Theorem psmetf 24354

Description: The distance function of a pseudometric as a function. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Feb-2018.)

Assertion

Ref	Expression
psmetf	⊢ (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)

Proof of Theorem psmetf

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfvex 6897	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → 𝑋 ∈ V)
2		ispsmet 24352	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ V → (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ↔ (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* ∧ ∀𝑎 ∈ 𝑋 ((𝑎𝐷𝑎) = 0 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑋 ∀𝑐 ∈ 𝑋 (𝑎𝐷𝑏) ≤ ((𝑐𝐷𝑎) +𝑒 (𝑐𝐷𝑏))))))
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ↔ (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* ∧ ∀𝑎 ∈ 𝑋 ((𝑎𝐷𝑎) = 0 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑋 ∀𝑐 ∈ 𝑋 (𝑎𝐷𝑏) ≤ ((𝑐𝐷𝑎) +𝑒 (𝑐𝐷𝑏))))))
4	3	ibi 269	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* ∧ ∀𝑎 ∈ 𝑋 ((𝑎𝐷𝑎) = 0 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑋 ∀𝑐 ∈ 𝑋 (𝑎𝐷𝑏) ≤ ((𝑐𝐷𝑎) +𝑒 (𝑐𝐷𝑏)))))
5	4	simpld 498	1 ⊢ (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ∀wral 3075  Vcvv 3453   class class class wbr 5097   × cxp 5641  ⟶wf 6512  ‘cfv 6516  (class class class)co 7391  0cc0 11067  ℝ^*cxr 11209   ≤ cle 11211   +_𝑒 cxad 13106  PsMetcpsmet 21396

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-id 5538  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-fv 6524  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-map 8804  df-xr 11214  df-psmet 21404

This theorem is referenced by:  psmetcl  24355  psmetxrge0  24361  psmetres2  24362  distspace  24364  metustss  24599  metustid  24602  metustsym  24603  metustexhalf  24604  metustfbas  24605  cfilucfil  24607  blval2  24610  metuel2  24613  restmetu  24618  metideq  34151  pstmxmet  34155