Theorem psmetge0 23058

Description: The distance function of a pseudometric space is nonnegative. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Feb-2018.)

Assertion

Ref	Expression
psmetge0	⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝐴𝐷𝐵))

Proof of Theorem psmetge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1137	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋))
2		simp2 1138	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ 𝑋)
3		simp3 1139	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ 𝑋)
4		psmettri2 23055	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐵𝐷𝐵) ≤ ((𝐴𝐷𝐵) +𝑒 (𝐴𝐷𝐵)))
5	1, 2, 3, 3, 4	syl13anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐵𝐷𝐵) ≤ ((𝐴𝐷𝐵) +𝑒 (𝐴𝐷𝐵)))
6		2re 11783	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
7		rexr 10758	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℝ → 2 ∈ ℝ*)
8		xmul01 12736	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℝ* → (2 ·e 0) = 0)
9	6, 7, 8	mp2b 10	. . . 4 ⊢ (2 ·e 0) = 0
10		psmet0 23054	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐵𝐷𝐵) = 0)
11	10	3adant2 1132	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐵𝐷𝐵) = 0)
12	9, 11	eqtr4id 2792	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (2 ·e 0) = (𝐵𝐷𝐵))
13		psmetcl 23053	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)
14		x2times 12768	. . . 4 ⊢ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ* → (2 ·e (𝐴𝐷𝐵)) = ((𝐴𝐷𝐵) +𝑒 (𝐴𝐷𝐵)))
15	13, 14	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (2 ·e (𝐴𝐷𝐵)) = ((𝐴𝐷𝐵) +𝑒 (𝐴𝐷𝐵)))
16	5, 12, 15	3brtr4d 5059	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (2 ·e 0) ≤ (2 ·e (𝐴𝐷𝐵)))
17		0xr 10759	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ*
18		2rp 12470	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℝ+
19	18	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 2 ∈ ℝ+)
20		xlemul2 12760	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ+) → (0 ≤ (𝐴𝐷𝐵) ↔ (2 ·e 0) ≤ (2 ·e (𝐴𝐷𝐵))))
21	17, 13, 19, 20	mp3an2i 1467	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (0 ≤ (𝐴𝐷𝐵) ↔ (2 ·e 0) ≤ (2 ·e (𝐴𝐷𝐵))))
22	16, 21	mpbird 260	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝐴𝐷𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5027  ‘cfv 6333  (class class class)co 7164  ℝcr 10607  0cc0 10608  ℝ^*cxr 10745   ≤ cle 10747  2c2 11764  ℝ⁺crp 12465   +_𝑒 cxad 12581   ·_e cxmu 12582  PsMetcpsmet 20194

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473  ax-cnex 10664  ax-resscn 10665  ax-1cn 10666  ax-icn 10667  ax-addcl 10668  ax-addrcl 10669  ax-mulcl 10670  ax-mulrcl 10671  ax-mulcom 10672  ax-addass 10673  ax-mulass 10674  ax-distr 10675  ax-i2m1 10676  ax-1ne0 10677  ax-1rid 10678  ax-rnegex 10679  ax-rrecex 10680  ax-cnre 10681  ax-pre-lttri 10682  ax-pre-lttrn 10683  ax-pre-ltadd 10684  ax-pre-mulgt0 10685

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-op 4520  df-uni 4794  df-iun 4880  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-id 5425  df-po 5438  df-so 5439  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-riota 7121  df-ov 7167  df-oprab 7168  df-mpo 7169  df-1st 7707  df-2nd 7708  df-er 8313  df-map 8432  df-en 8549  df-dom 8550  df-sdom 8551  df-pnf 10748  df-mnf 10749  df-xr 10750  df-ltxr 10751  df-le 10752  df-sub 10943  df-neg 10944  df-div 11369  df-2 11772  df-rp 12466  df-xneg 12583  df-xadd 12584  df-xmul 12585  df-psmet 20202

This theorem is referenced by:  psmetxrge0  23059  psmetlecl  23061  distspace  23062  xblpnfps  23141  xblss2ps  23147  metustexhalf  23302  blval2  23308  metuel2  23311  metider  31408