MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psmetge0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psmetge0 24173
Description: The distance function of a pseudometric space is nonnegative. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
psmetge0 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ 0 ≀ (𝐴𝐷𝐡))

Proof of Theorem psmetge0
StepHypRef Expression
1 simp1 1133 . . . 4 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹))
2 simp2 1134 . . . 4 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
3 simp3 1135 . . . 4 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ 𝐡 ∈ 𝑋)
4 psmettri2 24170 . . . 4 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐡𝐷𝐡) ≀ ((𝐴𝐷𝐡) +𝑒 (𝐴𝐷𝐡)))
51, 2, 3, 3, 4syl13anc 1369 . . 3 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐡𝐷𝐡) ≀ ((𝐴𝐷𝐡) +𝑒 (𝐴𝐷𝐡)))
6 2re 12290 . . . . 5 2 ∈ ℝ
7 rexr 11264 . . . . 5 (2 ∈ ℝ β†’ 2 ∈ ℝ*)
8 xmul01 13252 . . . . 5 (2 ∈ ℝ* β†’ (2 Β·e 0) = 0)
96, 7, 8mp2b 10 . . . 4 (2 Β·e 0) = 0
10 psmet0 24169 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐡𝐷𝐡) = 0)
11103adant2 1128 . . . 4 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐡𝐷𝐡) = 0)
129, 11eqtr4id 2785 . . 3 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (2 Β·e 0) = (𝐡𝐷𝐡))
13 psmetcl 24168 . . . 4 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ*)
14 x2times 13284 . . . 4 ((𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ* β†’ (2 Β·e (𝐴𝐷𝐡)) = ((𝐴𝐷𝐡) +𝑒 (𝐴𝐷𝐡)))
1513, 14syl 17 . . 3 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (2 Β·e (𝐴𝐷𝐡)) = ((𝐴𝐷𝐡) +𝑒 (𝐴𝐷𝐡)))
165, 12, 153brtr4d 5173 . 2 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (2 Β·e 0) ≀ (2 Β·e (𝐴𝐷𝐡)))
17 0xr 11265 . . 3 0 ∈ ℝ*
18 2rp 12985 . . . 4 2 ∈ ℝ+
1918a1i 11 . . 3 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ 2 ∈ ℝ+)
20 xlemul2 13276 . . 3 ((0 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ+) β†’ (0 ≀ (𝐴𝐷𝐡) ↔ (2 Β·e 0) ≀ (2 Β·e (𝐴𝐷𝐡))))
2117, 13, 19, 20mp3an2i 1462 . 2 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (0 ≀ (𝐴𝐷𝐡) ↔ (2 Β·e 0) ≀ (2 Β·e (𝐴𝐷𝐡))))
2216, 21mpbird 257 1 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ 0 ≀ (𝐴𝐷𝐡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  β„cr 11111  0cc0 11112  β„*cxr 11251   ≀ cle 11253  2c2 12271  β„+crp 12980   +𝑒 cxad 13096   Β·e cxmu 13097  PsMetcpsmet 21224
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-2 12279  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-psmet 21232
This theorem is referenced by:  psmetxrge0  24174  psmetlecl  24176  distspace  24177  xblpnfps  24256  xblss2ps  24262  metustexhalf  24420  blval2  24426  metuel2  24429  metider  33404
  Copyright terms: Public domain W3C validator