Theorem pwfin0 40047

Description: A finite set always belongs to a power class. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
pwfin0	⊢ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ≠ ∅

Proof of Theorem pwfin0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0pwfi 40043	. 2 ⊢ ∅ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
2		ne0i 4149	. 2 ⊢ (∅ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ≠ ∅)
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ≠ ∅

Syntax hints:   ∈ wcel 2166   ≠ wne 2998   ∩ cin 3796  ∅c0 4143  𝒫 cpw 4377  Fincfn 8221

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2390  ax-ext 2802  ax-sep 5004  ax-nul 5012  ax-pow 5064  ax-pr 5126  ax-un 7208

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2604  df-eu 2639  df-clab 2811  df-cleq 2817  df-clel 2820  df-nfc 2957  df-ne 2999  df-ral 3121  df-rex 3122  df-rab 3125  df-v 3415  df-sbc 3662  df-dif 3800  df-un 3802  df-in 3804  df-ss 3811  df-pss 3813  df-nul 4144  df-if 4306  df-pw 4379  df-sn 4397  df-pr 4399  df-tp 4401  df-op 4403  df-uni 4658  df-br 4873  df-opab 4935  df-tr 4975  df-id 5249  df-eprel 5254  df-po 5262  df-so 5263  df-fr 5300  df-we 5302  df-xp 5347  df-rel 5348  df-cnv 5349  df-co 5350  df-dm 5351  df-rn 5352  df-res 5353  df-ima 5354  df-ord 5965  df-on 5966  df-lim 5967  df-suc 5968  df-fun 6124  df-fn 6125  df-f 6126  df-f1 6127  df-fo 6128  df-f1o 6129  df-om 7326  df-en 8222  df-fin 8225

This theorem is referenced by:  sge0z  41382