Theorem xblss2ps 23754

Description: One ball is contained in another if the center-to-center distance is less than the difference of the radii. In this version of blss2 23757 for extended metrics, we have to assume the balls are a finite distance apart, or else 𝑃 will not even be in the infinity ball around 𝑄. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Mar-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
xblss2ps.1	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋))
xblss2ps.2	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝑋)
xblss2ps.3	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑋)
xblss2ps.4	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ*)
xblss2ps.5	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ*)
xblss2ps.6	⊢ (𝜑 → (𝑃𝐷𝑄) ∈ ℝ)
xblss2ps.7	⊢ (𝜑 → (𝑃𝐷𝑄) ≤ (𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅))

Assertion

Ref	Expression
xblss2ps	⊢ (𝜑 → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ⊆ (𝑄(ball‘𝐷)𝑆))

Proof of Theorem xblss2ps

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xblss2ps.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋))
2		xblss2ps.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝑋)
3		xblss2ps.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ*)
4		elblps 23740	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1371	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅)))
6	5	simprbda 499	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) → 𝑥 ∈ 𝑋)
7	1	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) → 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋))
8		xblss2ps.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑋)
9	8	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) → 𝑄 ∈ 𝑋)
10		psmetcl 23660	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑄 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑄𝐷𝑥) ∈ ℝ*)
11	7, 9, 6, 10	syl3anc 1371	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) → (𝑄𝐷𝑥) ∈ ℝ*)
12	11	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝑄𝐷𝑥) ∈ ℝ*)
13		xblss2ps.6	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑃𝐷𝑄) ∈ ℝ)
14	13	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) → (𝑃𝐷𝑄) ∈ ℝ)
15	14	rexrd 11205	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) → (𝑃𝐷𝑄) ∈ ℝ*)
16	3	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) → 𝑅 ∈ ℝ*)
17	15, 16	xaddcld 13220	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) → ((𝑃𝐷𝑄) +𝑒 𝑅) ∈ ℝ*)
18	17	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((𝑃𝐷𝑄) +𝑒 𝑅) ∈ ℝ*)
19		xblss2ps.5	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ*)
20	19	ad2antrr 724	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → 𝑆 ∈ ℝ*)
21	2	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) → 𝑃 ∈ 𝑋)
22		psmetcl 23660	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ*)
23	7, 21, 6, 22	syl3anc 1371	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) → (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ*)
24	15, 23	xaddcld 13220	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) → ((𝑃𝐷𝑄) +𝑒 (𝑃𝐷𝑥)) ∈ ℝ*)
25		psmettri2 23662	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋)) → (𝑄𝐷𝑥) ≤ ((𝑃𝐷𝑄) +𝑒 (𝑃𝐷𝑥)))
26	7, 21, 9, 6, 25	syl13anc 1372	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) → (𝑄𝐷𝑥) ≤ ((𝑃𝐷𝑄) +𝑒 (𝑃𝐷𝑥)))
27	5	simplbda 500	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) → (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅)
28		xltadd2 13176	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝐷𝑄) ∈ ℝ) → ((𝑃𝐷𝑥) < 𝑅 ↔ ((𝑃𝐷𝑄) +𝑒 (𝑃𝐷𝑥)) < ((𝑃𝐷𝑄) +𝑒 𝑅)))
29	23, 16, 14, 28	syl3anc 1371	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) → ((𝑃𝐷𝑥) < 𝑅 ↔ ((𝑃𝐷𝑄) +𝑒 (𝑃𝐷𝑥)) < ((𝑃𝐷𝑄) +𝑒 𝑅)))
30	27, 29	mpbid 231	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) → ((𝑃𝐷𝑄) +𝑒 (𝑃𝐷𝑥)) < ((𝑃𝐷𝑄) +𝑒 𝑅))
31	11, 24, 17, 26, 30	xrlelttrd 13079	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) → (𝑄𝐷𝑥) < ((𝑃𝐷𝑄) +𝑒 𝑅))
32	31	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝑄𝐷𝑥) < ((𝑃𝐷𝑄) +𝑒 𝑅))
33	19	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) → 𝑆 ∈ ℝ*)
34	16	xnegcld 13219	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) → -𝑒𝑅 ∈ ℝ*)
35	33, 34	xaddcld 13220	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) → (𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅) ∈ ℝ*)
36		xblss2ps.7	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑃𝐷𝑄) ≤ (𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅))
37	36	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) → (𝑃𝐷𝑄) ≤ (𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅))
38		xleadd1a 13172	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑃𝐷𝑄) ∈ ℝ* ∧ (𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅) ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝑃𝐷𝑄) ≤ (𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅)) → ((𝑃𝐷𝑄) +𝑒 𝑅) ≤ ((𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅) +𝑒 𝑅))
39	15, 35, 16, 37, 38	syl31anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) → ((𝑃𝐷𝑄) +𝑒 𝑅) ≤ ((𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅) +𝑒 𝑅))
40	39	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((𝑃𝐷𝑄) +𝑒 𝑅) ≤ ((𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅) +𝑒 𝑅))
41		xnpcan 13171	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅) +𝑒 𝑅) = 𝑆)
42	33, 41	sylan 580	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅) +𝑒 𝑅) = 𝑆)
43	40, 42	breqtrd 5131	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((𝑃𝐷𝑄) +𝑒 𝑅) ≤ 𝑆)
44	12, 18, 20, 32, 43	xrltletrd 13080	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝑄𝐷𝑥) < 𝑆)
45	11	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) → (𝑄𝐷𝑥) ∈ ℝ*)
46	13	ad2antrr 724	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) → (𝑃𝐷𝑄) ∈ ℝ)
47		simpll 765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) → 𝜑)
48		simplr 767	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) → 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅))
49		simpr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) → 𝑅 = +∞)
50	49	oveq2d 7373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) = (𝑃(ball‘𝐷)+∞))
51	48, 50	eleqtrd 2840	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) → 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)+∞))
52		xblpnfps 23748	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)+∞) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ)))
53	1, 2, 52	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)+∞) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ)))
54	53	simplbda 500	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)+∞)) → (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ)
55	47, 51, 54	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) → (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ)
56	46, 55	readdcld 11184	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) → ((𝑃𝐷𝑄) + (𝑃𝐷𝑥)) ∈ ℝ)
57	56	rexrd 11205	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) → ((𝑃𝐷𝑄) + (𝑃𝐷𝑥)) ∈ ℝ*)
58		pnfxr 11209	. . . . . . . 8 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
59	58	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) → +∞ ∈ ℝ*)
60	1	ad2antrr 724	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) → 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋))
61	2	ad2antrr 724	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) → 𝑃 ∈ 𝑋)
62	8	ad2antrr 724	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) → 𝑄 ∈ 𝑋)
63	6	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) → 𝑥 ∈ 𝑋)
64	60, 61, 62, 63, 25	syl13anc 1372	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) → (𝑄𝐷𝑥) ≤ ((𝑃𝐷𝑄) +𝑒 (𝑃𝐷𝑥)))
65	46, 55	rexaddd 13153	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) → ((𝑃𝐷𝑄) +𝑒 (𝑃𝐷𝑥)) = ((𝑃𝐷𝑄) + (𝑃𝐷𝑥)))
66	64, 65	breqtrd 5131	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) → (𝑄𝐷𝑥) ≤ ((𝑃𝐷𝑄) + (𝑃𝐷𝑥)))
67	56	ltpnfd 13042	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) → ((𝑃𝐷𝑄) + (𝑃𝐷𝑥)) < +∞)
68	45, 57, 59, 66, 67	xrlelttrd 13079	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) → (𝑄𝐷𝑥) < +∞)
69		0xr 11202	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ*
70	69	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) → 0 ∈ ℝ*)
71		psmetge0 23665	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝑃𝐷𝑄))
72	7, 21, 9, 71	syl3anc 1371	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) → 0 ≤ (𝑃𝐷𝑄))
73	70, 15, 35, 72, 37	xrletrd 13081	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) → 0 ≤ (𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅))
74		ge0nemnf 13092	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅)) → (𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅) ≠ -∞)
75	35, 73, 74	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) → (𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅) ≠ -∞)
76	75	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) → (𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅) ≠ -∞)
77	19	ad2antrr 724	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) → 𝑆 ∈ ℝ*)
78		xaddmnf1 13147	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ≠ +∞) → (𝑆 +𝑒 -∞) = -∞)
79	78	ex 413	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 ∈ ℝ* → (𝑆 ≠ +∞ → (𝑆 +𝑒 -∞) = -∞))
80	77, 79	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) → (𝑆 ≠ +∞ → (𝑆 +𝑒 -∞) = -∞))
81		xnegeq 13126	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 = +∞ → -𝑒𝑅 = -𝑒+∞)
82	49, 81	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) → -𝑒𝑅 = -𝑒+∞)
83		xnegpnf 13128	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -𝑒+∞ = -∞
84	82, 83	eqtrdi 2792	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) → -𝑒𝑅 = -∞)
85	84	oveq2d 7373	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) → (𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅) = (𝑆 +𝑒 -∞))
86	85	eqeq1d 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) → ((𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅) = -∞ ↔ (𝑆 +𝑒 -∞) = -∞))
87	80, 86	sylibrd 258	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) → (𝑆 ≠ +∞ → (𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅) = -∞))
88	87	necon1d 2965	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) → ((𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅) ≠ -∞ → 𝑆 = +∞))
89	76, 88	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) → 𝑆 = +∞)
90	68, 89	breqtrrd 5133	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) → (𝑄𝐷𝑥) < 𝑆)
91		psmetge0 23665	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝑃𝐷𝑥))
92	7, 21, 6, 91	syl3anc 1371	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) → 0 ≤ (𝑃𝐷𝑥))
93	70, 23, 16, 92, 27	xrlelttrd 13079	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) → 0 < 𝑅)
94	70, 16, 93	xrltled 13069	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) → 0 ≤ 𝑅)
95		ge0nemnf 13092	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑅) → 𝑅 ≠ -∞)
96	16, 94, 95	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) → 𝑅 ≠ -∞)
97	16, 96	jca 512	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) → (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ≠ -∞))
98		xrnemnf 13038	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ≠ -∞) ↔ (𝑅 ∈ ℝ ∨ 𝑅 = +∞))
99	97, 98	sylib 217	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) → (𝑅 ∈ ℝ ∨ 𝑅 = +∞))
100	44, 90, 99	mpjaodan 957	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) → (𝑄𝐷𝑥) < 𝑆)
101		elblps 23740	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑄 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝑄(ball‘𝐷)𝑆) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑄𝐷𝑥) < 𝑆)))
102	7, 9, 33, 101	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) → (𝑥 ∈ (𝑄(ball‘𝐷)𝑆) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑄𝐷𝑥) < 𝑆)))
103	6, 100, 102	mpbir2and 711	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) → 𝑥 ∈ (𝑄(ball‘𝐷)𝑆))
104	103	ex 413	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) → 𝑥 ∈ (𝑄(ball‘𝐷)𝑆)))
105	104	ssrdv 3950	1 ⊢ (𝜑 → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ⊆ (𝑄(ball‘𝐷)𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943   ⊆ wss 3910   class class class wbr 5105  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  ℝcr 11050  0cc0 11051   + caddc 11054  +∞cpnf 11186  -∞cmnf 11187  ℝ^*cxr 11188   < clt 11189   ≤ cle 11190  -_𝑒cxne 13030   +_𝑒 cxad 13031  PsMetcpsmet 20780  ballcbl 20783

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-po 5545  df-so 5546  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-2 12216  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-psmet 20788  df-bl 20791

This theorem is referenced by:  blss2ps  23756  ssblps  23775