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Theorem xblss2ps 23770
Description: One ball is contained in another if the center-to-center distance is less than the difference of the radii. In this version of blss2 23773 for extended metrics, we have to assume the balls are a finite distance apart, or else 𝑃 will not even be in the infinity ball around 𝑄. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Mar-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
xblss2ps.1 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹))
xblss2ps.2 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ 𝑋)
xblss2ps.3 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝑋)
xblss2ps.4 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
xblss2ps.5 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ ℝ*)
xblss2ps.6 (πœ‘ β†’ (𝑃𝐷𝑄) ∈ ℝ)
xblss2ps.7 (πœ‘ β†’ (𝑃𝐷𝑄) ≀ (𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅))
Assertion
Ref Expression
xblss2ps (πœ‘ β†’ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) βŠ† (𝑄(ballβ€˜π·)𝑆))

Proof of Theorem xblss2ps
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xblss2ps.1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹))
2 xblss2ps.2 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ 𝑋)
3 xblss2ps.4 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
4 elblps 23756 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷π‘₯) < 𝑅)))
51, 2, 3, 4syl3anc 1372 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷π‘₯) < 𝑅)))
65simprbda 500 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
71adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) β†’ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹))
8 xblss2ps.3 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝑋)
98adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) β†’ 𝑄 ∈ 𝑋)
10 psmetcl 23676 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑄 ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (𝑄𝐷π‘₯) ∈ ℝ*)
117, 9, 6, 10syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) β†’ (𝑄𝐷π‘₯) ∈ ℝ*)
1211adantr 482 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) β†’ (𝑄𝐷π‘₯) ∈ ℝ*)
13 xblss2ps.6 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑃𝐷𝑄) ∈ ℝ)
1413adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) β†’ (𝑃𝐷𝑄) ∈ ℝ)
1514rexrd 11212 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) β†’ (𝑃𝐷𝑄) ∈ ℝ*)
163adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
1715, 16xaddcld 13227 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) β†’ ((𝑃𝐷𝑄) +𝑒 𝑅) ∈ ℝ*)
1817adantr 482 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) β†’ ((𝑃𝐷𝑄) +𝑒 𝑅) ∈ ℝ*)
19 xblss2ps.5 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ ℝ*)
2019ad2antrr 725 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) β†’ 𝑆 ∈ ℝ*)
212adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) β†’ 𝑃 ∈ 𝑋)
22 psmetcl 23676 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (𝑃𝐷π‘₯) ∈ ℝ*)
237, 21, 6, 22syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) β†’ (𝑃𝐷π‘₯) ∈ ℝ*)
2415, 23xaddcld 13227 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) β†’ ((𝑃𝐷𝑄) +𝑒 (𝑃𝐷π‘₯)) ∈ ℝ*)
25 psmettri2 23678 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋)) β†’ (𝑄𝐷π‘₯) ≀ ((𝑃𝐷𝑄) +𝑒 (𝑃𝐷π‘₯)))
267, 21, 9, 6, 25syl13anc 1373 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) β†’ (𝑄𝐷π‘₯) ≀ ((𝑃𝐷𝑄) +𝑒 (𝑃𝐷π‘₯)))
275simplbda 501 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) β†’ (𝑃𝐷π‘₯) < 𝑅)
28 xltadd2 13183 . . . . . . . . . 10 (((𝑃𝐷π‘₯) ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝐷𝑄) ∈ ℝ) β†’ ((𝑃𝐷π‘₯) < 𝑅 ↔ ((𝑃𝐷𝑄) +𝑒 (𝑃𝐷π‘₯)) < ((𝑃𝐷𝑄) +𝑒 𝑅)))
2923, 16, 14, 28syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) β†’ ((𝑃𝐷π‘₯) < 𝑅 ↔ ((𝑃𝐷𝑄) +𝑒 (𝑃𝐷π‘₯)) < ((𝑃𝐷𝑄) +𝑒 𝑅)))
3027, 29mpbid 231 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) β†’ ((𝑃𝐷𝑄) +𝑒 (𝑃𝐷π‘₯)) < ((𝑃𝐷𝑄) +𝑒 𝑅))
3111, 24, 17, 26, 30xrlelttrd 13086 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) β†’ (𝑄𝐷π‘₯) < ((𝑃𝐷𝑄) +𝑒 𝑅))
3231adantr 482 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) β†’ (𝑄𝐷π‘₯) < ((𝑃𝐷𝑄) +𝑒 𝑅))
3319adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) β†’ 𝑆 ∈ ℝ*)
3416xnegcld 13226 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) β†’ -𝑒𝑅 ∈ ℝ*)
3533, 34xaddcld 13227 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) β†’ (𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅) ∈ ℝ*)
36 xblss2ps.7 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑃𝐷𝑄) ≀ (𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅))
3736adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) β†’ (𝑃𝐷𝑄) ≀ (𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅))
38 xleadd1a 13179 . . . . . . . . 9 ((((𝑃𝐷𝑄) ∈ ℝ* ∧ (𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅) ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝑃𝐷𝑄) ≀ (𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅)) β†’ ((𝑃𝐷𝑄) +𝑒 𝑅) ≀ ((𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅) +𝑒 𝑅))
3915, 35, 16, 37, 38syl31anc 1374 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) β†’ ((𝑃𝐷𝑄) +𝑒 𝑅) ≀ ((𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅) +𝑒 𝑅))
4039adantr 482 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) β†’ ((𝑃𝐷𝑄) +𝑒 𝑅) ≀ ((𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅) +𝑒 𝑅))
41 xnpcan 13178 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ) β†’ ((𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅) +𝑒 𝑅) = 𝑆)
4233, 41sylan 581 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) β†’ ((𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅) +𝑒 𝑅) = 𝑆)
4340, 42breqtrd 5136 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) β†’ ((𝑃𝐷𝑄) +𝑒 𝑅) ≀ 𝑆)
4412, 18, 20, 32, 43xrltletrd 13087 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) β†’ (𝑄𝐷π‘₯) < 𝑆)
4511adantr 482 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) β†’ (𝑄𝐷π‘₯) ∈ ℝ*)
4613ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) β†’ (𝑃𝐷𝑄) ∈ ℝ)
47 simpll 766 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) β†’ πœ‘)
48 simplr 768 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) β†’ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅))
49 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) β†’ 𝑅 = +∞)
5049oveq2d 7378 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) β†’ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) = (𝑃(ballβ€˜π·)+∞))
5148, 50eleqtrd 2840 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) β†’ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)+∞))
52 xblpnfps 23764 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)+∞) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷π‘₯) ∈ ℝ)))
531, 2, 52syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)+∞) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷π‘₯) ∈ ℝ)))
5453simplbda 501 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)+∞)) β†’ (𝑃𝐷π‘₯) ∈ ℝ)
5547, 51, 54syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) β†’ (𝑃𝐷π‘₯) ∈ ℝ)
5646, 55readdcld 11191 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) β†’ ((𝑃𝐷𝑄) + (𝑃𝐷π‘₯)) ∈ ℝ)
5756rexrd 11212 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) β†’ ((𝑃𝐷𝑄) + (𝑃𝐷π‘₯)) ∈ ℝ*)
58 pnfxr 11216 . . . . . . . 8 +∞ ∈ ℝ*
5958a1i 11 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) β†’ +∞ ∈ ℝ*)
601ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) β†’ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹))
612ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) β†’ 𝑃 ∈ 𝑋)
628ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) β†’ 𝑄 ∈ 𝑋)
636adantr 482 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
6460, 61, 62, 63, 25syl13anc 1373 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) β†’ (𝑄𝐷π‘₯) ≀ ((𝑃𝐷𝑄) +𝑒 (𝑃𝐷π‘₯)))
6546, 55rexaddd 13160 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) β†’ ((𝑃𝐷𝑄) +𝑒 (𝑃𝐷π‘₯)) = ((𝑃𝐷𝑄) + (𝑃𝐷π‘₯)))
6664, 65breqtrd 5136 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) β†’ (𝑄𝐷π‘₯) ≀ ((𝑃𝐷𝑄) + (𝑃𝐷π‘₯)))
6756ltpnfd 13049 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) β†’ ((𝑃𝐷𝑄) + (𝑃𝐷π‘₯)) < +∞)
6845, 57, 59, 66, 67xrlelttrd 13086 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) β†’ (𝑄𝐷π‘₯) < +∞)
69 0xr 11209 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ*
7069a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) β†’ 0 ∈ ℝ*)
71 psmetge0 23681 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) β†’ 0 ≀ (𝑃𝐷𝑄))
727, 21, 9, 71syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) β†’ 0 ≀ (𝑃𝐷𝑄))
7370, 15, 35, 72, 37xrletrd 13088 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) β†’ 0 ≀ (𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅))
74 ge0nemnf 13099 . . . . . . . . 9 (((𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅)) β†’ (𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅) β‰  -∞)
7535, 73, 74syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) β†’ (𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅) β‰  -∞)
7675adantr 482 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) β†’ (𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅) β‰  -∞)
7719ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) β†’ 𝑆 ∈ ℝ*)
78 xaddmnf1 13154 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 β‰  +∞) β†’ (𝑆 +𝑒 -∞) = -∞)
7978ex 414 . . . . . . . . . 10 (𝑆 ∈ ℝ* β†’ (𝑆 β‰  +∞ β†’ (𝑆 +𝑒 -∞) = -∞))
8077, 79syl 17 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) β†’ (𝑆 β‰  +∞ β†’ (𝑆 +𝑒 -∞) = -∞))
81 xnegeq 13133 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 = +∞ β†’ -𝑒𝑅 = -𝑒+∞)
8249, 81syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) β†’ -𝑒𝑅 = -𝑒+∞)
83 xnegpnf 13135 . . . . . . . . . . . 12 -𝑒+∞ = -∞
8482, 83eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) β†’ -𝑒𝑅 = -∞)
8584oveq2d 7378 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) β†’ (𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅) = (𝑆 +𝑒 -∞))
8685eqeq1d 2739 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) β†’ ((𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅) = -∞ ↔ (𝑆 +𝑒 -∞) = -∞))
8780, 86sylibrd 259 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) β†’ (𝑆 β‰  +∞ β†’ (𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅) = -∞))
8887necon1d 2966 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) β†’ ((𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅) β‰  -∞ β†’ 𝑆 = +∞))
8976, 88mpd 15 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) β†’ 𝑆 = +∞)
9068, 89breqtrrd 5138 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) β†’ (𝑄𝐷π‘₯) < 𝑆)
91 psmetge0 23681 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 0 ≀ (𝑃𝐷π‘₯))
927, 21, 6, 91syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) β†’ 0 ≀ (𝑃𝐷π‘₯))
9370, 23, 16, 92, 27xrlelttrd 13086 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) β†’ 0 < 𝑅)
9470, 16, 93xrltled 13076 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) β†’ 0 ≀ 𝑅)
95 ge0nemnf 13099 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ 𝑅) β†’ 𝑅 β‰  -∞)
9616, 94, 95syl2anc 585 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) β†’ 𝑅 β‰  -∞)
9716, 96jca 513 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) β†’ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑅 β‰  -∞))
98 xrnemnf 13045 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑅 β‰  -∞) ↔ (𝑅 ∈ ℝ ∨ 𝑅 = +∞))
9997, 98sylib 217 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) β†’ (𝑅 ∈ ℝ ∨ 𝑅 = +∞))
10044, 90, 99mpjaodan 958 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) β†’ (𝑄𝐷π‘₯) < 𝑆)
101 elblps 23756 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑄 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑄(ballβ€˜π·)𝑆) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (𝑄𝐷π‘₯) < 𝑆)))
1027, 9, 33, 101syl3anc 1372 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑄(ballβ€˜π·)𝑆) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (𝑄𝐷π‘₯) < 𝑆)))
1036, 100, 102mpbir2and 712 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) β†’ π‘₯ ∈ (𝑄(ballβ€˜π·)𝑆))
104103ex 414 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) β†’ π‘₯ ∈ (𝑄(ballβ€˜π·)𝑆)))
105104ssrdv 3955 1 (πœ‘ β†’ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) βŠ† (𝑄(ballβ€˜π·)𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944   βŠ† wss 3915   class class class wbr 5110  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  β„cr 11057  0cc0 11058   + caddc 11061  +∞cpnf 11193  -∞cmnf 11194  β„*cxr 11195   < clt 11196   ≀ cle 11197  -𝑒cxne 13037   +𝑒 cxad 13038  PsMetcpsmet 20796  ballcbl 20799
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-po 5550  df-so 5551  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-er 8655  df-map 8774  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-2 12223  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-psmet 20804  df-bl 20807
This theorem is referenced by:  blss2ps  23772  ssblps  23791
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