Theorem 0pwfi 45300

Description: The empty set is in any power set, and it's finite. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
0pwfi	⊢ ∅ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)

Proof of Theorem 0pwfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0elpw 5301	. 2 ⊢ ∅ ∈ 𝒫 𝐴
2		0fi 8979	. 2 ⊢ ∅ ∈ Fin
3	1, 2	elini 4151	1 ⊢ ∅ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)

Syntax hints:   ∈ wcel 2113   ∩ cin 3900  ∅c0 4285  𝒫 cpw 4554  Fincfn 8883

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-mo 2539  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-om 7809  df-en 8884  df-fin 8887

This theorem is referenced by:  pwfin0  45303