MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psmetf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psmetf 24332
Description: The distance function of a pseudometric as a function. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
psmetf (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)

Proof of Theorem psmetf
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfvex 6945 . . . 4 (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → 𝑋 ∈ V)
2 ispsmet 24330 . . . 4 (𝑋 ∈ V → (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ↔ (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* ∧ ∀𝑎𝑋 ((𝑎𝐷𝑎) = 0 ∧ ∀𝑏𝑋𝑐𝑋 (𝑎𝐷𝑏) ≤ ((𝑐𝐷𝑎) +𝑒 (𝑐𝐷𝑏))))))
31, 2syl 17 . . 3 (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ↔ (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* ∧ ∀𝑎𝑋 ((𝑎𝐷𝑎) = 0 ∧ ∀𝑏𝑋𝑐𝑋 (𝑎𝐷𝑏) ≤ ((𝑐𝐷𝑎) +𝑒 (𝑐𝐷𝑏))))))
43ibi 267 . 2 (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* ∧ ∀𝑎𝑋 ((𝑎𝐷𝑎) = 0 ∧ ∀𝑏𝑋𝑐𝑋 (𝑎𝐷𝑏) ≤ ((𝑐𝐷𝑎) +𝑒 (𝑐𝐷𝑏)))))
54simpld 494 1 (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  Vcvv 3478   class class class wbr 5148   × cxp 5687  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  0cc0 11153  *cxr 11292  cle 11294   +𝑒 cxad 13150  PsMetcpsmet 21366
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-map 8867  df-xr 11297  df-psmet 21374
This theorem is referenced by:  psmetcl  24333  psmetxrge0  24339  psmetres2  24340  distspace  24342  metustss  24580  metustid  24583  metustsym  24584  metustexhalf  24585  metustfbas  24586  cfilucfil  24588  blval2  24591  metuel2  24594  restmetu  24599  metideq  33854  pstmxmet  33858
  Copyright terms: Public domain W3C validator