Theorem pwfin0 44966

Description: A finite set always belongs to a power class. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
pwfin0	⊢ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ≠ ∅

Proof of Theorem pwfin0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0pwfi 44963	. 2 ⊢ ∅ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
2		ne0i 4364	. 2 ⊢ (∅ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ≠ ∅)
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ≠ ∅

Syntax hints:   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946   ∩ cin 3975  ∅c0 4352  𝒫 cpw 4622  Fincfn 9005

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-sb 2065  df-mo 2543  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-ord 6400  df-on 6401  df-lim 6402  df-fun 6577  df-fn 6578  df-f 6579  df-f1 6580  df-fo 6581  df-f1o 6582  df-om 7906  df-en 9006  df-fin 9009

This theorem is referenced by:  sge0z  46298