Theorem metider 33722

Description: The metric identification is an equivalence relation. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Feb-2018.)

Assertion

Ref	Expression
metider	⊢ (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → (~Met‘𝐷) Er 𝑋)

Proof of Theorem metider

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metidss 33719	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → (~Met‘𝐷) ⊆ (𝑋 × 𝑋))
2		xpss 5690	. . . 4 ⊢ (𝑋 × 𝑋) ⊆ (V × V)
3	1, 2	sstrdi 3991	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → (~Met‘𝐷) ⊆ (V × V))
4		df-rel 5681	. . 3 ⊢ (Rel (~Met‘𝐷) ↔ (~Met‘𝐷) ⊆ (V × V))
5	3, 4	sylibr 233	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → Rel (~Met‘𝐷))
6	1	ssbrd 5188	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → (𝑥(~Met‘𝐷)𝑦 → 𝑥(𝑋 × 𝑋)𝑦))
7	6	imp 405	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑥(~Met‘𝐷)𝑦) → 𝑥(𝑋 × 𝑋)𝑦)
8		brxp 5723	. . . 4 ⊢ (𝑥(𝑋 × 𝑋)𝑦 ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋))
9	7, 8	sylib 217	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑥(~Met‘𝐷)𝑦) → (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋))
10		psmetsym 24304	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥𝐷𝑦) = (𝑦𝐷𝑥))
11	10	3expb 1117	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥𝐷𝑦) = (𝑦𝐷𝑥))
12	11	eqeq1d 2728	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ (𝑦𝐷𝑥) = 0))
13		metidv 33720	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥(~Met‘𝐷)𝑦 ↔ (𝑥𝐷𝑦) = 0))
14		metidv 33720	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋)) → (𝑦(~Met‘𝐷)𝑥 ↔ (𝑦𝐷𝑥) = 0))
15	14	ancom2s 648	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑦(~Met‘𝐷)𝑥 ↔ (𝑦𝐷𝑥) = 0))
16	12, 13, 15	3bitr4d 310	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥(~Met‘𝐷)𝑦 ↔ 𝑦(~Met‘𝐷)𝑥))
17	16	biimpd 228	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥(~Met‘𝐷)𝑦 → 𝑦(~Met‘𝐷)𝑥))
18	17	impancom 450	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑥(~Met‘𝐷)𝑦) → ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝑦(~Met‘𝐷)𝑥))
19	9, 18	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑥(~Met‘𝐷)𝑦) → 𝑦(~Met‘𝐷)𝑥)
20		simpl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥(~Met‘𝐷)𝑦 ∧ 𝑦(~Met‘𝐷)𝑧)) → 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋))
21		simprr 771	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥(~Met‘𝐷)𝑦 ∧ 𝑦(~Met‘𝐷)𝑧)) → 𝑦(~Met‘𝐷)𝑧)
22	1	ssbrd 5188	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → (𝑦(~Met‘𝐷)𝑧 → 𝑦(𝑋 × 𝑋)𝑧))
23	22	imp 405	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑦(~Met‘𝐷)𝑧) → 𝑦(𝑋 × 𝑋)𝑧)
24		brxp 5723	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦(𝑋 × 𝑋)𝑧 ↔ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋))
25	23, 24	sylib 217	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑦(~Met‘𝐷)𝑧) → (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋))
26	21, 25	syldan 589	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥(~Met‘𝐷)𝑦 ∧ 𝑦(~Met‘𝐷)𝑧)) → (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋))
27	26	simpld 493	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥(~Met‘𝐷)𝑦 ∧ 𝑦(~Met‘𝐷)𝑧)) → 𝑦 ∈ 𝑋)
28		simprl 769	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥(~Met‘𝐷)𝑦 ∧ 𝑦(~Met‘𝐷)𝑧)) → 𝑥(~Met‘𝐷)𝑦)
29	28, 9	syldan 589	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥(~Met‘𝐷)𝑦 ∧ 𝑦(~Met‘𝐷)𝑧)) → (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋))
30	29	simpld 493	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥(~Met‘𝐷)𝑦 ∧ 𝑦(~Met‘𝐷)𝑧)) → 𝑥 ∈ 𝑋)
31	26	simprd 494	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥(~Met‘𝐷)𝑦 ∧ 𝑦(~Met‘𝐷)𝑧)) → 𝑧 ∈ 𝑋)
32		psmettri2 24303	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → (𝑥𝐷𝑧) ≤ ((𝑦𝐷𝑥) +𝑒 (𝑦𝐷𝑧)))
33	20, 27, 30, 31, 32	syl13anc 1369	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥(~Met‘𝐷)𝑦 ∧ 𝑦(~Met‘𝐷)𝑧)) → (𝑥𝐷𝑧) ≤ ((𝑦𝐷𝑥) +𝑒 (𝑦𝐷𝑧)))
34	29, 11	syldan 589	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥(~Met‘𝐷)𝑦 ∧ 𝑦(~Met‘𝐷)𝑧)) → (𝑥𝐷𝑦) = (𝑦𝐷𝑥))
35	29, 13	syldan 589	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥(~Met‘𝐷)𝑦 ∧ 𝑦(~Met‘𝐷)𝑧)) → (𝑥(~Met‘𝐷)𝑦 ↔ (𝑥𝐷𝑦) = 0))
36	28, 35	mpbid 231	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥(~Met‘𝐷)𝑦 ∧ 𝑦(~Met‘𝐷)𝑧)) → (𝑥𝐷𝑦) = 0)
37	34, 36	eqtr3d 2768	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥(~Met‘𝐷)𝑦 ∧ 𝑦(~Met‘𝐷)𝑧)) → (𝑦𝐷𝑥) = 0)
38		metidv 33720	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → (𝑦(~Met‘𝐷)𝑧 ↔ (𝑦𝐷𝑧) = 0))
39	26, 38	syldan 589	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥(~Met‘𝐷)𝑦 ∧ 𝑦(~Met‘𝐷)𝑧)) → (𝑦(~Met‘𝐷)𝑧 ↔ (𝑦𝐷𝑧) = 0))
40	21, 39	mpbid 231	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥(~Met‘𝐷)𝑦 ∧ 𝑦(~Met‘𝐷)𝑧)) → (𝑦𝐷𝑧) = 0)
41	37, 40	oveq12d 7434	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥(~Met‘𝐷)𝑦 ∧ 𝑦(~Met‘𝐷)𝑧)) → ((𝑦𝐷𝑥) +𝑒 (𝑦𝐷𝑧)) = (0 +𝑒 0))
42		0xr 11302	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ*
43		xaddrid 13268	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ ℝ* → (0 +𝑒 0) = 0)
44	42, 43	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (0 +𝑒 0) = 0
45	41, 44	eqtrdi 2782	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥(~Met‘𝐷)𝑦 ∧ 𝑦(~Met‘𝐷)𝑧)) → ((𝑦𝐷𝑥) +𝑒 (𝑦𝐷𝑧)) = 0)
46	33, 45	breqtrd 5171	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥(~Met‘𝐷)𝑦 ∧ 𝑦(~Met‘𝐷)𝑧)) → (𝑥𝐷𝑧) ≤ 0)
47		psmetge0 24306	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝑥𝐷𝑧))
48	20, 30, 31, 47	syl3anc 1368	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥(~Met‘𝐷)𝑦 ∧ 𝑦(~Met‘𝐷)𝑧)) → 0 ≤ (𝑥𝐷𝑧))
49		psmetcl 24301	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝑥𝐷𝑧) ∈ ℝ*)
50	20, 30, 31, 49	syl3anc 1368	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥(~Met‘𝐷)𝑦 ∧ 𝑦(~Met‘𝐷)𝑧)) → (𝑥𝐷𝑧) ∈ ℝ*)
51		xrletri3 13181	. . . . 5 ⊢ (((𝑥𝐷𝑧) ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → ((𝑥𝐷𝑧) = 0 ↔ ((𝑥𝐷𝑧) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝑥𝐷𝑧))))
52	50, 42, 51	sylancl 584	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥(~Met‘𝐷)𝑦 ∧ 𝑦(~Met‘𝐷)𝑧)) → ((𝑥𝐷𝑧) = 0 ↔ ((𝑥𝐷𝑧) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝑥𝐷𝑧))))
53	46, 48, 52	mpbir2and 711	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥(~Met‘𝐷)𝑦 ∧ 𝑦(~Met‘𝐷)𝑧)) → (𝑥𝐷𝑧) = 0)
54		metidv 33720	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → (𝑥(~Met‘𝐷)𝑧 ↔ (𝑥𝐷𝑧) = 0))
55	20, 30, 31, 54	syl12anc 835	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥(~Met‘𝐷)𝑦 ∧ 𝑦(~Met‘𝐷)𝑧)) → (𝑥(~Met‘𝐷)𝑧 ↔ (𝑥𝐷𝑧) = 0))
56	53, 55	mpbird 256	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥(~Met‘𝐷)𝑦 ∧ 𝑦(~Met‘𝐷)𝑧)) → 𝑥(~Met‘𝐷)𝑧)
57		psmet0 24302	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥𝐷𝑥) = 0)
58		metidv 33720	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋)) → (𝑥(~Met‘𝐷)𝑥 ↔ (𝑥𝐷𝑥) = 0))
59	58	anabsan2 672	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥(~Met‘𝐷)𝑥 ↔ (𝑥𝐷𝑥) = 0))
60	57, 59	mpbird 256	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥(~Met‘𝐷)𝑥)
61	1	ssbrd 5188	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → (𝑥(~Met‘𝐷)𝑥 → 𝑥(𝑋 × 𝑋)𝑥))
62	61	imp 405	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑥(~Met‘𝐷)𝑥) → 𝑥(𝑋 × 𝑋)𝑥)
63		brxp 5723	. . . . 5 ⊢ (𝑥(𝑋 × 𝑋)𝑥 ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋))
64	62, 63	sylib 217	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑥(~Met‘𝐷)𝑥) → (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋))
65	64	simpld 493	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑥(~Met‘𝐷)𝑥) → 𝑥 ∈ 𝑋)
66	60, 65	impbida 799	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↔ 𝑥(~Met‘𝐷)𝑥))
67	5, 19, 56, 66	iserd 8752	1 ⊢ (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → (~Met‘𝐷) Er 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  Vcvv 3462   ⊆ wss 3946   class class class wbr 5145   × cxp 5672  Rel wrel 5679  ‘cfv 6546  (class class class)co 7416   Er wer 8723  0cc0 11149  ℝ^*cxr 11288   ≤ cle 11290   +_𝑒 cxad 13138  PsMetcpsmet 21323  ~_Metcmetid 33714

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-iun 4995  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-id 5572  df-po 5586  df-so 5587  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-er 8726  df-map 8849  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-xr 11293  df-ltxr 11294  df-le 11295  df-sub 11487  df-neg 11488  df-div 11913  df-2 12321  df-rp 13023  df-xneg 13140  df-xadd 13141  df-xmul 13142  df-psmet 21331  df-metid 33716

This theorem is referenced by:  pstmxmet  33725