Theorem psmetge0 24256

Description: The distance function of a pseudometric space is nonnegative. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Feb-2018.)

Assertion

Ref	Expression
psmetge0	⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝐴𝐷𝐵))

Proof of Theorem psmetge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1136	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋))
2		simp2 1137	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ 𝑋)
3		simp3 1138	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ 𝑋)
4		psmettri2 24253	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐵𝐷𝐵) ≤ ((𝐴𝐷𝐵) +𝑒 (𝐴𝐷𝐵)))
5	1, 2, 3, 3, 4	syl13anc 1374	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐵𝐷𝐵) ≤ ((𝐴𝐷𝐵) +𝑒 (𝐴𝐷𝐵)))
6		2re 12219	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
7		rexr 11178	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℝ → 2 ∈ ℝ*)
8		xmul01 13182	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℝ* → (2 ·e 0) = 0)
9	6, 7, 8	mp2b 10	. . . 4 ⊢ (2 ·e 0) = 0
10		psmet0 24252	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐵𝐷𝐵) = 0)
11	10	3adant2 1131	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐵𝐷𝐵) = 0)
12	9, 11	eqtr4id 2790	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (2 ·e 0) = (𝐵𝐷𝐵))
13		psmetcl 24251	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)
14		x2times 13214	. . . 4 ⊢ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ* → (2 ·e (𝐴𝐷𝐵)) = ((𝐴𝐷𝐵) +𝑒 (𝐴𝐷𝐵)))
15	13, 14	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (2 ·e (𝐴𝐷𝐵)) = ((𝐴𝐷𝐵) +𝑒 (𝐴𝐷𝐵)))
16	5, 12, 15	3brtr4d 5130	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (2 ·e 0) ≤ (2 ·e (𝐴𝐷𝐵)))
17		0xr 11179	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ*
18		2rp 12910	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℝ+
19	18	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 2 ∈ ℝ+)
20		xlemul2 13206	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ+) → (0 ≤ (𝐴𝐷𝐵) ↔ (2 ·e 0) ≤ (2 ·e (𝐴𝐷𝐵))))
21	17, 13, 19, 20	mp3an2i 1468	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (0 ≤ (𝐴𝐷𝐵) ↔ (2 ·e 0) ≤ (2 ·e (𝐴𝐷𝐵))))
22	16, 21	mpbird 257	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝐴𝐷𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5098  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℝcr 11025  0cc0 11026  ℝ^*cxr 11165   ≤ cle 11167  2c2 12200  ℝ⁺crp 12905   +_𝑒 cxad 13024   ·_e cxmu 13025  PsMetcpsmet 21293

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-er 8635  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-2 12208  df-rp 12906  df-xneg 13026  df-xadd 13027  df-xmul 13028  df-psmet 21301

This theorem is referenced by:  psmetxrge0  24257  psmetlecl  24259  distspace  24260  xblpnfps  24339  xblss2ps  24345  metustexhalf  24500  blval2  24506  metuel2  24509  metider  34051