MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psmetge0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psmetge0 24322
Description: The distance function of a pseudometric space is nonnegative. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
psmetge0 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 0 ≤ (𝐴𝐷𝐵))

Proof of Theorem psmetge0
StepHypRef Expression
1 simp1 1137 . . . 4 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋))
2 simp2 1138 . . . 4 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝐴𝑋)
3 simp3 1139 . . . 4 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝐵𝑋)
4 psmettri2 24319 . . . 4 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐵𝑋)) → (𝐵𝐷𝐵) ≤ ((𝐴𝐷𝐵) +𝑒 (𝐴𝐷𝐵)))
51, 2, 3, 3, 4syl13anc 1374 . . 3 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐵𝐷𝐵) ≤ ((𝐴𝐷𝐵) +𝑒 (𝐴𝐷𝐵)))
6 2re 12340 . . . . 5 2 ∈ ℝ
7 rexr 11307 . . . . 5 (2 ∈ ℝ → 2 ∈ ℝ*)
8 xmul01 13309 . . . . 5 (2 ∈ ℝ* → (2 ·e 0) = 0)
96, 7, 8mp2b 10 . . . 4 (2 ·e 0) = 0
10 psmet0 24318 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐵𝑋) → (𝐵𝐷𝐵) = 0)
11103adant2 1132 . . . 4 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐵𝐷𝐵) = 0)
129, 11eqtr4id 2796 . . 3 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (2 ·e 0) = (𝐵𝐷𝐵))
13 psmetcl 24317 . . . 4 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)
14 x2times 13341 . . . 4 ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ* → (2 ·e (𝐴𝐷𝐵)) = ((𝐴𝐷𝐵) +𝑒 (𝐴𝐷𝐵)))
1513, 14syl 17 . . 3 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (2 ·e (𝐴𝐷𝐵)) = ((𝐴𝐷𝐵) +𝑒 (𝐴𝐷𝐵)))
165, 12, 153brtr4d 5175 . 2 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (2 ·e 0) ≤ (2 ·e (𝐴𝐷𝐵)))
17 0xr 11308 . . 3 0 ∈ ℝ*
18 2rp 13039 . . . 4 2 ∈ ℝ+
1918a1i 11 . . 3 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 2 ∈ ℝ+)
20 xlemul2 13333 . . 3 ((0 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ+) → (0 ≤ (𝐴𝐷𝐵) ↔ (2 ·e 0) ≤ (2 ·e (𝐴𝐷𝐵))))
2117, 13, 19, 20mp3an2i 1468 . 2 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (0 ≤ (𝐴𝐷𝐵) ↔ (2 ·e 0) ≤ (2 ·e (𝐴𝐷𝐵))))
2216, 21mpbird 257 1 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 0 ≤ (𝐴𝐷𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  cr 11154  0cc0 11155  *cxr 11294  cle 11296  2c2 12321  +crp 13034   +𝑒 cxad 13152   ·e cxmu 13153  PsMetcpsmet 21348
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-2 12329  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-psmet 21356
This theorem is referenced by:  psmetxrge0  24323  psmetlecl  24325  distspace  24326  xblpnfps  24405  xblss2ps  24411  metustexhalf  24569  blval2  24575  metuel2  24578  metider  33893
  Copyright terms: Public domain W3C validator