Theorem xblpnfps 24259

Description: The infinity ball in an extended metric is the set of all points that are a finite distance from the center. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
xblpnfps	⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝐴 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)+∞) ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝐴) ∈ ℝ)))

Proof of Theorem xblpnfps

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfxr 11204	. . 3 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
2		elblps 24251	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)+∞) ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝐴) < +∞)))
3	1, 2	mp3an3 1452	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝐴 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)+∞) ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝐴) < +∞)))
4		psmetcl 24171	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑃𝐷𝐴) ∈ ℝ*)
5		psmetge0 24176	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝑃𝐷𝐴))
6		ge0nemnf 13109	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃𝐷𝐴) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑃𝐷𝐴)) → (𝑃𝐷𝐴) ≠ -∞)
7	4, 5, 6	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑃𝐷𝐴) ≠ -∞)
8		ngtmnft 13102	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃𝐷𝐴) ∈ ℝ* → ((𝑃𝐷𝐴) = -∞ ↔ ¬ -∞ < (𝑃𝐷𝐴)))
9	4, 8	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑃𝐷𝐴) = -∞ ↔ ¬ -∞ < (𝑃𝐷𝐴)))
10	9	necon2abid 2967	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (-∞ < (𝑃𝐷𝐴) ↔ (𝑃𝐷𝐴) ≠ -∞))
11	7, 10	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → -∞ < (𝑃𝐷𝐴))
12	11	biantrurd 532	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑃𝐷𝐴) < +∞ ↔ (-∞ < (𝑃𝐷𝐴) ∧ (𝑃𝐷𝐴) < +∞)))
13		xrrebnd 13104	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃𝐷𝐴) ∈ ℝ* → ((𝑃𝐷𝐴) ∈ ℝ ↔ (-∞ < (𝑃𝐷𝐴) ∧ (𝑃𝐷𝐴) < +∞)))
14	4, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑃𝐷𝐴) ∈ ℝ ↔ (-∞ < (𝑃𝐷𝐴) ∧ (𝑃𝐷𝐴) < +∞)))
15	12, 14	bitr4d 282	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑃𝐷𝐴) < +∞ ↔ (𝑃𝐷𝐴) ∈ ℝ))
16	15	3expa 1118	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑃𝐷𝐴) < +∞ ↔ (𝑃𝐷𝐴) ∈ ℝ))
17	16	pm5.32da 579	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝐴) < +∞) ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝐴) ∈ ℝ)))
18	3, 17	bitrd 279	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝐴 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)+∞) ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝐴) ∈ ℝ)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   class class class wbr 5102  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  ℝcr 11043  0cc0 11044  +∞cpnf 11181  -∞cmnf 11182  ℝ^*cxr 11183   < clt 11184   ≤ cle 11185  PsMetcpsmet 21224  ballcbl 21227

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-er 8648  df-map 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-2 12225  df-rp 12928  df-xneg 13048  df-xadd 13049  df-xmul 13050  df-psmet 21232  df-bl 21235

This theorem is referenced by:  xblss2ps  24265