Theorem pwfin0 45517

Description: A finite set always belongs to a power class. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
pwfin0	⊢ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ≠ ∅

Proof of Theorem pwfin0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0pwfi 45514	. 2 ⊢ ∅ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
2		ne0i 4276	. 2 ⊢ (∅ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ≠ ∅)
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ≠ ∅

Syntax hints:   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2935   ∩ cin 3889  ∅c0 4268  𝒫 cpw 4536  Fincfn 8890

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pr 5369

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-sb 2074  df-mo 2543  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-ne 2936  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rab 3393  df-v 3434  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-om 7814  df-en 8891  df-fin 8894

This theorem is referenced by:  sge0z  46825