Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  metider Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metider 33855
Description: The metric identification is an equivalence relation. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
metider (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → (~Met𝐷) Er 𝑋)

Proof of Theorem metider
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 metidss 33852 . . . 4 (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → (~Met𝐷) ⊆ (𝑋 × 𝑋))
2 xpss 5705 . . . 4 (𝑋 × 𝑋) ⊆ (V × V)
31, 2sstrdi 4008 . . 3 (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → (~Met𝐷) ⊆ (V × V))
4 df-rel 5696 . . 3 (Rel (~Met𝐷) ↔ (~Met𝐷) ⊆ (V × V))
53, 4sylibr 234 . 2 (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → Rel (~Met𝐷))
61ssbrd 5191 . . . . 5 (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → (𝑥(~Met𝐷)𝑦𝑥(𝑋 × 𝑋)𝑦))
76imp 406 . . . 4 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑥(~Met𝐷)𝑦) → 𝑥(𝑋 × 𝑋)𝑦)
8 brxp 5738 . . . 4 (𝑥(𝑋 × 𝑋)𝑦 ↔ (𝑥𝑋𝑦𝑋))
97, 8sylib 218 . . 3 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑥(~Met𝐷)𝑦) → (𝑥𝑋𝑦𝑋))
10 psmetsym 24336 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑥𝐷𝑦) = (𝑦𝐷𝑥))
11103expb 1119 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥𝐷𝑦) = (𝑦𝐷𝑥))
1211eqeq1d 2737 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ (𝑦𝐷𝑥) = 0))
13 metidv 33853 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥(~Met𝐷)𝑦 ↔ (𝑥𝐷𝑦) = 0))
14 metidv 33853 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑦𝑋𝑥𝑋)) → (𝑦(~Met𝐷)𝑥 ↔ (𝑦𝐷𝑥) = 0))
1514ancom2s 650 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑦(~Met𝐷)𝑥 ↔ (𝑦𝐷𝑥) = 0))
1612, 13, 153bitr4d 311 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥(~Met𝐷)𝑦𝑦(~Met𝐷)𝑥))
1716biimpd 229 . . . 4 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥(~Met𝐷)𝑦𝑦(~Met𝐷)𝑥))
1817impancom 451 . . 3 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑥(~Met𝐷)𝑦) → ((𝑥𝑋𝑦𝑋) → 𝑦(~Met𝐷)𝑥))
199, 18mpd 15 . 2 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑥(~Met𝐷)𝑦) → 𝑦(~Met𝐷)𝑥)
20 simpl 482 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥(~Met𝐷)𝑦𝑦(~Met𝐷)𝑧)) → 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋))
21 simprr 773 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥(~Met𝐷)𝑦𝑦(~Met𝐷)𝑧)) → 𝑦(~Met𝐷)𝑧)
221ssbrd 5191 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → (𝑦(~Met𝐷)𝑧𝑦(𝑋 × 𝑋)𝑧))
2322imp 406 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑦(~Met𝐷)𝑧) → 𝑦(𝑋 × 𝑋)𝑧)
24 brxp 5738 . . . . . . . . 9 (𝑦(𝑋 × 𝑋)𝑧 ↔ (𝑦𝑋𝑧𝑋))
2523, 24sylib 218 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑦(~Met𝐷)𝑧) → (𝑦𝑋𝑧𝑋))
2621, 25syldan 591 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥(~Met𝐷)𝑦𝑦(~Met𝐷)𝑧)) → (𝑦𝑋𝑧𝑋))
2726simpld 494 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥(~Met𝐷)𝑦𝑦(~Met𝐷)𝑧)) → 𝑦𝑋)
28 simprl 771 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥(~Met𝐷)𝑦𝑦(~Met𝐷)𝑧)) → 𝑥(~Met𝐷)𝑦)
2928, 9syldan 591 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥(~Met𝐷)𝑦𝑦(~Met𝐷)𝑧)) → (𝑥𝑋𝑦𝑋))
3029simpld 494 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥(~Met𝐷)𝑦𝑦(~Met𝐷)𝑧)) → 𝑥𝑋)
3126simprd 495 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥(~Met𝐷)𝑦𝑦(~Met𝐷)𝑧)) → 𝑧𝑋)
32 psmettri2 24335 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑦𝑋𝑥𝑋𝑧𝑋)) → (𝑥𝐷𝑧) ≤ ((𝑦𝐷𝑥) +𝑒 (𝑦𝐷𝑧)))
3320, 27, 30, 31, 32syl13anc 1371 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥(~Met𝐷)𝑦𝑦(~Met𝐷)𝑧)) → (𝑥𝐷𝑧) ≤ ((𝑦𝐷𝑥) +𝑒 (𝑦𝐷𝑧)))
3429, 11syldan 591 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥(~Met𝐷)𝑦𝑦(~Met𝐷)𝑧)) → (𝑥𝐷𝑦) = (𝑦𝐷𝑥))
3529, 13syldan 591 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥(~Met𝐷)𝑦𝑦(~Met𝐷)𝑧)) → (𝑥(~Met𝐷)𝑦 ↔ (𝑥𝐷𝑦) = 0))
3628, 35mpbid 232 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥(~Met𝐷)𝑦𝑦(~Met𝐷)𝑧)) → (𝑥𝐷𝑦) = 0)
3734, 36eqtr3d 2777 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥(~Met𝐷)𝑦𝑦(~Met𝐷)𝑧)) → (𝑦𝐷𝑥) = 0)
38 metidv 33853 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑦𝑋𝑧𝑋)) → (𝑦(~Met𝐷)𝑧 ↔ (𝑦𝐷𝑧) = 0))
3926, 38syldan 591 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥(~Met𝐷)𝑦𝑦(~Met𝐷)𝑧)) → (𝑦(~Met𝐷)𝑧 ↔ (𝑦𝐷𝑧) = 0))
4021, 39mpbid 232 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥(~Met𝐷)𝑦𝑦(~Met𝐷)𝑧)) → (𝑦𝐷𝑧) = 0)
4137, 40oveq12d 7449 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥(~Met𝐷)𝑦𝑦(~Met𝐷)𝑧)) → ((𝑦𝐷𝑥) +𝑒 (𝑦𝐷𝑧)) = (0 +𝑒 0))
42 0xr 11306 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ*
43 xaddrid 13280 . . . . . . 7 (0 ∈ ℝ* → (0 +𝑒 0) = 0)
4442, 43ax-mp 5 . . . . . 6 (0 +𝑒 0) = 0
4541, 44eqtrdi 2791 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥(~Met𝐷)𝑦𝑦(~Met𝐷)𝑧)) → ((𝑦𝐷𝑥) +𝑒 (𝑦𝐷𝑧)) = 0)
4633, 45breqtrd 5174 . . . 4 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥(~Met𝐷)𝑦𝑦(~Met𝐷)𝑧)) → (𝑥𝐷𝑧) ≤ 0)
47 psmetge0 24338 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋𝑧𝑋) → 0 ≤ (𝑥𝐷𝑧))
4820, 30, 31, 47syl3anc 1370 . . . 4 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥(~Met𝐷)𝑦𝑦(~Met𝐷)𝑧)) → 0 ≤ (𝑥𝐷𝑧))
49 psmetcl 24333 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋𝑧𝑋) → (𝑥𝐷𝑧) ∈ ℝ*)
5020, 30, 31, 49syl3anc 1370 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥(~Met𝐷)𝑦𝑦(~Met𝐷)𝑧)) → (𝑥𝐷𝑧) ∈ ℝ*)
51 xrletri3 13193 . . . . 5 (((𝑥𝐷𝑧) ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → ((𝑥𝐷𝑧) = 0 ↔ ((𝑥𝐷𝑧) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝑥𝐷𝑧))))
5250, 42, 51sylancl 586 . . . 4 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥(~Met𝐷)𝑦𝑦(~Met𝐷)𝑧)) → ((𝑥𝐷𝑧) = 0 ↔ ((𝑥𝐷𝑧) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝑥𝐷𝑧))))
5346, 48, 52mpbir2and 713 . . 3 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥(~Met𝐷)𝑦𝑦(~Met𝐷)𝑧)) → (𝑥𝐷𝑧) = 0)
54 metidv 33853 . . . 4 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥𝑋𝑧𝑋)) → (𝑥(~Met𝐷)𝑧 ↔ (𝑥𝐷𝑧) = 0))
5520, 30, 31, 54syl12anc 837 . . 3 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥(~Met𝐷)𝑦𝑦(~Met𝐷)𝑧)) → (𝑥(~Met𝐷)𝑧 ↔ (𝑥𝐷𝑧) = 0))
5653, 55mpbird 257 . 2 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥(~Met𝐷)𝑦𝑦(~Met𝐷)𝑧)) → 𝑥(~Met𝐷)𝑧)
57 psmet0 24334 . . . 4 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑥𝐷𝑥) = 0)
58 metidv 33853 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥𝑋𝑥𝑋)) → (𝑥(~Met𝐷)𝑥 ↔ (𝑥𝐷𝑥) = 0))
5958anabsan2 674 . . . 4 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑥(~Met𝐷)𝑥 ↔ (𝑥𝐷𝑥) = 0))
6057, 59mpbird 257 . . 3 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑥(~Met𝐷)𝑥)
611ssbrd 5191 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → (𝑥(~Met𝐷)𝑥𝑥(𝑋 × 𝑋)𝑥))
6261imp 406 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑥(~Met𝐷)𝑥) → 𝑥(𝑋 × 𝑋)𝑥)
63 brxp 5738 . . . . 5 (𝑥(𝑋 × 𝑋)𝑥 ↔ (𝑥𝑋𝑥𝑋))
6462, 63sylib 218 . . . 4 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑥(~Met𝐷)𝑥) → (𝑥𝑋𝑥𝑋))
6564simpld 494 . . 3 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑥(~Met𝐷)𝑥) → 𝑥𝑋)
6660, 65impbida 801 . 2 (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → (𝑥𝑋𝑥(~Met𝐷)𝑥))
675, 19, 56, 66iserd 8770 1 (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → (~Met𝐷) Er 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  Vcvv 3478  wss 3963   class class class wbr 5148   × cxp 5687  Rel wrel 5694  cfv 6563  (class class class)co 7431   Er wer 8741  0cc0 11153  *cxr 11292  cle 11294   +𝑒 cxad 13150  PsMetcpsmet 21366  ~Metcmetid 33847
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-2 12327  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-psmet 21374  df-metid 33849
This theorem is referenced by:  pstmxmet  33858
  Copyright terms: Public domain W3C validator