Theorem xblss2ps 24539

Description: One ball is contained in another if the center-to-center distance is less than the difference of the radii. In this version of blss2 24542 for extended metrics, we have to assume the balls are a finite distance apart, or else 𝑃 will not even be in the infinity ball around 𝑄. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Mar-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
xblss2ps.1	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋))
xblss2ps.2	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝑋)
xblss2ps.3	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑋)
xblss2ps.4	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ*)
xblss2ps.5	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ*)
xblss2ps.6	⊢ (𝜑 → (𝑃𝐷𝑄) ∈ ℝ)
xblss2ps.7	⊢ (𝜑 → (𝑃𝐷𝑄) ≤ (𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅))

Assertion

Ref	Expression
xblss2ps	⊢ (𝜑 → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ⊆ (𝑄(ball‘𝐷)𝑆))

Proof of Theorem xblss2ps

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xblss2ps.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋))
2		xblss2ps.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝑋)
3		xblss2ps.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ*)
4		elblps 24525	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅)))
6	5	simprbda 503	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) → 𝑥 ∈ 𝑋)
7	1	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) → 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋))
8		xblss2ps.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑋)
9	8	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) → 𝑄 ∈ 𝑋)
10		psmetcl 24445	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑄 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑄𝐷𝑥) ∈ ℝ*)
11	7, 9, 6, 10	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) → (𝑄𝐷𝑥) ∈ ℝ*)
12	11	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝑄𝐷𝑥) ∈ ℝ*)
13		xblss2ps.6	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑃𝐷𝑄) ∈ ℝ)
14	13	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) → (𝑃𝐷𝑄) ∈ ℝ)
15	14	rexrd 11260	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) → (𝑃𝐷𝑄) ∈ ℝ*)
16	3	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) → 𝑅 ∈ ℝ*)
17	15, 16	xaddcld 13328	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) → ((𝑃𝐷𝑄) +𝑒 𝑅) ∈ ℝ*)
18	17	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((𝑃𝐷𝑄) +𝑒 𝑅) ∈ ℝ*)
19		xblss2ps.5	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ*)
20	19	ad2antrr 738	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → 𝑆 ∈ ℝ*)
21	2	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) → 𝑃 ∈ 𝑋)
22		psmetcl 24445	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ*)
23	7, 21, 6, 22	syl3anc 1398	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) → (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ*)
24	15, 23	xaddcld 13328	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) → ((𝑃𝐷𝑄) +𝑒 (𝑃𝐷𝑥)) ∈ ℝ*)
25		psmettri2 24447	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋)) → (𝑄𝐷𝑥) ≤ ((𝑃𝐷𝑄) +𝑒 (𝑃𝐷𝑥)))
26	7, 21, 9, 6, 25	syl13anc 1399	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) → (𝑄𝐷𝑥) ≤ ((𝑃𝐷𝑄) +𝑒 (𝑃𝐷𝑥)))
27	5	simplbda 504	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) → (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅)
28		xltadd2 13284	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝐷𝑄) ∈ ℝ) → ((𝑃𝐷𝑥) < 𝑅 ↔ ((𝑃𝐷𝑄) +𝑒 (𝑃𝐷𝑥)) < ((𝑃𝐷𝑄) +𝑒 𝑅)))
29	23, 16, 14, 28	syl3anc 1398	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) → ((𝑃𝐷𝑥) < 𝑅 ↔ ((𝑃𝐷𝑄) +𝑒 (𝑃𝐷𝑥)) < ((𝑃𝐷𝑄) +𝑒 𝑅)))
30	27, 29	mpbid 235	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) → ((𝑃𝐷𝑄) +𝑒 (𝑃𝐷𝑥)) < ((𝑃𝐷𝑄) +𝑒 𝑅))
31	11, 24, 17, 26, 30	xrlelttrd 13186	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) → (𝑄𝐷𝑥) < ((𝑃𝐷𝑄) +𝑒 𝑅))
32	31	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝑄𝐷𝑥) < ((𝑃𝐷𝑄) +𝑒 𝑅))
33	19	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) → 𝑆 ∈ ℝ*)
34	16	xnegcld 13327	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) → -𝑒𝑅 ∈ ℝ*)
35	33, 34	xaddcld 13328	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) → (𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅) ∈ ℝ*)
36		xblss2ps.7	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑃𝐷𝑄) ≤ (𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅))
37	36	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) → (𝑃𝐷𝑄) ≤ (𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅))
38		xleadd1a 13280	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑃𝐷𝑄) ∈ ℝ* ∧ (𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅) ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝑃𝐷𝑄) ≤ (𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅)) → ((𝑃𝐷𝑄) +𝑒 𝑅) ≤ ((𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅) +𝑒 𝑅))
39	15, 35, 16, 37, 38	syl31anc 1400	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) → ((𝑃𝐷𝑄) +𝑒 𝑅) ≤ ((𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅) +𝑒 𝑅))
40	39	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((𝑃𝐷𝑄) +𝑒 𝑅) ≤ ((𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅) +𝑒 𝑅))
41		xnpcan 13279	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅) +𝑒 𝑅) = 𝑆)
42	33, 41	sylan 591	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅) +𝑒 𝑅) = 𝑆)
43	40, 42	breqtrd 5138	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((𝑃𝐷𝑄) +𝑒 𝑅) ≤ 𝑆)
44	12, 18, 20, 32, 43	xrltletrd 13187	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝑄𝐷𝑥) < 𝑆)
45	11	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) → (𝑄𝐷𝑥) ∈ ℝ*)
46	13	ad2antrr 738	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) → (𝑃𝐷𝑄) ∈ ℝ)
47		simpll 778	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) → 𝜑)
48		simplr 780	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) → 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅))
49		simpr 489	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) → 𝑅 = +∞)
50	49	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) = (𝑃(ball‘𝐷)+∞))
51	48, 50	eleqtrd 2865	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) → 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)+∞))
52		xblpnfps 24533	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)+∞) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ)))
53	1, 2, 52	syl2anc 595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)+∞) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ)))
54	53	simplbda 504	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)+∞)) → (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ)
55	47, 51, 54	syl2anc 595	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) → (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ)
56	46, 55	readdcld 11239	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) → ((𝑃𝐷𝑄) + (𝑃𝐷𝑥)) ∈ ℝ)
57	56	rexrd 11260	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) → ((𝑃𝐷𝑄) + (𝑃𝐷𝑥)) ∈ ℝ*)
58		pnfxr 11264	. . . . . . . 8 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
59	58	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) → +∞ ∈ ℝ*)
60	1	ad2antrr 738	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) → 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋))
61	2	ad2antrr 738	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) → 𝑃 ∈ 𝑋)
62	8	ad2antrr 738	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) → 𝑄 ∈ 𝑋)
63	6	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) → 𝑥 ∈ 𝑋)
64	60, 61, 62, 63, 25	syl13anc 1399	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) → (𝑄𝐷𝑥) ≤ ((𝑃𝐷𝑄) +𝑒 (𝑃𝐷𝑥)))
65	46, 55	rexaddd 13261	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) → ((𝑃𝐷𝑄) +𝑒 (𝑃𝐷𝑥)) = ((𝑃𝐷𝑄) + (𝑃𝐷𝑥)))
66	64, 65	breqtrd 5138	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) → (𝑄𝐷𝑥) ≤ ((𝑃𝐷𝑄) + (𝑃𝐷𝑥)))
67	56	ltpnfd 13147	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) → ((𝑃𝐷𝑄) + (𝑃𝐷𝑥)) < +∞)
68	45, 57, 59, 66, 67	xrlelttrd 13186	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) → (𝑄𝐷𝑥) < +∞)
69		0xr 11257	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ*
70	69	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) → 0 ∈ ℝ*)
71		psmetge0 24450	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝑃𝐷𝑄))
72	7, 21, 9, 71	syl3anc 1398	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) → 0 ≤ (𝑃𝐷𝑄))
73	70, 15, 35, 72, 37	xrletrd 13188	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) → 0 ≤ (𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅))
74		ge0nemnf 13200	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅)) → (𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅) ≠ -∞)
75	35, 73, 74	syl2anc 595	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) → (𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅) ≠ -∞)
76	75	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) → (𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅) ≠ -∞)
77	19	ad2antrr 738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) → 𝑆 ∈ ℝ*)
78		xaddmnf1 13255	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ≠ +∞) → (𝑆 +𝑒 -∞) = -∞)
79	78	ex 417	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 ∈ ℝ* → (𝑆 ≠ +∞ → (𝑆 +𝑒 -∞) = -∞))
80	77, 79	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) → (𝑆 ≠ +∞ → (𝑆 +𝑒 -∞) = -∞))
81		xnegeq 13234	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 = +∞ → -𝑒𝑅 = -𝑒+∞)
82	49, 81	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) → -𝑒𝑅 = -𝑒+∞)
83		xnegpnf 13236	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -𝑒+∞ = -∞
84	82, 83	eqtrdi 2814	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) → -𝑒𝑅 = -∞)
85	84	oveq2d 7428	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) → (𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅) = (𝑆 +𝑒 -∞))
86	85	eqeq1d 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) → ((𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅) = -∞ ↔ (𝑆 +𝑒 -∞) = -∞))
87	80, 86	sylibrd 262	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) → (𝑆 ≠ +∞ → (𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅) = -∞))
88	87	necon1d 2980	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) → ((𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅) ≠ -∞ → 𝑆 = +∞))
89	76, 88	mpd 16	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) → 𝑆 = +∞)
90	68, 89	breqtrrd 5140	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) → (𝑄𝐷𝑥) < 𝑆)
91		psmetge0 24450	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝑃𝐷𝑥))
92	7, 21, 6, 91	syl3anc 1398	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) → 0 ≤ (𝑃𝐷𝑥))
93	70, 23, 16, 92, 27	xrlelttrd 13186	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) → 0 < 𝑅)
94	70, 16, 93	xrltled 13176	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) → 0 ≤ 𝑅)
95		ge0nemnf 13200	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑅) → 𝑅 ≠ -∞)
96	16, 94, 95	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) → 𝑅 ≠ -∞)
97	16, 96	jca 520	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) → (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ≠ -∞))
98		xrnemnf 13143	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ≠ -∞) ↔ (𝑅 ∈ ℝ ∨ 𝑅 = +∞))
99	97, 98	sylib 221	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) → (𝑅 ∈ ℝ ∨ 𝑅 = +∞))
100	44, 90, 99	mpjaodan 973	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) → (𝑄𝐷𝑥) < 𝑆)
101		elblps 24525	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑄 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝑄(ball‘𝐷)𝑆) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑄𝐷𝑥) < 𝑆)))
102	7, 9, 33, 101	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) → (𝑥 ∈ (𝑄(ball‘𝐷)𝑆) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑄𝐷𝑥) < 𝑆)))
103	6, 100, 102	mpbir2and 725	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) → 𝑥 ∈ (𝑄(ball‘𝐷)𝑆))
104	103	ex 417	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) → 𝑥 ∈ (𝑄(ball‘𝐷)𝑆)))
105	104	ssrdv 3944	1 ⊢ (𝜑 → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ⊆ (𝑄(ball‘𝐷)𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958   ⊆ wss 3906   class class class wbr 5110  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  ℝcr 11100  0cc0 11101   + caddc 11104  +∞cpnf 11241  -∞cmnf 11242  ℝ^*cxr 11243   < clt 11244   ≤ cle 11245  -_𝑒cxne 13135   +_𝑒 cxad 13136  PsMetcpsmet 21487  ballcbl 21490

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-er 8695  df-map 8827  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-2 12304  df-rp 13018  df-xneg 13138  df-xadd 13139  df-xmul 13140  df-psmet 21495  df-bl 21498

This theorem is referenced by:  blss2ps  24541  ssblps  24560