Theorem psmetf 24250

Description: The distance function of a pseudometric as a function. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Feb-2018.)

Assertion

Ref	Expression
psmetf	⊢ (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)

Proof of Theorem psmetf

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfvex 6869	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → 𝑋 ∈ V)
2		ispsmet 24248	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ V → (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ↔ (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* ∧ ∀𝑎 ∈ 𝑋 ((𝑎𝐷𝑎) = 0 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑋 ∀𝑐 ∈ 𝑋 (𝑎𝐷𝑏) ≤ ((𝑐𝐷𝑎) +𝑒 (𝑐𝐷𝑏))))))
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ↔ (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* ∧ ∀𝑎 ∈ 𝑋 ((𝑎𝐷𝑎) = 0 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑋 ∀𝑐 ∈ 𝑋 (𝑎𝐷𝑏) ≤ ((𝑐𝐷𝑎) +𝑒 (𝑐𝐷𝑏))))))
4	3	ibi 267	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* ∧ ∀𝑎 ∈ 𝑋 ((𝑎𝐷𝑎) = 0 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑋 ∀𝑐 ∈ 𝑋 (𝑎𝐷𝑏) ≤ ((𝑐𝐷𝑎) +𝑒 (𝑐𝐷𝑏)))))
5	4	simpld 494	1 ⊢ (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3051  Vcvv 3440   class class class wbr 5098   × cxp 5622  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  0cc0 11026  ℝ^*cxr 11165   ≤ cle 11167   +_𝑒 cxad 13024  PsMetcpsmet 21293

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-fv 6500  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-map 8765  df-xr 11170  df-psmet 21301

This theorem is referenced by:  psmetcl  24251  psmetxrge0  24257  psmetres2  24258  distspace  24260  metustss  24495  metustid  24498  metustsym  24499  metustexhalf  24500  metustfbas  24501  cfilucfil  24503  blval2  24506  metuel2  24509  restmetu  24514  metideq  34050  pstmxmet  34054