Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psmetsym Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psmetsym 22958
 Description: The distance function of a pseudometric is symmetrical. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
psmetsym ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) = (𝐵𝐷𝐴))

Proof of Theorem psmetsym
StepHypRef Expression
1 psmetcl 22955 . 2 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)
2 psmetcl 22955 . . 3 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐵𝑋𝐴𝑋) → (𝐵𝐷𝐴) ∈ ℝ*)
323com23 1123 . 2 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐵𝐷𝐴) ∈ ℝ*)
4 simp1 1133 . . . 4 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋))
5 simp3 1135 . . . 4 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝐵𝑋)
6 simp2 1134 . . . 4 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝐴𝑋)
7 psmettri2 22957 . . . 4 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝐵𝑋𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝐴𝐷𝐵) ≤ ((𝐵𝐷𝐴) +𝑒 (𝐵𝐷𝐵)))
84, 5, 6, 5, 7syl13anc 1369 . . 3 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ≤ ((𝐵𝐷𝐴) +𝑒 (𝐵𝐷𝐵)))
9 psmet0 22956 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐵𝑋) → (𝐵𝐷𝐵) = 0)
1093adant2 1128 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐵𝐷𝐵) = 0)
1110oveq2d 7161 . . . 4 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝐵𝐷𝐴) +𝑒 (𝐵𝐷𝐵)) = ((𝐵𝐷𝐴) +𝑒 0))
122xaddid1d 12644 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐵𝑋𝐴𝑋) → ((𝐵𝐷𝐴) +𝑒 0) = (𝐵𝐷𝐴))
13123com23 1123 . . . 4 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝐵𝐷𝐴) +𝑒 0) = (𝐵𝐷𝐴))
1411, 13eqtrd 2833 . . 3 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝐵𝐷𝐴) +𝑒 (𝐵𝐷𝐵)) = (𝐵𝐷𝐴))
158, 14breqtrd 5060 . 2 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ≤ (𝐵𝐷𝐴))
16 psmettri2 22957 . . . 4 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐴𝑋)) → (𝐵𝐷𝐴) ≤ ((𝐴𝐷𝐵) +𝑒 (𝐴𝐷𝐴)))
174, 6, 5, 6, 16syl13anc 1369 . . 3 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐵𝐷𝐴) ≤ ((𝐴𝐷𝐵) +𝑒 (𝐴𝐷𝐴)))
18 psmet0 22956 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴𝐷𝐴) = 0)
19183adant3 1129 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐷𝐴) = 0)
2019oveq2d 7161 . . . 4 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝐴𝐷𝐵) +𝑒 (𝐴𝐷𝐴)) = ((𝐴𝐷𝐵) +𝑒 0))
211xaddid1d 12644 . . . 4 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝐴𝐷𝐵) +𝑒 0) = (𝐴𝐷𝐵))
2220, 21eqtrd 2833 . . 3 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝐴𝐷𝐵) +𝑒 (𝐴𝐷𝐴)) = (𝐴𝐷𝐵))
2317, 22breqtrd 5060 . 2 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐵𝐷𝐴) ≤ (𝐴𝐷𝐵))
241, 3, 15, 23xrletrid 12556 1 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) = (𝐵𝐷𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5034  ‘cfv 6332  (class class class)co 7145  0cc0 10544  ℝ*cxr 10681   ≤ cle 10683   +𝑒 cxad 12513  PsMetcpsmet 20096 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5171  ax-nul 5178  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7454  ax-cnex 10600  ax-resscn 10601  ax-1cn 10602  ax-icn 10603  ax-addcl 10604  ax-addrcl 10605  ax-mulcl 10606  ax-mulrcl 10607  ax-mulcom 10608  ax-addass 10609  ax-mulass 10610  ax-distr 10611  ax-i2m1 10612  ax-1ne0 10613  ax-1rid 10614  ax-rnegex 10615  ax-rrecex 10616  ax-cnre 10617  ax-pre-lttri 10618  ax-pre-lttrn 10619  ax-pre-ltadd 10620 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3444  df-sbc 3723  df-csb 3831  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-uni 4805  df-br 5035  df-opab 5097  df-mpt 5115  df-id 5429  df-po 5442  df-so 5443  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-iota 6291  df-fun 6334  df-fn 6335  df-f 6336  df-f1 6337  df-fo 6338  df-f1o 6339  df-fv 6340  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-er 8290  df-map 8409  df-en 8511  df-dom 8512  df-sdom 8513  df-pnf 10684  df-mnf 10685  df-xr 10686  df-ltxr 10687  df-le 10688  df-xadd 12516  df-psmet 20104 This theorem is referenced by:  psmettri  22959  distspace  22964  elbl3ps  23039  blssps  23072  metustsym  23203  metideq  31312  metider  31313
 Copyright terms: Public domain W3C validator