MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xblpnfps Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xblpnfps 23700
Description: The infinity ball in an extended metric is the set of all points that are a finite distance from the center. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
xblpnfps ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) → (𝐴 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)+∞) ↔ (𝐴𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝐴) ∈ ℝ)))

Proof of Theorem xblpnfps
StepHypRef Expression
1 pnfxr 11168 . . 3 +∞ ∈ ℝ*
2 elblps 23692 . . 3 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋 ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)+∞) ↔ (𝐴𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝐴) < +∞)))
31, 2mp3an3 1451 . 2 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) → (𝐴 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)+∞) ↔ (𝐴𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝐴) < +∞)))
4 psmetcl 23612 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝐴𝑋) → (𝑃𝐷𝐴) ∈ ℝ*)
5 psmetge0 23617 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝐴𝑋) → 0 ≤ (𝑃𝐷𝐴))
6 ge0nemnf 13047 . . . . . . . 8 (((𝑃𝐷𝐴) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑃𝐷𝐴)) → (𝑃𝐷𝐴) ≠ -∞)
74, 5, 6syl2anc 585 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝐴𝑋) → (𝑃𝐷𝐴) ≠ -∞)
8 ngtmnft 13040 . . . . . . . . 9 ((𝑃𝐷𝐴) ∈ ℝ* → ((𝑃𝐷𝐴) = -∞ ↔ ¬ -∞ < (𝑃𝐷𝐴)))
94, 8syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝐴𝑋) → ((𝑃𝐷𝐴) = -∞ ↔ ¬ -∞ < (𝑃𝐷𝐴)))
109necon2abid 2985 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝐴𝑋) → (-∞ < (𝑃𝐷𝐴) ↔ (𝑃𝐷𝐴) ≠ -∞))
117, 10mpbird 257 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝐴𝑋) → -∞ < (𝑃𝐷𝐴))
1211biantrurd 534 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝐴𝑋) → ((𝑃𝐷𝐴) < +∞ ↔ (-∞ < (𝑃𝐷𝐴) ∧ (𝑃𝐷𝐴) < +∞)))
13 xrrebnd 13042 . . . . . 6 ((𝑃𝐷𝐴) ∈ ℝ* → ((𝑃𝐷𝐴) ∈ ℝ ↔ (-∞ < (𝑃𝐷𝐴) ∧ (𝑃𝐷𝐴) < +∞)))
144, 13syl 17 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝐴𝑋) → ((𝑃𝐷𝐴) ∈ ℝ ↔ (-∞ < (𝑃𝐷𝐴) ∧ (𝑃𝐷𝐴) < +∞)))
1512, 14bitr4d 282 . . . 4 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝐴𝑋) → ((𝑃𝐷𝐴) < +∞ ↔ (𝑃𝐷𝐴) ∈ ℝ))
16153expa 1119 . . 3 (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑃𝐷𝐴) < +∞ ↔ (𝑃𝐷𝐴) ∈ ℝ))
1716pm5.32da 580 . 2 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) → ((𝐴𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝐴) < +∞) ↔ (𝐴𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝐴) ∈ ℝ)))
183, 17bitrd 279 1 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) → (𝐴 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)+∞) ↔ (𝐴𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝐴) ∈ ℝ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2942   class class class wbr 5104  cfv 6494  (class class class)co 7352  cr 11009  0cc0 11010  +∞cpnf 11145  -∞cmnf 11146  *cxr 11147   < clt 11148  cle 11149  PsMetcpsmet 20733  ballcbl 20736
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7665  ax-cnex 11066  ax-resscn 11067  ax-1cn 11068  ax-icn 11069  ax-addcl 11070  ax-addrcl 11071  ax-mulcl 11072  ax-mulrcl 11073  ax-mulcom 11074  ax-addass 11075  ax-mulass 11076  ax-distr 11077  ax-i2m1 11078  ax-1ne0 11079  ax-1rid 11080  ax-rnegex 11081  ax-rrecex 11082  ax-cnre 11083  ax-pre-lttri 11084  ax-pre-lttrn 11085  ax-pre-ltadd 11086  ax-pre-mulgt0 11087
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-id 5530  df-po 5544  df-so 5545  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6446  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7308  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-1st 7914  df-2nd 7915  df-er 8607  df-map 8726  df-en 8843  df-dom 8844  df-sdom 8845  df-pnf 11150  df-mnf 11151  df-xr 11152  df-ltxr 11153  df-le 11154  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11772  df-2 12175  df-rp 12871  df-xneg 12988  df-xadd 12989  df-xmul 12990  df-psmet 20741  df-bl 20744
This theorem is referenced by:  xblss2ps  23706
  Copyright terms: Public domain W3C validator