Theorem 0pwfi 46019

Description: The empty set is in any power set, and it's finite. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
0pwfi	⊢ ∅ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)

Proof of Theorem 0pwfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0elpw 5317	. 2 ⊢ ∅ ∈ 𝒫 𝐴
2		0fi 9054	. 2 ⊢ ∅ ∈ Fin
3	1, 2	elini 4145	1 ⊢ ∅ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2145   ∩ cin 3898  ∅c0 4279  𝒫 cpw 4557  Fincfn 8957

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-mo 2565  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-om 7867  df-en 8958  df-fin 8961

This theorem is used by:  pwfin0  46022