Theorem pwfin0 45015

Description: A finite set always belongs to a power class. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
pwfin0	⊢ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ≠ ∅

Proof of Theorem pwfin0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0pwfi 45012	. 2 ⊢ ∅ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
2		ne0i 4348	. 2 ⊢ (∅ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ≠ ∅)
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ≠ ∅

Syntax hints:   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2939   ∩ cin 3963  ∅c0 4340  𝒫 cpw 4606  Fincfn 8990

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5303  ax-nul 5313  ax-pr 5439

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1778  df-sb 2064  df-mo 2539  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3435  df-v 3481  df-dif 3967  df-un 3969  df-in 3971  df-ss 3981  df-pss 3984  df-nul 4341  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4914  df-br 5150  df-opab 5212  df-tr 5267  df-id 5584  df-eprel 5590  df-po 5598  df-so 5599  df-fr 5642  df-we 5644  df-xp 5696  df-rel 5697  df-cnv 5698  df-co 5699  df-dm 5700  df-rn 5701  df-ord 6392  df-on 6393  df-lim 6394  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-om 7892  df-en 8991  df-fin 8994

This theorem is referenced by:  sge0z  46342