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Theorem metider 32905
Description: The metric identification is an equivalence relation. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
metider (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ (~Metβ€˜π·) Er 𝑋)
Proof of Theorem metider
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 metidss 32902 . . . 4 (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ (~Metβ€˜π·) βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋))
2 xpss 5693 . . . 4 (𝑋 Γ— 𝑋) βŠ† (V Γ— V)
31, 2sstrdi 3995 . . 3 (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ (~Metβ€˜π·) βŠ† (V Γ— V))
4 df-rel 5684 . . 3 (Rel (~Metβ€˜π·) ↔ (~Metβ€˜π·) βŠ† (V Γ— V))
53, 4sylibr 233 . 2 (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ Rel (~Metβ€˜π·))
61ssbrd 5192 . . . . 5 (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ (π‘₯(~Metβ€˜π·)𝑦 β†’ π‘₯(𝑋 Γ— 𝑋)𝑦))
76imp 408 . . . 4 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯(~Metβ€˜π·)𝑦) β†’ π‘₯(𝑋 Γ— 𝑋)𝑦)
8 brxp 5726 . . . 4 (π‘₯(𝑋 Γ— 𝑋)𝑦 ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋))
97, 8sylib 217 . . 3 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯(~Metβ€˜π·)𝑦) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋))
10 psmetsym 23816 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯𝐷𝑦) = (𝑦𝐷π‘₯))
11103expb 1121 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯𝐷𝑦) = (𝑦𝐷π‘₯))
1211eqeq1d 2735 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ ((π‘₯𝐷𝑦) = 0 ↔ (𝑦𝐷π‘₯) = 0))
13 metidv 32903 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯(~Metβ€˜π·)𝑦 ↔ (π‘₯𝐷𝑦) = 0))
14 metidv 32903 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋)) β†’ (𝑦(~Metβ€˜π·)π‘₯ ↔ (𝑦𝐷π‘₯) = 0))
1514ancom2s 649 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑦(~Metβ€˜π·)π‘₯ ↔ (𝑦𝐷π‘₯) = 0))
1612, 13, 153bitr4d 311 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯(~Metβ€˜π·)𝑦 ↔ 𝑦(~Metβ€˜π·)π‘₯))
1716biimpd 228 . . . 4 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯(~Metβ€˜π·)𝑦 β†’ 𝑦(~Metβ€˜π·)π‘₯))
1817impancom 453 . . 3 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯(~Metβ€˜π·)𝑦) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ 𝑦(~Metβ€˜π·)π‘₯))
199, 18mpd 15 . 2 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯(~Metβ€˜π·)𝑦) β†’ 𝑦(~Metβ€˜π·)π‘₯)
20 simpl 484 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯(~Metβ€˜π·)𝑦 ∧ 𝑦(~Metβ€˜π·)𝑧)) β†’ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹))
21 simprr 772 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯(~Metβ€˜π·)𝑦 ∧ 𝑦(~Metβ€˜π·)𝑧)) β†’ 𝑦(~Metβ€˜π·)𝑧)
221ssbrd 5192 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ (𝑦(~Metβ€˜π·)𝑧 β†’ 𝑦(𝑋 Γ— 𝑋)𝑧))
2322imp 408 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑦(~Metβ€˜π·)𝑧) β†’ 𝑦(𝑋 Γ— 𝑋)𝑧)
24 brxp 5726 . . . . . . . . 9 (𝑦(𝑋 Γ— 𝑋)𝑧 ↔ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋))
2523, 24sylib 217 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑦(~Metβ€˜π·)𝑧) β†’ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋))
2621, 25syldan 592 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯(~Metβ€˜π·)𝑦 ∧ 𝑦(~Metβ€˜π·)𝑧)) β†’ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋))
2726simpld 496 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯(~Metβ€˜π·)𝑦 ∧ 𝑦(~Metβ€˜π·)𝑧)) β†’ 𝑦 ∈ 𝑋)
28 simprl 770 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯(~Metβ€˜π·)𝑦 ∧ 𝑦(~Metβ€˜π·)𝑧)) β†’ π‘₯(~Metβ€˜π·)𝑦)
2928, 9syldan 592 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯(~Metβ€˜π·)𝑦 ∧ 𝑦(~Metβ€˜π·)𝑧)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋))
3029simpld 496 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯(~Metβ€˜π·)𝑦 ∧ 𝑦(~Metβ€˜π·)𝑧)) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
3126simprd 497 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯(~Metβ€˜π·)𝑦 ∧ 𝑦(~Metβ€˜π·)𝑧)) β†’ 𝑧 ∈ 𝑋)
32 psmettri2 23815 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯𝐷𝑧) ≀ ((𝑦𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑦𝐷𝑧)))
3320, 27, 30, 31, 32syl13anc 1373 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯(~Metβ€˜π·)𝑦 ∧ 𝑦(~Metβ€˜π·)𝑧)) β†’ (π‘₯𝐷𝑧) ≀ ((𝑦𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑦𝐷𝑧)))
3429, 11syldan 592 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯(~Metβ€˜π·)𝑦 ∧ 𝑦(~Metβ€˜π·)𝑧)) β†’ (π‘₯𝐷𝑦) = (𝑦𝐷π‘₯))
3529, 13syldan 592 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯(~Metβ€˜π·)𝑦 ∧ 𝑦(~Metβ€˜π·)𝑧)) β†’ (π‘₯(~Metβ€˜π·)𝑦 ↔ (π‘₯𝐷𝑦) = 0))
3628, 35mpbid 231 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯(~Metβ€˜π·)𝑦 ∧ 𝑦(~Metβ€˜π·)𝑧)) β†’ (π‘₯𝐷𝑦) = 0)
3734, 36eqtr3d 2775 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯(~Metβ€˜π·)𝑦 ∧ 𝑦(~Metβ€˜π·)𝑧)) β†’ (𝑦𝐷π‘₯) = 0)
38 metidv 32903 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑦(~Metβ€˜π·)𝑧 ↔ (𝑦𝐷𝑧) = 0))
3926, 38syldan 592 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯(~Metβ€˜π·)𝑦 ∧ 𝑦(~Metβ€˜π·)𝑧)) β†’ (𝑦(~Metβ€˜π·)𝑧 ↔ (𝑦𝐷𝑧) = 0))
4021, 39mpbid 231 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯(~Metβ€˜π·)𝑦 ∧ 𝑦(~Metβ€˜π·)𝑧)) β†’ (𝑦𝐷𝑧) = 0)
4137, 40oveq12d 7427 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯(~Metβ€˜π·)𝑦 ∧ 𝑦(~Metβ€˜π·)𝑧)) β†’ ((𝑦𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑦𝐷𝑧)) = (0 +𝑒 0))
42 0xr 11261 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ*
43 xaddrid 13220 . . . . . . 7 (0 ∈ ℝ* β†’ (0 +𝑒 0) = 0)
4442, 43ax-mp 5 . . . . . 6 (0 +𝑒 0) = 0
4541, 44eqtrdi 2789 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯(~Metβ€˜π·)𝑦 ∧ 𝑦(~Metβ€˜π·)𝑧)) β†’ ((𝑦𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑦𝐷𝑧)) = 0)
4633, 45breqtrd 5175 . . . 4 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯(~Metβ€˜π·)𝑦 ∧ 𝑦(~Metβ€˜π·)𝑧)) β†’ (π‘₯𝐷𝑧) ≀ 0)
47 psmetge0 23818 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ 0 ≀ (π‘₯𝐷𝑧))
4820, 30, 31, 47syl3anc 1372 . . . 4 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯(~Metβ€˜π·)𝑦 ∧ 𝑦(~Metβ€˜π·)𝑧)) β†’ 0 ≀ (π‘₯𝐷𝑧))
49 psmetcl 23813 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯𝐷𝑧) ∈ ℝ*)
5020, 30, 31, 49syl3anc 1372 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯(~Metβ€˜π·)𝑦 ∧ 𝑦(~Metβ€˜π·)𝑧)) β†’ (π‘₯𝐷𝑧) ∈ ℝ*)
51 xrletri3 13133 . . . . 5 (((π‘₯𝐷𝑧) ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) β†’ ((π‘₯𝐷𝑧) = 0 ↔ ((π‘₯𝐷𝑧) ≀ 0 ∧ 0 ≀ (π‘₯𝐷𝑧))))
5250, 42, 51sylancl 587 . . . 4 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯(~Metβ€˜π·)𝑦 ∧ 𝑦(~Metβ€˜π·)𝑧)) β†’ ((π‘₯𝐷𝑧) = 0 ↔ ((π‘₯𝐷𝑧) ≀ 0 ∧ 0 ≀ (π‘₯𝐷𝑧))))
5346, 48, 52mpbir2and 712 . . 3 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯(~Metβ€˜π·)𝑦 ∧ 𝑦(~Metβ€˜π·)𝑧)) β†’ (π‘₯𝐷𝑧) = 0)
54 metidv 32903 . . . 4 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯(~Metβ€˜π·)𝑧 ↔ (π‘₯𝐷𝑧) = 0))
5520, 30, 31, 54syl12anc 836 . . 3 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯(~Metβ€˜π·)𝑦 ∧ 𝑦(~Metβ€˜π·)𝑧)) β†’ (π‘₯(~Metβ€˜π·)𝑧 ↔ (π‘₯𝐷𝑧) = 0))
5653, 55mpbird 257 . 2 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯(~Metβ€˜π·)𝑦 ∧ 𝑦(~Metβ€˜π·)𝑧)) β†’ π‘₯(~Metβ€˜π·)𝑧)
57 psmet0 23814 . . . 4 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯𝐷π‘₯) = 0)
58 metidv 32903 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯(~Metβ€˜π·)π‘₯ ↔ (π‘₯𝐷π‘₯) = 0))
5958anabsan2 673 . . . 4 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯(~Metβ€˜π·)π‘₯ ↔ (π‘₯𝐷π‘₯) = 0))
6057, 59mpbird 257 . . 3 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ π‘₯(~Metβ€˜π·)π‘₯)
611ssbrd 5192 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ (π‘₯(~Metβ€˜π·)π‘₯ β†’ π‘₯(𝑋 Γ— 𝑋)π‘₯))
6261imp 408 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯(~Metβ€˜π·)π‘₯) β†’ π‘₯(𝑋 Γ— 𝑋)π‘₯)
63 brxp 5726 . . . . 5 (π‘₯(𝑋 Γ— 𝑋)π‘₯ ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋))
6462, 63sylib 217 . . . 4 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯(~Metβ€˜π·)π‘₯) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋))
6564simpld 496 . . 3 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯(~Metβ€˜π·)π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
6660, 65impbida 800 . 2 (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↔ π‘₯(~Metβ€˜π·)π‘₯))
675, 19, 56, 66iserd 8729 1 (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ (~Metβ€˜π·) Er 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475   βŠ† wss 3949   class class class wbr 5149   Γ— cxp 5675  Rel wrel 5682  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   Er wer 8700  0cc0 11110  β„*cxr 11247   ≀ cle 11249   +𝑒 cxad 13090  PsMetcpsmet 20928  ~Metcmetid 32897
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-2 12275  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-psmet 20936  df-metid 32899
This theorem is referenced by:  pstmxmet  32908
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