Theorem metider 34460

Description: The metric identification is an equivalence relation. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Feb-2018.)

Assertion

Ref	Expression
metider	⊢ (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → (~Met‘𝐷) Er 𝑋)

Proof of Theorem metider

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metidss 34457	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → (~Met‘𝐷) ⊆ (𝑋 × 𝑋))
2		xpss 5663	. . . 4 ⊢ (𝑋 × 𝑋) ⊆ (V × V)
3	1, 2	sstrdi 3942	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → (~Met‘𝐷) ⊆ (V × V))
4		df-rel 5654	. . 3 ⊢ (Rel (~Met‘𝐷) ↔ (~Met‘𝐷) ⊆ (V × V))
5	3, 4	sylibr 237	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → Rel (~Met‘𝐷))
6	1	ssbrd 5147	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → (𝑥(~Met‘𝐷)𝑦 → 𝑥(𝑋 × 𝑋)𝑦))
7	6	imp 412	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑥(~Met‘𝐷)𝑦) → 𝑥(𝑋 × 𝑋)𝑦)
8		brxp 5696	. . . 4 ⊢ (𝑥(𝑋 × 𝑋)𝑦 ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋))
9	7, 8	sylib 221	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑥(~Met‘𝐷)𝑦) → (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋))
10		psmetsym 24591	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥𝐷𝑦) = (𝑦𝐷𝑥))
11	10	3expb 1138	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥𝐷𝑦) = (𝑦𝐷𝑥))
12	11	eqeq1d 2762	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ (𝑦𝐷𝑥) = 0))
13		metidv 34458	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥(~Met‘𝐷)𝑦 ↔ (𝑥𝐷𝑦) = 0))
14		metidv 34458	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋)) → (𝑦(~Met‘𝐷)𝑥 ↔ (𝑦𝐷𝑥) = 0))
15	14	ancom2s 663	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑦(~Met‘𝐷)𝑥 ↔ (𝑦𝐷𝑥) = 0))
16	12, 13, 15	3bitr4d 314	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥(~Met‘𝐷)𝑦 ↔ 𝑦(~Met‘𝐷)𝑥))
17	16	biimpd 232	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥(~Met‘𝐷)𝑦 → 𝑦(~Met‘𝐷)𝑥))
18	17	impancom 457	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑥(~Met‘𝐷)𝑦) → ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝑦(~Met‘𝐷)𝑥))
19	9, 18	mpd 16	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑥(~Met‘𝐷)𝑦) → 𝑦(~Met‘𝐷)𝑥)
20		simpl 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥(~Met‘𝐷)𝑦 ∧ 𝑦(~Met‘𝐷)𝑧)) → 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋))
21		simprr 785	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥(~Met‘𝐷)𝑦 ∧ 𝑦(~Met‘𝐷)𝑧)) → 𝑦(~Met‘𝐷)𝑧)
22	1	ssbrd 5147	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → (𝑦(~Met‘𝐷)𝑧 → 𝑦(𝑋 × 𝑋)𝑧))
23	22	imp 412	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑦(~Met‘𝐷)𝑧) → 𝑦(𝑋 × 𝑋)𝑧)
24		brxp 5696	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦(𝑋 × 𝑋)𝑧 ↔ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋))
25	23, 24	sylib 221	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑦(~Met‘𝐷)𝑧) → (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋))
26	21, 25	syldan 603	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥(~Met‘𝐷)𝑦 ∧ 𝑦(~Met‘𝐷)𝑧)) → (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋))
27	26	simpld 500	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥(~Met‘𝐷)𝑦 ∧ 𝑦(~Met‘𝐷)𝑧)) → 𝑦 ∈ 𝑋)
28		simprl 783	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥(~Met‘𝐷)𝑦 ∧ 𝑦(~Met‘𝐷)𝑧)) → 𝑥(~Met‘𝐷)𝑦)
29	28, 9	syldan 603	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥(~Met‘𝐷)𝑦 ∧ 𝑦(~Met‘𝐷)𝑧)) → (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋))
30	29	simpld 500	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥(~Met‘𝐷)𝑦 ∧ 𝑦(~Met‘𝐷)𝑧)) → 𝑥 ∈ 𝑋)
31	26	simprd 501	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥(~Met‘𝐷)𝑦 ∧ 𝑦(~Met‘𝐷)𝑧)) → 𝑧 ∈ 𝑋)
32		psmettri2 24590	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → (𝑥𝐷𝑧) ≤ ((𝑦𝐷𝑥) +𝑒 (𝑦𝐷𝑧)))
33	20, 27, 30, 31, 32	syl13anc 1399	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥(~Met‘𝐷)𝑦 ∧ 𝑦(~Met‘𝐷)𝑧)) → (𝑥𝐷𝑧) ≤ ((𝑦𝐷𝑥) +𝑒 (𝑦𝐷𝑧)))
34	29, 11	syldan 603	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥(~Met‘𝐷)𝑦 ∧ 𝑦(~Met‘𝐷)𝑧)) → (𝑥𝐷𝑦) = (𝑦𝐷𝑥))
35	29, 13	syldan 603	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥(~Met‘𝐷)𝑦 ∧ 𝑦(~Met‘𝐷)𝑧)) → (𝑥(~Met‘𝐷)𝑦 ↔ (𝑥𝐷𝑦) = 0))
36	28, 35	mpbid 235	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥(~Met‘𝐷)𝑦 ∧ 𝑦(~Met‘𝐷)𝑧)) → (𝑥𝐷𝑦) = 0)
37	34, 36	eqtr3d 2797	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥(~Met‘𝐷)𝑦 ∧ 𝑦(~Met‘𝐷)𝑧)) → (𝑦𝐷𝑥) = 0)
38		metidv 34458	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → (𝑦(~Met‘𝐷)𝑧 ↔ (𝑦𝐷𝑧) = 0))
39	26, 38	syldan 603	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥(~Met‘𝐷)𝑦 ∧ 𝑦(~Met‘𝐷)𝑧)) → (𝑦(~Met‘𝐷)𝑧 ↔ (𝑦𝐷𝑧) = 0))
40	21, 39	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥(~Met‘𝐷)𝑦 ∧ 𝑦(~Met‘𝐷)𝑧)) → (𝑦𝐷𝑧) = 0)
41	37, 40	oveq12d 7426	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥(~Met‘𝐷)𝑦 ∧ 𝑦(~Met‘𝐷)𝑧)) → ((𝑦𝐷𝑥) +𝑒 (𝑦𝐷𝑧)) = (0 +𝑒 0))
42		0xr 11328	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ*
43		xaddrid 13341	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ ℝ* → (0 +𝑒 0) = 0)
44	42, 43	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (0 +𝑒 0) = 0
45	41, 44	eqtrdi 2811	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥(~Met‘𝐷)𝑦 ∧ 𝑦(~Met‘𝐷)𝑧)) → ((𝑦𝐷𝑥) +𝑒 (𝑦𝐷𝑧)) = 0)
46	33, 45	breqtrd 5130	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥(~Met‘𝐷)𝑦 ∧ 𝑦(~Met‘𝐷)𝑧)) → (𝑥𝐷𝑧) ≤ 0)
47		psmetge0 24593	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝑥𝐷𝑧))
48	20, 30, 31, 47	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥(~Met‘𝐷)𝑦 ∧ 𝑦(~Met‘𝐷)𝑧)) → 0 ≤ (𝑥𝐷𝑧))
49		psmetcl 24588	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝑥𝐷𝑧) ∈ ℝ*)
50	20, 30, 31, 49	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥(~Met‘𝐷)𝑦 ∧ 𝑦(~Met‘𝐷)𝑧)) → (𝑥𝐷𝑧) ∈ ℝ*)
51		xrletri3 13253	. . . . 5 ⊢ (((𝑥𝐷𝑧) ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → ((𝑥𝐷𝑧) = 0 ↔ ((𝑥𝐷𝑧) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝑥𝐷𝑧))))
52	50, 42, 51	sylancl 598	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥(~Met‘𝐷)𝑦 ∧ 𝑦(~Met‘𝐷)𝑧)) → ((𝑥𝐷𝑧) = 0 ↔ ((𝑥𝐷𝑧) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝑥𝐷𝑧))))
53	46, 48, 52	mpbir2and 726	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥(~Met‘𝐷)𝑦 ∧ 𝑦(~Met‘𝐷)𝑧)) → (𝑥𝐷𝑧) = 0)
54		metidv 34458	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → (𝑥(~Met‘𝐷)𝑧 ↔ (𝑥𝐷𝑧) = 0))
55	20, 30, 31, 54	syl12anc 850	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥(~Met‘𝐷)𝑦 ∧ 𝑦(~Met‘𝐷)𝑧)) → (𝑥(~Met‘𝐷)𝑧 ↔ (𝑥𝐷𝑧) = 0))
56	53, 55	mpbird 260	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥(~Met‘𝐷)𝑦 ∧ 𝑦(~Met‘𝐷)𝑧)) → 𝑥(~Met‘𝐷)𝑧)
57		psmet0 24589	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥𝐷𝑥) = 0)
58		metidv 34458	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋)) → (𝑥(~Met‘𝐷)𝑥 ↔ (𝑥𝐷𝑥) = 0))
59	58	anabsan2 687	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥(~Met‘𝐷)𝑥 ↔ (𝑥𝐷𝑥) = 0))
60	57, 59	mpbird 260	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥(~Met‘𝐷)𝑥)
61	1	ssbrd 5147	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → (𝑥(~Met‘𝐷)𝑥 → 𝑥(𝑋 × 𝑋)𝑥))
62	61	imp 412	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑥(~Met‘𝐷)𝑥) → 𝑥(𝑋 × 𝑋)𝑥)
63		brxp 5696	. . . . 5 ⊢ (𝑥(𝑋 × 𝑋)𝑥 ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋))
64	62, 63	sylib 221	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑥(~Met‘𝐷)𝑥) → (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋))
65	64	simpld 500	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑥(~Met‘𝐷)𝑥) → 𝑥 ∈ 𝑋)
66	60, 65	impbida 813	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↔ 𝑥(~Met‘𝐷)𝑥))
67	5, 19, 56, 66	iserd 8722	1 ⊢ (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → (~Met‘𝐷) Er 𝑋)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450   ⊆ wss 3898   class class class wbr 5102   × cxp 5645  Rel wrel 5652  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408   Er wer 8692  0cc0 11172  ℝ^*cxr 11314   ≤ cle 11316   +_𝑒 cxad 13209  PsMetcpsmet 21624  ~_Metcmetid 34452

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11228  ax-resscn 11229  ax-1cn 11230  ax-icn 11231  ax-addcl 11232  ax-addrcl 11233  ax-mulcl 11234  ax-mulrcl 11235  ax-mulcom 11236  ax-addass 11237  ax-mulass 11238  ax-distr 11239  ax-i2m1 11240  ax-1ne0 11241  ax-1rid 11242  ax-rnegex 11243  ax-rrecex 11244  ax-cnre 11245  ax-pre-lttri 11246  ax-pre-lttrn 11247  ax-pre-ltadd 11248  ax-pre-mulgt0 11249

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8695  df-map 8827  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-pnf 11317  df-mnf 11318  df-xr 11319  df-ltxr 11320  df-le 11321  df-sub 11515  df-neg 11516  df-div 11944  df-nn 12306  df-2 12375  df-rp 13091  df-xneg 13211  df-xadd 13212  df-xmul 13213  df-psmet 21632  df-metid 34454

This theorem is used by:  pstmxmet  34463