MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psmetf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psmetf 23682
Description: The distance function of a pseudometric as a function. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
psmetf (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„*)

Proof of Theorem psmetf
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfvex 6884 . . . 4 (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 ∈ V)
2 ispsmet 23680 . . . 4 (𝑋 ∈ V β†’ (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ↔ (𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„* ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝑋 ((π‘Žπ·π‘Ž) = 0 ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝑋 βˆ€π‘ ∈ 𝑋 (π‘Žπ·π‘) ≀ ((π‘π·π‘Ž) +𝑒 (𝑐𝐷𝑏))))))
31, 2syl 17 . . 3 (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ↔ (𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„* ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝑋 ((π‘Žπ·π‘Ž) = 0 ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝑋 βˆ€π‘ ∈ 𝑋 (π‘Žπ·π‘) ≀ ((π‘π·π‘Ž) +𝑒 (𝑐𝐷𝑏))))))
43ibi 267 . 2 (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ (𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„* ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝑋 ((π‘Žπ·π‘Ž) = 0 ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝑋 βˆ€π‘ ∈ 𝑋 (π‘Žπ·π‘) ≀ ((π‘π·π‘Ž) +𝑒 (𝑐𝐷𝑏)))))
54simpld 496 1 (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„*)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  Vcvv 3447   class class class wbr 5109   Γ— cxp 5635  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  0cc0 11059  β„*cxr 11196   ≀ cle 11198   +𝑒 cxad 13039  PsMetcpsmet 20803
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-fv 6508  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-map 8773  df-xr 11201  df-psmet 20811
This theorem is referenced by:  psmetcl  23683  psmetxrge0  23689  psmetres2  23690  distspace  23692  metustss  23930  metustid  23933  metustsym  23934  metustexhalf  23935  metustfbas  23936  cfilucfil  23938  blval2  23941  metuel2  23944  restmetu  23949  metideq  32538  pstmxmet  32542
  Copyright terms: Public domain W3C validator