Theorem metider 34201

Description: The metric identification is an equivalence relation. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Feb-2018.)

Assertion

Ref	Expression
metider	⊢ (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → (~Met‘𝐷) Er 𝑋)

Proof of Theorem metider

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metidss 34198	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → (~Met‘𝐷) ⊆ (𝑋 × 𝑋))
2		xpss 5668	. . . 4 ⊢ (𝑋 × 𝑋) ⊆ (V × V)
3	1, 2	sstrdi 3951	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → (~Met‘𝐷) ⊆ (V × V))
4		df-rel 5659	. . 3 ⊢ (Rel (~Met‘𝐷) ↔ (~Met‘𝐷) ⊆ (V × V))
5	3, 4	sylibr 237	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → Rel (~Met‘𝐷))
6	1	ssbrd 5148	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → (𝑥(~Met‘𝐷)𝑦 → 𝑥(𝑋 × 𝑋)𝑦))
7	6	imp 411	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑥(~Met‘𝐷)𝑦) → 𝑥(𝑋 × 𝑋)𝑦)
8		brxp 5701	. . . 4 ⊢ (𝑥(𝑋 × 𝑋)𝑦 ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋))
9	7, 8	sylib 221	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑥(~Met‘𝐷)𝑦) → (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋))
10		psmetsym 24428	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥𝐷𝑦) = (𝑦𝐷𝑥))
11	10	3expb 1136	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥𝐷𝑦) = (𝑦𝐷𝑥))
12	11	eqeq1d 2767	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ (𝑦𝐷𝑥) = 0))
13		metidv 34199	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥(~Met‘𝐷)𝑦 ↔ (𝑥𝐷𝑦) = 0))
14		metidv 34199	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋)) → (𝑦(~Met‘𝐷)𝑥 ↔ (𝑦𝐷𝑥) = 0))
15	14	ancom2s 662	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑦(~Met‘𝐷)𝑥 ↔ (𝑦𝐷𝑥) = 0))
16	12, 13, 15	3bitr4d 314	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥(~Met‘𝐷)𝑦 ↔ 𝑦(~Met‘𝐷)𝑥))
17	16	biimpd 232	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥(~Met‘𝐷)𝑦 → 𝑦(~Met‘𝐷)𝑥))
18	17	impancom 456	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑥(~Met‘𝐷)𝑦) → ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝑦(~Met‘𝐷)𝑥))
19	9, 18	mpd 16	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑥(~Met‘𝐷)𝑦) → 𝑦(~Met‘𝐷)𝑥)
20		simpl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥(~Met‘𝐷)𝑦 ∧ 𝑦(~Met‘𝐷)𝑧)) → 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋))
21		simprr 784	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥(~Met‘𝐷)𝑦 ∧ 𝑦(~Met‘𝐷)𝑧)) → 𝑦(~Met‘𝐷)𝑧)
22	1	ssbrd 5148	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → (𝑦(~Met‘𝐷)𝑧 → 𝑦(𝑋 × 𝑋)𝑧))
23	22	imp 411	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑦(~Met‘𝐷)𝑧) → 𝑦(𝑋 × 𝑋)𝑧)
24		brxp 5701	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦(𝑋 × 𝑋)𝑧 ↔ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋))
25	23, 24	sylib 221	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑦(~Met‘𝐷)𝑧) → (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋))
26	21, 25	syldan 602	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥(~Met‘𝐷)𝑦 ∧ 𝑦(~Met‘𝐷)𝑧)) → (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋))
27	26	simpld 499	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥(~Met‘𝐷)𝑦 ∧ 𝑦(~Met‘𝐷)𝑧)) → 𝑦 ∈ 𝑋)
28		simprl 782	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥(~Met‘𝐷)𝑦 ∧ 𝑦(~Met‘𝐷)𝑧)) → 𝑥(~Met‘𝐷)𝑦)
29	28, 9	syldan 602	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥(~Met‘𝐷)𝑦 ∧ 𝑦(~Met‘𝐷)𝑧)) → (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋))
30	29	simpld 499	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥(~Met‘𝐷)𝑦 ∧ 𝑦(~Met‘𝐷)𝑧)) → 𝑥 ∈ 𝑋)
31	26	simprd 500	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥(~Met‘𝐷)𝑦 ∧ 𝑦(~Met‘𝐷)𝑧)) → 𝑧 ∈ 𝑋)
32		psmettri2 24427	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → (𝑥𝐷𝑧) ≤ ((𝑦𝐷𝑥) +𝑒 (𝑦𝐷𝑧)))
33	20, 27, 30, 31, 32	syl13anc 1395	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥(~Met‘𝐷)𝑦 ∧ 𝑦(~Met‘𝐷)𝑧)) → (𝑥𝐷𝑧) ≤ ((𝑦𝐷𝑥) +𝑒 (𝑦𝐷𝑧)))
34	29, 11	syldan 602	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥(~Met‘𝐷)𝑦 ∧ 𝑦(~Met‘𝐷)𝑧)) → (𝑥𝐷𝑦) = (𝑦𝐷𝑥))
35	29, 13	syldan 602	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥(~Met‘𝐷)𝑦 ∧ 𝑦(~Met‘𝐷)𝑧)) → (𝑥(~Met‘𝐷)𝑦 ↔ (𝑥𝐷𝑦) = 0))
36	28, 35	mpbid 235	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥(~Met‘𝐷)𝑦 ∧ 𝑦(~Met‘𝐷)𝑧)) → (𝑥𝐷𝑦) = 0)
37	34, 36	eqtr3d 2802	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥(~Met‘𝐷)𝑦 ∧ 𝑦(~Met‘𝐷)𝑧)) → (𝑦𝐷𝑥) = 0)
38		metidv 34199	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → (𝑦(~Met‘𝐷)𝑧 ↔ (𝑦𝐷𝑧) = 0))
39	26, 38	syldan 602	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥(~Met‘𝐷)𝑦 ∧ 𝑦(~Met‘𝐷)𝑧)) → (𝑦(~Met‘𝐷)𝑧 ↔ (𝑦𝐷𝑧) = 0))
40	21, 39	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥(~Met‘𝐷)𝑦 ∧ 𝑦(~Met‘𝐷)𝑧)) → (𝑦𝐷𝑧) = 0)
41	37, 40	oveq12d 7418	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥(~Met‘𝐷)𝑦 ∧ 𝑦(~Met‘𝐷)𝑧)) → ((𝑦𝐷𝑥) +𝑒 (𝑦𝐷𝑧)) = (0 +𝑒 0))
42		0xr 11244	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ*
43		xaddrid 13258	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ ℝ* → (0 +𝑒 0) = 0)
44	42, 43	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (0 +𝑒 0) = 0
45	41, 44	eqtrdi 2816	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥(~Met‘𝐷)𝑦 ∧ 𝑦(~Met‘𝐷)𝑧)) → ((𝑦𝐷𝑥) +𝑒 (𝑦𝐷𝑧)) = 0)
46	33, 45	breqtrd 5131	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥(~Met‘𝐷)𝑦 ∧ 𝑦(~Met‘𝐷)𝑧)) → (𝑥𝐷𝑧) ≤ 0)
47		psmetge0 24430	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝑥𝐷𝑧))
48	20, 30, 31, 47	syl3anc 1394	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥(~Met‘𝐷)𝑦 ∧ 𝑦(~Met‘𝐷)𝑧)) → 0 ≤ (𝑥𝐷𝑧))
49		psmetcl 24425	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝑥𝐷𝑧) ∈ ℝ*)
50	20, 30, 31, 49	syl3anc 1394	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥(~Met‘𝐷)𝑦 ∧ 𝑦(~Met‘𝐷)𝑧)) → (𝑥𝐷𝑧) ∈ ℝ*)
51		xrletri3 13170	. . . . 5 ⊢ (((𝑥𝐷𝑧) ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → ((𝑥𝐷𝑧) = 0 ↔ ((𝑥𝐷𝑧) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝑥𝐷𝑧))))
52	50, 42, 51	sylancl 597	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥(~Met‘𝐷)𝑦 ∧ 𝑦(~Met‘𝐷)𝑧)) → ((𝑥𝐷𝑧) = 0 ↔ ((𝑥𝐷𝑧) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝑥𝐷𝑧))))
53	46, 48, 52	mpbir2and 725	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥(~Met‘𝐷)𝑦 ∧ 𝑦(~Met‘𝐷)𝑧)) → (𝑥𝐷𝑧) = 0)
54		metidv 34199	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → (𝑥(~Met‘𝐷)𝑧 ↔ (𝑥𝐷𝑧) = 0))
55	20, 30, 31, 54	syl12anc 849	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥(~Met‘𝐷)𝑦 ∧ 𝑦(~Met‘𝐷)𝑧)) → (𝑥(~Met‘𝐷)𝑧 ↔ (𝑥𝐷𝑧) = 0))
56	53, 55	mpbird 260	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥(~Met‘𝐷)𝑦 ∧ 𝑦(~Met‘𝐷)𝑧)) → 𝑥(~Met‘𝐷)𝑧)
57		psmet0 24426	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥𝐷𝑥) = 0)
58		metidv 34199	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋)) → (𝑥(~Met‘𝐷)𝑥 ↔ (𝑥𝐷𝑥) = 0))
59	58	anabsan2 686	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥(~Met‘𝐷)𝑥 ↔ (𝑥𝐷𝑥) = 0))
60	57, 59	mpbird 260	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥(~Met‘𝐷)𝑥)
61	1	ssbrd 5148	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → (𝑥(~Met‘𝐷)𝑥 → 𝑥(𝑋 × 𝑋)𝑥))
62	61	imp 411	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑥(~Met‘𝐷)𝑥) → 𝑥(𝑋 × 𝑋)𝑥)
63		brxp 5701	. . . . 5 ⊢ (𝑥(𝑋 × 𝑋)𝑥 ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋))
64	62, 63	sylib 221	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑥(~Met‘𝐷)𝑥) → (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋))
65	64	simpld 499	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑥(~Met‘𝐷)𝑥) → 𝑥 ∈ 𝑋)
66	60, 65	impbida 812	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↔ 𝑥(~Met‘𝐷)𝑥))
67	5, 19, 56, 66	iserd 8709	1 ⊢ (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → (~Met‘𝐷) Er 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  Vcvv 3457   ⊆ wss 3907   class class class wbr 5105   × cxp 5650  Rel wrel 5657  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400   Er wer 8679  0cc0 11088  ℝ^*cxr 11230   ≤ cle 11232   +_𝑒 cxad 13126  PsMetcpsmet 21466  ~_Metcmetid 34193

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-map 8814  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12225  df-2 12294  df-rp 13008  df-xneg 13128  df-xadd 13129  df-xmul 13130  df-psmet 21474  df-metid 34195

This theorem is referenced by:  pstmxmet  34204