Theorem uzct 45520

Description: An upper integer set is countable. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
uzct.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑁)

Assertion

Ref	Expression
uzct	⊢ 𝑍 ≼ ω

Proof of Theorem uzct

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzct.1	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑁)
2		uzssz 12806	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘𝑁) ⊆ ℤ
3	1, 2	eqsstri 3969	. . 3 ⊢ 𝑍 ⊆ ℤ
4		zex 12530	. . . 4 ⊢ ℤ ∈ V
5		ssdomg 8944	. . . 4 ⊢ (ℤ ∈ V → (𝑍 ⊆ ℤ → 𝑍 ≼ ℤ))
6	4, 5	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝑍 ⊆ ℤ → 𝑍 ≼ ℤ)
7	3, 6	ax-mp 5	. 2 ⊢ 𝑍 ≼ ℤ
8		zct 45518	. 2 ⊢ ℤ ≼ ω
9		domtr 8951	. 2 ⊢ ((𝑍 ≼ ℤ ∧ ℤ ≼ ω) → 𝑍 ≼ ω)
10	7, 8, 9	mp2an 693	1 ⊢ 𝑍 ≼ ω

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430   ⊆ wss 3890   class class class wbr 5086  ‘cfv 6496  ωcom 7814   ≼ cdom 8888  ℤcz 12521  ℤ_≥cuz 12785

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5306  ax-pr 5374  ax-un 7686  ax-inf2 9559  ax-cnex 11091  ax-resscn 11092  ax-1cn 11093  ax-icn 11094  ax-addcl 11095  ax-addrcl 11096  ax-mulcl 11097  ax-mulrcl 11098  ax-mulcom 11099  ax-addass 11100  ax-mulass 11101  ax-distr 11102  ax-i2m1 11103  ax-1ne0 11104  ax-1rid 11105  ax-rnegex 11106  ax-rrecex 11107  ax-cnre 11108  ax-pre-lttri 11109  ax-pre-lttrn 11110  ax-pre-ltadd 11111  ax-pre-mulgt0 11112

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5523  df-eprel 5528  df-po 5536  df-so 5537  df-fr 5581  df-se 5582  df-we 5583  df-xp 5634  df-rel 5635  df-cnv 5636  df-co 5637  df-dm 5638  df-rn 5639  df-res 5640  df-ima 5641  df-pred 6263  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7321  df-ov 7367  df-oprab 7368  df-mpo 7369  df-om 7815  df-1st 7939  df-2nd 7940  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-oadd 8406  df-omul 8407  df-er 8640  df-map 8772  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-oi 9422  df-card 9860  df-acn 9863  df-pnf 11178  df-mnf 11179  df-xr 11180  df-ltxr 11181  df-le 11182  df-sub 11376  df-neg 11377  df-nn 12172  df-n0 12435  df-z 12522  df-uz 12786

This theorem is referenced by:  meaiunlelem  46922  meaiuninclem  46934  meaiuninc3v  46938  meaiininclem  46940  omeiunle  46971  smflimlem1  47225  smflimlem6  47230  smfpimcc  47262  smfsuplem1  47265  smfsupdmmbllem  47298  smfinfdmmbllem  47302