Theorem pwfin0 45814

Description: A finite set always belongs to a power class. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
pwfin0	⊢ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ≠ ∅

Proof of Theorem pwfin0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0pwfi 45811	. 2 ⊢ ∅ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
2		ne0i 4297	. 2 ⊢ (∅ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ≠ ∅)
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ≠ ∅

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961   ∩ cin 3907  ∅c0 4289  𝒫 cpw 4565  Fincfn 8945

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-ext 2738  ax-sep 5260  ax-nul 5272  ax-pr 5407

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-mo 2570  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rab 3420  df-v 3460  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4876  df-br 5113  df-opab 5177  df-tr 5222  df-id 5559  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-om 7865  df-en 8946  df-fin 8949

This theorem is used by:  sge0z  47121