 . . . 4 ((𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ* β†’ (2 Β·e (𝐴𝐷𝐡)) = ((𝐴𝐷𝐡) +𝑒 (𝐴𝐷𝐡)))
1513, 14syl 17 . . 3 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (2 Β·e (𝐴𝐷𝐡)) = ((𝐴𝐷𝐡) +𝑒 (𝐴𝐷𝐡)))
165, 12, 153brtr4d 5173 . 2 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (2 Β·e 0) ≀ (2 Β·e (𝐴𝐷𝐡)))
17 0xr 11289 . . 3 0 ∈ ℝ*
18 2rp 13009 . . . 4 2 ∈ ℝ+
1918a1i 11 . . 3 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ 2 ∈ ℝ+)
20 xlemul2 13300 . . 3 ((0 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ+) β†’ (0 ≀ (𝐴𝐷𝐡) ↔ (2 Β·e 0) ≀ (2 Β·e (𝐴𝐷𝐡))))
2117, 13, 19, 20mp3an2i 1462 . 2 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (0 ≀ (𝐴𝐷𝐡) ↔ (2 Β·e 0) ≀ (2 Β·e (𝐴𝐷𝐡))))
2216, 21mpbird 256 1 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ 0 ≀ (𝐴𝐷𝐡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6541  (class class class)co 7414  β„cr 11135  0cc0 11136  β„*cxr 11275   ≀ cle 11277  2c2 12295  β„+crp 13004   +𝑒 cxad 13120   Β·e cxmu 13121  PsMetcpsmet 21265
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5357  ax-pr 5421  ax-un 7736  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-nul 4317  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-iun 4991  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5568  df-po 5582  df-so 5583  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-er 8721  df-map 8843  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-2 12303  df-rp 13005  df-xneg 13122  df-xadd 13123  df-xmul 13124  df-psmet 21273
This theorem is referenced by:  psmetxrge0  24235  psmetlecl  24237  distspace  24238  xblpnfps  24317  xblss2ps  24323  metustexhalf  24481  blval2  24487  metuel2  24490  metider  33524
  Copyright terms: Public domain W3C validator