Theorem psmetf 24494

Description: The distance function of a pseudometric as a function. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Feb-2018.)

Assertion

Ref	Expression
psmetf	⊢ (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)

Proof of Theorem psmetf

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfvex 6920	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → 𝑋 ∈ V)
2		ispsmet 24492	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ V → (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ↔ (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* ∧ ∀𝑎 ∈ 𝑋 ((𝑎𝐷𝑎) = 0 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑋 ∀𝑐 ∈ 𝑋 (𝑎𝐷𝑏) ≤ ((𝑐𝐷𝑎) +𝑒 (𝑐𝐷𝑏))))))
3	1, 2	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ↔ (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* ∧ ∀𝑎 ∈ 𝑋 ((𝑎𝐷𝑎) = 0 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑋 ∀𝑐 ∈ 𝑋 (𝑎𝐷𝑏) ≤ ((𝑐𝐷𝑎) +𝑒 (𝑐𝐷𝑏))))))
4	3	ibi 270	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* ∧ ∀𝑎 ∈ 𝑋 ((𝑎𝐷𝑎) = 0 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑋 ∀𝑐 ∈ 𝑋 (𝑎𝐷𝑏) ≤ ((𝑐𝐷𝑎) +𝑒 (𝑐𝐷𝑏)))))
5	4	simpld 500	1 ⊢ (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3081  Vcvv 3457   class class class wbr 5111   × cxp 5661  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  0cc0 11111  ℝ^*cxr 11253   ≤ cle 11255   +_𝑒 cxad 13147  PsMetcpsmet 21536

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-fv 6548  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-map 8828  df-xr 11258  df-psmet 21544

This theorem is used by:  psmetcl  24495  psmetxrge0  24501  psmetres2  24502  distspace  24504  metustss  24739  metustid  24742  metustsym  24743  metustexhalf  24744  metustfbas  24745  cfilucfil  24747  blval2  24750  metuel2  24753  restmetu  24758  metideq  34323  pstmxmet  34327