Theorem 0pwfi 44294

Description: The empty set is in any power set, and it's finite. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
0pwfi	⊢ ∅ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)

Proof of Theorem 0pwfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0elpw 5345	. 2 ⊢ ∅ ∈ 𝒫 𝐴
2		0fin 9168	. 2 ⊢ ∅ ∈ Fin
3	1, 2	elini 4186	1 ⊢ ∅ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)

Syntax hints:   ∈ wcel 2098   ∩ cin 3940  ∅c0 4315  𝒫 cpw 4595  Fincfn 8936

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pr 5418  ax-un 7719

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-br 5140  df-opab 5202  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-om 7850  df-en 8937  df-fin 8940

This theorem is referenced by:  pwfin0  44297