Theorem metider 32475

Description: The metric identification is an equivalence relation. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Feb-2018.)

Assertion

Ref	Expression
metider	⊢ (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → (~Met‘𝐷) Er 𝑋)

Proof of Theorem metider

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metidss 32472	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → (~Met‘𝐷) ⊆ (𝑋 × 𝑋))
2		xpss 5649	. . . 4 ⊢ (𝑋 × 𝑋) ⊆ (V × V)
3	1, 2	sstrdi 3956	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → (~Met‘𝐷) ⊆ (V × V))
4		df-rel 5640	. . 3 ⊢ (Rel (~Met‘𝐷) ↔ (~Met‘𝐷) ⊆ (V × V))
5	3, 4	sylibr 233	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → Rel (~Met‘𝐷))
6	1	ssbrd 5148	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → (𝑥(~Met‘𝐷)𝑦 → 𝑥(𝑋 × 𝑋)𝑦))
7	6	imp 407	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑥(~Met‘𝐷)𝑦) → 𝑥(𝑋 × 𝑋)𝑦)
8		brxp 5681	. . . 4 ⊢ (𝑥(𝑋 × 𝑋)𝑦 ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋))
9	7, 8	sylib 217	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑥(~Met‘𝐷)𝑦) → (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋))
10		psmetsym 23663	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥𝐷𝑦) = (𝑦𝐷𝑥))
11	10	3expb 1120	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥𝐷𝑦) = (𝑦𝐷𝑥))
12	11	eqeq1d 2738	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ (𝑦𝐷𝑥) = 0))
13		metidv 32473	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥(~Met‘𝐷)𝑦 ↔ (𝑥𝐷𝑦) = 0))
14		metidv 32473	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋)) → (𝑦(~Met‘𝐷)𝑥 ↔ (𝑦𝐷𝑥) = 0))
15	14	ancom2s 648	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑦(~Met‘𝐷)𝑥 ↔ (𝑦𝐷𝑥) = 0))
16	12, 13, 15	3bitr4d 310	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥(~Met‘𝐷)𝑦 ↔ 𝑦(~Met‘𝐷)𝑥))
17	16	biimpd 228	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥(~Met‘𝐷)𝑦 → 𝑦(~Met‘𝐷)𝑥))
18	17	impancom 452	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑥(~Met‘𝐷)𝑦) → ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝑦(~Met‘𝐷)𝑥))
19	9, 18	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑥(~Met‘𝐷)𝑦) → 𝑦(~Met‘𝐷)𝑥)
20		simpl 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥(~Met‘𝐷)𝑦 ∧ 𝑦(~Met‘𝐷)𝑧)) → 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋))
21		simprr 771	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥(~Met‘𝐷)𝑦 ∧ 𝑦(~Met‘𝐷)𝑧)) → 𝑦(~Met‘𝐷)𝑧)
22	1	ssbrd 5148	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → (𝑦(~Met‘𝐷)𝑧 → 𝑦(𝑋 × 𝑋)𝑧))
23	22	imp 407	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑦(~Met‘𝐷)𝑧) → 𝑦(𝑋 × 𝑋)𝑧)
24		brxp 5681	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦(𝑋 × 𝑋)𝑧 ↔ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋))
25	23, 24	sylib 217	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑦(~Met‘𝐷)𝑧) → (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋))
26	21, 25	syldan 591	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥(~Met‘𝐷)𝑦 ∧ 𝑦(~Met‘𝐷)𝑧)) → (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋))
27	26	simpld 495	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥(~Met‘𝐷)𝑦 ∧ 𝑦(~Met‘𝐷)𝑧)) → 𝑦 ∈ 𝑋)
28		simprl 769	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥(~Met‘𝐷)𝑦 ∧ 𝑦(~Met‘𝐷)𝑧)) → 𝑥(~Met‘𝐷)𝑦)
29	28, 9	syldan 591	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥(~Met‘𝐷)𝑦 ∧ 𝑦(~Met‘𝐷)𝑧)) → (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋))
30	29	simpld 495	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥(~Met‘𝐷)𝑦 ∧ 𝑦(~Met‘𝐷)𝑧)) → 𝑥 ∈ 𝑋)
31	26	simprd 496	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥(~Met‘𝐷)𝑦 ∧ 𝑦(~Met‘𝐷)𝑧)) → 𝑧 ∈ 𝑋)
32		psmettri2 23662	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → (𝑥𝐷𝑧) ≤ ((𝑦𝐷𝑥) +𝑒 (𝑦𝐷𝑧)))
33	20, 27, 30, 31, 32	syl13anc 1372	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥(~Met‘𝐷)𝑦 ∧ 𝑦(~Met‘𝐷)𝑧)) → (𝑥𝐷𝑧) ≤ ((𝑦𝐷𝑥) +𝑒 (𝑦𝐷𝑧)))
34	29, 11	syldan 591	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥(~Met‘𝐷)𝑦 ∧ 𝑦(~Met‘𝐷)𝑧)) → (𝑥𝐷𝑦) = (𝑦𝐷𝑥))
35	29, 13	syldan 591	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥(~Met‘𝐷)𝑦 ∧ 𝑦(~Met‘𝐷)𝑧)) → (𝑥(~Met‘𝐷)𝑦 ↔ (𝑥𝐷𝑦) = 0))
36	28, 35	mpbid 231	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥(~Met‘𝐷)𝑦 ∧ 𝑦(~Met‘𝐷)𝑧)) → (𝑥𝐷𝑦) = 0)
37	34, 36	eqtr3d 2778	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥(~Met‘𝐷)𝑦 ∧ 𝑦(~Met‘𝐷)𝑧)) → (𝑦𝐷𝑥) = 0)
38		metidv 32473	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → (𝑦(~Met‘𝐷)𝑧 ↔ (𝑦𝐷𝑧) = 0))
39	26, 38	syldan 591	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥(~Met‘𝐷)𝑦 ∧ 𝑦(~Met‘𝐷)𝑧)) → (𝑦(~Met‘𝐷)𝑧 ↔ (𝑦𝐷𝑧) = 0))
40	21, 39	mpbid 231	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥(~Met‘𝐷)𝑦 ∧ 𝑦(~Met‘𝐷)𝑧)) → (𝑦𝐷𝑧) = 0)
41	37, 40	oveq12d 7375	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥(~Met‘𝐷)𝑦 ∧ 𝑦(~Met‘𝐷)𝑧)) → ((𝑦𝐷𝑥) +𝑒 (𝑦𝐷𝑧)) = (0 +𝑒 0))
42		0xr 11202	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ*
43		xaddid1 13160	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ ℝ* → (0 +𝑒 0) = 0)
44	42, 43	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (0 +𝑒 0) = 0
45	41, 44	eqtrdi 2792	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥(~Met‘𝐷)𝑦 ∧ 𝑦(~Met‘𝐷)𝑧)) → ((𝑦𝐷𝑥) +𝑒 (𝑦𝐷𝑧)) = 0)
46	33, 45	breqtrd 5131	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥(~Met‘𝐷)𝑦 ∧ 𝑦(~Met‘𝐷)𝑧)) → (𝑥𝐷𝑧) ≤ 0)
47		psmetge0 23665	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝑥𝐷𝑧))
48	20, 30, 31, 47	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥(~Met‘𝐷)𝑦 ∧ 𝑦(~Met‘𝐷)𝑧)) → 0 ≤ (𝑥𝐷𝑧))
49		psmetcl 23660	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝑥𝐷𝑧) ∈ ℝ*)
50	20, 30, 31, 49	syl3anc 1371	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥(~Met‘𝐷)𝑦 ∧ 𝑦(~Met‘𝐷)𝑧)) → (𝑥𝐷𝑧) ∈ ℝ*)
51		xrletri3 13073	. . . . 5 ⊢ (((𝑥𝐷𝑧) ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → ((𝑥𝐷𝑧) = 0 ↔ ((𝑥𝐷𝑧) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝑥𝐷𝑧))))
52	50, 42, 51	sylancl 586	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥(~Met‘𝐷)𝑦 ∧ 𝑦(~Met‘𝐷)𝑧)) → ((𝑥𝐷𝑧) = 0 ↔ ((𝑥𝐷𝑧) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝑥𝐷𝑧))))
53	46, 48, 52	mpbir2and 711	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥(~Met‘𝐷)𝑦 ∧ 𝑦(~Met‘𝐷)𝑧)) → (𝑥𝐷𝑧) = 0)
54		metidv 32473	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → (𝑥(~Met‘𝐷)𝑧 ↔ (𝑥𝐷𝑧) = 0))
55	20, 30, 31, 54	syl12anc 835	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥(~Met‘𝐷)𝑦 ∧ 𝑦(~Met‘𝐷)𝑧)) → (𝑥(~Met‘𝐷)𝑧 ↔ (𝑥𝐷𝑧) = 0))
56	53, 55	mpbird 256	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥(~Met‘𝐷)𝑦 ∧ 𝑦(~Met‘𝐷)𝑧)) → 𝑥(~Met‘𝐷)𝑧)
57		psmet0 23661	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥𝐷𝑥) = 0)
58		metidv 32473	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋)) → (𝑥(~Met‘𝐷)𝑥 ↔ (𝑥𝐷𝑥) = 0))
59	58	anabsan2 672	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥(~Met‘𝐷)𝑥 ↔ (𝑥𝐷𝑥) = 0))
60	57, 59	mpbird 256	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥(~Met‘𝐷)𝑥)
61	1	ssbrd 5148	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → (𝑥(~Met‘𝐷)𝑥 → 𝑥(𝑋 × 𝑋)𝑥))
62	61	imp 407	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑥(~Met‘𝐷)𝑥) → 𝑥(𝑋 × 𝑋)𝑥)
63		brxp 5681	. . . . 5 ⊢ (𝑥(𝑋 × 𝑋)𝑥 ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋))
64	62, 63	sylib 217	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑥(~Met‘𝐷)𝑥) → (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋))
65	64	simpld 495	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑥(~Met‘𝐷)𝑥) → 𝑥 ∈ 𝑋)
66	60, 65	impbida 799	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↔ 𝑥(~Met‘𝐷)𝑥))
67	5, 19, 56, 66	iserd 8674	1 ⊢ (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → (~Met‘𝐷) Er 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3445   ⊆ wss 3910   class class class wbr 5105   × cxp 5631  Rel wrel 5638  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357   Er wer 8645  0cc0 11051  ℝ^*cxr 11188   ≤ cle 11190   +_𝑒 cxad 13031  PsMetcpsmet 20780  ~_Metcmetid 32467

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-po 5545  df-so 5546  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-2 12216  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-psmet 20788  df-metid 32469

This theorem is referenced by:  pstmxmet  32478