Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psmetge0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psmetge0 22914
 Description: The distance function of a pseudometric space is nonnegative. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
psmetge0 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 0 ≤ (𝐴𝐷𝐵))

Proof of Theorem psmetge0
StepHypRef Expression
1 simp1 1130 . . . 4 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋))
2 simp2 1131 . . . 4 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝐴𝑋)
3 simp3 1132 . . . 4 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝐵𝑋)
4 psmettri2 22911 . . . 4 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐵𝑋)) → (𝐵𝐷𝐵) ≤ ((𝐴𝐷𝐵) +𝑒 (𝐴𝐷𝐵)))
51, 2, 3, 3, 4syl13anc 1366 . . 3 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐵𝐷𝐵) ≤ ((𝐴𝐷𝐵) +𝑒 (𝐴𝐷𝐵)))
6 psmet0 22910 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐵𝑋) → (𝐵𝐷𝐵) = 0)
763adant2 1125 . . . 4 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐵𝐷𝐵) = 0)
8 2re 11703 . . . . 5 2 ∈ ℝ
9 rexr 10679 . . . . 5 (2 ∈ ℝ → 2 ∈ ℝ*)
10 xmul01 12652 . . . . 5 (2 ∈ ℝ* → (2 ·e 0) = 0)
118, 9, 10mp2b 10 . . . 4 (2 ·e 0) = 0
127, 11syl6reqr 2873 . . 3 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (2 ·e 0) = (𝐵𝐷𝐵))
13 psmetcl 22909 . . . 4 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)
14 x2times 12684 . . . 4 ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ* → (2 ·e (𝐴𝐷𝐵)) = ((𝐴𝐷𝐵) +𝑒 (𝐴𝐷𝐵)))
1513, 14syl 17 . . 3 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (2 ·e (𝐴𝐷𝐵)) = ((𝐴𝐷𝐵) +𝑒 (𝐴𝐷𝐵)))
165, 12, 153brtr4d 5089 . 2 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (2 ·e 0) ≤ (2 ·e (𝐴𝐷𝐵)))
17 0xr 10680 . . 3 0 ∈ ℝ*
18 2rp 12386 . . . 4 2 ∈ ℝ+
1918a1i 11 . . 3 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 2 ∈ ℝ+)
20 xlemul2 12676 . . 3 ((0 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ+) → (0 ≤ (𝐴𝐷𝐵) ↔ (2 ·e 0) ≤ (2 ·e (𝐴𝐷𝐵))))
2117, 13, 19, 20mp3an2i 1459 . 2 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (0 ≤ (𝐴𝐷𝐵) ↔ (2 ·e 0) ≤ (2 ·e (𝐴𝐷𝐵))))
2216, 21mpbird 259 1 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 0 ≤ (𝐴𝐷𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ w3a 1081   = wceq 1530   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5057  ‘cfv 6348  (class class class)co 7148  ℝcr 10528  0cc0 10529  ℝ*cxr 10666   ≤ cle 10668  2c2 11684  ℝ+crp 12381   +𝑒 cxad 12497   ·e cxmu 12498  PsMetcpsmet 20521 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-er 8281  df-map 8400  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-2 11692  df-rp 12382  df-xneg 12499  df-xadd 12500  df-xmul 12501  df-psmet 20529 This theorem is referenced by:  psmetxrge0  22915  psmetlecl  22917  distspace  22918  xblpnfps  22997  xblss2ps  23003  metustexhalf  23158  blval2  23164  metuel2  23167  metider  31122
 Copyright terms: Public domain W3C validator