Theorem metider 31844

Description: The metric identification is an equivalence relation. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Feb-2018.)

Assertion

Ref	Expression
metider	⊢ (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → (~Met‘𝐷) Er 𝑋)

Proof of Theorem metider

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metidss 31841	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → (~Met‘𝐷) ⊆ (𝑋 × 𝑋))
2		xpss 5605	. . . 4 ⊢ (𝑋 × 𝑋) ⊆ (V × V)
3	1, 2	sstrdi 3933	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → (~Met‘𝐷) ⊆ (V × V))
4		df-rel 5596	. . 3 ⊢ (Rel (~Met‘𝐷) ↔ (~Met‘𝐷) ⊆ (V × V))
5	3, 4	sylibr 233	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → Rel (~Met‘𝐷))
6	1	ssbrd 5117	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → (𝑥(~Met‘𝐷)𝑦 → 𝑥(𝑋 × 𝑋)𝑦))
7	6	imp 407	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑥(~Met‘𝐷)𝑦) → 𝑥(𝑋 × 𝑋)𝑦)
8		brxp 5636	. . . 4 ⊢ (𝑥(𝑋 × 𝑋)𝑦 ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋))
9	7, 8	sylib 217	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑥(~Met‘𝐷)𝑦) → (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋))
10		psmetsym 23463	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥𝐷𝑦) = (𝑦𝐷𝑥))
11	10	3expb 1119	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥𝐷𝑦) = (𝑦𝐷𝑥))
12	11	eqeq1d 2740	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ (𝑦𝐷𝑥) = 0))
13		metidv 31842	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥(~Met‘𝐷)𝑦 ↔ (𝑥𝐷𝑦) = 0))
14		metidv 31842	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋)) → (𝑦(~Met‘𝐷)𝑥 ↔ (𝑦𝐷𝑥) = 0))
15	14	ancom2s 647	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑦(~Met‘𝐷)𝑥 ↔ (𝑦𝐷𝑥) = 0))
16	12, 13, 15	3bitr4d 311	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥(~Met‘𝐷)𝑦 ↔ 𝑦(~Met‘𝐷)𝑥))
17	16	biimpd 228	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥(~Met‘𝐷)𝑦 → 𝑦(~Met‘𝐷)𝑥))
18	17	impancom 452	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑥(~Met‘𝐷)𝑦) → ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝑦(~Met‘𝐷)𝑥))
19	9, 18	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑥(~Met‘𝐷)𝑦) → 𝑦(~Met‘𝐷)𝑥)
20		simpl 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥(~Met‘𝐷)𝑦 ∧ 𝑦(~Met‘𝐷)𝑧)) → 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋))
21		simprr 770	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥(~Met‘𝐷)𝑦 ∧ 𝑦(~Met‘𝐷)𝑧)) → 𝑦(~Met‘𝐷)𝑧)
22	1	ssbrd 5117	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → (𝑦(~Met‘𝐷)𝑧 → 𝑦(𝑋 × 𝑋)𝑧))
23	22	imp 407	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑦(~Met‘𝐷)𝑧) → 𝑦(𝑋 × 𝑋)𝑧)
24		brxp 5636	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦(𝑋 × 𝑋)𝑧 ↔ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋))
25	23, 24	sylib 217	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑦(~Met‘𝐷)𝑧) → (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋))
26	21, 25	syldan 591	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥(~Met‘𝐷)𝑦 ∧ 𝑦(~Met‘𝐷)𝑧)) → (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋))
27	26	simpld 495	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥(~Met‘𝐷)𝑦 ∧ 𝑦(~Met‘𝐷)𝑧)) → 𝑦 ∈ 𝑋)
28		simprl 768	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥(~Met‘𝐷)𝑦 ∧ 𝑦(~Met‘𝐷)𝑧)) → 𝑥(~Met‘𝐷)𝑦)
29	28, 9	syldan 591	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥(~Met‘𝐷)𝑦 ∧ 𝑦(~Met‘𝐷)𝑧)) → (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋))
30	29	simpld 495	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥(~Met‘𝐷)𝑦 ∧ 𝑦(~Met‘𝐷)𝑧)) → 𝑥 ∈ 𝑋)
31	26	simprd 496	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥(~Met‘𝐷)𝑦 ∧ 𝑦(~Met‘𝐷)𝑧)) → 𝑧 ∈ 𝑋)
32		psmettri2 23462	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → (𝑥𝐷𝑧) ≤ ((𝑦𝐷𝑥) +𝑒 (𝑦𝐷𝑧)))
33	20, 27, 30, 31, 32	syl13anc 1371	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥(~Met‘𝐷)𝑦 ∧ 𝑦(~Met‘𝐷)𝑧)) → (𝑥𝐷𝑧) ≤ ((𝑦𝐷𝑥) +𝑒 (𝑦𝐷𝑧)))
34	29, 11	syldan 591	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥(~Met‘𝐷)𝑦 ∧ 𝑦(~Met‘𝐷)𝑧)) → (𝑥𝐷𝑦) = (𝑦𝐷𝑥))
35	29, 13	syldan 591	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥(~Met‘𝐷)𝑦 ∧ 𝑦(~Met‘𝐷)𝑧)) → (𝑥(~Met‘𝐷)𝑦 ↔ (𝑥𝐷𝑦) = 0))
36	28, 35	mpbid 231	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥(~Met‘𝐷)𝑦 ∧ 𝑦(~Met‘𝐷)𝑧)) → (𝑥𝐷𝑦) = 0)
37	34, 36	eqtr3d 2780	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥(~Met‘𝐷)𝑦 ∧ 𝑦(~Met‘𝐷)𝑧)) → (𝑦𝐷𝑥) = 0)
38		metidv 31842	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → (𝑦(~Met‘𝐷)𝑧 ↔ (𝑦𝐷𝑧) = 0))
39	26, 38	syldan 591	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥(~Met‘𝐷)𝑦 ∧ 𝑦(~Met‘𝐷)𝑧)) → (𝑦(~Met‘𝐷)𝑧 ↔ (𝑦𝐷𝑧) = 0))
40	21, 39	mpbid 231	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥(~Met‘𝐷)𝑦 ∧ 𝑦(~Met‘𝐷)𝑧)) → (𝑦𝐷𝑧) = 0)
41	37, 40	oveq12d 7293	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥(~Met‘𝐷)𝑦 ∧ 𝑦(~Met‘𝐷)𝑧)) → ((𝑦𝐷𝑥) +𝑒 (𝑦𝐷𝑧)) = (0 +𝑒 0))
42		0xr 11022	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ*
43		xaddid1 12975	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ ℝ* → (0 +𝑒 0) = 0)
44	42, 43	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (0 +𝑒 0) = 0
45	41, 44	eqtrdi 2794	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥(~Met‘𝐷)𝑦 ∧ 𝑦(~Met‘𝐷)𝑧)) → ((𝑦𝐷𝑥) +𝑒 (𝑦𝐷𝑧)) = 0)
46	33, 45	breqtrd 5100	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥(~Met‘𝐷)𝑦 ∧ 𝑦(~Met‘𝐷)𝑧)) → (𝑥𝐷𝑧) ≤ 0)
47		psmetge0 23465	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝑥𝐷𝑧))
48	20, 30, 31, 47	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥(~Met‘𝐷)𝑦 ∧ 𝑦(~Met‘𝐷)𝑧)) → 0 ≤ (𝑥𝐷𝑧))
49		psmetcl 23460	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝑥𝐷𝑧) ∈ ℝ*)
50	20, 30, 31, 49	syl3anc 1370	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥(~Met‘𝐷)𝑦 ∧ 𝑦(~Met‘𝐷)𝑧)) → (𝑥𝐷𝑧) ∈ ℝ*)
51		xrletri3 12888	. . . . 5 ⊢ (((𝑥𝐷𝑧) ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → ((𝑥𝐷𝑧) = 0 ↔ ((𝑥𝐷𝑧) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝑥𝐷𝑧))))
52	50, 42, 51	sylancl 586	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥(~Met‘𝐷)𝑦 ∧ 𝑦(~Met‘𝐷)𝑧)) → ((𝑥𝐷𝑧) = 0 ↔ ((𝑥𝐷𝑧) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝑥𝐷𝑧))))
53	46, 48, 52	mpbir2and 710	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥(~Met‘𝐷)𝑦 ∧ 𝑦(~Met‘𝐷)𝑧)) → (𝑥𝐷𝑧) = 0)
54		metidv 31842	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → (𝑥(~Met‘𝐷)𝑧 ↔ (𝑥𝐷𝑧) = 0))
55	20, 30, 31, 54	syl12anc 834	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥(~Met‘𝐷)𝑦 ∧ 𝑦(~Met‘𝐷)𝑧)) → (𝑥(~Met‘𝐷)𝑧 ↔ (𝑥𝐷𝑧) = 0))
56	53, 55	mpbird 256	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥(~Met‘𝐷)𝑦 ∧ 𝑦(~Met‘𝐷)𝑧)) → 𝑥(~Met‘𝐷)𝑧)
57		psmet0 23461	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥𝐷𝑥) = 0)
58		metidv 31842	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋)) → (𝑥(~Met‘𝐷)𝑥 ↔ (𝑥𝐷𝑥) = 0))
59	58	anabsan2 671	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥(~Met‘𝐷)𝑥 ↔ (𝑥𝐷𝑥) = 0))
60	57, 59	mpbird 256	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥(~Met‘𝐷)𝑥)
61	1	ssbrd 5117	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → (𝑥(~Met‘𝐷)𝑥 → 𝑥(𝑋 × 𝑋)𝑥))
62	61	imp 407	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑥(~Met‘𝐷)𝑥) → 𝑥(𝑋 × 𝑋)𝑥)
63		brxp 5636	. . . . 5 ⊢ (𝑥(𝑋 × 𝑋)𝑥 ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋))
64	62, 63	sylib 217	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑥(~Met‘𝐷)𝑥) → (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋))
65	64	simpld 495	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑥(~Met‘𝐷)𝑥) → 𝑥 ∈ 𝑋)
66	60, 65	impbida 798	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↔ 𝑥(~Met‘𝐷)𝑥))
67	5, 19, 56, 66	iserd 8524	1 ⊢ (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → (~Met‘𝐷) Er 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  Vcvv 3432   ⊆ wss 3887   class class class wbr 5074   × cxp 5587  Rel wrel 5594  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275   Er wer 8495  0cc0 10871  ℝ^*cxr 11008   ≤ cle 11010   +_𝑒 cxad 12846  PsMetcpsmet 20581  ~_Metcmetid 31836

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-2 12036  df-rp 12731  df-xneg 12848  df-xadd 12849  df-xmul 12850  df-psmet 20589  df-metid 31838

This theorem is referenced by:  pstmxmet  31847