Theorem 0pwfi 45063

Description: The empty set is in any power set, and it's finite. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
0pwfi	⊢ ∅ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)

Proof of Theorem 0pwfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0elpw 5331	. 2 ⊢ ∅ ∈ 𝒫 𝐴
2		0fi 9061	. 2 ⊢ ∅ ∈ Fin
3	1, 2	elini 4179	1 ⊢ ∅ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)

Syntax hints:   ∈ wcel 2109   ∩ cin 3930  ∅c0 4313  𝒫 cpw 4580  Fincfn 8964

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pr 5407

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-mo 2540  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3421  df-v 3466  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-br 5125  df-opab 5187  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-om 7867  df-en 8965  df-fin 8968

This theorem is referenced by:  pwfin0  45066