MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psmetsym Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psmetsym 23208
Description: The distance function of a pseudometric is symmetrical. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
psmetsym ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) = (𝐵𝐷𝐴))

Proof of Theorem psmetsym
StepHypRef Expression
1 psmetcl 23205 . 2 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)
2 psmetcl 23205 . . 3 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐵𝑋𝐴𝑋) → (𝐵𝐷𝐴) ∈ ℝ*)
323com23 1128 . 2 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐵𝐷𝐴) ∈ ℝ*)
4 simp1 1138 . . . 4 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋))
5 simp3 1140 . . . 4 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝐵𝑋)
6 simp2 1139 . . . 4 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝐴𝑋)
7 psmettri2 23207 . . . 4 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝐵𝑋𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝐴𝐷𝐵) ≤ ((𝐵𝐷𝐴) +𝑒 (𝐵𝐷𝐵)))
84, 5, 6, 5, 7syl13anc 1374 . . 3 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ≤ ((𝐵𝐷𝐴) +𝑒 (𝐵𝐷𝐵)))
9 psmet0 23206 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐵𝑋) → (𝐵𝐷𝐵) = 0)
1093adant2 1133 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐵𝐷𝐵) = 0)
1110oveq2d 7229 . . . 4 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝐵𝐷𝐴) +𝑒 (𝐵𝐷𝐵)) = ((𝐵𝐷𝐴) +𝑒 0))
122xaddid1d 12833 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐵𝑋𝐴𝑋) → ((𝐵𝐷𝐴) +𝑒 0) = (𝐵𝐷𝐴))
13123com23 1128 . . . 4 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝐵𝐷𝐴) +𝑒 0) = (𝐵𝐷𝐴))
1411, 13eqtrd 2777 . . 3 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝐵𝐷𝐴) +𝑒 (𝐵𝐷𝐵)) = (𝐵𝐷𝐴))
158, 14breqtrd 5079 . 2 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ≤ (𝐵𝐷𝐴))
16 psmettri2 23207 . . . 4 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐴𝑋)) → (𝐵𝐷𝐴) ≤ ((𝐴𝐷𝐵) +𝑒 (𝐴𝐷𝐴)))
174, 6, 5, 6, 16syl13anc 1374 . . 3 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐵𝐷𝐴) ≤ ((𝐴𝐷𝐵) +𝑒 (𝐴𝐷𝐴)))
18 psmet0 23206 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴𝐷𝐴) = 0)
19183adant3 1134 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐷𝐴) = 0)
2019oveq2d 7229 . . . 4 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝐴𝐷𝐵) +𝑒 (𝐴𝐷𝐴)) = ((𝐴𝐷𝐵) +𝑒 0))
211xaddid1d 12833 . . . 4 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝐴𝐷𝐵) +𝑒 0) = (𝐴𝐷𝐵))
2220, 21eqtrd 2777 . . 3 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝐴𝐷𝐵) +𝑒 (𝐴𝐷𝐴)) = (𝐴𝐷𝐵))
2317, 22breqtrd 5079 . 2 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐵𝐷𝐴) ≤ (𝐴𝐷𝐵))
241, 3, 15, 23xrletrid 12745 1 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) = (𝐵𝐷𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1089   = wceq 1543  wcel 2110   class class class wbr 5053  cfv 6380  (class class class)co 7213  0cc0 10729  *cxr 10866  cle 10868   +𝑒 cxad 12702  PsMetcpsmet 20347
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-id 5455  df-po 5468  df-so 5469  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-er 8391  df-map 8510  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-xadd 12705  df-psmet 20355
This theorem is referenced by:  psmettri  23209  distspace  23214  elbl3ps  23289  blssps  23322  metustsym  23453  metideq  31557  metider  31558
  Copyright terms: Public domain W3C validator