MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psmetsym Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem psmetsym 24036
Description: The distance function of a pseudometric is symmetrical. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
psmetsym ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝐷𝐡) = (𝐡𝐷𝐴))
Proof of Theorem psmetsym
StepHypRef Expression
1 psmetcl 24033 . 2 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ*)
2 psmetcl 24033 . . 3 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝐡𝐷𝐴) ∈ ℝ*)
323com23 1126 . 2 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐡𝐷𝐴) ∈ ℝ*)
4 simp1 1136 . . . 4 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹))
5 simp3 1138 . . . 4 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ 𝐡 ∈ 𝑋)
6 simp2 1137 . . . 4 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
7 psmettri2 24035 . . . 4 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ (𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐴𝐷𝐡) ≀ ((𝐡𝐷𝐴) +𝑒 (𝐡𝐷𝐡)))
84, 5, 6, 5, 7syl13anc 1372 . . 3 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝐷𝐡) ≀ ((𝐡𝐷𝐴) +𝑒 (𝐡𝐷𝐡)))
9 psmet0 24034 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐡𝐷𝐡) = 0)
1093adant2 1131 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐡𝐷𝐡) = 0)
1110oveq2d 7427 . . . 4 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((𝐡𝐷𝐴) +𝑒 (𝐡𝐷𝐡)) = ((𝐡𝐷𝐴) +𝑒 0))
122xaddridd 13226 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((𝐡𝐷𝐴) +𝑒 0) = (𝐡𝐷𝐴))
13123com23 1126 . . . 4 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((𝐡𝐷𝐴) +𝑒 0) = (𝐡𝐷𝐴))
1411, 13eqtrd 2772 . . 3 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((𝐡𝐷𝐴) +𝑒 (𝐡𝐷𝐡)) = (𝐡𝐷𝐴))
158, 14breqtrd 5174 . 2 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝐷𝐡) ≀ (𝐡𝐷𝐴))
16 psmettri2 24035 . . . 4 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐡𝐷𝐴) ≀ ((𝐴𝐷𝐡) +𝑒 (𝐴𝐷𝐴)))
174, 6, 5, 6, 16syl13anc 1372 . . 3 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐡𝐷𝐴) ≀ ((𝐴𝐷𝐡) +𝑒 (𝐴𝐷𝐴)))
18 psmet0 24034 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝐷𝐴) = 0)
19183adant3 1132 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝐷𝐴) = 0)
2019oveq2d 7427 . . . 4 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((𝐴𝐷𝐡) +𝑒 (𝐴𝐷𝐴)) = ((𝐴𝐷𝐡) +𝑒 0))
211xaddridd 13226 . . . 4 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((𝐴𝐷𝐡) +𝑒 0) = (𝐴𝐷𝐡))
2220, 21eqtrd 2772 . . 3 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((𝐴𝐷𝐡) +𝑒 (𝐴𝐷𝐴)) = (𝐴𝐷𝐡))
2317, 22breqtrd 5174 . 2 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐡𝐷𝐴) ≀ (𝐴𝐷𝐡))
241, 3, 15, 23xrletrid 13138 1 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝐷𝐡) = (𝐡𝐷𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  0cc0 11112  β„*cxr 11251   ≀ cle 11253   +𝑒 cxad 13094  PsMetcpsmet 21128
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-xadd 13097  df-psmet 21136
This theorem is referenced by:  psmettri  24037  distspace  24042  elbl3ps  24117  blssps  24150  metustsym  24284  metideq  33159  metider  33160
  Copyright terms: Public domain W3C validator