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Theorem xblss2ps 24323
Description: One ball is contained in another if the center-to-center distance is less than the difference of the radii. In this version of blss2 24326 for extended metrics, we have to assume the balls are a finite distance apart, or else 𝑃 will not even be in the infinity ball around 𝑄. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Mar-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
xblss2ps.1 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹))
xblss2ps.2 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ 𝑋)
xblss2ps.3 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝑋)
xblss2ps.4 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
xblss2ps.5 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ ℝ*)
xblss2ps.6 (πœ‘ β†’ (𝑃𝐷𝑄) ∈ ℝ)
xblss2ps.7 (πœ‘ β†’ (𝑃𝐷𝑄) ≀ (𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅))
Assertion
Ref Expression
xblss2ps (πœ‘ β†’ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) βŠ† (𝑄(ballβ€˜π·)𝑆))
Proof of Theorem xblss2ps
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xblss2ps.1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹))
2 xblss2ps.2 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ 𝑋)
3 xblss2ps.4 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
4 elblps 24309 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷π‘₯) < 𝑅)))
51, 2, 3, 4syl3anc 1368 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷π‘₯) < 𝑅)))
65simprbda 497 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
71adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) β†’ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹))
8 xblss2ps.3 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝑋)
98adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) β†’ 𝑄 ∈ 𝑋)
10 psmetcl 24229 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑄 ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (𝑄𝐷π‘₯) ∈ ℝ*)
117, 9, 6, 10syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) β†’ (𝑄𝐷π‘₯) ∈ ℝ*)
1211adantr 479 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) β†’ (𝑄𝐷π‘₯) ∈ ℝ*)
13 xblss2ps.6 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑃𝐷𝑄) ∈ ℝ)
1413adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) β†’ (𝑃𝐷𝑄) ∈ ℝ)
1514rexrd 11292 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) β†’ (𝑃𝐷𝑄) ∈ ℝ*)
163adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
1715, 16xaddcld 13310 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) β†’ ((𝑃𝐷𝑄) +𝑒 𝑅) ∈ ℝ*)
1817adantr 479 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) β†’ ((𝑃𝐷𝑄) +𝑒 𝑅) ∈ ℝ*)
19 xblss2ps.5 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ ℝ*)
2019ad2antrr 724 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) β†’ 𝑆 ∈ ℝ*)
212adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) β†’ 𝑃 ∈ 𝑋)
22 psmetcl 24229 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (𝑃𝐷π‘₯) ∈ ℝ*)
237, 21, 6, 22syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) β†’ (𝑃𝐷π‘₯) ∈ ℝ*)
2415, 23xaddcld 13310 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) β†’ ((𝑃𝐷𝑄) +𝑒 (𝑃𝐷π‘₯)) ∈ ℝ*)
25 psmettri2 24231 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋)) β†’ (𝑄𝐷π‘₯) ≀ ((𝑃𝐷𝑄) +𝑒 (𝑃𝐷π‘₯)))
267, 21, 9, 6, 25syl13anc 1369 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) β†’ (𝑄𝐷π‘₯) ≀ ((𝑃𝐷𝑄) +𝑒 (𝑃𝐷π‘₯)))
275simplbda 498 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) β†’ (𝑃𝐷π‘₯) < 𝑅)
28 xltadd2 13266 . . . . . . . . . 10 (((𝑃𝐷π‘₯) ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝐷𝑄) ∈ ℝ) β†’ ((𝑃𝐷π‘₯) < 𝑅 ↔ ((𝑃𝐷𝑄) +𝑒 (𝑃𝐷π‘₯)) < ((𝑃𝐷𝑄) +𝑒 𝑅)))
2923, 16, 14, 28syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) β†’ ((𝑃𝐷π‘₯) < 𝑅 ↔ ((𝑃𝐷𝑄) +𝑒 (𝑃𝐷π‘₯)) < ((𝑃𝐷𝑄) +𝑒 𝑅)))
3027, 29mpbid 231 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) β†’ ((𝑃𝐷𝑄) +𝑒 (𝑃𝐷π‘₯)) < ((𝑃𝐷𝑄) +𝑒 𝑅))
3111, 24, 17, 26, 30xrlelttrd 13169 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) β†’ (𝑄𝐷π‘₯) < ((𝑃𝐷𝑄) +𝑒 𝑅))
3231adantr 479 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) β†’ (𝑄𝐷π‘₯) < ((𝑃𝐷𝑄) +𝑒 𝑅))
3319adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) β†’ 𝑆 ∈ ℝ*)
3416xnegcld 13309 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) β†’ -𝑒𝑅 ∈ ℝ*)
3533, 34xaddcld 13310 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) β†’ (𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅) ∈ ℝ*)
36 xblss2ps.7 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑃𝐷𝑄) ≀ (𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅))
3736adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) β†’ (𝑃𝐷𝑄) ≀ (𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅))
38 xleadd1a 13262 . . . . . . . . 9 ((((𝑃𝐷𝑄) ∈ ℝ* ∧ (𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅) ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝑃𝐷𝑄) ≀ (𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅)) β†’ ((𝑃𝐷𝑄) +𝑒 𝑅) ≀ ((𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅) +𝑒 𝑅))
3915, 35, 16, 37, 38syl31anc 1370 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) β†’ ((𝑃𝐷𝑄) +𝑒 𝑅) ≀ ((𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅) +𝑒 𝑅))
4039adantr 479 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) β†’ ((𝑃𝐷𝑄) +𝑒 𝑅) ≀ ((𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅) +𝑒 𝑅))
41 xnpcan 13261 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ) β†’ ((𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅) +𝑒 𝑅) = 𝑆)
4233, 41sylan 578 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) β†’ ((𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅) +𝑒 𝑅) = 𝑆)
4340, 42breqtrd 5167 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) β†’ ((𝑃𝐷𝑄) +𝑒 𝑅) ≀ 𝑆)
4412, 18, 20, 32, 43xrltletrd 13170 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) β†’ (𝑄𝐷π‘₯) < 𝑆)
4511adantr 479 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) β†’ (𝑄𝐷π‘₯) ∈ ℝ*)
4613ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) β†’ (𝑃𝐷𝑄) ∈ ℝ)
47 simpll 765 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) β†’ πœ‘)
48 simplr 767 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) β†’ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅))
49 simpr 483 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) β†’ 𝑅 = +∞)
5049oveq2d 7430 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) β†’ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) = (𝑃(ballβ€˜π·)+∞))
5148, 50eleqtrd 2827 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) β†’ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)+∞))
52 xblpnfps 24317 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)+∞) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷π‘₯) ∈ ℝ)))
531, 2, 52syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)+∞) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷π‘₯) ∈ ℝ)))
5453simplbda 498 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)+∞)) β†’ (𝑃𝐷π‘₯) ∈ ℝ)
5547, 51, 54syl2anc 582 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) β†’ (𝑃𝐷π‘₯) ∈ ℝ)
5646, 55readdcld 11271 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) β†’ ((𝑃𝐷𝑄) + (𝑃𝐷π‘₯)) ∈ ℝ)
5756rexrd 11292 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) β†’ ((𝑃𝐷𝑄) + (𝑃𝐷π‘₯)) ∈ ℝ*)
58 pnfxr 11296 . . . . . . . 8 +∞ ∈ ℝ*
5958a1i 11 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) β†’ +∞ ∈ ℝ*)
601ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) β†’ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹))
612ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) β†’ 𝑃 ∈ 𝑋)
628ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) β†’ 𝑄 ∈ 𝑋)
636adantr 479 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
6460, 61, 62, 63, 25syl13anc 1369 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) β†’ (𝑄𝐷π‘₯) ≀ ((𝑃𝐷𝑄) +𝑒 (𝑃𝐷π‘₯)))
6546, 55rexaddd 13243 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) β†’ ((𝑃𝐷𝑄) +𝑒 (𝑃𝐷π‘₯)) = ((𝑃𝐷𝑄) + (𝑃𝐷π‘₯)))
6664, 65breqtrd 5167 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) β†’ (𝑄𝐷π‘₯) ≀ ((𝑃𝐷𝑄) + (𝑃𝐷π‘₯)))
6756ltpnfd 13131 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) β†’ ((𝑃𝐷𝑄) + (𝑃𝐷π‘₯)) < +∞)
6845, 57, 59, 66, 67xrlelttrd 13169 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) β†’ (𝑄𝐷π‘₯) < +∞)
69 0xr 11289 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ*
7069a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) β†’ 0 ∈ ℝ*)
71 psmetge0 24234 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) β†’ 0 ≀ (𝑃𝐷𝑄))
727, 21, 9, 71syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) β†’ 0 ≀ (𝑃𝐷𝑄))
7370, 15, 35, 72, 37xrletrd 13171 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) β†’ 0 ≀ (𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅))
74 ge0nemnf 13182 . . . . . . . . 9 (((𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅)) β†’ (𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅) β‰  -∞)
7535, 73, 74syl2anc 582 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) β†’ (𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅) β‰  -∞)
7675adantr 479 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) β†’ (𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅) β‰  -∞)
7719ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) β†’ 𝑆 ∈ ℝ*)
78 xaddmnf1 13237 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 β‰  +∞) β†’ (𝑆 +𝑒 -∞) = -∞)
7978ex 411 . . . . . . . . . 10 (𝑆 ∈ ℝ* β†’ (𝑆 β‰  +∞ β†’ (𝑆 +𝑒 -∞) = -∞))
8077, 79syl 17 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) β†’ (𝑆 β‰  +∞ β†’ (𝑆 +𝑒 -∞) = -∞))
81 xnegeq 13216 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 = +∞ β†’ -𝑒𝑅 = -𝑒+∞)
8249, 81syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) β†’ -𝑒𝑅 = -𝑒+∞)
83 xnegpnf 13218 . . . . . . . . . . . 12 -𝑒+∞ = -∞
8482, 83eqtrdi 2781 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) β†’ -𝑒𝑅 = -∞)
8584oveq2d 7430 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) β†’ (𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅) = (𝑆 +𝑒 -∞))
8685eqeq1d 2727 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) β†’ ((𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅) = -∞ ↔ (𝑆 +𝑒 -∞) = -∞))
8780, 86sylibrd 258 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) β†’ (𝑆 β‰  +∞ β†’ (𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅) = -∞))
8887necon1d 2952 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) β†’ ((𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅) β‰  -∞ β†’ 𝑆 = +∞))
8976, 88mpd 15 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) β†’ 𝑆 = +∞)
9068, 89breqtrrd 5169 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) β†’ (𝑄𝐷π‘₯) < 𝑆)
91 psmetge0 24234 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 0 ≀ (𝑃𝐷π‘₯))
927, 21, 6, 91syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) β†’ 0 ≀ (𝑃𝐷π‘₯))
9370, 23, 16, 92, 27xrlelttrd 13169 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) β†’ 0 < 𝑅)
9470, 16, 93xrltled 13159 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) β†’ 0 ≀ 𝑅)
95 ge0nemnf 13182 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ 𝑅) β†’ 𝑅 β‰  -∞)
9616, 94, 95syl2anc 582 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) β†’ 𝑅 β‰  -∞)
9716, 96jca 510 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) β†’ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑅 β‰  -∞))
98 xrnemnf 13127 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑅 β‰  -∞) ↔ (𝑅 ∈ ℝ ∨ 𝑅 = +∞))
9997, 98sylib 217 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) β†’ (𝑅 ∈ ℝ ∨ 𝑅 = +∞))
10044, 90, 99mpjaodan 956 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) β†’ (𝑄𝐷π‘₯) < 𝑆)
101 elblps 24309 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑄 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑄(ballβ€˜π·)𝑆) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (𝑄𝐷π‘₯) < 𝑆)))
1027, 9, 33, 101syl3anc 1368 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑄(ballβ€˜π·)𝑆) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (𝑄𝐷π‘₯) < 𝑆)))
1036, 100, 102mpbir2and 711 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) β†’ π‘₯ ∈ (𝑄(ballβ€˜π·)𝑆))
104103ex 411 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) β†’ π‘₯ ∈ (𝑄(ballβ€˜π·)𝑆)))
105104ssrdv 3978 1 (πœ‘ β†’ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) βŠ† (𝑄(ballβ€˜π·)𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 845   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930   βŠ† wss 3939   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6541  (class class class)co 7414  β„cr 11135  0cc0 11136   + caddc 11139  +∞cpnf 11273  -∞cmnf 11274  β„*cxr 11275   < clt 11276   ≀ cle 11277  -𝑒cxne 13119   +𝑒 cxad 13120  PsMetcpsmet 21265  ballcbl 21268
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5357  ax-pr 5421  ax-un 7736  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-nul 4317  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-iun 4991  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5568  df-po 5582  df-so 5583  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-er 8721  df-map 8843  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-2 12303  df-rp 13005  df-xneg 13122  df-xadd 13123  df-xmul 13124  df-psmet 21273  df-bl 21276
This theorem is referenced by:  blss2ps  24325  ssblps  24344
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